Véletlen bolyongás. 2. rész. Márkus László jegyzete alapján Tóth Tamás december 10.

Átírás

1 2. rész december 10.

2 Határeloszlás tételek a bolyongás funkcionáljaira 1 A bolygó pont helyzete: EX i = 0, D 2 X i = EX 2 = 1 miatt i ES n = 0, D 2 S n = n, és a centrális határeloszlás tétel (CHT) alklamazható: lim P( S n < x) = Φ(x) n n x R ahol Φ(x) a standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye. 2 Maximumok: P(M n r) = P(S n r) + P(S n r + 1) miatt x > 0-ra:

3 lim n P ( ) [ ( ) ( Mn Sn Sn n x = lim P n x + P n x + 1 )] = n n = 2 lim n P lim n P ( ) Sn n x = 2 [1 Φ(x)], így ( ) Mn n < x = 2 Φ(x) 1 x > 0 Megjegyzés: 2 Φ(x) 1 x > 0-ra eloszlásfüggvény

4 1 Szintelérési id k: P(ν r n) = P(M n r) Nyilván r-nek és n-nek együtt kell -be tartani, hogy értelmes határeloszlást kapjunk: n = r 2 x a jó nagyságrend. ( lim P νr ) r r 2 x = lim ( P M [r 2 x] ) r = r = lim r P ( M[r 2 x] r x ) r r x = lim P r ( ( )) 1 = 2 1 Φ x ( M [r 2 x] [r 2 x] 1 x ) = x > 0

5 1 Visszatérések 0-ba: P (ρ r n) = P (ν r n r), így ( lim P ρr ) ( r r 2 x = lim P νr r ( = lim P νr ) r r 2 x = 2 r 2 x 1 r ( 1 Φ ) = ( 1 x ))

6 Brown mozgás, Wiener folyamat 1827-ben Robert Brown felfedezi, hogy a folyadékban lebeg pollenszemcsék szabálytalan mozgást végeznek ben Albert Einstein a jelenséget azzal magyarázza, hogy a folyadék h mozgást végz molekulái nekiütköznek a pollenszemcsének - a nagy (makro) részecskének - és véletlenszer en löködik az. E modell analógját vizsgáljuk az egyenesen. Ekkor az ütközésnek csupán 2 iránya lehet + vagy -. Mivel minden lökés a megfelel irányba mozdítja el a részecskét, ennek mozgását pl. egy bolyongással közelíthetjük. Azonban mivel a molekulák száma igen nagy az ütközések nagyon gyakran, szinte állandóan történnek, miközben az általuk létrehozott elmozdulás nagyon kicsiny. Ezért nem egyenként lépünk ±1-et, hanem az állandó, parányi ütközéseket úgy írjuk le, hogy 1 n id közönként történ ütközések 1 -nyire mozdítják el a részecskét n és e modell határértékét tekintjük, ha n.

7 Az ütközési id és az elmozdulás nagysága ( 1, 1 n n) közötti kapcsolat a következ képpen magyarázható. Matematikailag csak ez esetben kapunk a triviálistól (0 vagy ) különböz határértéket. Fizikailag a részecskék eloszlását a térben Poisson eloszlásnak tételezhetjük fel. Ebb l a molekulák közötti szabad úthossz eloszlása számloható. A molekulák sebességét ett l függetlennek feltételezhetjük, eloszlássukat pedig Maxwell eloszlásúnak. Z = v1 2 + v v 3 2. Ett l már az ütközések között eltelt várható (átlagos) id számolható Et = E s = Es E 1 alapján és a fentiekb l a várható v v szabad úthossz is megadható. Ebb l az Et = c (Es) 2 reláció adódik.

8 Visszatérve a részecske mozgására, a t id pontban a helyzete legyen w(t). Az n-edik közelítésben t ideig n t ütközés (pontosabban [n t] de n miatt ez nem lényeges) történt így a részecske heylzete 1 n S nt, tehát w(t) = lim n t S nt = t lim n t n S nt, mivel nt S nt = nt k=1 X k és D 2 X k = 1, X k független azonos eloszlású ezért a centrális határeloszlás tétel miatt az S nt val. változó egy standard normális eloszláshoz tart eloszlásban ( nem valváltozóhoz ). Tehát w(t)0 várható érték t szórású normális eloszlású valváltozó. Az egyes bolyongások független, stacionárius növekmény folyamatok, ezért feltételezhetjük, hogy e tulajdonság a fenti határátmenet során is megmarad. Mindegyik bolyongás a 0-ból indul, tehát w(0) = 0 nt

9 Deníció: A standart Wiener-folyamat vagy standard Brown-mozgás olyan folytonos idej, független stacionálrius növekmény w(t) folyamat, amelyre w(t)n(0, t) eloszlású, speciálisan w(0) = 0. Megjegyzés: Nyilván Ew(t) = 0 és D 2 w(t) = t, továbbá w(t + s) w(s) szintén N(0, t) eloszlású. Megjegyzés: Tetsz leges t > 0-ra (tehát 0-hoz bármilyen közel is) és tetsz leges x R-re h > 0 mellett P(x w(t) < x + h) > 0, de persze nagy x-re ez a valószín ség elenyész en kicsiny. Tetsz legesen kis id alatt tetsz legesen messze is kerülhet a részecske. Deníció: Általában Brown-mozgásnak hívjuk a standard Brown mozgás konstansszorosát X (t) = σ w(t) Ez független stacionárius növekmény w(t) M(0, σ t).

10 Megjegyzés: A Brown mozgás deníciójában a fentiek mellett gyakran a folytonosságra vonatkozó kikötés is áll. Ezt némi el készítés uután mi is megtesszük. Megjegyzés: A fenti deníció önmagában nem biztosítja, hogy ilyen folyamat valóban létezik is. Ezt külön meg kell mutatni és ez meglehet sen "munkaigényes". 3 féle szokásos módja is van a létezés bizonyításának, azonban itt egyiket sem követjük végig. Az els lehet ség az lenne, hogy követve azt az utat, ahogyan heurisztikusan bevezettök a Wiener folyamatot, az "összenyomott" bolyongásokról megmutatnánk azt a jóval élesebb tényt, hogy nem csupán eloszlásban konvergálnak, hanem 1 valószín séggel is és határértékük eloszlása ekkor már egybe kell essen a Wiener folyamatval.

11 Másik lehet ség lenne, hogy bizonyítanánk Kolomogorov alaptételét, mely szerint tetsz leges egyeztetetten megadott véges dimenziós eloszláscsaládokhoz létezik valváltozók összessége pont megadott eloszlással. Mivel a deníciónk egyértelm en és egyeztetetten meghatározza a Wiener folyamat véges dimenziós eloszlásait így e tételb l egyúttal a Wiener folyamat létezése is következik. Végül harmadik lehet ségként megkonstruálhatnánk a Wiener folyamatot bizonyos ortonormált függvénysorok véletlen (v. v.) együtthatós lineáris kombinációjaként és ellen riznénk, hogy eloszlása épp a kívánt.

12 A Wiener folyamat folytonosságáról Állítás: w(t)l 2 -ben folytonos. Bizonyítás: Legyen t n olyan sorozat, hogy t n t. Ekkor w(t n ) w(t) N(0, t t n ) és így E [w(t n ) w(t)] 2 = D 2 (w(t n ) w(t)) = t n t 0, tehát n w(t n ) L 2 w(t) Megjegyzés: Ezzel még nem mondtunk sokat ugyanis igaz a következ : Állítás: A Poisson folyamat L 2 -ben folytonos! Bizonyítás: Ha X (t) Poisson folyamat, akkor X (t n ) X (t) Poisson λ t n t paraméterrel (t n mint fent). Így E [X (t n ) X (t)] 2 = D 2 (X (t n X (t)) + [E(X (t n ) X (t))] 2 = λ t n t + (λ t n t ) 2 t n t L 0 tehát X (t n X (t).

13 Megjegyzés: Természetesen mind a Wiener, mind a Poisson folyamat sztochasztikusan is folytonos. Er sebbet is állíthatunk. Állítás: A Wiener-folyamat 1 valószín séggel is folytonos. Bizonyítás: Legyen t 0 = 0, és t 1, t 2,... monoton növeked, Y i = w(t i ) w(t i 1) i = 1, 2,.... Feltételeink szerint Y i -k független N(0, t i t i+1 ) val változók, tehát EY 2 < és i EY i 2 = (t i t i 1) = t <. i=1 i=1 Így a Kolmogorov-Hincsin tétel alkalmazható, tehát Y i sor 1 valószín séggel konvergens. Így részletösszegei 1 valószín séggel konvergálnak. Tehát = w(t n ) 1 valószín séggel konvergens. i=1 Y i De pl sztochasztikusan is konvergens és úgy w(t)-hez tart, tehát 1 valószín ség határértéke sem lehet más. i=1

14 Igaz azonban a következ is: Állítás: A Poisson folyamat 1 valószín séggel folytonos! Bizonyítás: P ({w : X s (w) s t X t (w)}) = P(t-ben a Poisson folyamat ugrik) = P( {τ i = t}) = i=1 P(τ i=1 i = t) = 0 Mivel τ i -k i-edrend Γ eloszlásúak, tehát folytonos eloszlásúak. Tehát ezek a fogalmak - sztochasztikus, L 2 -beli, 1 valószín ség folytonosság - értelmesek, de nem azt fejezik ki, amit "látnk". Szükség van további fogalmakra. Deníció: Azt mondjuk, hogy X (t) az X (t) sztochasztikus folyamat modikációja, ha minden t-re P( X (t) = X (t)) = 1, vagyis a két folyamat értékei minden id pillanatban 1 valószín séggel megegyeznek. (Szokás az X (t)-t az X (t)-vel sztochasztikusan ekvivalens folyamatnak is hívni.)

15 Deníció: Rögzített ω Ω mellett az X (t, ω)-t, mint t függvényét a sztochasztikus folyamat trajektóriájának (vagy realizációjának) hívjuk. Állítás: Ha X (t) diszkrét idej és X (t) az X (t) modikációja, úgy trajektóriáik 1 valószín séggel megegyeznek. Bizonyítás: Azon ω-k, amelyekre a trajektóriák nem egyeznek meg az uniójaként kapható azon ω-knak, amelyekre valamilyen t mellett X (t, ω) X (t, ω), azaz P ( X (., ω) X (., ω) ) ( = P t { X (t) X (t)} ). Mivel X az X modikációja, a jobboldalon 0 valószín ség eseményeket uniózunk és mivel az id diszkrét, ezért az megszámlálható, tehát az valószín sége is 0.

16 Ha azonban az id nem diszkrét, hanem folytonos, úgy az nem megszámlálható, ezért a valószín sége sem feltétlen 0, így igaz a következ : Állítás: Ha X (t) folytonos idej, akkor nem határozza meg 1 valószín séggel a modikációinak trajektóriáit. Megjegyzés: Túl sok modikáció van. Túl sok lényegtelen változtatás lényegessé válhat. Deníció: X (t) folytonos trajektóriájú, ha trajektóriái 1 valószín séggel t folytonos függvényei. Deníció: X (t)-nek létezik folytonos trajektória modikációja, ha van ilyen modikáció. Megjegyzés: Sok Wiener folyamat van.

17 Az eloszlások megadásának egy másik módja, hogy a Markov tulajdonság alapján megadják a kezdeti eloszlást és az átmenet valószín ségeket. Az átmenetvalószín ségek feltételes valószín ségek. Mivel itt nyilván 0 valószín ség a feltétel, ezért az átmenetvalószín ség helyett itt a feltételes s r ségfüggvényt kell megadnunk. A P (ω(t) = x ω(s) = y) s t valószín ségekre vagyunk kíváncsiak. Ezek E(χ {ω(t)=x} ω(s) = y)-ként is értelmezhet ek. Másfel l P(ω(t) < x ω(s) = y) = F ω(t)(x ω(s) = y) a feltételes eloszlásfüggvény és ennek létezik a feltételes s r ségfüggvénye, erre vagyunk kíváncsiak.

18 A Wiener folyamatot a közönséges bolyongás átskálázásával közelítettük. (Még nem tisztáztuk a közelítés mibenlétét). A közönséges bolyongás átmenetvalószín ségeire a p k (m + 1) = 1 2 p k+1(m) p k 1(m) rekurzió áll. Az átskálázott modellben az ütközések 1 id nként történnek, tehát t = 1 -ként n n lépünk és a részecske 1 1 -nyit mozdul el: x =, így fennáll a n n t = ( x) 2 reláció. Az el z reláció így alakul: p k x((m + 1) t) = 1 2 (p (k+1) x(m t) + p (k 1) x(m t)). Írjuk át ezt a következ képpen: p k x((m + 1) t) p k x(m t) t = = 1 2 (p (k+1) x(m t) 2p k x(m t) + p (k 1) x(m t)) 2 x

19 Ha a modellünkben a konvergencia "elég jó", akkor a megfelel átmenetvalószín ségek a megfelel átmenetvalószín ségekhez tartanak, tehát p k x(m t) f ω(s+t)(x ω(s) = x 0 ) = f (x, t x 0 )-hoz. Így a baloldal és a jobboldal tart f (x, t x t 0) = f (x, t x 0). x Ez az Einstein-féle diúziós egyenlet a Wiener folyamatra, a h vezetés egyenlete is f f t = 1 2 x 2 Megoldása létezik és egyértelm : f (x, t x 0 ) = 1 } exp { 12t (x x 0) 2 2πt