Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz
|
|
- Elek Kovács
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek a halmaza az eseménytér. Jele:. Deníció. Eseményeknek nevezzük a kísérlet aktuális kimeneteléhez kapcsolódó állításokat. Azt mondjuk, hogy egy esemény bekövetkezik, ha a kísérlet aktuális végrehajtásakor olyan kimenetelt kapunk, melyre ez az állítás igaz. Egy adott kísérlet esetén a hozzá kapcsolódó összes esemény halmazát eseményalgebrának nevezzük. Jele: A. Két nevezetes esemény: Egy eseményt biztos eseménynek nevezük, ha a kísérlet minden lehetséges kimenetele esetén bekövetkezik. Egy eseményt lehetetlen eseménynek nevezük, ha a kísérletnek nincs olyan kimenetele, melyre ez az esemény bekövetkezne. Deníció. Legyen A 1, A 2,... eseményeknek véges vagy végtelen sorozata. Azt mondjuk, hogy ezek az események páronként kizáróak avagy páronként diszjunktak, ha bármely kett t kiválasztva azoknak üres a metszete. A kizáró események közül legfeljebb egy következhet be egyszerre, hiszen nincs olyan kimenetel, melyet két vagy több esemény is tartalmazna. Deníció. Azt mondjuk, hogy a B esemény maga után vonja az A eseményt, ha B A, tehát B minden eleme az A halmaznak is eleme. Ez azt jelenti, hogy ha a B esemény bekövetkezik, akkor az A esemény is feltétlenül bekövetkezik. Deníció. Azt mondjuk, hogy egy P : A [0, 1] függvény valószín ség vagy valószín ségi mérték az eseményalgebrán, ha teljesíti az alábbi két tulajdonságot: A biztos esemény valószín sége P ( = 1. Additivitás: Ha A 1, A 2,... páronként kizáró eseményeknek egy véges vagy végtelen sorozata, akkor az egyesítésük valószín sége P (A 1 A 2 = P (A 1 + P (A 2 + A 1 A 2 A 3 Tehát a valószín ségi mérték egy olyan függvény, mely az eseményekhez 0 és 1 közötti számokat rendel hozzá. Az A eseményhez rendelt P (A értéket úgy nevezzük, hogy az A valószín sége. Deníció. Az (, A, P hármast valószín ségi mez nek hívjuk. A véletlen kísérleteket mindig egy megfelel en konstruált valószín ségi mez vel írjuk le. Az alaphalmaz a kísérlet kimeneteleinek a halmaza (eseménytér, a A eseményalgebra a vizsgált események rendszere, és végül a P függvény mondja meg az egyes események valószín ségét. 1
2 Tétel. A valószín ség általános tulajdonságai: A lehetetlen esemény valószín sége: P ( = 0. A komplementer esemény valószín sége: P (A = 1 P (A. Kivonási szabály: tetsz leges A és B esemény mellett P (A\B = P (A P (A B. Speciálisan, ha B maga után vonja az A eseményt, akkor P (A\B = P (A P (B. Monotonitás: ha B maga után vonja az A eseményt, akkor P (B P (A. A Komplementer esemény A B Kivonási szabály A B Monotonitás Szubadditivitás: Ha A 1, A 2,... tetsz leges eseményeknek egy véges vagy végtelen sorozata, akkor P (A 1 A 2 P (A 1 + P (A 2 + Két esemény uniójának a valószín sége: tetsz leges A és B esemény mellett P (A B = P (A + P (B P (A B. Három esemény uniójának a valószín sége: tetsz leges A, B és C esemény mellett P (A B C = P (A+P (B+P (C P (A B P (A C P (B C+P (A B C A 1 A 3 A B A 2 A 4 Szubadditivitás A B Két esemény uniója C Három esemény uniója Poincaré-formula avagy szitaformula: tetsz leges A 1,..., A n események mellett P (A 1 A n = n ( 1 k+1 P (A i1 A ik k=1 1 i 1 < <i k n különböz egészek 2
3 A Poincaré-formula részletesebben: P (A 1 A n = P (A P (A n ketteses metszetek valószín sége + hármas metszetek valószín sége négyes metszetek valószín sége. ± P (A 1 A n Diszkrét és geometriai valószín ségi mez k Tétel. Egy n elem halmaz elemeit n! módon lehet sorbaállítani. Ezeket a sorbaállításokat nevezzük a halmaz permutációinak. Ha egy n elem halmazból visszatevéssel kiválasztunk k elemet, akkor a kiválasztás sorrendejét is gyelembe véve n k különböz kiválasztást kaphatunk. Ezeket a kiválasztásokat nevezzük variációknak. Ha egy n elem halmazból visszatevés ( nélkül kiválasztunk k elemet, akkor a kiválasztás n sorrendejét gyelmen kívül hagyva k különböz kiválasztást kaphatunk. Ezeket a kiválasztásokat nevezzük kombinációknak. Deníció. Azt mondjuk, hogy egy (, A, P valószín ségi mez diszkrét valószín ségi mez, ha = {ω 1, ω 2,... }, tehát a kísérlet lehetséges kimenetelei egy véges vagy végtelen sorozatot alkotnak. Deníció. Azt mondjuk, hogy egy (, A, P valószín ségi mez klasszikus valószín ségi mez, ha az eseménytérnek csak véges sok eleme van van, és minden kimenetelnek azonos a valószín sége. Tétel. Klasszikus valószín ségi mez n egy tetsz leges A esemény valószín sége P (A = A = kedvez kimenetelek száma összes kimenetel száma Deníció. Azt mondjuk, hogy egy (, A, P valószín ségi mez geometriai valószín ségi mez, ha rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal: Az eseménytér egy olyan geometriai alakzat, melynek a mértéke: 0 < µ( <. Egyenletességi hipotézis: Az események valószín sége egyenesen arányos az események mértékével. Tehát, minden A eseményre P (A = µ(a µ( = kedvez hosszúság/terület/térfogat összes hosszúság/terület/térfogat. 3
4 Feltételes valószín ség és események függetlensége Deníció. Tegyük fel, hogy P (B > 0. Ekkor az A eseménynek a B eseményre vett feltételes valószín sége P (A B = P (A B/P (B. A feltételes valószín ség megmutatja, hogy mennyi az A esemény valószín sége, ha tudjuk, hogy a B esemény bekövetkezik. Tétel. Legyen B pozitív valószín ség esemény. Ekkor a B eseményre vett feltételes valószín ség valószín ségi mérték. Ebb l következik, hogy a feltételes valószín ségre teljesülnek a valószín ség általános tulajdonságai. Tétel (Láncszabály. Legyen A 1,..., A n olyan esemény, melyre P (A 1 A n > 0. Ekkor P ( A 1 A n = P (A1 P ( A 2 A 1 P ( A3 A 1 A 2 P ( An A 1 A n 1. Tétel (Bayes-formula. Legyen A és B pozitív valószín ségi esemény. Ekkor P (B A = P (A BP (B P (A Deníció. Azt mondjuk, hogy a B 1,..., B n események teljes eseményrendszert alkotnak, ha teljesítik az alábbi tulajdonságokat: páronként kizáróak, tehát tetsz leges i j esetén B i B j = ; együttesen lefedik az eseményteret, tehát B 1 B n = ; mindegyik eseménynek pozitív a valószín sége. Tétel (Teljes valószín ség tétele. Legyen B 1,..., B n teljes eseményrendszer, és tekintsünk egy tetsz leges A eseményt. Ekkor n P (A = P (A B i P (B i = P (A B 1 P (B P (A B n P (B n. i=1 Deníció. Legyen A és B két tetsz leges esemény. Azt mondjuk, hogy a két esemény független egymástól, ha P (A B = P (AP (B. Tétel (A függetlenség ekvivalens deníciói. Ha A és B pozitív valószín ség események, akkor az alábbiak ekvivalensek: A és B független egymástól. P (A B = P (A. P (B A = P (B. Deníció. Legyen A 1, A 2,... eseményeknek egy véges vagy végtelen sorozata. Azt mondjuk, hogy ezek az események (teljesen függetlenek, ha közülük tetsz leges sok és különböz A i1,..., A in eseményt kiválasztva P (A i1 A in = P (A i1 P (A in.. 4
5 Valószín ségi változók Deníció. Egy ξ valószín ségi változó diszkrét, ha az értékkészlete egy véges vagy végtelen sorozat: R ξ = {x 1, x 2,... }. Egy ξ diszkrét valószín ségi változó eloszlása vagy valószín ségeloszlása az értékek valószín ségei: p xk = P (ξ = x k, x k R ξ. Egy diszkrét eloszlás várható értéke: E(ξ = x R ξ xp (ξ = x = x 1 P (ξ = x 1 + x 2 P (ξ = x 2 + Tétel (A valószín ségeloszlások tulajdonságai. Egy p 0, p 1,... sorozatot pontosan akkor egy valószín ségi változó eloszlása, ha teljesül az alábbi két feltétel: a sorozat elemei nemnegatívak, tehát p n 0 minden n esetén; a sorozat elemeinek az összege 1, tehát p 0 + p 1 + = 1. Deníció. Egy ξ valószín ségi változó folytonos eloszlású, ha létezik olyan f ξ : R R függvény, hogy tetsz leges a b valós számok esetén P (a ξ b = b a f ξ (x dx. Ekkor az f ξ függvényt a ξ változó s r ségfüggvényének nevezzük, és a változó várható értéke E(ξ = xf ξ (x dx. Tétel (A s r ségfüggvények tulajdonságai. Egy f : R R függvény pontosan akkor egy ξ folytonos valószín ségi változó s r ségfüggvénye, ha teljesíti az alábbi két feltételt: f(x 0 minden x valós szám esetén; f(xdx = 1, tehát a függvény görbéje alatti teljes terület 1. Deníció. Legyen ξ olyan valószín ségi változó, melynek véges a várható értéke. Ekkor a ξ változó varianciája vagy szórásnégyzete ( [ξ ] Var(ξ = D 2 2 (ξ = E E(ξ A változó szórása a variancia négyzetgyöke: D(ξ = Var(ξ. A szórás azt mutatja meg, hogy mennyi a változónak a várható értékt l való átlagos eltérése. Az E(ξ 2 várható értéket a ξ második momentumának nevezzük. Tétel (A variancia meghatározása. Ha ξ olyan változó, melynek véges a várható értéke, akkor Var(ξ = E(ξ 2 (E(ξ 2. 5
6 Tétel. Legyen ξ diszkrét vagy folytonos valószín ségi változó, és legyen h : R R egy tetsz leges függvény. Ekkor a h(ξ transzformált változó várható értéke az alábbi módon határozható meg: Ha ξ diszkrét, akkor E ( h(ξ = xp (ξ = x = h(x 1 P (ξ = x 1 + h(x 2 P (ξ = x 2 + x R ξ Például h(x = x 2 esetén E(ξ 2 = x R ξ x 2 P (ξ = x. Ha ξ folytonos, és f ξ a s r ségfüggvénye, akkor E ( h(ξ = h(xf ξ (x dx, Például h(x = x 2 esetén E(ξ 2 = x2 f ξ (xdx. Deníció. Egy ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye egy F ξ : R [0, 1] függvény, mely a következ formulával van deniálva: F ξ (t = P (ξ < t, t R. Tetsz leges t valós szám esetén az F ξ (t érték azt mutatja meg, hogy a ξ változó mekkora valószín séggel esik a a számegyenesen a t-t l balra, tehát a (, t intervallumba. Tétel (Az eloszlásfüggvények általános tulajdonságai. Egy F : R [0, 1] függvény pontosan akkor eloszlásfüggvény, ha teljesülnek az alábbi tulajdonságok: F monoton növekv ; lim t F (t = 0 és lim t F (t = 1; F mindenhol balról folytonos. Tétel. Legyen ξ tetsz leges valószín ségi változó, és legyen F ξ az eloszlásfüggvénye. Tetsz leges a < b + számok esetén P ( a ξ < b = F ξ (b F ξ (a. Tetsz leges a valós szám esetén az F ξ függvény pontosan akkorát ugrik az a pontban, mint amekkora a P (ξ = a valószín ség. A várható érték, a szórás és a kovariancia tulajdonságai Deníció. Legyen ξ és η olyan valószín ségi változó, melynek véges a szórása. Ekkor a két változó kovarianciája: ( [ξ ][ ] Cov(ξ, η = E E(ξ η E(η A két változó korrelációja avagy korrelációs együtthatója: corr(ξ, η = Cov(ξ, η D(ξD(η Ha corr(ξ, η = 0, akkor azt mondjuk, hogy a két változó korrelálatlan. 6
7 Tétel (A várható érték és a szórás tulajdonságai. Legyen ξ tetsz leges valószín ségi változó, és legyen a valós szám. Konstans várható értéke: Ha P (ξ = a = 1, akkor E(ξ = a. Egy ξ valószín ségi változónak pontosan akkor 0 a szórása, ha a változó konstans, tehát P (ξ = a = 1 valamilyen a valós számra. Ekkor a = E(ξ. Konstansszoros: E(aξ = ae(ξ és D(aξ = a D(ξ. Tétel. Legyen ξ 1,..., ξ m, η tetsz leges valószín ségi változó, és tekintsünk a 1,..., a m, b valós számokat. Ekkor teljesülnek az alábbi azonosságok. A változók összegének a várható értéke: E ( a 1 ξ a m ξ m = a1 E(ξ a m E(ξ m. A változók összegének a varianciája: ha ξ 1,..., ξ m független, akkor D 2( a 1 ξ a m ξ m = a 2 1 D 2 (ξ a 2 md 2 (ξ m. Két változó összegének a varianciája a nem független esetben: D 2( aξ + bη = a 2 D 2 (ξ + b 2 D 2 (η + 2abD(ξD(ηcorr(ξ, η. Tétel (A kovariancia és a korreláció fontosabb tulajdonságai. Legyen ξ és η olyan valószín ségi változó, melynek véges a szórása. A kovariancia és a korreláció szimmetrikus a két változóban, tehát Cov(ξ, η = Cov(η, ξ és corr(ξ, η = corr(η, ξ. Egy változónak az önmagával vett kovarianciája: Cov(ξ, ξ = Var(ξ. A kovariancia az alábbi formulával határozható meg kényelmesen: Cov(ξ, η = E(ξη E(ξE(η A korrelációs együttható értéke mindig a [ 1, 1] intervallumba esik. Ha a ξ és az η változó független, akkor ez a két változó korrelálatlan is, tehát corr(ξ, η = 0. Ennek az állításnak a megfordítása nem igaz, tehát a korrelálatlanságból általában még nem következik a függetlenség. 7
8 A valószín ségszámítás fontosabb tételei Deníció. A µ = 0 várható érték és σ = 1 szórású normális eloszlást standard normális eloszlásnak nevezzük. A standard normális eloszlás s r ségfüggvénye és eloszlásfüggvénye: ϕ(x = 1 t e x2 /2, Φ(t = ϕ(x dx. 2π Tétel. Legyen η normális eloszlású valószín ségi változó µ várható értékkel és σ szórással. Ekkor teljesülnek a következ tulajdonságok: (Standardizálás. Az (η µ/σ változó standard normális eloszlást követ. (2σ-szabály. P ( µ 2σ η µ + 2σ 95% Tétel (de MoivreLaplace-tétel. Legyen ξ binomiális eloszlású változó n és p paraméterrel, továbbá legyen η normális eloszlású változó µ = np és σ = np(1 p paraméterrel. Ekkor tetsz leges a és b számok esetén P ( a ξ b P ( a η b, és a közelítés annál pontosabb, minál nagyobb az n paraméter értéke. Tétel (Centrális határeloszlás-tétel (CHT. Legyen ξ 1,..., ξ n független és azonos eloszlású változó véges szórással, és legyen η normális eloszlású változó µ = ne(ξ 1 és σ = nd(ξ 1 paraméterrel. Ekkor tetsz leges a < b valós számok esetén P ( a ξ ξ n b P ( a η b, és a közelítés annál pontosabb, minél nagyobb az n értéke. Tétel (A nagy számok Kolmogorov-féle törvénye. Legyen ξ 1, ξ 2,... független és azonos eloszlású valószín ségi változó véges várható értékkel. Ekkor ξ ξ n n E(ξ 1, n, tehát a változók számtani átlaga konvergál a közös várható értékhez. Tétel (A nagy számok Borel-féle törvénye. Legyen A egy tetsz leges esemény, és jelölje k n (A az A bekövetkezési gyakoriságát n végrehajtás után. Ekkor k n (A/n P (A amint n, tehát a relatív gyakoriság konvergál az esemény valószín ségéhez. 8
Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz 1. dolgozat Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet
RészletesebbenKészítette: Fegyverneki Sándor
VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Definiálja az alábbi fogalmakat!. Egy eseménynek egy másik eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége. ( pont) Az A esemény feltételes valószínűsége
RészletesebbenGazdasági matematika II. tanmenet
Gazdasági matematika II. tanmenet Mádi-Nagy Gergely A hivatkozásokban az alábbi tankönyvekre utalunk: T: Tóth Irén (szerk.): Operációkutatás I., Nemzeti Tankönyvkiadó 1987. Cs: Csernyák László (szerk.):
RészletesebbenEseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.
Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.
RészletesebbenBiostatisztika. Sz cs Gábor. 2018/19 tavaszi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet
Biostatisztika Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet 2018/19 tavaszi félév Bevezetés Tudnivalók, követelmények Tudnivalók, követelmények Félév tematikája: Értékelés: Valószín ségszámítás
Részletesebben4. Az A és B események egymást kizáró eseményeknek vagy idegen (diszjunkt)eseményeknek nevezzük, ha AB=O
1. Mit nevezünk elemi eseménynek és eseménytérnek? A kísérlet lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük. Az adott kísélethez tartozó elemi események halmazát eseménytérnek nevezzük, jele: X 2.
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika
Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu 2016/2017. tavaszi félév Bevezetés Célok: véletlen folyamatok modellezése; kísérletekb l, felmérésekb
Részletesebbenx, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel:
Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Valószínűségi változó általános fogalma: A : R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha : ( ) x, x R, x rögzített esetén esemény.
RészletesebbenVéletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.
Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza
RészletesebbenStatisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1
Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában
RészletesebbenAbszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t
RészletesebbenValószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika
Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@math.elte.hu fogadóóra: szerda 10-11 és 13-14, D 3-415 2018/2019. tavaszi félév Bevezetés A valószín ségszámítás
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.
RészletesebbenValószínűségszámítás
Valószínűségszámítás Pap Gyula Szegedi Tudományegyetem 2010/2011 tanév, II. félév Pap Gyula (SZE) Valószínűségszámítás 2010/2011 tanév, II. félév 1 / 122 Ajánlott irodalom: RÉNYI ALFRÉD Valószínűségszámítás
Részletesebbene (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:
Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye:
RészletesebbenJármőtervezés és vizsgálat I. VALÓSZÍNŐSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPFOGALMAK Dr. Márialigeti János
BUDAPESTI MŐSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI KAR JÁRMŐELEMEK ÉS HAJTÁSOK TANSZÉK Jármőtervezés és vizsgálat I. VALÓSZÍNŐSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPFOGALMAK Dr. Márialigeti János Budapest 2008
RészletesebbenBiomatematika 2 Orvosi biometria
Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.13. Populáció és minta jellemző adatai Hibaszámítás Valószínűség 1 Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza)
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak
RészletesebbenA valószínűségszámítás elemei
A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
Részletesebben1. Kombinatorikai bevezetés
1. Kombinatorikai bevezetés 1.1. Permutációk Adott n különböző elem ismétlés nélküli permutációján az elemek egy meghatározott sorrendjét értjük. Az n különböző elem összes permutációinak számát P n -nel
RészletesebbenBiometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás
SZDT-01 p. 1/23 Biometria az orvosi gyakorlatban Számítógépes döntéstámogatás Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Gyakorlat SZDT-01 p.
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 9. Együttes eloszlás, kovarianca, nevezetes eloszlások Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés, definíciók Együttes eloszlás Függetlenség
RészletesebbenValószínűségszámítás összefoglaló
Statisztikai módszerek BMEGEVGAT Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
RészletesebbenMatematika III. Nagy Károly 2011
Matematika III előadások összefoglalója (Levelezős hallgatók számára) Nagy Károly 20 . Kombinatorika.. Definíció. Adott n darab egymástól különböző elem. Ezeknek egy meghatározott sorrendjét az n elem
Részletesebben1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.
1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét
Részletesebbenegyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk
Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,
RészletesebbenMatematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés
Matematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés Elek Péter 1. Valószínűségi változók és eloszlások 1.1. Egyváltozós eset Ismétlés: valószínűség fogalma Valószínűségekre vonatkozó axiómák
Részletesebben2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben
1 feladatsor 1 Egy dobozban 20 fehér golyó van Egy szabályos dobókockával dobunk, majd a következ t tesszük: ha a dobott szám 1,2 vagy 3, akkor tíz golyót cserélünk ki pirosra; ha a dobott szám 4 vagy
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =
RészletesebbenA valószínűségszámítás elemei
Alapfogalmak BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA A valószínűségszámítás elemei Jelenség: minden, ami lényegében azonos feltételek mellett megismételhető, amivel kapcsolatban megfigyeléseket lehet végezni, lehet
Részletesebben1. A kísérlet naiv fogalma. melyek közül a kísérlet minden végrehajtásakor pontosan egy következik be.
IX. ESEMÉNYEK, VALÓSZÍNŰSÉG IX.1. Események, a valószínűség bevezetése 1. A kísérlet naiv fogalma. Kísérlet nek nevezzük egy olyan jelenség előidézését vagy megfigyelését, amelynek kimenetelét az általunk
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
RészletesebbenFeladatok 2. zh-ra. 1. Eseményalgebra április Feladat. Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és
Feladatok 2 zh-ra 205 április 3 Eseményalgebra Feladat Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 7, P (B) = 0, 4 és P (A B) = 0, 5 Határozza meg az A B esemény valószín ségét! P (A B) = 0, 2 2 Feladat
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett
RészletesebbenValószínűségszámítás
European Virtual Laboratory of Mathematics Project No. 2006 - SK/06/B/F/PP - 177436 Európai Virtuális Matematikai Laboratórium Árvai- Homolya Szilvia Valószínűségszámítás EVML e-könyvek Miskolc 2008 Sorozat
RészletesebbenValószín ségszámítás. Survey statisztika mesterszak és földtudomány alapszak Backhausz Ágnes 2018/2019.
Valószín ségszámítás Survey statisztika mesterszak és földtudomány alapszak Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu 2018/2019. szi félév A valószín ségszámítás kurzus céljai a statisztika megalapozása: a véletlen
RészletesebbenNagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem
agy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem A mérés mint statisztikai mintavétel A méréssel az eloszlásfüggvénnyel
Részletesebben3. Egy szabályos dobókockával háromszor dobunk egymás után. Legyen A az az esemény, hogy
Valószínűségszámítás. zárthelyi dolgozat 009. október 5.. Egy osztályba 3-an járnak. Minden fizikaórán a a többi órától függetlenül a tanár kisorsol egy felelőt, véletlenszerűen, egyenletesen, azaz mindig
RészletesebbenBackhausz Ágnes 1. Bevezetés A valószínűség elemi tulajdonságai... 5
Valószínűségszámítás Földtudomány BSc szak, 2016/2017. őszi félév Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2 2. A Kolmogorov-féle valószínűségi mező 3 2.1. Klasszikus valószínűségi
RészletesebbenVéletlen bolyongás. 2. rész. Márkus László jegyzete alapján Tóth Tamás december 10.
2. rész 2012. december 10. Határeloszlás tételek a bolyongás funkcionáljaira 1 A bolygó pont helyzete: EX i = 0, D 2 X i = EX 2 = 1 miatt i ES n = 0, D 2 S n = n, és a centrális határeloszlás tétel (CHT)
RészletesebbenGazdasági matematika II. Tantárgyi útmutató
Módszertani Intézeti Tanszék Gazdálkodási és menedzsment, pénzügy és számvitel szakok távoktatás tagozat Gazdasági matematika II. Tantárgyi útmutató 2016/17 tanév II. félév 1/6 A KURZUS ALAPADATAI Tárgy
RészletesebbenMi az adat? Az adat elemi ismeret. Az adatokból információkat
Mi az adat? Az adat elemi ismeret. Tények, fogalmak olyan megjelenési formája, amely alkalmas emberi eszközökkel történő értelmezésre, feldolgozásra, továbbításra. Az adatokból gondolkodás vagy gépi feldolgozás
RészletesebbenVillamosmérnök A4 11. hét Kétdimenziós normális eloszlás, cht - Megoldások
Villamosmérnök A 11. hét Kétdimenziós normális eloszlás, cht - Megoldások Kétdimenziós normális összefoglalás Egy kétdimenziós X, Y valószínűségi változó kovariancia mátrixa: VarX CovX, Y CovX, Y VarY
RészletesebbenBevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár. PhD kurzus. KOKI,
Bevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár PhD kurzus. KOKI, 2015.09.17. Mi a statisztika? A sokaság (a sok valami) feletti áttekintés megszerzése, a sokaságról való információszerzés eszköze.
RészletesebbenMatematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József
Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 4. : A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul
RészletesebbenTANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató
BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:
RészletesebbenMérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik
Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik Az A halmazrendszer σ-algebra az Ω alaphalmazon, ha Ω A; A A A c A; A i A, i N, i N A i A. Az A halmazrendszer
RészletesebbenKözlemény. Biostatisztika és informatika alapjai. Alapsokaság és minta
Közlemény Biostatisztika és informatika alajai. előadás: Az orvostudományban előforduló nevezetes eloszlások 6. szetember 9. Veres Dániel Statisztika és Informatika tankönyv (Herényi Levente) már kaható
RészletesebbenMiért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek
Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha
RészletesebbenTANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató
BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató 2015/2016. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:
Részletesebben(Independence, dependence, random variables)
Két valószínűségi változó együttes vizsgálata Feltételes eloszlások Két diszkrét változó együttes eloszlása a lehetséges értékpárok és a hozzájuk tartozó valószínűségek (táblázat) Példa: Egy urna 3 fehér,
RészletesebbenNyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 4. MA3-4 modul. A valószínűségi változó és jellemzői
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 4. MA3-4 modul A valószínűségi változó és jellemzői SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról
RészletesebbenMegoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ
Megoldások Harmadik fejezet gyakorlatai 3.. gyakorlat megoldása ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4;, 3 normális eloszlású P (ξ 8 ξ 5 feltételes valószínűségét (.3. alapján számoljuk.
RészletesebbenNemparaméteres próbák
Nemparaméteres próbák Budapesti Mőszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék 1111, Budapest, Mőegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-16-80 Fax: 463-30-91 http://www.vizgep.bme.hu
RészletesebbenMatematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. A várható érték és a szórás transzformációja 1. Ha egy valószínűségi változóhoz hozzáadunk ötöt, mínusz ötöt, egy b konstanst,
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen
RészletesebbenValószín ségszámítás közgazdászoknak
Valószín ségszámítás közgazdászoknak Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet 2015. szi félév Bevezetés Tudnivalók a kurzusról Tudnivalók a kurzusról Az el adás és a gyakorlat külön kreditelt,
RészletesebbenMatematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás
Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre
RészletesebbenBarczy Mátyás és Pap Gyula
Barczy Mátyás és Pap Gyula mobidiák könyvtár Barczy Mátyás és Pap Gyula mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Iván Barczy Mátyás és Pap Gyula Debreceni Egyetem Oktatási segédanyag mobidiák könyvtár
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
RészletesebbenVéletlen bolyongás. Márkus László március 17. Márkus László Véletlen bolyongás március / 31
Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 1 / 31 Véletlen bolyongás Márkus László 2015. március 17. Modell Deníció Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 2 / 31 Modell: Egy egyenesen
RészletesebbenVALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA
VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA A VALÓSZÍNŰSÉGI SZEMLÉLET ALAPOZÁSA 1-6. OSZTÁLY A biztos, a lehetetlen és a lehet, de nem biztos események megkülünböztetése Valószínűségi játékok, kísérletek események
RészletesebbenSzámsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát
RészletesebbenValószín ségszámítás közgazdászoknak
Valószín ségszámítás közgazdászoknak Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet 2018/19 szi félév Bevezetés Tudnivalók a kurzusról Tudnivalók a kurzusról Az el adás és a gyakorlat külön kreditelt,
RészletesebbenA következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.
Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ
RészletesebbenMatematika III. 5. Nevezetes valószínűség-eloszlások Prof. Dr. Závoti, József
Matematika III. 5. Nevezetes valószínűség-eloszlások Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 5. : Nevezetes valószínűség-eloszlások Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP
Részletesebbenmatematikai statisztika
Valószínűségszámítás és matematikai statisztika 2003. május 23. ii Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítás 1 1. Véletlen jelenségek matematikai modellje 3 1.1. Valószínűségi mező..............................
RészletesebbenElemi statisztika. >> =weiszd= << december 20. Szerintem nincs sok szükségünk erre... [visszajelzés esetén azt is belerakom] x x = n
Elemi statisztika >> =weiszd=
RészletesebbenMatematikai alapok és valószínőségszámítás. Normál eloszlás
Matematikai alapok és valószínőségszámítás Normál eloszlás A normál eloszlás Folytonos változók esetén az eloszlás meghatározása nehezebb, mint diszkrét változók esetén. A változó értékei nem sorolhatóak
RészletesebbenSTATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Matematikai statisztika. Mi a modell? Binomiális eloszlás sűrűségfüggvény. Binomiális eloszlás
ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE STATISZTIKA 9. Előadás Binomiális eloszlás Egyenletes eloszlás Háromszög eloszlás Normális eloszlás Standard normális eloszlás Normális eloszlás mint modell 2/62 Matematikai statisztika
RészletesebbenCHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9.
CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis Becslések, határeloszlás tételek Székely Balázs 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis 1 CHT és NSZT 2 Hoeffding-egyenlőtlenség Alkalmazása: Beengedés
RészletesebbenAz ész természetéhez tartozik, hogy a dolgokat nem mint véletleneket, hanem mint szükségszerűeket szemléli (Spinoza: Etika, II. rész, 44.
Dr. Vincze Szilvia Az ész természetéhez tartozik, hogy a dolgokat nem mint véletleneket, hanem mint szükségszerűeket szemléli (Spinoza: Etika, II. rész, 44. tétel) Környezetünkben sok olyan jelenséget
RészletesebbenHALMAZELMÉLET feladatsor 1.
HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,
RészletesebbenCentrális határeloszlás-tétel
13. fejezet Centrális határeloszlás-tétel A valószínűségszámítás legfontosabb állításai azok, amelyek független valószínűségi változók normalizált összegeire vonatkoznak. A legfontosabb ilyen tételek a
Részletesebbenmatematikai statisztika gyakorlatok feladatok és megoldások
Valószínűségszámítás és matematikai statisztika gyakorlatok feladatok és megoldások. május 6. ii Tartalomjegyzék. Valószínűségszámítási feladatok.. Függetlenség, feltételes valószínűség.......................
RészletesebbenBiomatematika 8. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János
Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 8. Valószínűség-számítás II. Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date:
RészletesebbenMatematikai statisztika szorgalmi feladatok
Matematikai statisztika szorgalmi feladatok 1. Feltételes várható érték és konvolúció 1. Legyen X és Y független és azonos eloszlású valószín ségi változó véges második momentummal. Mutassuk meg, hogy
RészletesebbenTerületi sor Kárpát medence Magyarország Nyugat-Európa
Területi sor Terület megnevezése Magyarok száma 2011.01.01. Kárpát medence 13 820 000 Magyarország 10 600 00 Nyugat-Európa 1 340 000 HIV prevalence (%) in adults in Africa, 2005 2.5 Daganatos halálozás
RészletesebbenGyakorló feladatok a Valószín ségelmélet kurzushoz
Gyakorló feladatok a Valószín ségelmélet kurzushoz 1 Mértékelméleti ismétlés 2 2 Generált σ-algebrák, függetlenség 3 3 A Kolmogorov 01 törvény és a BorelCantelli-lemmák 5 4 Folytonos eloszlások konvolúciója
RészletesebbenStatisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.
Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,
RészletesebbenOsztályozóvizsga követelményei
Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 12 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Emelt
RészletesebbenStatisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.
Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,
RészletesebbenValószín ségelmélet házi feladatok
Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott
RészletesebbenBiometria, haladó biostatisztika EA+GY biometub17vm Szerda 8:00-9:00, 9:00-11:00 Déli Tömb 0-804, Lóczy Lajos terem
Biometria, haladó biostatisztika EA+GY biometub17vm Szerda 8:00-9:00, 9:00-11:00 Déli Tömb 0-804, Lóczy Lajos terem Előadások-gyakorlatok 2018-ban (13 alkalom) IX.12, 19, 26, X. 3, 10, 17, 24, XI. 7, 14,
RészletesebbenKépfeldolgozás. 1. el adás. A képfeldolgozás m veletei. Mechatronikai mérnök szak BME, 2008
Képfeldolgozás 1. el adás. A képfeldolgozás m veletei Mechatronikai mérnök szak BME, 2008 1 / 61 Alapfogalmak transzformációk Deníció Deníció Geometriai korrekciókra akkor van szükség, ha a képr l valódi
RészletesebbenMatematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
RészletesebbenMatematikai statisztika Tómács Tibor
Matematikai statisztika Tómács Tibor Matematikai statisztika Tómács Tibor Publication date 2011 Szerzői jog 2011 Hallgatói Információs Központ Copyright 2011, Educatio Kht., Hallgatói Információs Központ
RészletesebbenMetrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
RészletesebbenBevezetés. Valószínűségszámítás 2 előadás III. alk. matematikus szak. Irodalom. Egyéb info., számonkérés. Cél. Alapfogalmak (ismétlés)
Valószínűségszámítás 2 előaás III. alk. matematikus szak 2016/2017 1. félév Zempléni Anrás Bevezetés Iroalom, követelmények A félév célja Alapfogalmak mértékelméleti alapon Kapcsolóás a val.szám. 1-hez
RészletesebbenTantárgy kódja Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2
Tantárgy neve Alkalmazott matematika II. Tantárgy kódja MT003 Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2 Számonkérés módja gyakorlati jegy Előfeltétel (tantárgyi kód) MT002 Tantárgyfelelős
Részletesebben3. Egy ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye melyik képlettel van definiálva?
. z és események függetlensége melyik összefüggéssel van definiálva? P () + P () = P ( ) = P ()P () = P ( ) = P () P () 2. z alábbi összefüggések közül melyek igazak, melyek nem igazak tetszőleges és eseményeke?
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenKísérlettervezés alapfogalmak
Kísérlettervezés alapfogalmak Rendszermodellezés Budapest University of Technology and Economics Fault Tolerant Systems Research Group Budapest University of Technology and Economics Department of Measurement
RészletesebbenKísérlettervezés alapfogalmak
Kísérlettervezés alapfogalmak Rendszermodellezés Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék Kísérlettervezés Cél: a modell paraméterezése a valóság alapján
RészletesebbenValószínűségszámítás és statisztika a fizikában február 16.
számítás és statisztika a fizikában 2018. február 16. Technikai információk Palla Gergely / pallag@hal.elte.hu / ELTE TTK Biológiai Fizika Tanszék, Északi Tömb, 3.90. szoba Fogadó óra: hétfő, 16-18. Az
Részletesebben