DIFFERENCIAEGYENLETEK

Átírás

1 DIFFERENCIAEGYENLETEK

2 Példa: elsőrendű állandó e.h. lineáris differenciaegyenlet Ennek megoldása: Kezdeti feltétellel: Kezdeti feltétel nélkül ha 1 és a végtelen összeg (abszolút) konvergens: / 1 Minden kezdeti feltételhez található megfelelı A állandó. Hátratekintı (backward-looking) megoldásokat vizsgálunk. ( 1 esetén elıretekintı megoldás van kezdeti feltétel nélkül.)

3

4 Lineáris differenciaegyenletek: általános megoldási módszer Algoritmus: 1. Homogén megoldások megtalálása: 2. Egy partikuláris megoldás megtalálása 3. Általános megoldás: a homogén megoldások lineáris kombinációjának és a partikuláris megoldásnak az összege Így tényleg az egyenlet megoldását kapjuk. Példa: elsőrendű esetben az előbbi eredményekhez jutunk.

5 Homogén megoldás a másodrendű esetben 0 Karakterisztikus egyenlet: 0, ennek gyökei és. Esetek: Két valós gyök: Kétszeres valós gyök: Két komplex gyök: ld. következı slide ahol az együtthatókat ( és ) a kezdeti feltételek határozzák meg.

6 Másodrendű eset komplex gyökökkel Itt is igaz, hogy, de a komplex gyökök miatt nem ez a hasznos felírás. ahol 4 0, /, / 2. Könnyen belátható, hogy a két szorzótényező egymás konjugáltja:, Így 2.

7 Homogén megoldás tulajdonságai Stabilitási feltétel: mindkét karakterisztikus gyök az egységkörön belül feküdjön. Másodrendő esetben egyszerő feltétel adódik az együtthatókra, ld. a következı slide-ot Valós gyökök esetén exponenciális növekedés / lecsengés Ha a domináns gyök negatív, akkor oszcillációval Komplex gyökök esetén periodikus viselkedés

8 A stabilitás feltétele az együtthatók segítségével

9 Példák Két, egységkörön belül fekvı valós gyök (0.7 és -0.5) Exponenciális lecsengés (kiszámoltuk órán a megoldást) Két valós gyök, az egyik egynél nagyobb Exponenciális növekedés Két, egységkörön belül fekvı komplex gyök Periodikus lecsengés (kiszámoltuk órán a megoldást)

10 Magasabb rendű homogén egyenletek Karakterisztikus egyenlet: 0, ennek gyökei,,,. Esetek: n különbözı valós gyök: bizonyos gyökök azonosak: legyen az elsı gyök () m- szeres. Ekkor ö ö éő, komplex gyökök konjugált párként fordulhatnak elı, és az általuk generált tag 2

11 Stabilitás Stabilitás szükséges és elégséges feltétele: összes karakterisztikus gyök az egységkörön belül fekszik Ehhez 1 szükséges feltétel: elégséges feltétel: 1 Ha 1, akkor (legalább) az egyik gyök az egységkörön van (egységgyökfolyamat)

12 Partikuláris megoldás keresése Módszer: határozatlan együtthatók módszere Lépések: egy olyan, ismeretlen együtthatós lineáris megoldás felírása, amely tartalmazza a várhatóan szükséges tagokat majd úgy választani az ismeretlen együtthatókat, hogy a differenciaegyenlet azonosságként teljesüljön ha nem tudjuk így megválasztani, akkor új tagokat kell bevonnunk

13 Példák a határozatlan együtthatók módszerére Legyen pl. 0. Ekkor Ha 1, akkor, ahol c / 1 Ha 1, akkor, ahol c / Illetve ha ez a nevezı is zérus, akkor próbálkozzunk stb. alakban. Az egyik be fog jönni

14 Példák, folyt. Ha 1, akkor, ahol / 1, és is könnyen számítható a határozatlan együtthatók módszerével Ha 1, akkor kvadratikus taggal kell kiegészíteni ezt.

15 Példák, folyt.: ARMA(1,1)-egyenlet Próbálkozzunk alakban Ha 1, akkor Ha 1, akkor 1 1

16 Példák, folyt.: AR(2)-egyenlet Szükséges összefüggések: 1, (ha 2) A (lineáris) tag csak akkor kell, ha 1 Lényeg (általánosítható magasabb rendre is): a partikuláris megoldás acsa konvergens, ha a homogén egyenlet stabil (azaz karakt. gyökök egységkörön belül) a polinom rendje az egységgyökök számával egyenlı

17 Impulzusválasz-függvény Impulzusválasz-függvény: Megmutatja egy átmeneti sokk hatását j időszak múlva Példa ARMA(1,1)-modell esetén 1: 0 1 ha 1 A függvény (a sokk hatása) exponenciálisan cseng le végül.

18 Késleltetési (lag) operátor Lag operátor: Néhány tulajdonság (kicsit pongyolán): Ha 1, akkor 1 1 Ha 1, akkor 1 1

19 Késleltetési operátor használata, Ezt megoldva: 1 Tehát ugyanazt kaptuk, mint korábban 1 Hasonlóan járhatunk el a többi példával is: a partikuláris megoldás a lag operátor tulajdonságai segítségével adódik.

20 Késleltetési operátor, folyt. Legyen 1 1 Differenciaegyenlet: Ennek megoldása: Akkor van visszatekintı megoldás, ha az inverz karakt. polinom minden gyöke az egységkörön kívül fekszik. Elvileg az együtthatók is meghatározhatók, de macerás.

21 ARMA-MODELLEK ALAPJAI

22 y t = a 1 y t-1 + a 0 + ε t, AR(1)-modell ahol ε t fehér zaj Stacionárius-e ez a folyamat? Tetszıleges kezdeti feltétel esetén nem, hiszen pl. a homogén megoldás miatt a várható értéke is változik. Viszont ha 1, akkor a határérték stacionárius (és a múlttól függ): 1 Megjegyzés: ha 1, akkor jövőtől függő stacionárius megoldás van (amit nem szeretünk)

23 AR(1)-modell, folyt. µ = E[y t ] = Var(y t ) = E[y t -µ] 2 = E[ε t + a 1 ε t-1 + a 12 ε t-2 + ] 2 = = (1 + a 12 + a 14 + )σ 2 = / 1 Cov[y t,y t-j ] = E[y t -µ][y t-j -µ] = = E[ε t +a 1 ε t-1 +a 12 ε t-2 +][ε t-j +a 1 ε t-j-1 +a 12 ε t-j-2 +] = / 1 ρ j =a 1 j

24 MA(1)-modell y t = µ + ε t + βε t-1 y t = µ + (1+ βl)ε t µ = E[y t ] = µ γ 0 = Var(y t ) = Var[ε t + βε t-1 ] =(1+β 2 )σ 2 γ 1 = E[y t -µ][y t-1 -µ] = βσ 2, ρ 1 = β / (1+β 2 ) γ j = ρ j = 0 j = 2, 3,

25 Folyamat MA( )-reprezentációja ahol a várható értéket tehát nullának választjuk És feltehetjük, hogy 1. (A egyébként az impulzusválasz-függvényt adják.) Ha, akkor az összeg egy jól definiált stacionárius folyamatot határoz meg: 0 (belátható, hogy ez is konvergens sor)

26 AR(p)-modell MA( )-felírás: ha a karakt. egyenlet minden gyöke az egységkörön belül van, akkor elég nagy i-re kielégíti a szokásos differenciaegyenletet, és így exponenciálisan tart 0-hoz. Tehát, így stacionárius folyamatot kapunk. A megoldás így is írható: 1

27 MA(q)-modell Ez tehát minden paraméterértékre stacionárius. A paraméterezés máshogyan: a 1 választással.

28 ARMA(p,q)-modell 1 1 ha egyesével kifejtjük a tagokat, látszik, hogy a stacionaritás feltétele az AR(p)-rész stacionaritása azaz: AR-tagok karakterisztikus gyökei az egységkörön belül legyenek

29 Példa: folyamat szimulációja, IRF meghatározása

30 ACF, PACF ARMA- MODELLEKBEN

31 Invertibilitás Invertibilitás: ha felírható (konvergens) AR( ) alakban: (megint feltesszük, hogy a várható érték zérus) AR(p)-modell mindig invertibilis. MA(1)-modell: Csak akkor invertibilis, ha 1: Sıt minden MA(1)-folyamatnak van invertibilis és nem invertibilis reprezentációja: y t = ε t + βε t-1 = y t = ε t * + (1/β)ε t-1 * megfelelı ε t * zajjal.

32 Invertibilitás, folyt. Hasonlóan az MA(q) folyamat akkor és csak akkor invertibilis, ha az 1 polinom minden gyöke az egységkörön kívül van hiszen 1 ARMA(p,q) invertibilitásának feltétele: MA(q)- rész invertibilitása

33 Autokorrelációk ARMAmodellekben Közvetlenül is kiszámolhatók lennének az ARMA-modellek MA( )-reprezentációjából. Pl. MA(q)-modell esetén egyszerű: / AR-tag jelenlétekor az ún. Yule-Walkeregyenleteket érdemes használni.

34 Yule-Walker-egyenletek AR(p)-modell esetén Vegyük a modelldefiníció mindkét oldalának szorzatát -sel, majd várható értéket. Így a Yule-Walker-egyenletek: γ 0 = a 1 γ 1 + a 2 γ a p γ p +σ 2 γ s = a 1 γ s-1 + a 2 γ s a p γ s-p s = 1, 2, A 0.,,p-1. egyenletet rendszerként meg kell oldani, majd már rekurzió következik a szokásos homogén egyenlettel. Ugyanez az autokorrelációkra: ρ 0 = 1 ρ s = a 1 ρ s-1 + a 2 ρ s a p ρ s-p s = 1, 2,

35 Yule-Walker egyenletek ARMA(p,q) modell esetén Az AR(p) esethez hasonló módon felírhatók a momentum-összefüggések. Az első néhány egyenlet rendszerként megoldható, majd rekurziót kapunk: ρ s = a 1 ρ s-1 + a 2 ρ s a p ρ s-p ha s>max(p,q) tehát a lecsengés egy idı után pontosan olyan, mint egy AR(p) modell esetén (az MA-tagok csak az elsı néhány autokorrelációt befolyásolják).

36 Példa: autokorrelációk meghatározása

37 Parciális autokorreláció (PAC) és összefüggését méri, az összes köztük levő megfigyelés hatásának kiszűrésével Formálisan: PAC(s) = együttható az populációs regresszióban. Könnyen látható, hogy. A többi PAC bonyolultabb rekurzióval határozható meg.

38 ACF és PACF ARMA-modellben Autokorrelációk: AR(p) modell esetén: nincs levágás MA(q) modell esetén: 0 ha s>q. Parciális autokorrelációk: AR(p) modell esetén: 0 ha s>p. MA(q) esetén: nincs levágás (ami látszik az AR( ) reprezentációból) ARMA(p,q): ACF és PACF sem vág le

39

40