(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1

Átírás

1 Komlex analízis Komlex hatványsorok c n (z z 0 ) n ; R = lim n c n, R = (!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+ c n n=0. Van-e olyan komlex hatványsor, melynek a) üres a konvergenciatartománya, b) minden komlex szám a konvergenciatartományában van, c) egy elem a konvergenciatartománya, d) i a közéontja és i + benne van a konvergenciatartományában, de i nem? MO.: a) nincs, z = z 0 helyettesítéssel: c n (z 0 z 0 ) n = 0 = 0. b) n= n= n= n n (z ) n esetén R =. c) n n (z ) n esetén R = 0. d) Nincs, mert a konvergenciakörében minden ontban konvergens egy sor és mivel n= i (i + ) = R, ezért i (i ) = < R miatt i a körben van. Komlex elemi függvények e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ (ϕ R), sin z = eiz e iz, cos z = eiz + e iz, sh z = ez e z, ch z = ez + e z i. Milyen z C-re lesz sin z tiszta kézetes? MO.: sin z = sin(x + iy) = i ex e iy i e x e iy = i ex (cos y + i sin y) + i e x (cos y i sin y) = i ( ex cos y + e x cos y ) + ex sin y + e x sin y. 0 = Re(sin z) = sin y ( ex + e x) y = k, k Z.. Mik a z sh z komlex függvény zérushelyei? e z e z MO.: = 0, w = e z, w = w, w =, w = ±, e z = = e 0, z = ik, k Z, e z = = e i, z = i + ik, k Z, azaz z = ik, k Z. Dierenciálhatóság f diható z 0 C-ben, ha f(z) f(z 0 ) lim = f (z 0 ) C z z 0 z z 0 Dihatóság jellemzése komonensfüggvényekkel: { x u(x 0, y 0 ) = y v(x 0, y 0 ) f = u + iv di.-ható x 0 + iy 0 -ban y u(x 0, y 0 ) = x v(x 0, y 0 ) u, v valósan di.-ható (x 0, y 0 )-ban u harmonikus, ha xxu + yyu = 0, v harmonikus társa u-nak, ha f = u + iv reguláris.. Milyen n ozitív egész értékre deriválható az f(z) = z z n komlex függvény a z 0 = 0-ban? z z n 0 MO.: n > -re: = z zn = z z 0 z z zn 0 mert z/z =, ha z nem nulla, azaz korlátos és z n 0, ha z 0. n = -re z = x + iy = x iy nem deriválható sehol a CauchyRiemann-egyenletek miatt, amik: =, 0 = 0.

2 . Milyen c valós számra harmonikus az u(x, y) = x y c +, amikor harmonikus, mi a harmonikus társa? MO.: xxu + yyu = (c + )c y c = 0. Minden y-ra teljesülnie kell, ezért csak a c = 0 jöhet szóba, és valóban: c = ±-re u(x, y) = x y harmonikus. Ennek harmonikus társa v = xy. 3. Adja meg az összes f = u + iv reguláris függvényt, melyre u = u(x) csak x-t l függ, v = v(y) csak y-tól függ! MO.: A CR-egyenletek: u(x) x = v y(y) u(x) y = 0 = v(y) x Az els b l: u(x) = xv y(y)+c(y) (azaz a jobb oldal is legfeljebb csak az x-t l függ), de ez csak akkor teljesül minden x, y-ra, ha c(y) = c konstans és v y(y) = b konstans, azaz u(x) = xb + c, innen v = by + d. f = bz + w, d valós, w = c + id. 4. Adja meg az összes f = u + iv reguláris függvényt, melynek valós része u = ax + by alakú! Mi ilyenkor a kézetes része? MO.: Érdemes megnézni, hogy mikor lesz harmonikus: xxu(x, y) + yyu(x, y) = a + b = 0 azaz ha a = b, vagyis u = ax ay. Ekkor a kézetes része a CR-egyenletekb l: Innen v = axy + c, f(z) = az + ci. x v = y u = ay v = axy + C (y) y v = x u = ax v = axy + C (x) 5. Írja fel az f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) = e xy sh (x y) + iarctg(y + sin x) függvényre a CauchyRiemannegyenleteket! MO.: u x = y e xy sh (x y) + e xy ch (x y)xy = (y + sin x) + = v y u y = xye xy sh (x y) + e xy ch (x y)x cos x = (y + sin x) + = v x Komlex integrál kiszámítási formulája f : C C folytonos, : [t, t ] C; t z(t) folytonos, véges sok hely kivételével folytonosan dierenciálható: f = t t=t f(z(t)) ż(t)dt. Legyen f = u + iv tetsz leges reguláris függvény és : z(t) = i( + t), 0 t. Írja fel az f integrált algebrai alakban (nem kell és nem is lehet kiszámítani)! MO.: z(t) komonensfüggvényei: x(t) = 0, y(t) = + t, mert z(t) = x(t) + iy(t) = 0 + i( + t), deriváltja: ż(t) = i. f = (u(0, + t) + iv(0, + t)) idt = i u(0, + t) + iv(0, + t)dt = i u(0, + t)dt v(0, + t)dt

3 . Legyen f(z) = z és : z(t) = x(t) + iy(t), 0 t tetsz leges egyszer görbe. Írja fel az f integrált algebrai alakban (nem kell és nem is lehet kiszámítani)! u(x, y) = x, v(x, y) = y, mert f(x + iy) = x + iy. f = (x(t) + iy(t)) (ẋ(t) + iẏ(t))dt = x(t)ẋ(t) y(t)ẏ(t) + i(x(t)ẏ(t) + ẋ(t)y(t))dt = 3. Számítsa ki az f(z) = (z) = x(t)ẋ(t) y(t)ẏ(t) + i x(t)ẏ(t) + ẋ(t)y(t)dt integrálját az origó közéontú egység sugarú, ozitívan irányított kör mentén! z(t) = e it, 0 t, ż(t) = ie it, e it = e it K f = (e it ) ie it dt = (e it ) ie it dt = i ie 3it dt = i 3 [e3it ] 0 = 0 Cauchy-tétel, Cauchy-formulák Cauchy-tétel. Ha a T korlátos és zárt tartomány olyan, hogy a ereme az egyszer, zárt (a tartományhoz komatibilisen irányított ) Γ görbe és az f függvény reguláris a T -n, akkor f = 0 Γ Az n-edik deriváltra vonatkozó Cauchy-formulák. Ha a T korlátos és zárt egyszeresen összefügg tartomány olyan, hogy a ereme az egyszer, zárt (a tartományhoz komatibilisen irányított ) Γ görbe, z 0 a T -belsejében olyan ont, amit egyszer hurkol körbe a Γ és az f függvény reguláris a T -n, akkor f(z) i dz = (z z 0 ) n+ n! f (n) (z 0 ) ahol f (n) az f függvény n-edik deriváltját jelöli. Γ. A c egész araméter mely értékeire lesz az alábbi integrál nulla? z c dz z = z = MO.: c > 0-ra z -nak a körön belül egyetlen szingularitása van, ezért a Cauchy-formula szerint n + = c-vel: c { z c dz = i 0, c > (c )! (c ) (0) =, c = Ha c <, akkor z c reguláris és ezért a Cauchy-tétel miatt az integrál nulla. Tehát c esetén nulla az integrál.. A 0 < R < ill. < R esetén milyen R-re lesz az alábbi integrál nulla? z dz z+ =R MO.: < R-ra z -nak a körön belül egyetlen szingularitása van, ezért a Cauchy-formula szerint n + = -gyel: i dz = z 0! (0) (0) = i. z+ =R

4 Ha 0 < R <, akkor z reguláris a z + = R egyenlet körön belül és ezért a Cauchy-tétel miatt az integrál nulla. Tehát 0 < R < esetén nulla az integrál. 3. A komlex síkon A, B, C három olyan ont, melyekre a reguláris f : C C függvény olyan, hogy f = i +, AB f = 4i és az ABC háromszögvonal ilyen sorrendben ozitívan irányított görbét alkot. Mennyi f értéke? AC MO.: f reguláris, az ABC háromszög kerülete edig zárt, ezért a Cauchy-tétel miatt ezt rendezve: f = f f = f f = 4i i = i 3. BC Diegyenletek CA AB AC AB Diegyenlet Lalace-transzformációval L(y )() = Y y(0) y (0), L(y )() = Y y(0), L(t n e at n! )() = ( a), L(sin(bt))() = n+ +b AB f + BC BC f + CA f = 0, b +b, L(cos(bt))() =. Oldja meg az y 5y 6y = e t egyenletet az y (0) = 0, y(0) = 0 kezdeti feltétel mellett! MO.: L(y ) = Y y(0) y (0), L(y ) = Y y(0). Y 5Y 6Y = Y = ( )( + )( 6) A/( ) + B/( + ) + C/( 6) alakban keressük a megoldást (van három szimla gyöktényez ). Közös nevez re hozva: A(+)( 6) +B( )( 6) +C( )(+). Innen A(+)( 6) +B( )( 6) +C( )(+) =. A nevez gyökeit: =, = +, = 6 behelyettesítve ebbe: I. B = /4, II. A = /0, III. C = /35, így y(t) = 0 et + 4 e t + 35 e6t.. Oldja meg az y + 6y + 9y = 4e t egyenletet az y(0) =, y (0) = 0 kezdeti feltétel mellett! MO.: Y + 6Y 6 + 9Y = 4 + y( ) = y = + 6 ( + 3) + 4 ( + )( + 3) y = ( + )( + 3) A/(+)+B/(+3)+C/(+3) alakban keressük a megoldást (van egy szimla és egy dula gyöktényez ). Közös nevez re hozva: A(+3) +B(+3)(+)+C(+)/(+)(+3). Innen A(+3) +B(+3)(+)+C(+) = ( + 4) gyökmódszerrel: =, = 3, = (ez utóbbi tetsz leges). És I. A = 4, II. C =, III. 4A + B + C = 9, azaz 6 + B = 9, B = 3. És így 4/( + ) 3/( + 3) /( + 3) a arc tört. Eszerint y(t) = 4e t 3e 3t te 3t. 3. Oldja meg az y + 9y = cos( 8 t) egyenletet az y(0) = 0, y (0) = kezdeti feltétel mellett! MO.: Y + 9Y = +8 Y ( + 9) = + +8 Y = +9 + ( +9)( +8). Az utolsó törtet kell arciális

5 törtekre bontani, ezt érdemes a tanult ügyes módszerrel (de lehet az x = ): ( ( + 9)( + 8) = + 8 ) + 9 Innen felírva a Lalace-táblázatban szerel függvények alakjában: Y () = (x+9)(x+8) -nek az A,B-s felbontásával is, ahol + 9 y(t) = 3 sin(3t) + cos( 8 t) cos(3t) 4. Oldja meg az y + y = sin t egyenletet az y(0) = kezdeti feltétel mellett! MO.: Y + Y = + Y ( + ) = + + Y = + + kell bontani, a másodikat l. gyökmódszerrel: (+)( +). A törteket arciális törtekre ( + )( + ) = A + + B + C + = A( + ) + (B + C)( + ) ( + )( + ) gyökök:, i, i. = : = A( + ); A = 5 = i : = (i + )(ib + C) = i : = ( i + )( ib + C) Az utolsó kett t összeszorozva: 5(B + C ) =, ez jól jön majd. Az egyikb l a C-t kiküszöbölve: C = i+ ib, = ( i+)( ib + i+ ), i+ i i+ = ib, 5 = ib, azaz B = 5. C = 5 5 = 5 és azért ozitív, mert ez tesz eleget az egyenleteknek. Innen felírva a Lalace-táblázatban szerel függvények alakjában: Y () = y(t) = e t + 5 e t + 5 sin t 5 cos t = 5 e t + 5 sin t 5 cos t 5. Oldja meg az y + 4y = t egyenletet az y(0) =, y (0) = kezdeti feltétel mellett! MO.: Y + 4Y = Y ( + 4) = + + Y = kell arciális törtekre bontani: ( + 4) = ( 4 ) + 4 Innen felírva a Lalace-táblázatban szerel függvények alakjában: Y () = = ( +4). Az utlsó törtet y(t) = cos t + 4 sin t + t Egzakt és lineáris diegyenlet. A a és b valós araméterek mely értékére lesz az 3xy + 5y + 6x + (ax y + bx + 7y)y = 0 egyenlet egzakt? MO.: y (3xy + 5y + 6x) = 6xy + 5, x (ax y + bx + 7y) = axy + b, tehát a = 3 és b = 5.. Milyen alakban kell keresni az y + 4y + 4y = 4e x egyenletet egy inhomogén artikuláris megoldását? MO.: Ez egy állandó együtthatós lineáris dierenciálegyenlet, ezért a karakterisztikus olinom gyökei szerint a táblázatból keressük ki a homogén megoldását és hogy az inhomogén artikulárist milyen alakban kell keresnünk.

6 A homogén egyenlet karakterisztikus egyenlete: λ + 4λ + 4 = 0, ennek két egybees valós gyöke: λ =, így a homogém általános megoldás: C e x + C xe x, de az inhomogén tag 4e x (azaz bels és küls rezonancia is van), ezért a artikuláris megoldást Ax e x alakban keressük. 3. Írja fel az x y y = egyenlet megoldását y H +y P alakban, ahol y H a homogén egyenlet általános megoldása, y P edig az inhomogén egyenlet egy arikuláris megoldása! MO.: Ez egy függvényegyütthatós lineáris, szearálással: (y ) dy = x dx ln y = C x y H = ce x +, azaz y H = ce x, yp = + (a zh-ra tanult módon). Valszám Kolmogorov-axiómák és következményeik Ω halmaz az eseménytér és ennek A Ω részhalmazai az események (egy olyan részhalmazcsalád, melyben az Ω-ra, mint alahalmazra vonatkozó A komlementer is benne van, ha A benne van és i =,,... -re az A i -k úniója (összege) is benne van, ha az A i -k is benne vannak).. 0 P (A),. P ( ) = 0, P (Ω) = 3. P (A + B) = P (A) + P (B), ha A és B kizárják egymást, azaz A B = (egymást kizáró események összeadási szabálya) 4. def.: A, B függetlenek, ha P (AB) = P (A)P (B) (független események szorzási szabálya) 5. logikai szita: P (A + B) = P (A) + P (B) P (AB) 6. P (A) = P (A) (komlementer esemény kivonási szabálya) Folytonos valószín ségi változó Az X folytonos valószín ségi változó (kumulatív) eloszlásfüggvénye az F X : R R, ha F X (x) = P (X < x). Ennek tulajdonságai: lim F = 0, X lim F =, X + F X monoton n és alulról félig folytonos, tehát ha x 0 -ban ugrása van, akkor F X (x 0 ) = lim F, x0+ X P (a < X < b) = P (X < b) P (X < a) = F X (b) F X (a). Ha X folytonos valószín ségi változó és ennek F X eloszlásfüggvénye majdnem mindenhol deriválható, akkor f X x az X s r ségfüggvénye, ha F X (x) = f X (azaz f X olyan, aminek F X a -ben elt n integrálfüggvénye). Ennek tulajdonságai: f X =, f X 0, b f X a = P (a < X < b), F (x) = f (x) majdnem mindenhol. X X Ha X folytonos valószín ségi változó és ennek f X s r ségfüggvénye, akkor X várható értéke: M X = xf X (x)dx. Legyen az alábbi F X az X valószín ségi változó folytonos eloszlásfüggvénye: 0 x < F X (x) = A + B (x + ) x 0., 0 x

7 a) Adja meg A, B értékét! b) Mi X s r ségfüggvénye és várható értéke? c) Mi a P ( < X < ) valószín ség értéke? MO.: a) F X a [, 0]-n balról 0, jobbról, ezért ezeket behelyettesítve: A + B( + ) = 0, azaz A = 0, és B(0 + ) =, azaz B =. b) f X (x) = F X (x), ahol ez értelmes, azaz l.: 0 x < f X (x) = (x + ) x 0. 0, 0 x M X = xf X (x)dx = c) P ( < X < ) = F X () F X ( ) vagy P ( < X < ) = 0 =. 0 x(x + )dx = [ x3 3 + x ] 0 = 3.. Legyen az alábbi f X az X valószín ségi változó s r ségfüggvénye: 0 x < A f X (x) = 4(x + A) 3 A x 0. 0, 0 x a) Adja meg A értékét! b) Mi X eloszlásfüggvénye és várható értéke? c) Mi a P ( < X < 3 ) valószín ség értéke? MO.: a) = f X = 0 A 0 f X. Innen P ( < X < ) = F X () F X ( ) = 4(x + A) 3 dx = [ (x + A) 4] 0 A = A4 azaz A = (hiszen A a A x 0 feltétel miatt ozitív). b) f X (x) = F X (x), ahol ez értelmes, ezért az f X függvény -ben elt n integrálfüggénye F X : 0 x < F X (x) = (x + ) 4 x 0., 0 x M X = xf X (x)dx = 0 4x(x + ) 3 dx = 0 4x 4 + x 3 + x + 4xdx = 5. c) P ( < X < 3 ) = F X( 3 ) F X( ) vagy P ( < X < 3 ) = 3 f X. Innen P ( < X < ) = F X () F X ( ) = ( 3 + )4 ( 3 + )4 = ( 3) 4 ( ) 4. Vagy P ( 3 < X < 3 ) = f X = 3 4(x + ) 3 dx = ( ) Legyen az alábbi F X az X valószín ségi változó folytonos eloszlásfüggvénye: 0 x < F X (x) = A + B sin x x., x ( ) 4

8 a) Adja meg A és B értékét! b) Mi X s r ségfüggvénye és várható értéke? c) Mi a P ( 4 < X < 4 ) valószín ség értéke? d) Mi az Y = X + valószín ségi változónak az eloszlásfüggvénye? MO.: a) A folytonosságból következik, hogy 0 = A + B sin = A + B( ), = A + B sin A = B =. b) f X (x) = F X (x), ahol ez értelmes, l.: 0 x < f X (x) = cos x x. 0, x = A + B, innen M X = xf X (x)dx = [ x cos xdx = x sin x + ] cos x c) P ( 4 < X < 4 ) = F X( 4 ) F X( 4 ) = 3. d) F Y (y) = P (Y < y) = P (X + < y) = P (X < y ) = F X( y ): 0 y < 0 y < 0 F Y (y) = + sin( y ) y =, y + sin( y ) 0 y, y = 0