Matematikai analízis 1. Szász Róbert

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Matematikai analízis 1. Szász Róbert"

Átírás

1 Matematikai analízis Szász Róbert

2

3 . fejezet.. Topológikus terek... Értelmezés. Adott egy X halmaz. A d : X X [0, + ) függvényt metrikának nevezzük, ha teljesülnek a következő feltételek:. d(x, y) > 0, ha x y és d(x, x) = 0, ( ), x, y X. 2. d(x, y) = d(y, x), ( ) x, y X. 3. d(x, y) d(x, z) + d(zz, y), ( ) x, y, z X. Az (X, d) struktúrát metrikus térnek nevezzük...2. Értelmezés. Legyen (X, d) egy metrikus téren r > 0. Az U(x 0, r) = {x X d(x, x 0 ) < r} halmazt x 0 középpontú r sugarú nyílt gömbnek nevezzük. A v X halmaz környezete az x 0 pontnak, ha létezik r > 0 úgy, hogy U(x 0, r) V. Egy olyan halmazt, amely minden elemének környezete nyílt halmaznak nevezünk. Az x 0 pont környezeteinek a halmazát v (x0 )-val jelöljük...3. Példa. Az R valós számok halmazán a d(x, y) = x y képlettel értelmezett d : R R [0, +, ) függvény metrika. A valós számhalmaz nyíl intervallumai nyílt halmazok az (R, d) metrikus térben...4. Értelmezés.. Az x 0 X pont az A halmaz torlódási pontja, ha bármely v V (x 0 ) esetén (V \ {x 0 }) A. Az A halmaz torlódási pontjainak halmazát jelölje A és legyen à = A A az A halmaz lezártja. 3

4 2. Az A X halmaz korlátos, ha létezik a A és r > 0 úgy, hogy A U(a, r). 3. Az A halmaz sűrű az metrikus térben, ha bármely vagy eleme A-nak vagy torlódási pontja A-nak. 4. Egy halmaz zárt, ha a komplementuma nyílt. 5. Az A halmaz perfekt, ha zárt és minden pontja torlódási pontja A-nak. A {G i } i I nyílt halmazrendszer lefedése A-nak, ha A G i. i I..5. Értelmezés. Az A halmaz akkor kompakt, ha bármely nyílt lefedéséből kiválasztható egy véges lefedés...6. Tétel.. Ha az A halmaz kompakt, akkor zárt. 2. Ha az A halmaz kompakt és B A, B zárt, akkor B is kompakt...7. Tétel. Az (X, d) metrikus térben {K α } α I legyen kompakt halmazok rendszere. Ha a {K α } α I halmazrendszer bármely véges sok halamzból álló részrendszerének metszete nem üres, akkor K α. α I. a) Igaz-e, hogy R 2 bármely nyílt G részhalmazának minden pontja torlódási pontja G-nek? b) Válaszoljukn erre a kérdésre, ha G zárt halmaz. 2. Legyen Y egy tetszőleges végtelen halmaz. Tetszőleges x, y Y esetén, x y d(x, y) = 0, x = y. Igazoljuk, hogy d metrika. Mik lesznek a nyílt halmazok a metrika által generált topológia esetén? Melyek lesznek a zárt halmazok? 3. Tetszőleges x, y R esetén

5 d i : R 2 [0, + ), i =, 4 d (x, y) = (x y) 2 d 2 (x, y) = x y d 3 (x, y) = x 2 y 2 x y d 4 (x, y) = + x y Döntsük el, hogy melyik metrika és melyik nem. 4. Adjuk meg R-nek egy olyan kompakt részhalmazát, amelynek torlódási pontjai megszámlálható halmazt képeznek. 5. Adjuk meg a (0, ) intervallumon egy nyílt lelefedését, amiből nem választható ki véges lefedés. 6. A racionális számok Q halmaza a d(p, q) = p q távolságfüggvénnyel metrikus tér. Legyen A = {p Q : 2 < p 2 < 3}. Igazoljuk, hogy a d által generált topológiában A zárt és korlátos. Igazoljuk, hogy A-nak van olyan nyílt lefedése, ami nem tartalmaz véges lefedést. 7. Legyen X egy normált vektortér a valós számtest felett. Ha x, y X és x + y = x + y, igazoljuk, hogy ax + by = a x + b y bármely a, b [0, + ). 8. Ha X egy normált vektortér a valós számtest felett x, y X és a R, akkor lim ( (n + a)x + y nx + y ) = a x. n 9. Legyen X egy normált vektortér a valós számtest felett. Ha bármely x, y X esetén a x y x + y x + y egyenlőtlenségekben legalább egy egyenlőség fennáll, akkor dim(x) =.

6 0. Ha x, x 2,..., x p R n, x p =, k =, p és létezik λ k [0, ] úgy, p p hogy λ k =, λ k x k = 0, akkor k= k= x i x j 2(p ). i<j p. Ha x k R n, k =, p olyan vektorok, hogy x k =, k =, p és p p x k = 0, akkor x x k p bármely x R n. k= k=.2. Sorozatok a valós számrendszerben.2.. Értelmezés. Az (a n ) n számsorozatnak a határértéke a, ha bármely ε > 0 esetén létezik egy n(ε) N (küszöbszám) úgy, hogy minden n n(ε) esetén a n a < ε. Ha az (a n ) n sorozatnak van egy véges határértéke, akkor azt mondjuk, hogy az (a n ) n sorozat konvergens Értelmezés. Ha az (a n ) n sorozat azzal a tulajdonsággal rendelkezik, hogy bármely ε > 0 esetén létezik egy n(ε) N (küszöbszám) úgy, hogy minden m > n n(ε) indexre igaz az a n a m < ε egyenlőtlenség, akkor az (a n ) n sorozatot Cauchy, típusúnak nevezzük Tétel. Minden Cauchy típusú sorozat konvergens Értelmezés.. Az (a n ) n sorozat növekvő, ha a n+ a n, ( ) n N és csökkenő, ha a n+ a n, ( ) n N. Ha egy sorozat növekvő vagy csökkenő akkor azt mondjuk, hogy monoton. 2. Az (a n ) n sorozat korlátos, ha létezik olyan M > 0 valós szám, hogy a n M. ( ) n N.

7 .2.5. Tétel. (majorálás) Ha a n a α n, ( ) n N és lim n α m = 0, akkor az (a n ) n sorozat konvergens és.2.6. Tétel. (fogó kritérium) lim a n = a n Ha (a n ) n, (b n ) n, (c n ) n olyan sorozatok, hogy a n b n c n, ( ) n N és lim n a n = lim n c n = α, akkor lim n b n = α. A valós számrendszert úgy értelmezzük, hogy (R, +, ) egy olyan teljesen rendezett kommutatív test, amelyben minden Cauchy típusú sorozatnak van határértéke.. Igazoljuk, hogy a valós számrendszerben minden monoton és korlátos sorozatnak van határértéke. 2. (Bolzano-Weierstrass tétel) Bizonyítsuk be, hogy R-ben minden korlátos és végtelen halmaznak van legalább egy torlódási pontja. 3. Igazoljuk, hogy minden korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata 4. (Cezaro-Stolz tétel) Igazoljuk, hogy ha a) b n+ > b n, ( )n N b) lim n b n = c) lim n a n+ a n b n+ b n = x, a n akkor lim = x is teljesül. n b n 5. A 4. feladat segítségével igazoljuk, hogy ha lim a n = x, akkor n a + a a n a) lim = x. n n

8 Ha még azt is feltételezzük, hogy a n > 0, ( ) n N, akkor b) lim n n a a 2... a n = x. 6. Az 5. feladat b) pontjának a felhasználásával igazoljuk, hogy ha (a n ) n egy olyan valós számsorozat, hogy a n > 0, ( ) n N és akkor lim n n an = x. a n+ lim = x, n a n 7. Igazoljuk a Cezaro-Stolz tétel következő változatát: a) (b n ) n szigorúan csökkenő b) lim b n = lim a n = 0 n n c) lim n a n+ a n b n+ b n = x a n akkor lim = x. n b n 8. Igazoljuk, hogy ha p N, akkor p + 2 p n p a) lim n n p+ = p + ( p b) lim n + 2 p n p n n p+ ) p + Számítsuk ki a határértékeket: c) lim n d) lim n ( n e k= n+ k= ) k + ln l n c n k e n k k= e) Ha x 0 = a > 0, x n+ = x n + x 2 n +x n+ határértéket. = 2 határozzuk meg a lim n x n 3 n f) Ha a =, a n+ = + a2 n n, számítsuk ki a a n, a + a a n ln n határértékeket.

9 g) Ha a =, a n+ = a n + a n 2n + ). számítsuk ki a n 2n, n ln n (a n+ i) Számítsuk ki n n ln 2 n a határértékeket. 9. Ha x k >, k =, n bizonyítsuk be, hogy ( + x ) x n n + x + x x n. n 0. Legyen y n = ( + n) n, zn = ( + n) n+. a) Esetleg felhasználva a 9.-es feladatot igazoljuk, hogy az (y n ) n sorozat szigorúan növekvő és a (z n ) n sorozat szigorúan csökkenő. b) Ebbből bizonyítsuk be, hogy: n + + ln(n + ) > > ln(n + ). n {. Határozzuk meg a 2 n + } 3 m : m, n N halmaz torlódási pontjait. 2. Ha = A R, = B R, akkor sup{x + y R : x A, y B} = sup A + sup B inf{x + y R : x A, y B} = inf A + inf B Ha (a n ) n és (b n ) n két valós számsorozat, akkor sup{a n + b n : n N } sup{a n : n N } + sup{b n : n N } inf{a n + b n : n N } inf{a n : n N } + inf{b n : n N }.3. Valós számsorok konvergenciája.3.. Értelmezés. A n = a n sor akkor és csak akkor konvergens, n ha az A n = a k egyenlőséggel értelmezett (A n ) n részletösszegek sorozata konvergens k=

10 .3.2. Tétel. A a n sor akkor és csak akkor konvergens, ha bármely ε > 0 esetén létezik egy n(ε) N (küszöbszám) úgy, hogy ha m > n n(ε), akkor a n + a n a m < ε Következmények.. Ha a lim a n = 0. n a n sor konvergens, akkor 2. A lim a n = 0 feltétel nem elegendő a konvergenciához. n a n =, n, lim = 0 és lim n n n n n = Tétel. (Cauchy) Ha az (a n ) n sorozat esetén konvergens, l > esetén divergens Tétel. (D Alembert) Ha az (a n ) n sorozat esetén konvergens, l > esetén divergens. lim n lim n infty n an = l <, akkor a Példa erre a n sor a n+ a n = l <, akkor a a n sor.3.6. Tétel. (Raabe) ( ) Ha a lim u a = határérték létezik, akkor l < esetén a n a n a n sor konvergens l > esetben divergens Tétel. Legyen az (a n ) n egy pozitív tagú, csökkenő sorozat. Akkor a a n és a 2 n a 2 n ugyanolyan típusú konvergencia szempontjából Tétel. Ha az (a n ) n és (b n ) n pozitív tagú sorozatok és akkor a lim n a n és lim a n b n = α (0, + ), b n ugyanolyan típusú.

11 .3.9. Tétel. (Dirichlet) Ha az (a n ) n sorozat pozitív tagú, csökkenő és továbbá a c n = lim a n = 0, n n b n sorozat korlátos, akkor a k= a n b n sor konvergens Következmények. (Leinbnitz) Ha az (a n ) n sorozat pozitív tagú csökkenő és ( )n a n konvergens. lim n a n = 0, akkor a. Tanulmányozzuk a következő valós számsorok konvergenciáját: a) b) c) d) e) f) g) n n ( ) n n ( ) n ln(n + ) n! ( n 2n + ) n ( n α, α R n ln 2 (n + ) n!e n n n 2. Ha az (a n ) n sorozat csökkenő és a a n sor konvergens igazoljuk, hogy na n = Egy ellenpélda segítségével bizonyítsuk be, hogy ha az (a n ) n sorozat csökkenp és na n = 0 akkor még nem következik a a n sor konvergenciája.

12 4. Igazoljuk, hogy ha a a n pozítiv tagú sor divergens és a n = 0, akkor ahol n k= a k sk 2 =, ahol s n = n a k. s n k= 5. Legyen a n egy pozítiv tagú konvergens sor. Igazoljuk, hogy a an n sor is konvergens. 6. Legyen a a n egy divergens sor és a n > 0, n N. a) Igazoljuk, hogy a b) Jelölje s n = n a k. k= Mutassuk meg, hogy a n + a n sor is divergens. a n+ s n+ + a n+2 s n a n+p s n+p és ebből vezessük le, hogy a s n s n+p a n s n sor is divergens. c) A b) pontot felhasználva továbbá az előző fejezet 0. b) és 3. e) eredményét tetintetbe véve igazoljuk, hogy a sor divergens. n=2 n ln n d) Igazoljuk, hogy a n s n s n s 2 és ebből vezessük le, hogy a n a n s 2 sor konvergens. n e) Mit mondhatunk a a n és a n + na n + n 2 sorokról. a n 7. Tegyük fel, hogy a n > 0, n N és a a n sor konvergens. Legyen r n = a p. p=n

13 a) Igazoljuk, hogy ha n > m, akkor a m r m + a m+ r m a n r n > r n r m, ebből pedig következtessünk a b) Bizonyítsuk be, hogy és igazoljuk, hogy a a n rn < 2( r n r n+ ) a n r n sor divergenciájára. a n rn sor konvergens. 8. Legyen a n > 0, n N. Ha a a n sor konvergens, igazoljuk, hogy a a n n sor is konvergens. 9. Igazoljuk, hogy ha a a n sor konvergál és a (b n ) n sorozat monoton és korlátos, akkor a n b n sor is konvergál. 0. A a n és b n sorok Cauchy szorzatának nevezzük a A n sort, n=0 n=0 ahol A n = a 0 b n + a b n + a 2 b n a n b 0. Igazoljuk, hogy ha az eredeti két sor abszolút konvergens, akkor a Cauchy szorzat is abszolút konvergens és a n n=0 n=0 b n = A n.. Tegyük fel, hogy P n > 0, P P 2 P n... és a ε n P n sor konvergens, ahol ε n {, }, n N. n=0 Igazoljuk, hogy (ε + ε ε n )P n = Adott az (a n ) n sorozat a n > 0, ( )n N. n=0 a) Ha létezik n 0 N és α (0, + ) úgy, hogy n n 0 esetén ln a n ln n + α,

14 akkor a a n sor konvergens. b) Ha létezik n 0 N és α (0, + ) úgy, hogy n n 0 esetben akkor a a n sor divergens. ln a n ln n, sorok konver- (ln n)) ln(ln n) 3. Tanulmányozzuk a n=3 (ln(ln n)) ln n és genciáját a 2. tétellel. n=3 4. Milyen α (0, + ) értékek esetén konvergens a ( ) [ n] 5. Adott az (a n ) n sorozat úgy, hogy a n > 0 ( )n N. Ha a a n sor konvergens, igazoljuk, hogy a n n a an n sor is konvergens. 6. Legyen (a n ) n egy csökkenő pozitív tagú sorozat és p, q (0, + ), p + q =. n α sor. a) Igazoljuk, hogy ha a sor is konvergens. n=2 a n n p (ln n) q sor konvergens, akkor a n=2 a p n n b) Igaz-e a fordított állítás?.4. Hatványsorok.4.. Tétel. Adott a akkor a a n (x x 0 ) n hatványsor. Ha n=0 R = lim n an = lim n n a n+ a n a n (x x 0 ) n hatványsor x x 0 < R esetén konvergens és x n=0 x 0 > R esetén divergens.,

15 .4.2. Tétel. Az f(x) = a n (x x 0 ) n egyenlőséggel értelmezett függvény n=0 az x x 0 < R egyenlőtlenséggel meghatározott tartományon deriválható és az f (x) = aa n (x x 0 ) n hatvénysornak ugyanaz a konvergencia tartománya. Határozzuk meg a következő sorok konvergencia intervallumát és vizsgáljuk meg a konvergenciát a konvergencia tartomány határpontjaiban x n a n, a, b (0, + ) + bn n n n! xn n n e n n! xn (n!) 2 2 n2 x n Határozzuk meg a következő függvénysorok konvergenciatartományát: n=0 n=+ 2n + e nx 3 n2 3 3n (n!) 3 (3n)! ( ) 2 x n 2 + x cos n x 8. Adottak a következő hatványsorok A(x) = + x3 3! + x6 6! + x9 9! x3n (3n)! +... B(x) = x! + x4 4! + x7 7! x3n+ (3n + )! +... C(x) = x2 2! + x5 5! + x8 8! x3n+2 (3n + 2)! +...

16 Igazoljuk, hogy az F (x) = e x 2 max { A(x) ex 3, B(x) ex 3, C(x) ex 3 függvény periodikus és F (x) > 0, ( )x R. 9. Igazoljuk, hogy a) b) c) (2n )!! ( ) = (2n)!! 2 (2n )!! (2n + 2)!! = 2 ( ) n (2n )!! (2n + 2)!! = Az (a n ) n 0 sorozat az a 0 = a n+ n + rekurzióval értelmezzük. Igazoljuk, hogy a számítsuk ki azt. ( n n k=0 k=0 (n k)a k k + } ), n N a k határérték létezik és 2k. a) Határozzuk meg a konvergencia intervallumát az f(x) = C2n n xn hatványsornak. n=0 b) Számítsuk ki a C2n n xn összeget, ha x a konvergenciaintervallumban van. n=0 c) Írjuk fel zárt alakban a összeget. n k=0 C k 2k Cn k 2(n k) 2. Számítsuk ki a következő hatványsorok összegét. a) f(x) = x + x3 3 + x b) f(x) = + x2 2! + x4 4! +... c) f(x) = + 2 x x x3 +...

17 3. Adott az f(x) = n=0 (2n + )C2n n x n hatványsor. a) Igazoljuk, hogy a konvergenciasugara R = 4. b) Igazoljuk, hogy 4 x arctg, x(4 x) 4 x x (0, 4) f(x) = 2 ln x 4 x, x(x 4) 2 x + 4 x x ( 4, 0).5. Egyenletes konvergencia.5.. Értelmezés. Legyen A R n és X egy halmaz. Adott az f : X A R n függvény. Legyen F (x) = lim y y 0 f(x, y) minden x X. Azt mondjuk, hogy az f(x, y) függvény egyenletesen tart az F (x) függvényhez az X halmazon, amikor y y 0, ha bármely ε > 0 esetén létezik v V (y 0 ) úgy, hogy F (x) f(x, y) < ε, ( ) x X és ( ) y V A Értelmezés. Legyen X egy halmaz f n : X R m n N egy függvénysorozat és F : X R m egy függvény. Az (f n ) n függvénysorozat egyenletesen tart az F függvényhez amikor n, ha ( ) ε > 0 esetén ( ) n(ε) N (küszöbszám) úgy, hogy ha n n(ε), akkor f n (x) F (x) < ε, ( ) x X. Egy függvénysor akkor egyenletesen konvergens egy X halmazon, ha a részletösszegek sorozata egyenletesen konvergens az X halmazon Tétel.. Ha az X metrikus téren folytonos függvények sorozata egyenletesen konvergens, akkor a határértékfüggvény is folytonos az X metrikus téren. 2. Ha egy függvénysor olyan függvényekből áll, amelyek folytonosak egy X metrikus téren és a függvénysor egyenletesen konvergens az X metrikus téren, akkor az összegföggvény is folytonos.

18 . Adott az f 0 (x) = x, x [0, π], f n+ (x) = sin f n (x), n 0 függvénysorozat. Igazoljuk, hogy az (f n ) n 0 függvénysorozat nem egyenletesen konvergens a [0π] intervallumon. Az (f n ) n függvénysorozatot a következőképpen értelmezzük: 2. f n : [0, ] R, f n = x n, n N. Igazoljuk, hogy az (f n ) n függvénysorozat nem egyenletesen konvergens a [0, ] intervallumon. nx 3. Igazoljuk, hogy az f n : [0, ] R f n (x) = + n 2 x 2, n függvényekből álló (f n ) n függvénysorozat konvergens, de nem egyenletesen konvergens. 4. Igazoljuk, hogy a (x n x 2n x n + x 2n 2 ) függvénysor konvergál a [0, ] intervallumon, de nem egyenletesen. 5. Adott az (a n ) n csökkenő valós számsorozat. Igazoljuk, hogy a következő állítások ekvivalensek: a) A a n sin nα egyenletesen konvergál R-en. b) na n = 0 6. Igazoljuk, hogy a sin nx függvénysor egy f : R R folytonos n 4 + x2 függvényhez konvergál a valós számok halmazán. 7. Az f : R R függvényt az f(x) = cos nx 2 n egyenlőséggel értelmezzük. Igazoljuk, hogy f folytonos. 8. Egyenletesen konvergens-e a halmazán? n=0 x n függvénysor a valós számok 9. Határozzuk meg a konvergencia halmazukat a következő függvénysoroknak: a) ln ( + ( 2 ) n ) n

19 b) c) n! xn n=0 cos nx e nx 0. Legyen f : [0, ] R egy folytonos függvény, ekkor (2 n+ )!! (2n)!! 0 f(t)[ (x t) 2 ] n dt = f(x) és rögzített ε ( 0, 2) esetén a konvergencia egyenletes az [ε, ε] intervallumon.. Ha f : [a, b] R egy folytonos függvény és b a xn f(x)dx = 0, bármely n N, akkor f(x) = 0 bármely x [a, b]. 2. Adott a > 0. Legyen f : [0, a] R egy folytonos függvény. Ha létezik M > 0 úgy, hogy a 0 enx f(x)dx M bármely n N esetén, akkor f(x) = 0 bármely x [0, a]. 3. Adott b >. Ha az f : [, b] R függvény folytonos és létezik M > 0 úgy, hogy b x n f(x)dx M bármely n N esetén, akkor f(x) = 0, bármely x [, b]. 4. Ha az f n : [a, b] R függvénysorozat pontonként konvergál az f : [a, b] R folytonos függvényhez és az (f n ) n függvénysorozat minden tagja monoton, akkor a konvergencia egyenletes az [a, b] intervallumon. 5. Ha az f n : [a, b] R függvénysorozat pontonként konvergál az f : [a, b] R függvényhez és f n (x) f n+ (x) bármely n N esetén és bármely x [a, b], akkor a konvergencia egyenletes. 6. Az f n : [0, ] R, n N függvénysorozatot az f (x) = 0, f n+ (x) = f n (x) + 2 [x f 2 n(x)], n 2 x [0, ] rekurziós képlettel értelmezzük. Igazoljuk, hogy az (f n ) n függvénysorozat egyenletesen konvergál az f : [0, ] R, f(x) = x függvényhez a [0, ] intervallumon.

20 7. A Banach féle fixponttétellel igazoljuk, hogy az x 3 +0x 2 = 0 egyenletnek van egy valós gyöke a [0, ] intervallumban. Számítsuk ki a gyököt három tízedesnyi pontossággal. 8. Igazoljuk, hogy ha (X, d) egy kompakt metrikus tér, és az f : X X függvényre d(f(x), f(y)) < d(x, y), bármely x y, x, y X, akkor az f függvénynek pontosan egy fixpontja van X-ben. Függvények határértéke és folytonossága.5.4. Értelmezés. Legyen (X, d) és (Y, ρ) két metrikus tér, A X, B Y és x 0 A. Az f : A Bfüggvénynek l a határértéke az x 0 pontban, ha bármely ρ > 0 esetén, létezik δ > 0 úgy, hogy azon x A pontok esetén, amelyekre 0 < d(x 0, x) < δ, következik, hogy ρ(f(x), l) < ε Tétel. Legyen f : A B a.5.4 Értelmezésben szereplő függvény és x 0 A. Az f függvénynek akkor és csak akkor a határértéke az x 0 pontban, ha bármely (x n ) n A sorozat esetén, amelyre lim n x n = x 0 és x n x 0, ( ) n N következik, hogy lim n f(x n) = l Értelmezés. Legyen A és B a.5.4 Értelmezésben szereplő halmaz. Az f : A B függvény akkor folytonos az x 0 A pontban, ha bármely ε > 0 esetén létezik δ > 0 úgy, hogy minden olyan x A-ra, amelyre igaz, hogy d(x 0, x) < δ következik, hogy ρ(f(x 0 ), f(x)) < ε. Egy függvény folytonos egy halmazon, ha folytonos a halmaz minden pontjában Tétel. Ha az f : X Y folytonos függvény és A X egy kompakt halmaz, akkor f(a) is kompakt az (Y, ρ) metrikus térben Értelmezés. Az f : X Y függvény egyenletesen folytonos, ha bármely ε > 0 esetén létezik δ > 0 úgy, hogy ha d(x.x ) < δ, akkor ρ(f(x), f(x )) < ε Tétel. Ha az f : X Y függvény folytonos és (X, d) kompakt, akkor f egyenletesen folytonos.

21 .5.0. Értelmezés. Legyen A R n és x 0 A. Az f : A R m függvénynek l a határértéke az x 0 pontban, ha bármely ε > 0 esetén, létezik δ > 0 úgy, hogy bármely olyan x A pontra amelyre x x 0 < δ következik, hogy f(x) l < ε. Annak jelölésére, hogy az x 0 pontban f-nek l a határértéke a szimbólumot használjuk. lim f(x) = l x x Értelmezés. Az f : A R m függvény az x 0 A pontban folytonos, ha lim x x 0 f(x) = f(x 0 ) Értelmezés. Legyen (X, d) egy metrikus tér. Az f : X R m függvény egyenletesen folytonos X-en, ha bármely ε > 0 esetén létezik δ > 0 úgy, hogy d(x, y) < δ f(x) f(y) < ε Tétel. Ha az (X, d) metrikus tér kompakt és az f : X R m egy folytonos függvény, akkor f egyenletesen folytonos.. Határozzuk meg a következő függvények értelmezési tartományát a) u = (x 2 + y) 2 b) u = arcsin y x c) u = sin(x 2 + y 2 ) z d) u = arccos x 2 +y 2 2. Határozzuk meg az f(x, y) függvényt, ha f ( x + y, y ) = x 2 y 2 x

22 3. Igazoljuk, hogy az függvény esetében lim x 0 f(x, y) = ( lim f(x, y) y 0 ) x 2 y 2 x 2 y 2 + (x y) 2 és a lim f(x, y) határérték mégsem létezik. x 0 y 0 ( ) = 0 és lim lim f(x, y) = 0 y 0 y 0 4. Az f(x, y) = (x+y) sin x sin y függvény esetében az iterált határértékek nem léteznek. Igazoljuk, hogy lim(x + y) sin x sin y = 0. x 0 y 0 5. Igazoljuk, hogy az f : R 2 R, { x 2 y, ha x 2 + y 2 0 x f(x, y) = 2 +y 2 0, ha x 2 + y 2 = 0 függvény nem folytonos az (0, 0) pontban. 6. Igazoljuk, hogy az f : R 2 R, { x 2 y 2, ha x 2 + y 2 0 x f(x, y) = 2 +y 2 0, ha x 2 + y 2 = 0 függvény folytonos R 2 minden pontjában. 7. Adott G R 2, G tartomány és az f : G R egy függvény. Igazoljuk, hogy ha az f függvény folytonos az x változó szerint a G tartományon, az y változó szerint Lipschitz tualjdonságú, akkor f folytonos a G tartományon. 8. Legyen A R n egy nemüres, konvex zárt halmaz és x R n. Igazoljuk, hogy A-ban létezik egy és csak egy olyan y elem, amelyre igaz, hogy x y = inf{ x z, z A}. Igazoljuk, hogy az f(x) = y, f : R n A képlettel értelmezett függvény folytonos. 9. Az f : R n R n olyan folytonos függvény, amely rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy f f = f. Igazoljuk, hogy f(r n ) zárt halmaz.

23 0. Az f : R n R n függvény esetén a G(f) = {(x, y) R n R n : f(x) = y} halmazt az f függvény grafikonjának nevezzük. Igazoljuk, hogy ha f folytonos, akkor G(f) az R n R n halmaznak egy zárt részhalmaza. A parciális derivált és a differenciál.5.4. Értelmezés. Adott A R n, B R m. Legyen x 0 A A. Az f : A B függvény akkor differenciálható az x 0 pontban, ha létezik egy ϕ : R n R m lineáris függvény úgy, hogy f(x) f(x 0 ) ϕ(x x 0 ) lim = 0. x x 0 x x 0 A ϕ : R n R m függvényt ϕ = D(x 0 )-val jelöljük Értelmezés. Legyen A R n, x 0 Int (A). Ha létezik f(x, x 2,..., x n ) f(x 0, x 20,..., x n0 lim x i x i0 x i x i0 határérték, akkor ezt a határértéket az f függvény x i változó szerinti parciális deriváltnak nevezzük az x i változó szerint az x 0 = (x 0, x 20,..., x n0 ) pontban és l = f x i (x 0 ) kifejezéssel jelöljük Tétel. Legyen A R n, B R m, x 0 Int (A). Ha az f : A B függvény differenciálható az x 0 pontban, akkor a ϕ : R n R m, ϕ = Df(x 0 ) differenciál mátrixa: f (x 0 ) x f 2 (x J f = 0 ) x. f m (x 0 ) x f x 2 (x 0 )... f 2 x 2 (x 0 )..... f m (x 0 )... x 2 f (x 0 ) x n f 2 (x 0 ) x n. f m (x 0 ) x n Ezt a mátrixot az f függvény Jacobi mátrixának nevezzük az x 0 pontban. Az f : A R vektor változós, valós függvény esetén a jelölés: ( ) f f grad f(x 0 ) = V f(x 0 ) = (x 0 )... (x 0 ). x x n = l

24 Ebben az esetben azt a sormátrixot az f függvény gradiensének nevezzük az x 0 pontban Tétel. Legyen A R n, B R m, x 0 Int (A). Ha az f : A B függvény differenciálható az x 0 pontban, akkor f folytonos is x 0 -ban. A tétel fordítottja nem igaz.. Adott az f : R 2 R, f(x, y) = e x 2 +y 2, x 2 + y 2 0 0, x 2 + y 2 = 0 Vizsgáljuk meg, hogy az f függvény differenciálható-e az O(0, 0) pontban. 2. Differenciálható-e az f(x, y) = 3 x 3 + y 3 függvény az origóban 3. Határozzuk meg a következő függvények I. és II. rendű parciális deriváltjait. a) u(x, y) = xy + x y b) u(x, y) = c) u(x, y) = x y cos x2 y d) u(x, y) = arctg x+y xy ( ) x e) u(x, y) = arcsin. x 2 +y 2 f) u(x, y, z) = x y z. 4. Ha az u = f(x, y, z) függvény kielégíti az x u x + y u y + z u z differenciálegyenletet, akkor f n-ed fokú homogén függvény. = nu 5. Legyen f(x, y) = { xy(x 2 y 2 ), x 2 +y 2 ha x 2 + y 2 0 0, ha x 2 + y 2 = 0 Igazoljuk, hogy 6. Adott f(x, y) = 2 f x y (0, 0) 2 f (0, 0). y x { 2xy, x 2 +y 2 ha (x, y) (0, 0) 0, ha (x, y) = (0, 0)

25 Igazoljuk, hogy f f x és y az R2 halmaz minden pontjában létezik, annak ellenére, hogy f nem folytonos a (0, 0) pontban. 7. Legyen f(x, y) = { x 3, x 2 +y 2 ha (x, y) (0, 0) 0, ha (x, y) = (0, 0). a) Igazoljuk, hogy f x és f y korlátos függvények. b) Legyen u egy R 2 -beli egységvektor. Igazoljuk, hogy a D u f iránymenti derivált létezik és normája legfeljebb egy. 8. Állítsuk elő a megjelőlt parciális deriváltakat: a) b) c) d) e) f) 3 u x 2, u = x ln(x, y) y 3 u x y z, u = exyz 4 u x y ξ η, u = ln (x ξ) 2 +(y η) 2 m+n u x m y n, m+n u x m y n, p+q+r u x p y q z r, u = x+y x y u = (x2 + y 2 )e x+y u = xyzex+y+z 9. Határozzuk meg a kijelölt differenciálokat a) d 3 u, u = x 3 + y 3 3xy(x y) b) d n u, u = ln(x + y) c) d 3 u, u = xyz d) d n u, u = e x+y 0. Igazoljuk, hogy a megadott függvény teljesíti a kijelölt differenciálegyenletet:

26 a) u = a (x b) 2 t e 4a 2 t, b) u = ln (x a) 2 + (y b) 2, u t = a2 2 u x 2 2 u x u y 2 = 0 c) u = c e ar + c 2 e ar, u + 2 u = a 2 u r x 2 y 2 z 2 r = x 2 + y 2 + z 2 d) z = x n f ( y x 2 ), x z z x + 2y y = uz e) z = yf(x 2 y 2 ) y 2 z z + xy x y = xz Implicit függvények deriváltakat ha az y(x) függvényt a követ-. Határozzuk meg a dy dx és d2 y dx 2 kező egyenlőség értelmezi: a) y = x + ln y b) x 2 2xy + y 2 + x + y 2 = 0 c) ln x 2 + y 2 = arctg y x d) 2 + xy = ln(e xy e xy ) = 0 2. A z(x, y) függvényt a következő egyenlőséggel értelmezzük: a) x 2 + 2y 2 + z 2 3xyz 2y + 3 = 0 b) x cos y + y cos z + z cos x =. Az egyes esetekben határozzuk meg a αz αx, z y parciális deriváltakat. 3. A z(x, y) függvényt az x 2 + y 2 z 2 xy = 0 egyenlőség értelmezi. Határozzuk meg a ]paz x z = esetben. z és y parciális deriváltakat az x =, y = 0, 4. Ha a z(x, y) függvényt a 2x 2 + y 2 + z 2 8xz z + 8 = 0

27 egyenlőség értelmezi határozzuk meg dz és d 2 z differenciálokat az x = 2, y = 0, z = esetben. 5. Igazoljuk, hogy az x 2 + y 2 + z 2 = ϕ(ax + by + cz) egyenlőséggel értelmezett z(x, y) függvény teljesíti a differenciálegyenletet. (cy bz) z + (az cx) z x y = bx ay 6. Ha F ( x z, y z ) = 0, ahol F egy kétváltozós differenciálható függvény, akkor az adott egyenlőséggel értelmezett z(x, y) implicit függvény teljesíti a differenciálegyenletet. x z x + y z y = z 7. Az y és z függvények az x változótól függnek és az x 2 +y 2 z 2 = 0 valamint az x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 4 egyenlőségekkel értelmezettek. Határozzuk meg dy dx, dx dx, d2 y dx 2, d2 z x 2 deriváltakat az x =, y = 0, z = esetben. 8. Az u és v függvények az x és y változóktól függnek és az egyenlőségekkel értelmezettek. Határozzuk meg a u x, v x, u y, v y x = ϕ(u, v) és y = ψ(u, v) parciális deriváltakat. 9. A z függvény az x és y változóktól függ. Határozzuk meg a dz differenciált, ha x = e u+v, y = e u v, z = uv. 0. Ha z = F (r, ϕ) és x = r cos ϕ, y = r sin ϕ határozzuk meg a z x parciális deriváltakat. A változócsere módszere. (2x ) 2 y + (2x )y + y = 0 differenciáegyenlet esetén végezzük el a 2x = e t változócserét.

28 2. Írjuk át az y z x x z y = 0 differenciálegyenletet az u és v változókra ha u = x és v = x 2 + y Írjuk fel a u x = v (Cauchy-Riemann) y u y = v x differenciálegyenleteket polárkoordináták esetén. 4. Írjuk fel a 2 u x u y 2 = 0 polárkoordináták esetén. (Laplace egyenletet) 5. Írjuk fel az x 2 2 u x 2 u = xy, v = x y. y 2 2 u y 2 = 0 egyenletet az u és v változókkal, ha 6. Végezzük el az egyenletekbe a megadott változócserét. a) y z x x z y = (y x)z u = x 2 + y 2, v = x + y, w = ln z (x + y) b) 2 z x z x y + 2 z y 2 = 0 u = x + y, v = y x, w = z x c) 2 z x z x y 3 2 z y 2 = 0 ξ = x + y η = y 3x A helyettesítés módszere a) Egyváltozós eset: Ha y egy adott függvény x-ben és x = ϕ(t), akkor: dy dx = ϕ (t) d 2 y dx 2 = dy dt (ϕ (t)) 3 [ ϕ (t) d2 y dt 2 ϕ (t) dy dt ]

29 b) A kétváltozós eset Legyen G, D R 2 két nyílt halmaz. f : D R, z = f(x, y) φ : G D, φ = (ϕ, ψ) x = ϕ(u.v) Y = ψ(u, v), (u, v) G. Feltételezzük, hogy az f, ϕ, ψ függvényeknek léteznek a megfelelő rendű parciális deriváltjaik. A feladat z, hogy fejezzük ki parciális deriváltakat a parciális deriváltak segítségével. z x, z y, 2 z x 2, 2 z x y, z u, z v, 2 z u 2, 2 z u v, stb. stb. Erre a problémára a következő két képlet vezethető le: ( z x = ψ D(ϕ,ψ) v z u ψ v z ) u D(u,v) ( z ϕ = y v z u ϕ v z ), u D(ϕ,ψ) D(u,v) D(ϕ, ψ) ahol D(u, v) = J φ a φ leképezés Jacobi mátrixa. c) Független változók és függvények hlyettesítése x = f(u, v, w), y = g(u, v, w), z = h(u, v, w) u és v új független változók és w = w(u, v) ezeknek a változóknak egy függvénye. A z x, z y z x z x,... stb- parciális deriváltakra a ( f u + f w w ) u ( f v + f w w v + z ( g y ) + z y u + g w w ) u ( g v + g w w ) v = h u + h w w u = h v + h w w v.

30 .5.8. Példa. Az x 2 2 z x 2 + 2xy 2 z x y + y2 2 z y 2 = 0 egyenletbe végezzük el az x = u, y = uv változócserét. Megoldás u = x, v = y x z x = z u + z ( ) y v x 2 = z u v z u v z y = z u 0 + z v x = u z v 2 ( z x 2 = u v ) ( z u v u v ) z = 2 z u v u 2 + v z u 2 v 2 v 2 z u u v + v2 2 z u 2 v 2 2 z y 2 = ( ) z = 2 z u v u v u 2 v 2 Az előbbi egyenlőségeket alkalmazva a differenciálegyenlet így alakul át: ( u 2 2 z u 2 2 v 2 z u u v + v2 2 z u 2 v 2 + 2v ) ( z u 2 + 2u 2 2 z v v u u v z u 2 v v 2 ) z u 2 v 2 ( + u 2 v 2 2 ) z u 2 v 2 = 0 u 2 2 z u 2 2uv 2 z u v + v2 2 z v 2 + 2v z v + 2uv 2 z z 2v u v v 2v2 2 z v 2 + v2 2 z v 2 = 0 u 2 2 z u = 0 z(u, v) = uϕ(v) + ψ(v) 2 ( y z(x, y) = xϕ + ψ x) ( y x).. Új változók bevezetésével alakítsuk át a következő közönséges differenciál-egyenleteket: a) ( x 2 )y xy + n 2 y = 0 ha x = cos t b) y + y thx + m2 ch 2 x y = 0, x = ln ( ) t 2 c) y + y p(x) + q(x)y = 0, y = u e 2 x x 0 P (t)dt d) x y + xyy 2y 2 = 0, x = e t, y = u(t)e 2t e) ( + x 2 )y = y, x = tg t, y = u cos t

31 f) y + (x + y)( + y ) 3 = 0 x = u + t, y = u t ahol minden pontnál u = u(t). 2. Legyen φ háromváltozós homogén függvény. A φ(y, y, y ) = 0 egyenletbe vezessük be az y = e x x 0 u(t)dt helyettesítést. Alakítsuk át az (x z) z x + y z y = 0 egyenletet úgy, hogy x-et függvénynek tekintjük mégpedig x = x(u, v), ahol u = y z, v = y + z az új független változók. Geometriai alkalmazások x = x(t). Az y = y(t) t I egyenletekkel adott görbe érintője az z = z(t) M(x(t 0 ), y(t 0 ), z(t 0 )) pontban: x x(t 0 ) x (t 0 ) = y y(t 0) y (t 0 ) = z z(t 0) z. (t 0 ) A normálsík egyenlete ugyanebben a pontban: x (t 0 )(x x(t 0 )) + y (t 0 )(y y(t 0 ) + z (t 0 )(z z(t 0 )) = Az x = x(u, v) y = y(u, v) (u, v) D egyenletekkel adott felület érintősík- z = z(u, v) ja az M(x 0, y 0, z 0 ) pontban ahol x 0 = x(u 0, v 0 ), y 0 = y(u 0, v 0 ), z = z(u 0, v 0 ) : x x 0 y y 0 z z 0 x u (u y 0, v 0 ) u (u z 0, v 0 ) u (u 0, v 0 ) = 0. x v (u y 0, v 0 ) v (u z 0, v 0 ) v (u 0, v 0 )

32 Az M(x 0, y 0, z 0 ) pontban a normális egyenlete: x x 0 y z u u y z v v = y y 0 z x u u z x v v = z z 0. x y u u x y v v Ha a felület egyenlete F (x, y, z) = 0 implicit egyenlettel, adott, akkor az érintősík egyenlete: F x (x x 0) + F y (y y 0) + F z (z z 0) = 0 és a normális egyenlete: x x 0 F x 3. Ha a Γ(α) síkgörbesereg az = y y 0 F y = z z 0. F z f(x, y, α) = 0, α I egyenlettel adott, akkor a Γ(x), α I burkológörbéjének egyenlete: f(x, y, α) = 0 f (x, y, α) = 0. α 4. Ha az S(α), α I felületsereg az F (x, y, z, α) = 0, α I egyenlettel adott, akkor a burkolófelület egyenlete: F (x, y, z, α) = 0 f (x, y, z, α) = 0. α 5. Ha a Γ görbe egyenlete r = r(t) = (x(t), y(t), z(t)), t I, akkor Γ a görbe görbülete az M(x(t 0 ), y(t 0 ), z(t 0 )) pontban: k = r (t 0 ) r (t 0 ) r (t 0 ) Írjuk fel az alábbi görbék érintőegyenesének és normálissíkjának egyenletét a megadott pontokban

33 a) y = x, z = x 2 M(,, ) b) x 2 + z 2 = 0, y 2 + z 2 = 0 M(,, 3) c) x 2 + y 2 + z 2 = 6, x + y + z = 0 M(, 2, ) d) x = t, y = t 2, z = t 3 görbén melyik az a pont amelybe húzott érintő párhuzamos az x + 2y + z = 4 síkkal. 7. Bizonyítsuk be, hogy az x = ae t cos t, y = ae t sin t, z = ae t görbe az x 2 + y 2 = z 2 kúp minden alkotóját ugyanakkora szög alatt metszi. Írjuk fel az alábbi felületek megadott pontjában az érintősík és a normális egyenletét: a) z = x 2 + y 2, M(, 2, 5) b) x 2 + y 2 + z 2 = 69, M(3, 4, 2) c) z = arctg y x, M (,, π ) 4 d) z = y + ln x z, M(,, ) e) 2 x z + 2 y z = 8, M(2, 2, ) f) x = 2 cos ψ cos ϕ, y = 2 cos ψ sin ϕ, z = sin ψ, M(ϕ 0, ψ 0 ). görbén melyik az a pont amelybe húzott érintő párhuzamos az x+2y + z = 4 síkkal. Differenciál, gradiens, rotáció, divergencia. Legyen D R 3, f : D R, h R 3, h =. Az f függvény differenciálja az (x 0, y 0, z 0 ) pontban egy ϕ : R 3 R 3 lineáris leképezés, amely teljesíti f(x, y, z) f(x 0, y 0, z 0 ) ϕ(x x 0, y y 0, z z 0 ) lim = 0 (x,y,z) (x 0,y 0,z 0 ) (x x 0, y y 0, z z 0 )

34 egyenlőséget. A (ϕ) lineáris leképezés mátrixa: A(ϕ) = grad f = ( f x, f y, f ). z 2. Az f függvény h = (h, h 2, h 3 ) irány menti deriváltja az (x 0, y 0, z 0 ) pontban: f h (x 0, y 0, z 0 ) = f x (x 0, y 0, z 0 ) h + f y (x 0, y 0, z 0 ) h 2 + f z (x 0, y 0, z 0 ) h Egy adott V : D R 3, V = (P, Q, R) függvény divergenciája: 4. A V függvény rotorja: div V = P x + Q y + R z. i j k rot V =. x y z P Q R Megjegyzés: div (rot V ) = Az f : R 2 R függvény, az f(x, y) = egyenlőtlenséggel értelmezzük. Igazoljuk, hogy 2 f x y (0, 0) 2 f y x (0, 0). { xy x 2 y 2, x 2 +y 2 (x, y) (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0) 6. Legyen z = f(u, v), u = g(x, y), v = h(x, y). Ha g, h C (D) és f C ( ), akkor grad z = f f grad u + u v, grad v.

35 7. Igazoljuk, hogy az u(x, y, z) = ln(x 2 +y 2 +z 2 ), x 2 +y 2 +z 2 0 függvény teljesíti az összefüggést. u = 2 ln 2 ln(grad u) 2 8. Határozzuk meg az u =, x 2 +y 2 +z x2 +y 2 +z 2 0 függvény deriváltját 2 a gradiensének az irányában. 9. Adott az u(x, y, z) = ax+by+cz függvény. Határozzuk meg a x 2 +y 2 +z 2 div (grad u) kifejezést. 0. Adott a w(x, y, z) = f(x y, x + z), f C 2 (D), D R 2. Határozzuk meg a div (grad w) kifejezést. ( ). Igazoljuk, hogy az M 0 2, 3 2 pont az x 2 + y 2 2x = 0 körön van. Határozzuk meg a z(x, y) = arctg y x függvény iránymenti deriváltját az M 0 pontban az érintő irányaiban. 2. Határozzunk meg egy f : R 3 R függvényt úgy, hogy f(x) x, bármely x R 3, x = x 2 + x2 2 + x2 3 és grad f(0) = Adott az f : R n R függvény. Ha f(x) x 2 igazoljuk, hogy f-nek léteznek a parciális deriváltjai az origóban. 4. Adott az u : R 3 + R, u(x, y, z) = ln(x x y y z z ) függvény. Határozzuk meg a d n u differenciált. A Taylor képlet Legyen D R n, f : D R, egy n + -szer differenciálható függvény. Az x 0 pont környezetében létezik θ (0, ) úgy, hogy: f(x) = f(x 0 ) +! Df(x 0) (x x 0 ) n! Dn f(x 0 )(x x 0 ) n + + (n + )! Dn+ f(x 0 ) + θ(x x 0 ))(x x 0 ) n+.

36 Az R = kifejezést maradék tagnak nevezzük. (n + )! Dn+ f(x 0 + θ(x x 0 ))(x x 0 ) n+ A Taylor képlet formálisan így írható: f(x) = f(x 0 ) + n k= ( x x + x 2 x ) k x n f(x) + R. x n. Állítsuk elő a Taylor-formula szerint az f(x, y) = 2x 2 xy y 2 6x 3y + 5 függvényt az A(, 2) pont környezetében. 2. Írjuk fel az f(x, y) = x y függvényre a Taylor-képletet az A(, ) pont körül a másodrendű tagokig. 3. Írjuk fel az f(x, y) = x 2 y 2 függvény Mac-Laurin-sorát a harmadfokú tagig. 4. Fejtsük Mac-Laurin-sorba a következő függvényeket a) f(x, y) = ( = x) n ( + y) n b) f(x, y) = e x sin y c) f(x, y) = sin(x 2 + y 2 ) d) f(x, y) = ln( + x + y) e) f(x, y) = ln( + x) ln( + y). 5. Írjuk fel a következő függvény Mac-Laurin sorának első három tagját: f(x, y) = 0 ( + x) t2y dt. 6. A z = z)x, y) függvényt a z 3 2xz + y = 0 egyenlőséggel (impliciten) értelmezzük. Ha x = y =, akkor z =. Írjuk fel a z függvény A(, ) pont körüli kifejtésének első három tagját.

37 függvényt fejtsük Mac-Laurin sorba a má- 7. Az f(x, y) = arctg +x+y x+y sodrendű tagokig 8. Az f : R R függvény első és másodrendű deriváltjai legyenek folytonosak R-en. Ha f, f, f korlátos is R-en, akkor M 2 4M 0 M 2, ahol M k = sup f (k) (x), k {0,, 2}. x R 9. Az f : [0, + ) R függvény akárhányszor deriválható. Ha ( ) k f (k) (x) 0, ( ) x [0, + ), k N, akkor a g(x) = +f(x) x függvény esetén is igaz, hogy ( ) k g (k) (x) 0, ( ) x [0, + ), k N. 0. Adottt az f : R R k-szor deriválható függvény. Ha tetszőleges adott r valós szám esetén lim x xr f(x) = 0 és lim x xr f (k) (x) = 0, akkor lim x xr f (p) (x) = 0, bármely p {0,, 2,..., k}. Többváltozós függvények szélsőértékei Az f : D R, D R n függvénynek helyi maximuma van az x 0 = (x 0 x x n0 ) pontban, ha létezik egy v V(x 0 ) környezet úgy, hogy f(x) f(x 0 ), ( ) x V. f-nek helyi minimuma van az x 0 pontban, ha f(x) f(x 0 ), ( ) x V Tétel. Az f : D R függvénynek helyi maximuma van az (x 0 ) pontban, ha f f f (x 0 ) = 0, (x 0 ) = 0,..., (x 0 ) = 0 (.) x x 2 x n és az f függvény Hesse mátrixa 2 f 2 f 2 f (x 0 ) (x 0 )... (x 0 ) x x x 2 x x n 2 f 2 f 2 f H f = (x 0 ) x 2 x x 2 (x 0 )... (x 0 ) 2 x 2 x n f 2 f 2 f (x 0 ) (x 0 )... x n x x n x 2 x 2 (x 0 ) n

38 negatív definit kvadratikus alakot származtat és minimuma van, ha H f pozitív definit kvadratikus alakot származtat. Azokat az x 0 pontokat ahol a (.) egyenlőségek teljesülnek stacionárius pontoknak nevezzük. A kétváltozós eset: Ha az (x 0, y 0 ) pont az f(x, y) kétváltozós függvénynek egy stacionárius pontja, akkor f-nek a) minimuma van, ha D > 0, A > 0; b) maximuma van, ha D.0, A < 0; c) nincs szélsőértéke, ha D < 0, ahol A = 2 f x 2 (x 0, y 0 ), B = 2 f x y (x 0, y 0 ), A = 2 f y 2 (x 0, y 0 ) és D = AC B 2. Az f(x, x 2,..., x n ) függvény ϕ k (x, x 2,..., x n ) = 0 k =, m, m < n feltételek melletti szélsőértékét meghatározhatjuk úgy, hogy meghatározzuk az L(x, x 2,..., x n, λ,..., λ m ) = f(x,..., x n ) + függvény szélsőértékét. m λ k ϕ k (x,..., x n ) A H L Hesse mátrix által generált kvadratikus alak elpjelét úgy vizsgáljuk, hogy figyelembe vesszük, hogy dx,..., dx n változók eleget tesznek a n ϕ k dx j = 0 feltételeknek. x j j= Weierstrass. Egy korlátos és zárt tartományon differenciálható függvény felveszi a legnagyobb és legkisebb értékét, vagy valamelyik stacionárius pontban vagy a tartomány határán. k=. Határozzuk meg a következő függvények szélsőértékeit: a) z(x, y) = x 2 y 3 (6 x y)

39 b) z(x, y) = x 4 + y 4 x 2 2xy y 2 c) z(x, y) = xy x 2 y 2 d) z(x, y) = e x2 y (5 2x + y) e) z(x, y) = x 2 + xy + y 2 4 ln x 0 ln y f) z(x, y) = x 2 2y + ln x 2 + y arctg y x g) u(x, y, z) = x 3 + y 2 + z 2 + 2xy + 2z h) u(x, y, z) = x + y2 4x + z2 y + 2 z ; x, y, z (0, + ) i) u(x, y, z) = xy 2 z 3 (0 x 2y 3z) j) u(x, y, z) = sin x + sin y + sin z sin(x + y + z) x, y, z [0, π] k) u(x, x 2,..., x n ) = x + x 2 x + x 3 i =, n. x xn x n + 2 x n 2. Keressük meg a z = z(x, y) implicit függvények szélsőértékeit: a) x 2 + y 2 + z 2 2x + 2y 4z 0 = 0 b) x 2 + y 2 + z 2 xz yz + 2x + 2y + 2z 2 = 0 c) (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 = a 2 (x 2 + y 2 z 2 ) x i (0, + ), 3. Határozzuk meg a következő függvények szélsőértékeit a megadott feltételek mellett: a) z(x, y) = x + y, x 2 + y 2 = b) u(x, y, z) = x + y + z, x 2 + y 2 + z 2 = c) z(x, y) = x 2 + 2xy + 2y 2, 4x 2 + y 2 = 25 d) z(x, y) = cos 2 x + cos 2 y, x y = π 4 e) u(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2, x2 + y2 + z2 = a 2 b 2 c 2 f) u(x, y, z) = xyz, x 2 + y 2 + z 2 =, x + y + z = 0 g) u(x, y, z) = xy + yz, x 2 + y 2 = 2, y + z = 2 x, y, z (0, + ) h) u(x, x 2,..., x n ) = x 2 + x x2 n, x + x x n = i) u(x, x 2,..., x n ) = α x + α 2 x α n x n, β x +β 2 x β n x n = α i, β i, x i (0, + ), i =, n.

40 4. Határozzuk meg a következő függvényeknek a megadott tartományokon felvett legnagyobb és legkisebb értékét: a) z(x, y) = x 2 + y 2 = 2x + 6y, x 2 + y 2 25 b) z(x, y) = x 2 xy + y 2, x + y c) u(x, y, z) = x + y + z, x 2 + y 2 z d) z(x, y) = x 2 2xy + 6y + 4x, x 6, y 7 5. Igazoljuk, hogy ha x, y, z [, 2], akkor x y 2 + z 2 + y x 2 + z 2 + z x 2 + y Bizonyítsuk be, hogy ha x, y, z R +, akkor ( ) x 2 y 2 z 2 x 6 + z 3 y 3 + y 6 + x 3 z 3 + z 6 + x 3 y Igazoljuk, hogy ha a, b, c R és a 2 + b 2 + c 2 =, akkor a + b + c 2abc Ha x, y, z (0, + ) és x 3 + y 3 + z 3 = 3, akkor x 4 y 4 + x 4 z 4 + y 4 z Legyenek az a i,j, i, j =, n adott valós számok. Igazoljuk, hogy az f : R n R n f(x, x 2,..., x n ) = a ij x i x j i,j= függvénynek a G = {x R n : x = } gömbre való leszűkítésének a maximuma és minimuma az A = [a ij ] i=,n mátrix legnagyobb illetve legkisebb sajátértéke. ( x az x euklideszi normája) 0. Határozzuk meg az f : R n R, f(x, x 2,..., x n ) = x 2 + x x2 n függvény minimumát, ha n a ij x j = b i, i m és rang [a ij ] i=,m = j= j=,n m n.

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0 I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat . Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK:

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók

Részletesebben

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport) MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon. 215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Részletesebben

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1 Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok

Részletesebben

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx

Részletesebben

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Többváltozós függvények Feladatok

Többváltozós függvények Feladatok Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk

Részletesebben

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan! Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén

Részletesebben

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében? Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!

Részletesebben

Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt

Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt 27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,

8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, 3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Boros Zoltán február

Boros Zoltán február Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus I. Gselmann Eszter Debrecen, 2011 A matematikában a gondolat, ami számít. (Szofja Vasziljevna Kovalevszkaja) Tartalomjegyzék 1. Halmazok,

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx = Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!

Részletesebben

Kétváltozós függvények differenciálszámítása

Kétváltozós függvények differenciálszámítása Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt

Részletesebben

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva? = komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve

Részletesebben

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4 Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Analízis I. Vizsgatételsor

Analízis I. Vizsgatételsor Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

Funkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér

Funkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér Funkcionálanalízis Gyakorló feladatok 2017 március 22 Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér N1 Metrikát deniálnak-e R-en az alábbi függvények: (a) d(x, y) = x y (b) d(x, y) = x y (c) d(x, y) =

Részletesebben

A legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris

A legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,

Részletesebben

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás

Részletesebben

Trigonometrikus függvények azonosságai

Trigonometrikus függvények azonosságai Ez az útmutató a képletgyűjtemény táblázataihoz nyújt részletes magyarázatot. A képletgyűjteménynek nem célja, hogy az elméleti tudást helyettesítse, mindössze egy emlékeztető, ami segíti az előadások

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n.

1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n. 1. Többváltozós függvények 1. Bevezetés Ennek a fejezetnek a célja a kétváltozós függvények vizsgálata, ami során a 3-dimenziós felületeket szeretnénénk megérteni. 1. definíció. Legyen D R n. Ekkor az

Részletesebben

VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2.

VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2. VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2. 208. november Sorok. Konvergensek-e az alábbi sorok? Ha igen, adjuk meg a határértéküket! n(n+3) n(n+)(n+2) 9n 2 3n 2 ( n + 2 2 n + + n) 2n+ n 2 (n+) 2 (f) ( 3) k+2

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

A gyakorlatok anyaga

A gyakorlatok anyaga A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így

Részletesebben

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont Villamosmérnök Szak Távoktatás 2. félév Matematika kollokvium 2008. dec. 20. Név: Neptun Kód: Tanár: Fel.: Elm.: Hf.: Össz.: Oszt.: Vajda István Rendelkezésre álló idő: 105 perc Elérhető maximális pontszám:

Részletesebben

(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1

(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1 Komlex analízis Komlex hatványsorok c n (z z 0 ) n ; R = lim n c n, R = (!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+ c n n=0. Van-e olyan komlex hatványsor, melynek a) üres a konvergenciatartománya,

Részletesebben

Matematika alapjai; Feladatok

Matematika alapjai; Feladatok Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \

Részletesebben

Nemlineáris programozás 2.

Nemlineáris programozás 2. Optimumszámítás Nemlineáris programozás 2. Többváltozós optimalizálás feltételek mellett. Lagrange-feladatok. Nemlineáris programozás. A Kuhn-Tucker feltételek. Konvex programozás. Sydsaeter-Hammond: 18.1-5,

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 4 IV HATVÁNYSOROk 1 ELmÉLETI ALAPÖSSZEFÜGGÉSEk Az olyan végtelen sort, amelynek tagjai függvények, függvénysornak nevezzük Ha a tagok hatványfüggvények, akkor a sor neve hatványsor

Részletesebben

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;

Részletesebben

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és 205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási

Részletesebben

5. fejezet. Differenciálegyenletek

5. fejezet. Differenciálegyenletek 5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.

Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl

Részletesebben

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?

Részletesebben

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =, Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2

Részletesebben

Feladatgyûjtemény. Analízis III. Sáfár Zoltán

Feladatgyûjtemény. Analízis III. Sáfár Zoltán Feladatgyûjtemény Analízis III. Sáfár Zoltán NyME-SEK 20 Tartalomjegyzék. Számsorozatok számsorok 2. Differenciálszámítás 5 2.. L Hospital-szabály............................... 7 3. Függvénysorok Taylor-polinom

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben. Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7

Részletesebben

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód: Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat

Részletesebben

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés) Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt

Részletesebben

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben

Hatványsorok, Fourier sorok

Hatványsorok, Fourier sorok a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza, n változós függvényeknek nevezzük. TÖ Példák:.

Részletesebben

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 7 VII VEkTORANALÍZIS 1 ELmÉLETI ALAPOk Az u függvényt skalár-vektor függvénynek nevezzük, ha értelmezési tartománya a háromdimenziós tér vektorainak halmaza, a függvényértékek

Részletesebben

9. feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás)

9. feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás) Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás) 1 Számoljuk ki a következő függvények parciális deriváltjait

Részletesebben