Yule és Galton-Watson folyamatok
|
|
- Gergő Pintér
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Dr. Márkus László Yule és ok március 9. 1 / 36 Yule és ok Dr. Márkus László március 9.
2 Yule folyamat Dr. Márkus László Yule és ok március 9. 2 / 36 A független stacionárius növekmény Poisson modell nem mindig megfelel. Például, ha egy populáció szaporodást kívánjuk modellezni, akkor a h id megváltozás alatt szület utódok számának eloszlása függ az éppen él egyedek számától is, és nem feltételezhet a növekmények független, stacionárius volta. Vizsgáljuk az úgynevezett tiszta születési folyamatok egy speciális esetét, a Yule-folyamatot. Ez is nemnegatív egész érték folyamat. Tiszta születési folyamatok esetén azt feltételezzük, hogy valamennyi él lény (egyed, részecske, stb.) a vizsgált id tartamban mindvégig életben marad: örökké él, így a folyamat állandóan növekszik. ( )
3 Yule folyamat Dr. Márkus László Yule és ok március 9. 3 / 36 A Yule-folyamatra vonatkozó további feltevések: A 0 id pontban 1 (néha N) egyed él, amely(ek) véletlen id pontokban utódokat hoz(nak) létre. Az egyedek száma a folyamat értéke. ( ) Minden utód születése pillanatától kezdve az sanyával azonos törvényszer ség szerint és a többit l függetlenül további utódokat hoz létre s.í.t. ( ) Az egyes egyedekr l feltételezzük, hogy utódprodukciós képességük az id ben állandó, és arányos az id változással, amint az 0-hoz tart. Az arányossági tényez t β jelölje. Feltesszük, hogy - akárcsak a Poisson folyamat esetén - egyszerre csak egy utód születik számbavehet valószín séggel. Ekkor egy utód születési valószín sége az egész populációban a (t, t + k) id intervallumban ugyancsak h-val egy nagyságrendben tart 0-hoz. De ha k egyed él a t pillanatban, úgy az arányossági tényez k β
4 Yule folyamat Dr. Márkus László Yule és ok március 9. 4 / 36 Vegyük észre, hogy az arányossági tényez így sem t-t l, sem pedig a k egyed élettörténetét l nem függ. Vagyis, ha ismerjük a folyamat állapotát a t id pontban - amit jelenként interpretálunk - úgy a t el tti (múltbeli) állapotok nincsenek hatással a folyamat további fejl désére, jöv jére. Ez a zikából ismert Huygens elv megfelel je, amit a folyamat Markov tulajdonságának nevezünk. Ez gyengébb a független növekmény ségnél.
5 Yule folyamat Dr. Márkus László Yule és ok március 9. 5 / 36 Feltételeinket formalizálva kapjuk: 1 P (X(0) = 1) = 1, (vagy P (X(0) = N) = 1) 2 P (X(t + h) X(t) = 1 X(t) = k) = k β h + o(h) 3 P (X(t + h) X(t) = 0 X(t) = k) = 1 k β h + o(h) 4 P (X(t + h) X(t) 2 X(t) = k) = o(h) 5 Markov tulajdonság, amir l kés bb lesz szó. Megjegyzés: => 4. (triviális) Megjegyzés: A i = {az i-edik egyed utódot szül (t, t + h)-ban} P (A i ) = β h + o(h), P (A i1... A il ) = o(h) 4.-b l, hiszen akkor 2-nél több utód született ezért: P (utód(t, t + h)-ban) = P ( k A i ) = k β h + o(h). i=1 Tehát a 2. feltétel az egyedek homogenitásából következik.
6 Dr. Márkus László Yule és ok március 9. 6 / 36 Valószín ségszámítás és matematikai statisztika Yule folyamat Vezessük be a következ jelölést: P (X(t) = n) = p n (t). Határozzuk meg X(t) (az egyedszám) eloszlását, azaz p n (t)-t. p 1 (0) = 1, p n (0) = 0, n > 1, P (X(t + h) = n) = P ( n {X(t) = k és X(t + h) X(t) = n k} = k=1 = n P ({X(t) = k} {X(t + h) X(t) = n k}) = k=1 = n p k (t) P (X(t + h) X(t) = n k X(t) = k) = k=1 Csak 0 v. 1 egyed születése számít [t, t + h]-ban, a többi o(h)-vszg = n 2 k=1 p k (t) o(h) + p n 1 (t) [(n 1) β h + o(h)] + }{{} 1 új egyed +p n (t) [1 n β h + o(h)] }{{} 0 új egyed = p n (t)(1 n β h) + p n 1 (t) (n 1) β h + o(h). =
7 Yule folyamat Dr. Márkus László Yule és ok március 9. 7 / 36 A kapott egyenlet: p n (t + h) p n (t) = p n (t) ( n β h) + p n 1 (t) (n 1) β h + o(h) h-val osztva és h 0 mellett a jobboldali deriváltra kapjuk, hogy p n (t) = β [(n 1) p n 1 (t) n p n (t)] t + h helyett t-vel és t helyett t h-val ugyanezt az egyenletet kapjuk a baloldali deriváltra is, tehát egy di.egyenletrendszert kaptunk, a t = 0 -ban kezdeti feltételekkel. Ez megoldható, és a megoldás: p n (t) = e βt (1 e βt ) n 1, azaz X(t) geometriai eloszlású p = e βt paraméterrel.
8 Yule folyamat Dr. Márkus László Yule és ok március 9. 8 / 36 A paraméter id függése érdekes. Nyilván EX(t) = 1 p = eβt, tehát a populáció számossága exponenciális ütemben n várhatóan. Jelölje τ 1, τ 2,... az els, második, s.í.t. utód születésének id pontját. P (τ 1 t) = P (τ 1 > t) = P (X(t) = 1) = e βt, tehát P (τ 1 < t) = 1 e βt, vagyis τ 1 exp(β) eloszlású. P (τ k t) = P (τ k > t) = P (X(t) k) = = k P (X(t) = i) = k i=1 i=1 p q i 1 = p 1 qk 1 q = 1 qk Így: P (τ k < t) = q k = (1 e βt ) k.
9 Yule folyamat Dr. Márkus László Yule és ok március 9. 9 / 36 Be lehet bizonyítani, hogy noha a folyamat nem független növekmény, a τ k τ k 1 val.változók függetlenek, és k β paraméter, exponenciális eloszlásúak. (Így a fenti eredmény egy konvolúciós probléma megoldását is adja, speciálisan változó paraméter exponenciálisak összegére.) X(t) eloszlását megadtuk, de ez még semmit nem mond a különböz id pontbeli állapotok közötti összefüggésr l. Márpedig a folyamat ett l folyamat, és nem véletlen számok rendszertelen "összefüggéstelen" halmaza. Ezért szükség van az együttes eloszlások megadására is.
10 Yule folyamat Dr. Márkus László Yule és ok március / 36 Els lépésként nézzük a feltételes eloszlásokat: P (X(t) = n X(s) = k), s < t, k n. A modellre vonatkozó ( ) feltétel szerint e valószín ség ugyanannyi, mint a 0-ból k egyeddel indított X (k) Yule-folyamat esetén a P (X (k) (t s) = n) valószín ség. Mivel ( ) szerint az egyes egyedek egymástól függetlenül hoznak létre utódokat, X (k) eloszlása megegyezik k db független (1-b l indított) Yulefolyamat összegének eloszlásával: X (k) (t) X 1 (t) X k (t).
11 Yule folyamat Dr. Márkus László Yule és ok március / 36 Ebb l a fentiek szerint, tudva, hogy független, azonos paraméter geometriaiak összege negatív binomiális eloszlású, egyb l adódnak az átmenetvalószín ségek: s < t, 1 k n, P (X(t) = n X(s) = k) = ( n 1 n k) e kβ(t s) (1 e β(t s) ) n k. Def.: Mint e formula is mutatja, a feltétel következményeként az átmenetvalószín ségek nem függenek t-t l és s-t l, csupán t és s különbségét l, vagyis folyamatunk stacionárius átmenetvalószín ség. 6 P (X(t) = n X(s) = k) = p n,k (t s)
12 Yule folyamat Dr. Márkus László Yule és ok március / 36 X (k) (t) eloszlásának meghatározásához vizsgálhatjuk az 1-b l indított Yule-folymat generátorfüggvényét is: G(t, z) = G t (z) = p i (t) z i = P (X(t) = i) z i = Ez X(t) i=1 i=1 Ebb l rögtön látszik, hogy független változók összegének generátorfüggvénye a generátorfüggvények szorzata: Ez X 1(t)+...+X n(t) = Ez X 1(t)... Ez Xn(t) A p paraméter geometriai eloszlás generátorfüggvénye: P (X(t) = i) z i = p q i 1 z i = i=1 i=1 px 1 qx
13 Yule folyamat Dr. Márkus László Yule és ok március / 36 Az el z két észrevétel alapján X (k) (t) generátorfüggvénye: ( px ) k 1 qx
14 Yule folyamat Dr. Márkus László Yule és ok március / 36 Kérdés, hogy meghatározott-e az 1-6. feltételek által a Yule-folyamat eloszlása, azaz a végesdimenziós együttes eloszlások. A kétdimenziós eloszlások már 1-4. és 6.-ból meghatározottak, hiszen 1-4.-b l levezettük p n (t)-t és 6.-ból: p n,k (t, s) = p n,k (t s). Így s < t, k n mellett P (X(t) = n X(s) = k) = P (X(t) = n X(s) = k)p (X(s) = k) = = p n,k (t, s) p k (s), vagyis meghatározott.
15 Yule folyamat Dr. Márkus László Yule és ok március / 36 Nézzük most a háromdimenziós eloszlásokat: t 1 < t 2 < t 3, m k n-re: P (X(t 1 ) = m, X(t 2 ) = k, X(t 3 ) = n) = = P (X(t 3 ) = n X(t 2 ) = k, X(t 1 ) = m) P (X(t 2 ) = k, X(t 1 ) = m) Itt a fentiek szerint a legutolsó tagot ismételjük. A feltételes valószín ségben t 3 -at jöv ként, t 2 -t jelenként, t 1 -et múltként interpretálva az 5.-ként megfogalmazott Markov tulajdonság szerint a múltbeli állapot ismerete nem jelenthet plusz információt a jöv re nézve, ha ismerjük a jelent, vagyis a P (X(t 3 ) = n X(t 2 ) = k, X(t 1 ) = m) feltételes valószín ségnek meg kell egyeznie a P (X(t 3 ) = n X(t 2 ) = k) feltételes valószín séggel, amely viszont ismert. Így a háromdimenziós eloszlás is megadható. Ugyanez a meggondolás magasabb dimenziókban is m ködik.
16 Yule folyamat Dr. Márkus László Yule és ok március / 36 A fentiekkel egyetértésben most már megadhatjuk a Markov-tulajdonság formális denícióját is. Def.: Egy (egész érték ) folyamatot Markov-folyamatnak (Markov-láncnak) nevezünk, ha n N és t 1 < t 2 <... < t n -re: Ezzel ekvivalens: P (X(t n ) = k n X(t n 1 ) = k n 1,..., X(t 1 ) = k 1 ) = = P (X(t n ) = k n X(t n 1 ) = k n 1 ). E (f(x(t n )) X(t n 1 ),..., X(t 1 )) = E (f(x(t n )) X(t n 1 )) f korl. folytonos függvényre: A jöv r l adott információ mind benne van a jelen állapotban.
17 Yule folyamat Dr. Márkus László Yule és ok március / 36 E deníció alapján a háromdimenziós eloszláshoz hasonlóan indukcióval láthatjuk, hogy a Yule-folyamat összes véges dimenziós eloszlása meghatározott. Összefoglalva: A Yule-folyamat olyan stacionárius átmenetvalószín ség Markov-lánc, amelyre az feltételek teljesülnek.
18 Dr. Márkus László Yule és ok március / 36 Valószín ségszámítás és matematikai statisztika Egy populáció generációnkénti egyedszáma Nézzünk most egy másik példát stacionárius átmenetvalószín ség Markov-láncra: Vizsgáljuk ismét egy egyed utódait egy populációban, de most már az egyedek véges élethosszát is vegyük gyelembe. Egy egyedb l indul a folyamat, ez az s, a 0. generáció. Minden egyes egyed a következ generációra vagy elpusztul, vagy tovább él és esetleg utódokat is hoz létre. Az egyes egyedek utódainak számai független azonos eloszlású valószín ségi változók. A folyamatot generációnként vizsgáljuk, tehát az id most a természetes számokon fut végig, a folyamat diszkrét idej.
19 Dr. Márkus László Yule és ok március / 36 Valószín ségszámítás és matematikai statisztika A Az s közvetlen utódai adják az els generációt, ezek közvetlen utódai a második generációt stb. Mivel a folyamat matematikája szempotjából mellékes, ezért ha az egyed életben marad a következ generációban is, akkor t magát is önmaga egyik utódjának tekintjük. Így az utódok száma 0, 1, 2,... lehet és egy adott generációra az utódok számát összegezve épp a következ generáció egyedszámát kapjuk. A generációnkénti egyedszámok így kapott folyamata az u.n., amely az u.n születési-halálozási folyamatok egy speciális esete.
20 Az egyedszámok Legyenek X 0,1 X 1,1, X 1,2,... X 2,1, X 2,2,.... X n,1, X n,2,..., X n,k,... független, azonos eloszlású, nemnegatív egész érték valváltozók, u.n. szériák. X n,k jelentse a fenti modelleírás szerint az n-ik generáció k-ik egyede által létrehozott utódok számát. Ekkor a mondottak szerint az n-ik generációban él egyedek Z n számára: Z 0 = 1, Z 1 = X 0,1 Z 2 = X 1, X 1,Z1. Z n = X n, X n,zn 1 Dr. Márkus László Yule és ok március / 36
21 Dr. Márkus László Yule és ok március / 36 Valószín ségszámítás és matematikai statisztika A Markov tulajdonság Állítás Z n diszkrét idej stacionárius átmenetvalószín ség Markov lánc. Bizonyítás. Markov lánc: El ször az egylépéses feltételes valószín séget nézzük: P (Z n = k Z n 1 = m) = P (X n 1, X n 1,m = k), azaz P (az m tagú n 1-ik generáció utódainak száma k) A jobboldalon az összeadandók független, azonos, adott eloszlású valválozók. Tehát ezáltal az összeg eloszlása is adott. Ha a baloldalon még további múltbéli valváltozókat is hozzáveszünk a feltételhez, az a jobb oldalon semmit nem változtat. (Ha már tudjuk, hogy m elem az n 1-ik generáció, akkor mindegy mi volt korábban.)
22 Dr. Márkus László Yule és ok március / 36 Bizonyítás. Stacionárius átmenetvalószín ség: A többlépéses feltételes valószín ség esete hasonló: P (Z n = k Z n l = m) {Z n l = m}-b l a fentiek szerint adódik Z n l + 1 feltételes eloszlása, ennek ismeretében a véletlen tagszámú összeggel Z n l+2 eloszlása is s í. t. További múltbéli valváltozók hozzávétele a feltételhez nem változtat semmit valóban Markov tulajdonságú a folyamat. Ráadásul a fenti feltételes eloszlás csak a lépésszámtól, tehát az n, n l különbségt l: l-t l függ stacionárius az átmenetvszg.
23 Dr. Márkus László Yule és ok március / 36 Valószín ségszámítás és matematikai statisztika A folyamat generátorfüggvénye A továbbiakban a faj kihalásának valószín ségét szeretnénk meghatározni. Ehhez el ször tekintsük a folyamat generátorfüggvényét. Legyen G n (z) a Z n val. változó generátorfüggvénye: Állítás G n (z) = G n (Z) = G 1 G 1... G 1 (z) }{{} n-szeres függvényösszetétel P (Z n = k) z k k=0 Bizonyítás. Indukcióval: n = 1-re igaz. Tegyük fel, hogy n 1-re igaz és lássuk be n-re.
24 Dr. Márkus László Yule és ok március / 36 G n (Z) = G n 1 G 1 (z) = G n 1 (G(z)) = P (Z n 1 = m) G(z) m m=0 A teljes valószín ség tétele szerint P (Z n = k) = P (Z n = k Z n 1 = m) P (Z }{{} n 1 = m) m=1 P (X n 1, X n 1,m =k)
25 Dr. Márkus László Yule és ok március / 36 Valószín ségszámítás és matematikai statisztika Az egyedszám várható értéke és szórása Állítás Ha µ az utódok számának várható értéke, σ pedig a szórása: EX i,j = µ, D 2 X i,j = σ 2, akkor a) E(Z n ) = µ n { n σ b) D 2 2,ha µ = 1 (Z n ) = σ 2 µ n 1 µn 1 µ 1,ha µ 1
26 Dr. Márkus László Yule és ok március / 36 Bizonyítás. a) E(Z n )= G n(1) = (G 1 G n 1 ) (1) = = G 1 (G n 1(1)) G n 1 (1) = G 1 (1) G n 1 (1) = = µ µ n 1 = µ n Ahol felhasználtuk, hogy egy generátorfüggvény az 1 helyen G(1) = pk = 1 és így pl. G n 1 (1) = 1, továbbá, hogy indukciós bizonyítással G n 1 (1) = E(Z n 1) = µ n 1 feltehet.(n = 1-re igaz.) Generátorfüggvénye csak nemnegatív egész érték valváltozónak van. A P (X = k) = p k jelölés mellett azonosságok a generátorfüggvényre: G(0) = p 0, G (0) = p 1 G(1) = p k = 1 G (1) = k p k = EX G (1) = k(k 1) p k = k 2 p k k p k = EX 2 EX = D 2 X + (EX) 2 EX
27 Dr. Márkus László Yule és ok március / 36 Bizonyítás folytatása. Mivel G(1) = 1 és G (1) = µ, továbbá f(g(x)) +f (g(x))g (x), így G n(1) = (G n 1 G) (1) = G n 1 (1) µ2 + G n 1 (1) G (1) = mivel G n 1 (1) = E(Z n 1) = µ n 1 az indukciós feltevésb l: = µ 2 G n 1 (1) + µn 1 G 1 (1) = -ból: G 1 (1) = D2 (Z 1 ) G 1 (1) + (G 1 (1))2 = σ 2 µ + µ 2 G n 1 (1) = D2 (Z n 1 ) µ n 1 + µ 2(n 1) [ 2 = f (g(x)) g (x)] +, ezért = µ 2 (D 2 (Z n 1 ) µ n 1 + µ 2(n 1) ) + µ n 1 (σ 2 µ + µ 2 ) = µ 2 D 2 (Z n 1 ) + µ n 1 σ 2 + µ 2n µ n. Helyetesítsük ezt -ba: D 2 (Z n ) = µ 2 D 2 (Z n 1 ) + µ n 1 σ 2 Ez a rekurzió indukcióval adja a b) bizonyítását hiszen n = 1-re b) igaz
28 Dr. Márkus László Yule és ok március / 36 Bizonyítás folytatása. ha µ = 1 és D 2 Z n 1 = (n 1)σ 2 akkor D 2 (Z n ) = 1 (n 1) σ σ 2 = n σ 2 ha µ 1 és D 2 Z n 1 = σ 2 µ n 2 µn 1 1 n 1 így D 2 (Z n ) = σ 2 µ n µn 1 1 µ 1 + σ 2 µ n 1 µ = {}}{{}}{ = σ 2 µ n ( µ n 2 + µ n µ µ ) = = σ 2 µ n 1 µn 1 µ 1
29 Dr. Márkus László Yule és ok március / 36 Valószín ségszámítás és matematikai statisztika A kihalás valószín sége Jelölje r a kihalás valószín ségét: r = P (a folyamat kihal) = P ({ω n : Z n (ω) = 0}) Megj.: Nyilván, ha Z n (ω) = 0, akkor Z n+k (ω) = 0 k N Ezért A n = {ω Z n (ω) = 0} növekv eseményrendszer: A n+1 A n {ω n : Z n ω = 0} = A n, így r = P ( A n ) = lim P (A n). n=1 1 n n. Állítás Ha µ = EX i,j 1 akkor r = 1 vagyis a folyamat 1 vszggel kihal. Ha µ > 1 akkor r < 1 és r az r = G 1 (r) egyenlet egyetlen gyöke a 0 r < 1 intervallumban.
30 Dr. Márkus László Yule és ok március / 36 Bizonyítás. G 1 tulajdonságai 0, 1-ben: monoton növekv - mert nemnegatív együtthatós hatványsor (polinom) konvex - mivel vagy nemnegatív együtthatós polinom, limesze. G 1 (1) = 1 G 1 (0) = p 1,0 > 0 G 1 (1) = µ vagy ilyen
31 Dr. Márkus László Yule és ok március / 36 Ha µ 1 akkor G 1 : Ha µ 1 akkor G 1 : p 1,0 = P (A 1 ) = G 1 (0) p 2,0 = P (A 2 ) = G 2 (0) = G 1 (G 1 (0)) = G 1 (p 1,0 )
32 Dr. Márkus László Yule és ok március / 36 Bizonyítás folytatása. p n,0 = P (A n ) = G n (0) = G 1 (G n 1 (0)) = G 1 (p n 1,0 ) r tehát a G 1 (G n 1 (0)) = G n (0) iteráció xpontja vagyis a G 1 (r) = r egyenlet megoldása. G 1 tulajdonsága miatt ez a megoldás µ 1 esetén r = 1 míg µ > 1 esetén r (0, 1).
33 Dr. Márkus László Yule és ok március / 36 Valószín ségszámítás és matematikai statisztika A kihalás gyorsasága A kihalás gyorsasága - konvergenciasebesség a µ 1 esetben: Állítás Ha µ < 1 úgy 1 p n,0 µ n Ha µ = 1 úgy 1 p n,0 2 n σ 2 Bizonyítás. µ < 1 : G 1 konvex, ezért 1-beli érint je felett van, így húrjainak meredeksége (0, 1)-ben kisebb, mint az 1-beli érint meredeksége, ami µ: z < 1 : G 1(z) G 1 (1) z 1 µ. Mivel G 1 (1) = 1 és z 1 < 0 így G 1 (z) 1 + µ(z 1) = H(z)
34 Dr. Márkus László Yule és ok március / 36 Bizonyítás folytatása. Legyen r 1 = H(0) = 1 µ és r n = H(r n 1 ). Ekkor P 1,0 r 1 és indukcióval, ha r n p n,0, 1 p 1,0 = P (X 1,1 1) EX 1,1 = µ p 1,0 1 µ = r 1 r n+1 = H(r n ) H(p n,0 ) G(p n,0 ) = p n+1,0 azaz r n+1 p n+1,0 másfel l r 1 = 1 µ, r 2 = 1 µ 2, indukcióval r n+1 = 1 + µ(1 µ n 1) = 1 µ n+1, tehát 1 µ n+1 p n+1,0. Az állítás másik felét nem bizonyítjuk.
35 Dr. Márkus László Yule és ok március / 36 Valószín ségszámítás és matematikai statisztika A kihalás ideje Legyen N a kihalás ideje: N val.változó. Állítás Ha µ < 1 akkor EN <, Ha µ = 1 akkor EN = N(ω) = inf{n 1 : Z n (ω) = 0}
36 Dr. Márkus László Yule és ok március / 36 Bizonyítás. {N = n} = {ω : Z n (ω) = 0, Z n 1 (ω) 0} = A n \A n 1, így P (N = n) = p n,0 p n 1,0 Ha µ < 1 az el z áll. szerint p m,0 1 µ n, p n 1,0 1 µ n 1 Így a kett különbsége: p n,0 p n 1,0 = (1 p n 1,0 ) (1 p n,0 ) (1 p n 1,0 ) (1 p n,0 ) 1 p n 1,0 + 1 p n,0 µ n 1 + µ n p n,0 p n 1,0 < µ n + µ n 1 és így EN < n (µ n + µ n 1 ) < n=1 Ha µ = 1 (némileg pontatlanul) p n,0 p n 1,0 2 EN = n=1 σ 2 ( ) 1 n 1 n 1 ( ) 2 n 1 σ 2 n 1 n 1 = 2 1 σ n=1 2 n 1 =.
Véletlen bolyongás. 2. rész. Márkus László jegyzete alapján Tóth Tamás december 10.
2. rész 2012. december 10. Határeloszlás tételek a bolyongás funkcionáljaira 1 A bolygó pont helyzete: EX i = 0, D 2 X i = EX 2 = 1 miatt i ES n = 0, D 2 S n = n, és a centrális határeloszlás tétel (CHT)
RészletesebbenVéletlen bolyongás. Márkus László március 17. Márkus László Véletlen bolyongás március / 31
Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 1 / 31 Véletlen bolyongás Márkus László 2015. március 17. Modell Deníció Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 2 / 31 Modell: Egy egyenesen
RészletesebbenElméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
RészletesebbenAbszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika
Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu 2016/2017. tavaszi félév Bevezetés Célok: véletlen folyamatok modellezése; kísérletekb l, felmérésekb
Részletesebben0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)
Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses
RészletesebbenValószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
RészletesebbenKészítette: Fegyverneki Sándor
VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y
RészletesebbenVéletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.
Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza
RészletesebbenA következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.
Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ
RészletesebbenElméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz 1. dolgozat Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet
Részletesebbenelőadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás
13-14. előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 2016. november 28. és december 5. 13-14. előadás 1 / 35 Bevezetés A diszkrét
RészletesebbenSztochasztikus folyamatok alapfogalmak
Matematikai Modellalkotás Szeminárium 2012. szeptember 4. 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 Folytonos idejű Markov láncok I Adott egy G = (V, E) gráf Folytonos
Részletesebbenegyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk
Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,
RészletesebbenEseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.
Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.
RészletesebbenMarkov-láncok stacionárius eloszlása
Markov-láncok stacionárius eloszlása Adatbányászat és Keresés Csoport, MTA SZTAKI dms.sztaki.hu Kiss Tamás 2013. április 11. Tartalom Markov láncok definíciója, jellemzése Visszatérési idők Stacionárius
RészletesebbenBevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
Részletesebben12. előadás - Markov-láncok I.
12. előadás - Markov-láncok I. 2016. november 21. 12. előadás 1 / 15 Markov-lánc - definíció Az X n, n N valószínűségi változók sorozatát diszkrét idejű sztochasztikus folyamatnak nevezzük. Legyen S R
RészletesebbenSzakdolgozat. Matematika Bsc, Alkalmazott matematikus szakirány. Móri Tamás, egyetemi docens. Természettudományi Kar
ELÁGAZÓ FOLYAMATOK Szakdolgozat Írta: Szepesváry László Matematika Bsc, Alkalmazott matematikus szakirány Témavezető: Móri Tamás, egyetemi docens Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Eötvös Loránd
RészletesebbenFüggvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:
Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független
Részletesebben4. Az A és B események egymást kizáró eseményeknek vagy idegen (diszjunkt)eseményeknek nevezzük, ha AB=O
1. Mit nevezünk elemi eseménynek és eseménytérnek? A kísérlet lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük. Az adott kísélethez tartozó elemi események halmazát eseménytérnek nevezzük, jele: X 2.
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenGazdasági matematika II. tanmenet
Gazdasági matematika II. tanmenet Mádi-Nagy Gergely A hivatkozásokban az alábbi tankönyvekre utalunk: T: Tóth Irén (szerk.): Operációkutatás I., Nemzeti Tankönyvkiadó 1987. Cs: Csernyák László (szerk.):
Részletesebben(Diszkrét idejű Markov-láncok állapotainak
(Diszkrét idejű Markov-láncok állapotainak osztályozása) March 21, 2019 Markov-láncok A Markov-láncok anaĺızise főként a folyamat lehetséges realizációi valószínűségeinek kiszámolásával foglalkozik. Ezekben
RészletesebbenSorozatok és Sorozatok és / 18
Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle
Részletesebbenx, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel:
Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Valószínűségi változó általános fogalma: A : R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha : ( ) x, x R, x rögzített esetén esemény.
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika
Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@math.elte.hu fogadóóra: szerda 10-11 és 13-14, D 3-415 2018/2019. tavaszi félév Bevezetés A valószín ségszámítás
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
Részletesebben2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben
1 feladatsor 1 Egy dobozban 20 fehér golyó van Egy szabályos dobókockával dobunk, majd a következ t tesszük: ha a dobott szám 1,2 vagy 3, akkor tíz golyót cserélünk ki pirosra; ha a dobott szám 4 vagy
RészletesebbenLagrange és Hamilton mechanika
Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenModellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)
RészletesebbenDIFFERENCIAEGYENLETEK
DIFFERENCIAEGYENLETEK Példa: elsőrendű állandó e.h. lineáris differenciaegyenlet Ennek megoldása: Kezdeti feltétellel: Kezdeti feltétel nélkül ha 1 és a végtelen összeg (abszolút) konvergens: / 1 Minden
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Részletesebben1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1
numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú
RészletesebbenParciális dierenciálegyenletek
Parciális dierenciálegyenletek 2009. május 25. A félév lezárásaként néhány alap-deníciót és alap-példát szeretnék adni a Parciális Dierenciálegynletek (PDE) témaköréb l. Épp csak egy kis izelít t. Az alapfeladatok
RészletesebbenA brachistochron probléma megoldása
A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e
Részletesebbene (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:
Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye:
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
RészletesebbenDierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és
205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási
RészletesebbenMérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik
Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik Az A halmazrendszer σ-algebra az Ω alaphalmazon, ha Ω A; A A A c A; A i A, i N, i N A i A. Az A halmazrendszer
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenDifferenciálegyenlet rendszerek
Differenciálegyenlet rendszerek (A kezdeti érték probléma. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek, magasabb rendű lineáris egyenletek.) Szili László: Modellek és algoritmusok ea+gyak jegyzet alapján
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenSztochasztikus folyamatok
Sztochasztikus folyamatok Benke János és Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet 2016. tavaszi félév Sztochasztikus folyamatok Deníció, példák Sztochasztikus folyamatok A továbbiakban legyen
RészletesebbenMegoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ
Megoldások Harmadik fejezet gyakorlatai 3.. gyakorlat megoldása ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4;, 3 normális eloszlású P (ξ 8 ξ 5 feltételes valószínűségét (.3. alapján számoljuk.
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Definiálja az alábbi fogalmakat!. Egy eseménynek egy másik eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége. ( pont) Az A esemény feltételes valószínűsége
Részletesebben: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett!
nomosztással a megoldást visszavezethetjük egy alacsonyabb fokú egyenlet megoldására Mivel a 4 6 8 6 egyenletben az együtthatók összege 6 8 6 ezért az egyenletnek gyöke az (mert esetén a kifejezés helyettesítési
RészletesebbenL'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.
L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.
RészletesebbenStatisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1
Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1
Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése). Feladat. Határozzuk meg az f(x) x 2 függvény x 0 pontbeli differenciahányados
RészletesebbenMatematika A3 Valószínűségszámítás, 5. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 5. gyakorlat 013/14. tavaszi félév 1. Folytonos eloszlások Eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény Egy valószínűségi változó, illetve egy eloszlás eloszlásfüggvényének egy
RészletesebbenDiszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 4. Előadás
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 4. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor 2012. február 28. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét
Részletesebben2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
RészletesebbenJulia halmazok, Mandelbrot halmaz
2011. október 21. Tartalom 1 Julia halmazokról általánosan 2 Mandelbrot halmaz 3 Kvadratikus függvények Julia halmazai Pár deníció Legyen f egy legalább másodfokú komplex polinom. Ha f (ω) = ω, akkor ω
RészletesebbenMBNK12: Permutációk (el adásvázlat, április 11.) Maróti Miklós
MBNK12: Permutációk el adásvázlat 2016 április 11 Maróti Miklós 1 Deníció Az A halmaz permutációin a π : A A bijektív leképezéseket értjünk Tetsz leges n pozitív egészre az {1 n} halmaz összes permutációinak
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus megoldása
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens
RészletesebbenUtolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20
Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális
RészletesebbenEgészrészes feladatok
Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
RészletesebbenFüggvények határértéke, folytonossága
Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el
RészletesebbenHidden Markov Model. March 12, 2013
Hidden Markov Model Göbölös-Szabó Julianna March 12, 2013 Outline 1 Egy példa 2 Feladat formalizálása 3 Forward-algoritmus 4 Backward-algoritmus 5 Baum-Welch algoritmus 6 Skálázás 7 Egyéb apróságok 8 Alkalmazás
RészletesebbenKonvex optimalizálás feladatok
(1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy
Részletesebben6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió
6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus
RészletesebbenNagyordó, Omega, Theta, Kisordó
A növekedés nagyságrendje, számosság Logika és számításelmélet, 6. gyakorlat 2009/10 II. félév Számításelmélet (6. gyakorlat) A növekedés nagyságrendje, számosság 2009/10 II. félév 1 / 1 Nagyordó, Omega,
Részletesebben1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet.
1. A polinom fogalma Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1 = x egyenletet. Megoldás x + 1-gyel átszorozva x 2 + x + 1 = x 2 + x. Innen 1 = 0. Ez ellentmondás, így az
Részletesebben3. előadás Stabilitás
Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása
RészletesebbenAnalízisfeladat-gyűjtemény IV.
Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította
RészletesebbenVektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.
Vektorterek Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az összeadás és a (valós) számmal való szorzás értelmezett, pl. a szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a mátrixok esetében.
RészletesebbenChomsky-féle hierarchia
http://www.cs.ubbcluj.ro/~kasa/formalis.html Chomsky-féle hierarchia G = (N, T, P, S) nyelvtan: 0-s típusú (általános vagy mondatszerkezet ), ha semmilyen megkötést nem teszünk a helyettesítési szabályaira.
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak
RészletesebbenFüggvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
RészletesebbenFerenczi Dóra. Sorbanállási problémák
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Ferenczi Dóra Sorbanállási problémák BSc Szakdolgozat Témavezet : Arató Miklós egyetemi docens Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék Budapest,
RészletesebbenPolinomok maradékos osztása
14. előadás: Racionális törtfüggvények integrálása Szabó Szilárd Polinomok maradékos osztása Legyenek P, Q valós együtthatós polinomok valamely x határozatlanban. Feltesszük, hogy deg(q) > 0. Tétel Létezik
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 14. Többhatározatlanú polinomok 4.3. Definíció. Adott T test feletti n-határozatlanú monomnak nevezzük az ax k 1 1 xk n n alakú formális kifejezéseket,
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =
RészletesebbenTANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató
BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató 2015/2016. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
Részletesebben3. Egy szabályos dobókockával háromszor dobunk egymás után. Legyen A az az esemény, hogy
Valószínűségszámítás. zárthelyi dolgozat 009. október 5.. Egy osztályba 3-an járnak. Minden fizikaórán a a többi órától függetlenül a tanár kisorsol egy felelőt, véletlenszerűen, egyenletesen, azaz mindig
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenEllátási lánc optimalizálás P-gráf módszertan alkalmazásával mennyiségi és min ségi paraméterek gyelembevételével
Ellátási lánc optimalizálás P-gráf módszertan alkalmazásával mennyiségi és min ségi paraméterek gyelembevételével Pekárdy Milán, Baumgartner János, Süle Zoltán Pannon Egyetem, Veszprém XXXII. Magyar Operációkutatási
Részletesebben1. A k-szerver probléma
1. A k-szerver probléma Az egyik legismertebb on-line probléma a k-szerver probléma. A probléma általános deníciójának megadásához szükség van a metrikus tér fogalmára. Egy (M, d) párost, ahol M a metrikus
RészletesebbenFourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.
Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenVéletlen fraktálok. Diplomamunka. Témavezet : Írta: Beringer Dorottya. Elekes Márton, egyetemi adjunktus Analízis tanszék.
Véletlen fraktálok Diplomamunka Írta: Beringer Dorottya Matematikus szak Témavezet : Elekes Márton, egyetemi adjunktus Analízis tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 2011 Tartalomjegyzék
Részletesebben1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis.
1 Diagonalizálás Diagonalizálható mátrixok Ismétlés Legyen M,N T n n Az M és N hasonló, ha van olyan A lineáris transzformáció, hogy M is és N is az A mátrixa egy-egy alkalmas bázisban Az M és N pontosan
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
Részletesebben