Differenciaegyenletek

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Differenciaegyenletek"

Átírás

1 Differenciaegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 1 / 24

2 3.1 Differenciaegyenlet fogalma, egzisztencia- és unicitástétel Jelölje by N 0 a nemnegatív egészek halmazát, azaz N 0 = N {0}. Legyen f : N 0 R R adott függvény, akkor az y(n + 1) = f (n, y(n)) (n N 0 ) egyenletet elsőrendű explicit differenciaegyenletnek nevezzük. Világos, hogy ha y(0) adott akkor az egyenletből egyértelműen meghatározható az y(n) (n N 0 ) sorozat valamennyi eleme. Egzisztencia- és unicitástétel Adott f : N 0 R R és a(0) R esetén egyetlen olyan y(n) (n N 0 ) sorozat van melyre y(n + 1) = f (n, y(n)) (n N 0 ) és y(0) = a(0) teljesül. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 2 / 24

3 3.2 Egy egyszerű elsőrendű egyenlet Tekintsük az y(n + 1) + py(n) = f (n) (n N 0 ) differenciaegyenletet, ahol p 0 adott konstans f : N 0 R adott sorozat. Felírva az egyenletet n = 0, 1, re kapjuk, hogy y(1) = py(0) + f (0) y(2) = py(1) + f (1) = p( py(0) + f (0)) + f (1) = ( p) 2 y(0) pf (0) + f (1) y(3) = py(2) + f (2) = p(( p) 2 y(0) pf (0) + f (1)) + f (2) = ( p) 3 y(0) + ( p) 2 f (0) pf (1) + f (2) Indukcióval igazolhatjuk, hogy n 1 y(n) = ( p) n y(0) + ( p) n 1 k f (k) (n N 0 ) k=0 egyenletünk általános megoldása ahol y(0) tetszőleges. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 3 / 24

4 3.3 Egy növekedési modell Legyen Y (n) a nemzeti jövedelem, I(n) a teljes beruházás és S(n) a teljes megtakarítás az n-edik évben. Tegyük fel, hogy a megtakarítás arányos a nemzeti jövedelemmel, a beruházás arányos a nemzeti jövedelem növekményével az n-edik évtől az n + 1-edik évre és a beruházást a megtakarítás fedezi (ez egy egyensúlyi feltétel ami szerint a teljes megtakarítást beruházásra fordítjuk). Ekkor teljesül a következő egyenletrendszer. S(n) I(n + 1) S(n) = αy (n) = β (Y (n + 1) Y (n)) = I(n). Itt α, β pozitív konstansok, melyekre β > α > 0. Keressük meg Y (n)-et, ha Y (0) adott! Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 4 / 24

5 3.4 Egy növekedési modell: a megoldás A harmadik majd az első egyenletet a másodikba helyettesítve kapjuk, hogy I(n + 1) = S(n + 1) = αy (n + 1) = β (Y (n + 1) Y (n)) vagy Y (n + 1) β ( ) α Y (n) = Y (n + 1) 1 + Y (n) = 0 β α β α Felhasználva az előzőkben kapott megoldást p = 1 + α β α adatokkal kapjuk, hogy, f (n) = 0 Y (n) = ( ) α n 1 + Y (0) (n N 0 ). β α % konstans növekedési rátát ad minden évben, vagy Ez 100α β α α Y (n+1) Y (n) β α = Y (n) konstans relatív növekedést. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 5 / 24

6 3.5 Pókháló modell Ha elsőrendű differenciaegyenletünkben az f függvény csak a második változótól függ azaz egyenletünk y(n + 1) = f (y(n)) (n N 0 ) és y(0) = a(0) alakú, akkor a megoldást egy un. pókháló modellel szemléltethetjük: megrajzoljuk a f függvény gráfját, és az y = x egyenest, az (y(0), y(0)) = (a(0), a(0)) pontot egy egyenes szakasszal összekötjük az (y(0), f (y(0))) = (y(0), y(1)) ponttal, majd ezt a pontot egy egyenes szakasszal összekötjük az (y(1), y(1)) ponttal, ismételjük az eljárást az (y(1), y(1)) pontból indulva, és így tovább. A fenti algoritmusban az y tengellyel párhuzamos összekötő szakaszokat az x tengelyig meghosszabbítva kapjuk e tengelyen a sorozat y(0), y(1),... elemeit. A következő példánál az ábránkon ezeket a meghosszabbításokat nem rajzoltuk be, csupán a sorozat elemeit jelöltük be az x tengelyen. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 6 / 24

7 3.6 Pókháló modell: példa Ábránkon az y(n + 1) = 4 y(n) (n N 0 ) differenciaegyenletre vonatkozó pókhálót vázoltuk y(0) = 0 kezdőérték mellett, y(1) = 2, y(2) = 2 1, 414, y(3) = 4 2 1, 608. Az ábrán a f (x) = 4 x és a h(x) = x függvények vannak felrajzolva. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 7 / 24

8 3.7 Másodrendű differenciaegyenlet, egzisztencia- és unicitástétel Legyen f : N 0 R R R adott függvény, akkor az y(n + 2) = f (n, y(n + 1), y(n)) (n N 0 ) egyenletet másodrendű explicit differenciaegyenletnek nevezzük. Világos, hogy ha y(0), y(1) adottak akkor az egyenletből egyértelműen meghatározható az (y(n)) (n N 0 ) sorozat valamennyi eleme. Egzisztencia- és unicitástétel Adott f : N 0 R R R és a(0), a(1) R esetén egyetlen olyan (y(n)) (n N 0 ) sorozat van melyre y(n + 2) = f (n, y(n + 1), y(n)) (n N 0 ) és y(0) = a(0), y(1) = a(1) teljesül. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 8 / 24

9 3.8 Lineáris differenciaegyenletek Az alábbiakban az áttekinthetőség kedvéért másodrendű differenciaegyenletekkel foglalkozunk, de teljesen hasonló eredmények érvényesek n-edrendű egyenletekre is. Lineáris differenciaegyenletek Adott p, q, f : N 0 R függvények esetén az y(n + 2) + p(n)y(n + 1) + q(n)y(n) = f (n) (n N 0 ) (1) egyenletet másodrendű lineáris differenciaegyenletnek nevezzük. A p, q függvények az egyenlet együtthatói, f az egyenlet szabad tagja. Feltesszük, hogy a q együttható nem zérus (különben egyenletünk másodrendűnél alacsonyabbrendű volna, amint azt egy n n 1 index eltolással láthatjuk). Az (1) egyenletet homogénnek nevezzük ha f (n) = 0 (n N 0 ), ellenkező esetben inhomogén egyenletről beszélünk. A homogén egyenletet melyet (1)-ből f (n) = 0 helyettesítéssel kapunk az (1) egyenlethez asszociált (kapcsolt) homogén egyenletnek nevezzük. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 9 / 24

10 3.8 Lineáris differenciaegyenletek Világos, hogy adott a(0), a(1) R esetén egyetlen olyan (y(n)) (n N 0 ) sorozat van melyre y(n + 2) + p(n)y(n + 1) + q(n)y(n) = f (n) (n N 0 ) és y(0) = a(0), y(1) = a(1) teljesül. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 10 / 24

11 3.9 Lineáris homogén differenciaegyenletek általános megoldása A másodrendű lineáris homogén differenciaegyenletek általános alakja y(n + 2) + p(n)y(n + 1) + q(n)y(n) = 0 (n N 0 ). (2) ahol p, q adott sorozatok, q(n) 0 valamely n N 0 -ra. Könnyű ellenőrizni, hogy ha y 1 (n), y 2 (n) (n N 0 ) a (2) egyenlet megoldásai, akkor tetszőleges C 1, C 2 együtthatókkal képezett y(n) = C 1 y 1 (n) + C 2 y 2 (n) (n N 0 ) lineáris kombinációjuk is megoldása (2)-nek, és minden megoldás ilyen alakban kapható meg (feltéve, hogy az y 1 (n), y 2 (n) (n N 0 ) megoldások lineárisan függetlenek, azaz fenti linearis kombinációjuk csak úgy lehet nulla, ha C 1 = C 2 = 0, vagy másképpen, e sorozatok nem egymás konstansszorosai). Azt is mondjuk, hogy y(n) = C 1 y 1 (n) + C 2 y 2 (n) (n N 0 ) a (2) egyenlet általános megoldása. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 11 / 24

12 3.10 Megoldások lineáris függetlensége, Casorati determináns Nem nehéz igazolni, hogy a (2) homogén egyenlet y 1 (n), y 2 (n) (n N 0 ) megoldásai lineárisan függetlenek akkor és csakis akkor ha e sorozatok Casorati determinánsa, azaz C y1,y 2 (n) := y 1 (n) y 2 (n) y 1 (n + 1) y 2 (n + 1) 0 valamely n 0 N 0 esetén. Sőt, az is igaz, hogy ha C y1,y 2 (n 0 ) 0 valamely n 0 N 0 -ra, akkor C y1,y 2 (n) 0 minden n N 0 esetén. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 12 / 24

13 3.11 Lineáris inhomogén egyenletek: a megoldás szerkezete Könnyű igazolni, hogy az y(n + 2) + p(n)y(n + 1) + q(n)y(n) = f (n) (n N 0 ). (ahol q(n) 0 valamely n N 0 -ra) másodrendű lineáris inhomogén egyenlet általános megoldása y(n) = y h (n) + ȳ(n) (n N 0 ) alakú, ahol y h (n) = C 1 y 1 (n) + C 2 y 2 (n) az asszociált homogén egyenlet általános megoldása (azaz y 1 (n), y 2 (n) lineárisan független megoldásai az asszociált homogén egyenletnek, C 1, C 2 tetszőleges konstansok) és ȳ(n) egy u.n. partikuláris megoldása inhomogén egyenletünknek. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 13 / 24

14 3.12 Konstansegyütthatós lineáris homogén differenciaegyenletek Ha az (1) egyenletben p, q R, q 0 konstans függvények (sorozatok) és f (n) = 0 (n N 0 ), akkor másodrendű konstansegyütthatós lineáris homogén differenciaegyenletet kapunk: y(n + 2) + py(n + 1) + qy(n) = 0 (n N 0 ). (3) A (3) egyenlettel párhuzamosan tekintsük a λ 2 + pλ + q = 0 (4) másodfokú algebrai egyenletet (ezt a (3) egyenlet karakterisztikus egyenletének nevezzük). (4)-et λ n -nel megszorozva kapjuk, hogy λ n+2 + pλ n+1 + qλ n = 0 amiből látható, hogy az y(n) = λ n sorozat megoldása (3)-nak, akkor és csakis akkor, ha λ megoldása a (4) karakterisztikus egyenletnek. A megoldások viselkedése a (4) egyenlet D = p 2 4q diszkriminánsától függ. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 14 / 24

15 3.13 A megoldás menete Ha p 2 4q > 0, akkor a karakterisztikus egyenletnek két különböző valós λ 1 λ 2 megoldása van, és ekkor y 1 (n) = λ n 1, y 2(n) = λ n 2 (n N 0 ). lineárisan független megoldásai (3)-nak, mivel Casorati determinánsuk a 0 pontban C y1,y 2 (0) = 1 1 λ 1 λ 2 = λ 2 λ 1 0. Ezért most a (3) egyenlet általános megoldása y(n) = C 1 λ n 1 + C 2λ n 2 (n N 0 ) ahol C 1, C 2 tetszőleges konstansok. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 15 / 24

16 3.13 A megoldás menete Ha p 2 4q = 0, akkor a karakterisztikus egyenletnek egy kétszeres valós λ 1 == p 2 megoldása van, ekkor igazolható, hogy y 1 (n) = λ n 1, y 2(n) = nλ n 1 (n N 0) megoldásai (3)-nak. λ 1 = p 2 0 mivel ha p 2 = 0, p2 4q = 0 volna, akkor p = q = 0, ami ellentmond a q 0 feltételnek. y 1 (n), y 2 (n) lineárisan függetlenek, mivel Casorati determinánsuk a 0 pontban C y1,y 2 (0) = 1 0 λ 1 λ 1 = λ 1 0. Ezért most (3) általános megoldása y(n) = C 1 λ n 1 + C 2nλ n 1 (n N 0 ) ahol C 1, C 2 tetszőleges konstansok. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 16 / 24

17 3.13 A megoldás menete Ha p 2 4q < 0, akkor a karakterisztikus egyenletnek két különböző komplex gyöke van λ 1,2 = α ± iβ ahol α = p 2, β = 4q p 2 2 0, vagy trigonometrikus alakban λ 1,2 = r(cos ϑ ± i sin ϑ) ahol (r = α 2 + β 2, cos ϑ = α r ). Ekkor λ n 1,2 = r n (cos(ϑn) ± i sin(ϑn)), a valós és képzetes részek lineárisan független megoldások, mivel Casorati determinánsuk a 0 pontban C y1,y 2 (0) = 1 0 r cos ϑ r sin ϑ = r sin ϑ = r β r = β 0. A (3) egyenlet általános megoldása y(n) = C 1 r n cos(ϑn) + C 2 r n sin(ϑn) (n N 0 ) ahol C 1, C 2 tetszőleges konstansok. A megoldás átírható y(n) = Ar n cos(ϑn + ω) vagy y(n) = Ar n sin(ϑn + ω) (n N 0 ) alakba is, ahol A, ω tetszőleges konstansok. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 17 / 24

18 3.14 A határozatlan együtthatók módszere A határozatlan együtthatók módszere Ha az inhomogén egyenlet f (n) szabad tagja az a n, n k, cos βn, sin βn (5) sorozatok lineáris kombinációja (vagy ilyenek szorzata) akkor az inhomogén egyenletnek van olyan ȳ(n) megoldása, mely az alábbi sorozatok lineáris kombinációja a n, (1, n, n 2,..., n k ), (sin βn, cos βn), (cos βn, sin βn) (vagy ilyenek szorzata), feltéve hogy az (5)-beli sorozatok egyike sem megoldása a homogén egyenletnek. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 18 / 24

19 3.14 A határozatlan együtthatók módszere A határozatlan együtthatók módszere Az alábbi táblázatban láthatjuk az inhomogén egyenlet megoldásának (próbamegoldás) alakját (amennyiben f (n) nem megoldása az asszociált homogén egyenletnek): f (n) ȳ(n) a n A 1 a n n k A k n k + A k 1 n k A 1 n + A 0 n k a n (A k n k + A k 1 n k A 1 n + A 0 )a n sin βn A 1 sin βn + A 2 cos βn cos βn A 1 sin βn + A 2 cos βn a n sin βn a n (A 1 sin βn + A 2 cos βn) a n cos βn a n (A 1 sin βn + A 2 cos βn) a n n k sin βn a n (A k n k +...+A 0 )sin βn+a n (B k n k +...+B 1 n+b 0 )cos βn a n n k cos βn a n (A k n k +...+A 0 )sin βn+a n (B k n k +...+B 1 n+b 0 )cos βn Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 19 / 24

20 3.14 A határozatlan együtthatók módszere A határozatlan együtthatók módszere Ha a próbamegoldás valamelyik tagja megoldása az asszociált homogén egyenletnek, akkor e tagnak megfelelő próbamegoldás minden tagját szorozni kell n r -lel, ahol r az a minimális kitevő amivel teljesül az, hogy az új, (n r -nel megszorzott) próbamegoldás már nem megoldása az asszociált homogén egyenletnek. 1.PÉLDA. Az y(n + 2) 5y(n + 1) + 6y(n) = 0 (n N 0 ) homogén egyenlet karakterisztikus egyenlete λ 2 5λ + 6 = 0 aminek két gyöke van λ 1 = 2, λ 2 = 3 így általános megoldása y h (n) = C 1 2 n + C 2 3 n. 2.PÉLDA. Az y(n + 2) 5y(n + 1) + 6y(n) = 4 n + n (n N 0 ) inhomogén egyenlet egyenlet általános megoldása y(n) = C 1 2 n + C 2 3 n + ȳ(n), ahol módszerünk alapján ȳ(n) = A 4 n + Bn 2 + Cn + D (n N 0 ), A, B, C, D határozatlan együtthatók. Behelyettesítve ȳ(n)-t átrendezés után kapjuk, hogy Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 20 / 24

21 3.14 A határozatlan együtthatók módszere: példa 2A 4 n + 2Bn 2 + ( 6B + 2C)n + ( B 3C + 2D) = 4 n + n Mivel 4 n, n 2, n, 1 lineárisan függetlenek, ebből következik, hogy 2A = 1, 2B = 1, 6B + 2C = 0, B 3C + 2D = 3. Megoldva ezt az egyenletrendszert kapjuk, hogy A = 1/2, B = 1/2, C = 3/2, D = 4. Ezért példánk általános megoldása y(n) = C 1 2 n + C 2 3 n n n n + 4 (n N 0). 3.PÉLDA. Az y(n + 2) 5y(n + 1) + 6y(n) = 2 n (n + 3) (n N 0 ) inhomogén egyenlet egyenlet általános megoldása y(n) = C 1 2 n + C 2 3 n + ȳ(n), ahol módszerünk alapján ȳ(n) = 2 n (An + B)n (n N 0 ), A, B határozatlan együtthatók. Behelyettesítve ȳ(n)-t és kiszámolva az együtthatókat, kapjuk, A = 1 4, B = 9 4, ȳ(n) = 1 4 2n (n + 9)n. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 21 / 24

22 3.15 A növekedés multiplikátor-akcelerátor modellje Jelölje Y (n) egy ország n időpontban (évben) megfigyelt nemzeti jövedelmét, C(n) a teljes fogyasztását és I(n) a teljes beruházást. Tegyük fel, hogy Y (n) = C(n) + I(n), C(n + 1) = ay (n) + b, I(n + 1) = c (C(n + 1) C(n)), (n N 0 ), ahol a, b, c (pozitív) konstansok. Az első egyenlet szerint a nemzeti jövedelem fogyasztásból és beruházásbol áll. A második egyenlet alapján az n + 1-edik időszak fogyasztása az előző periódus nemzeti jövedelmének lineáris függvénye. Ez a modell multiplikátor oldala. Végezetül az utolsó egyenlet azt állítja, hogy az n + 1-edik időszak beruházása az előző időszak fogyasztásának növekedésével arányos. Ez a modell akcelerátor oldala. Az összevont multiplikátor-akcelerátor modellt számos közgazdász vizsgálta, akik közül P. A. Samuelson nevét emeljük ki. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 22 / 24

23 3.15 A növekedés multiplikátor-akcelerátor modellje Tegyük fel, hogy C(0), Y (0) ismert, akkor mindhárom függvényt/sorozatot ki tudjuk számolni. Az alábbiakban Y (n) meghatározás a célunk. Írjunk n helyére n + 2-t az első egyenletben és n helyére n + 1-t a második és harmadik egyenletekben: Az utolsó egyenletet átírhatjuk Y (n + 2) = C(n + 2) + I(n + 2), C(n + 2) = ay (n + 1) + b, I(n + 2) = c (C(n + 2) C(n + 1)). I(n + 2) = c (ay (n + 1) + b (ay (n) + b)) = ca (Y (n + 1) Y (n)) alakba. Ezt és a második egyenletet az elsőbe helyettesítve kapjuk, hogy Y (n + 2) a(1 + c)y (n + 1) + acy (n) = b (n N 0 ). (a) Vizsgálja az asszociált homogén egyenlet karakterisztikus egyenletét, és a homogén egyenlet megoldásait! (b) Keresse meg az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 23 / 24

24 3.16 Gyakorló feladatok y(n + 2) 6y(n + 1) + 8y(n) = 0, y(0) = 0, y(1) = 1, y(n + 2) + 2y(n + 1) + 3y(n) = 0, y(n + 2) 2y(n + 1) + 5y(n) = 0, y(n + 2) 8y(n + 1) + 16y(n) = 0, y(n + 2) 8y(n + 1) + 16y(n) = 2 4 n + 2n 3, y(n + 2) 6y(n + 1) + 8y(n) = 5 3 n + 2n 2 1, 3y(n + 2) + 2y(n) = 4n + 6, y(n + 1) + 2y(n) = 5 n, y(n + 3) + y(n + 2) y(n + 1) y(n) = 0. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 24 / 24

Differenciaegyenletek

Differenciaegyenletek Differenciaegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2009/10 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 2009/10 tanév, I. félév 1 / 11

Részletesebben

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét! Komplex számok 014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. (z 1 z ) (z 1 z ) (( i) (4i 1)) (6 9i 8i + ) 8 17i 8 + 17i. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

DIFFERENCIAEGYENLETEK

DIFFERENCIAEGYENLETEK DIFFERENCIAEGYENLETEK A gazdaság változómennyiségeit (jövedelem, fogyasztás, beruházás,...) általában bizonyos időszakonként (naponta, hetente, havonta, évente) figyeljük meg. Ha ezeket a megfigyeléseket

Részletesebben

2. Interpolációs görbetervezés

2. Interpolációs görbetervezés 2. Interpolációs görbetervezés Gondoljunk arra, hogy egy grafikus tervező húz egy vonalat (szabadformájú görbét), ezt a vonalat nekünk számítógép által feldolgozhatóvá kell tennünk. Ennek egyik módja,

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

Témakörök az osztályozó vizsgához. Matematika

Témakörök az osztályozó vizsgához. Matematika Témakörök az osztályozó vizsgához Idegenforgalmi és Informatikus osztályok (9.A/9.B) 1. A halmazok, számhalmazok, ponthalmazok 2. Függvények 3. A számelmélet elemei. Hatványozás. 0 és negatív kitevőjű

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

Lineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai

Lineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Lineáris Algebra GEMAN 203-B A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b

Részletesebben

Modern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 9. mérés: Röntgen-fluoreszcencia analízis. 2008. április 22.

Modern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 9. mérés: Röntgen-fluoreszcencia analízis. 2008. április 22. Modern Fizika Labor Fizika BSc A mérés dátuma: 28. április 22. A mérés száma és címe: 9. mérés: Röntgen-fluoreszcencia analízis Értékelés: A beadás dátuma: 28. május 5. A mérést végezte: Puszta Adrián,

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009 86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek

Részletesebben

Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek Differenciálegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 1 /

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma

Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9.Ny osztály Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma Algebra és számelmélet Alapműveletek az egész és törtszámok körében Műveleti sorrend,

Részletesebben

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Szerkesztette: I. N. Szergejeva 2015. február 2. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................

Részletesebben

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

A kvantummechanika általános formalizmusa

A kvantummechanika általános formalizmusa A kvantummechanika általános formalizmusa October 4, 2006 Jelen fejezetünk célja bevezetni egy általános matematikai formalizmust amelynek segítségével a végtelen dimenziós vektorterek elegánsan tárgyalhatók.

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

Gyakorló feladatok a Közönséges dierenciálegyenletek kurzushoz

Gyakorló feladatok a Közönséges dierenciálegyenletek kurzushoz Gyakorló feladatok a Közönséges dierenciálegyenletek kurzushoz Vas Gabriella 204. február A feladatgy jtemény a TÁMOP-4.2.4.A/2-/-202-000 azonosító számú Nemzeti Kiválóság Program Hazai hallgatói, illetve

Részletesebben

Matematika POKLICNA MATURA

Matematika POKLICNA MATURA Szakmai érettségi tantárgyi vizsgakatalógus Matematika POKLICNA MATURA A tantárgyi vizsgakatalógus a 0-es tavaszi vizsgaidőszaktól kezdve alkalmazható mindaddig, amíg új nem készül. A katalógus érvényességét

Részletesebben

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból A vizsga formája: Feladatlap az adott évfolyam anyagából, a megoldásra fordítható idő 60 perc.

Részletesebben

Differenciál egyenletek

Differenciál egyenletek Galik Zsófia menedzser hallgató Differenciál egyenletek osztályzása Differenciál egyenletek A differenciálegyenletek olyan egyenletek a matematikában (közelebbről a matematikai analízisben), melyekben

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja. 9. ÉVFOLYAM Gondolkodási módszerek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok

Részletesebben

Gáspár Csaba. Analízis

Gáspár Csaba. Analízis Gáspár Csaba Analízis Készült a HEFOP 3.3.-P.-004-09-00/.0 pályázat támogatásával Szerzők: Lektor: Gáspár Csaba Szili László, egyetemi docens c Gáspár Csaba, 006. Tartalomjegyzék. Bevezetés 5. Alapvető

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc numerikus módszerei számítógépes írta Karátson, János, Horváth, Róbert, és Izsák, Ferenc Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Karátson János, Horváth Róbert,

Részletesebben

Optika feladatok (szemelvények a 333 Furfangos Feladat Fizikából könyvből)

Optika feladatok (szemelvények a 333 Furfangos Feladat Fizikából könyvből) Fénytan 1 Optika feladatok (szemelvények a 333 Furfangos Feladat Fizikából könyvből) Feladatok F. 1. Vízszintes asztallapra fektetünk egy negyedhenger alakú üvegtömböt, amelynek függőlegesen álló síklapját

Részletesebben

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,

Részletesebben

A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából

A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából A továbbhaladás feltételei a 9. szakközépiskolai osztályban fizikából 2 Minimum követelmények 2 A továbbhaladás feltételei a 10. szakközépiskolai osztályban

Részletesebben

Egyetemi matematika az iskolában

Egyetemi matematika az iskolában Matematikatanítási és Módszertani Központ Egyetemi matematika az iskolában Hegyvári Norbert 013 Tartalomjegyzék 1. Irracionális számok; 4. További irracionális számok 7 3. Végtelen tizedestörtek 7 4. Végtelen

Részletesebben

Diszkrét Matematika I.

Diszkrét Matematika I. Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. egyetemi jegyzet mobidiák

Részletesebben

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség 5. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. Gondolkodnivalók Vektortér 1. Gondolkodnivaló Alteret alkotnak-e az R n n (valós n n-es mátrixok) vektortérben az alábbi részhalmazok? U 1 =

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx

Részletesebben

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.) Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2006. február 22.) 2 3 Erdős Jenő emlékének. 4 Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 7 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása...............

Részletesebben

23. ISMERKEDÉS A MŰVELETI ERŐSÍTŐKKEL

23. ISMERKEDÉS A MŰVELETI ERŐSÍTŐKKEL 23. ISMEKEDÉS A MŰVELETI EŐSÍTŐKKEL Céltűzés: A műveleti erősítők legfontosabb tlajdonságainak megismerése. I. Elméleti áttentés A műveleti erősítők (továbbiakban: ME) nagy feszültségerősítésű tranzisztorokból

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. ***************

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. *************** JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS II. Folytonosság, differenciálhatóság *************** Pécs, 1996 Lektorok: DR. SZÉKELYHIDI LÁSZLÓ egyetemi tanár, a mat. tud. doktora DR. SZILI LÁSZLÓ

Részletesebben

Logaritmikus egyenletek Szakközépiskola, 11. osztály. 2. feladat. Oldjuk meg a következ logaritmikus egyenletet!

Logaritmikus egyenletek Szakközépiskola, 11. osztály. 2. feladat. Oldjuk meg a következ logaritmikus egyenletet! Logaritmikus egyenletek Szakközépiskola,. osztály. feladat. Oldjuk meg a következ logaritmikus egyenletet! lg(0x ) lg(x + ) = lg () Kikötések: x > 5 és x >. lg(0x ) lg(x + ) = lg () lg 0x (x + ) = lg (3)

Részletesebben

Brückler Zita Flóra. Lineáris rendszerek integrálása

Brückler Zita Flóra. Lineáris rendszerek integrálása Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Brückler Zita Flóra Lineáris rendszerek integrálása BSc szakdolgozat Témavezető: Dr. Kovács Sándor Numerikus Analízis Tanszék Budapest, 2012 Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 113 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Dekonvolúció, Spike dekonvolúció. Konvolúciós föld model

Dekonvolúció, Spike dekonvolúció. Konvolúciós föld model Dekonvolúció, Spike dekonvolúció Konvolúciós föld model A szeizmikus hullám által átjárt teret szeretnénk modelezni A földet úgy képzeljük el, mint vízszintes rétegekből álló szűrő rendszert Bele engedünk

Részletesebben

Ismerkedés az Abel-csoportokkal

Ismerkedés az Abel-csoportokkal Ismerkedés az Abel-csoportokkal - Szakdolgozat - Készítette: Takács Mária (Matematika BSc, Tanári szakirány) Témavezető: Kiss Emil (Algebra és Számelmélet Tanszék, Matematikai Intézet) Eötvös Loránd Tudományegyetem

Részletesebben

Differenciaegyenletek a differenciálegyenletek

Differenciaegyenletek a differenciálegyenletek Differenciaegyenletek a differenciálegyenletek tükrében Guzsvány Szandra Újvidéki Egyetem, Természettudományi Kar, Újvidék E-mail: g.sandra@citromail.hu 1. Bevezetés 1.1. Történeti áttekintés Dolgozatom

Részletesebben

A műszaki rezgéstan alapjai

A műszaki rezgéstan alapjai A műszaki rezgéstan alapjai Dr. Csernák Gábor - Dr. Stépán Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Műszaki Mechanikai Tanszék 2012 Előszó Ez a jegyzet elsősorban gépészmérnök hallgatóknak

Részletesebben

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255 TARTALOM. SZÁMHALMAZOK...5.. Természetes kitevőjű hatványok...5.. Negatív egész kitevőjű hatványok...6.. Racionális kitevőjű hatványok...7.4. Irracionális kitevőjű hatványok...0.5. Négyzetgyök és köbgyök...

Részletesebben

Bevezetés az ökonometriába

Bevezetés az ökonometriába Bevezetés az ökonometriába Többváltozós lineáris regresszió: mintavételi vonatkozások és modelljellemzés Ferenci Tamás MSc 1 tamas.ferenci@medstat.hu 1 Statisztika Tanszék Budapesti Corvinus Egyetem Harmadik

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.

Részletesebben

Méréssel kapcsolt 3. számpélda

Méréssel kapcsolt 3. számpélda Méréssel kapcsolt 3. számpélda Eredmények: m l m 1 m 3 m 2 l l ( 2 m1 m2 m l = 2 l2 ) l 2 m l 3 = m + m2 m1 Méréssel kapcsolt 4. számpélda Állítsuk össze az ábrán látható elrendezést. Használjuk a súlysorozat

Részletesebben

Elemi matematika szakkör

Elemi matematika szakkör lemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 26. 1.1. eladat. z konvex négyszögben {} = és { } = (lásd a mellékelt ábrát). izonyítsd be, hogy a következő három kijelentés egyenértékű: 1. z négyszögbe

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Differenciálegyenletek a hétköznapokban

Differenciálegyenletek a hétköznapokban Differenciálegyenletek a hétköznapokban BSc Szakdolgozat Írta: Gondos Réka Matematika BSc, alkalmazott matematikus szakirány Témavezető: Besenyei Ádám adjunktus Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai

Részletesebben

Csődvalószínűségek becslése a biztosításban

Csődvalószínűségek becslése a biztosításban Csődvalószínűségek becslése a biztosításban Diplomamunka Írta: Deák Barbara Matematikus szak Témavezető: Arató Miklós, egyetemi docens Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem,

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18 Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök

Részletesebben

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről.

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. Kiegészítés az előadássorozathoz. Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. A valószínűségszámítás (és a matematika) bizonyos kérdéseiben fontos szerepet játszik a lineáris algebra néhány

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. január 18.

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. január 18. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. január 18. EMELT SZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA Név E-mail cím Tanárok neve Pontszám 2014. január 18. Időtartam: 240 perc STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ Matematika

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

Programozási módszertan. Dinamikus programozás: Nyomtatási feladat A leghosszabb közös részsorozat

Programozási módszertan. Dinamikus programozás: Nyomtatási feladat A leghosszabb közös részsorozat PM-04 p. 1/18 Programozási módszertan Dinamikus programozás: Nyomtatási feladat A leghosszabb közös részsorozat Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu

Részletesebben

Fogaskerék hajtások I. alapfogalmak

Fogaskerék hajtások I. alapfogalmak Fogaskeék hajtások I. alapfogalmak A fogaskeekek csopotosítása A fogaskeékhajtást az embeiség évszázadok óta használja. A fogazatok geometiája má a 8-9. században kialakult, de a geometiai és sziládsági

Részletesebben

6. modul Egyenesen előre!

6. modul Egyenesen előre! MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert)

GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert) GYAKORLAT. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok lásd EA-ban is; iskolából ismert I. Halmazok.. Alapfogalmak: "halmaz" és "eleme". Halmaz kritériuma: egyértelm en eldönthet,

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

Matematikai modellalkotás

Matematikai modellalkotás Konferencia A Korszerű Oktatásért Almássy Téri Szabadidőközpont, 2004. november 22. Matematikai modellalkotás (ötletek, javaslatok) Kosztolányi József I. Elméleti kitekintés oktatási koncepciók 1. Realisztikus

Részletesebben

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................

Részletesebben

Matematika III. harmadik előadás

Matematika III. harmadik előadás Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

Nemlineáris optimalizálás

Nemlineáris optimalizálás Nemlineáris optimalizálás Rapcsák Tamás 2005. Előszó A Nemlineáris optimalizálás című anyag a gazdaságmatematikai elemző közgazdász hallgatók számára készült és egyrészt a matematikai alapozó kurzusokra

Részletesebben

2. előadás: További gömbi fogalmak

2. előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak Valamely gömbi főkör ívének α azimutja az ív egy tetszőleges pontjában az a szög, amit az ív és a meridián érintői zárnak be egymással

Részletesebben

Mikrohullámok vizsgálata. x o

Mikrohullámok vizsgálata. x o Mikrohullámok vizsgálata Elméleti alapok: Hullámjelenségen valamilyen rezgésállapot (zavar) térbeli tovaterjedését értjük. A hullám c terjedési sebességét a hullámhossz és a T rezgésido, illetve az f frekvencia

Részletesebben

Szokol Patricia szeptember 19.

Szokol Patricia szeptember 19. a Haladó módszertani ismeretek című tárgyhoz 2017. szeptember 19. Legyen f : N R R adott függvény, ekkor a x n = f (n, x n 1 ), n = 1, 2,... egyenletet elsőrendű differenciaegyenletnek nevezzük. Ha még

Részletesebben

Bevezetés 3. Vizsga tételsor 5. 1 Komplex számok 6. 2 Lineáris algebra 10. 2.2Vektorterek 11

Bevezetés 3. Vizsga tételsor 5. 1 Komplex számok 6. 2 Lineáris algebra 10. 2.2Vektorterek 11 Bevezetés a számításelméletbe 1. A BME I. éves mérnök-informatikus hallgatói számára segédlet a 2007. őszi előadáshoz Összeállította: Fleiner Tamás Utolsó frissítés: 2010. január 13. Tartalomjegyzék Bevezetés

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot

Részletesebben

A kompetitív piac közelítése sokszereplős Cournot-oligopóliumokkal

A kompetitív piac közelítése sokszereplős Cournot-oligopóliumokkal A kompetitív piac közelítése sokszereplős Cournot-oligopóliumokkal Tasnádi Attila Kivonat Mikroökonómia tankönyvekből és példatárakból ismert, hogy egy homogén termékű Cournot-oligopol piacon a termelők

Részletesebben

Függvény deriváltja FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS. lim határértékkel egyenlő, amennyiben az létezik ( lásd Fig. 16).

Függvény deriváltja FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS. lim határértékkel egyenlő, amennyiben az létezik ( lásd Fig. 16). FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS Definíció Definíció Az f ( ) függvény pontban értelmezett deriváltja a f ( + ) f ( ) lim határértékkel egyenlő amennyiben az létezik ( lásd Fig 6) df A deriváltat

Részletesebben

Matematikai programozás gyakorlatok

Matematikai programozás gyakorlatok VÁRTERÉSZ MAGDA Matematikai programozás gyakorlatok 2003/04-es tanév 1. félév Tartalomjegyzék 1. Számrendszerek 3 1.1. Javasolt órai feladat.............................. 3 1.2. Javasolt házi feladatok.............................

Részletesebben

4. FELADATSOR (2015. 03. 02.)

4. FELADATSOR (2015. 03. 02.) 4 FELADATSOR (2015 03 02) 1 feladat Egy rendszer fundamentális egyenlete a következő:,,= a) Írd fel az egyenletet intenzív mennyiségekkel! b) Írd fel az egyenletet entrópiareperezentációban! c) Ellenőrizd,

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

ÉPÍTÉSZETI ÉS ÉPÍTÉSI ALAPISMERETEK

ÉPÍTÉSZETI ÉS ÉPÍTÉSI ALAPISMERETEK Építészeti és építési alapismeretek emelt szint 0812 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2010. október 18. ÉPÍTÉSZETI ÉS ÉPÍTÉSI ALAPISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS

Részletesebben

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =?

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =? 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

Determinisztikus folyamatok. Kun Ferenc

Determinisztikus folyamatok. Kun Ferenc Determinisztikus folyamatok számítógépes modellezése kézirat Kun Ferenc Debreceni Egyetem Elméleti Fizikai Tanszék Debrecen 2001 2 Determinisztikus folyamatok Tartalomjegyzék 1. Determinisztikus folyamatok

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 7 VII. Gyűrűk 1. Gyűrű Definíció Egy a következő axiómákat: gyűrű alatt olyan halmazt értünk, amelyben definiálva van egy összeadás és egy szorzás, amelyek teljesítik (1) egy

Részletesebben