1.7. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

Átírás

1 7 Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek Legyen n N, I R intervallum és A: I M n n (R), B: I R n folytonos függvények, és tekintsük az { y (x) = A(x)y(x) + B(x) y(ξ) = η kezdeti érték problémát, ahol ξ I és η R n Ekkor az A és a B függvények folytonosságából azonnal adódik a fenti kezdeti érték probléma I-n való egyértelmű megoldhatósága 7 Definíció Azt mondjuk, hogy az y,, y n : I R n differenciálható függvényekből álló függvényrendszer a (H) y (x) = A(x)y(x) homogén, lineáris, differenciálegyenlet-rendszer alaprendszere, ha az y,, y n függvények lineárisan függetlenek és megoldásai a fenti differenciálegyenlet-rendszernek Az Y(x) = (y (x),, y n (x)) (x I) módon értelmezett Y: I M n n (R) mátrix értékű függvényt a fenti differenciálegyenlet-rendszer alapmátrixának hívjuk Vegyük észre, hogy Y (x) = ( y (x),, y n(x) ) = (A(x)y (x),, A(x)y n (x)) = A(x)Y(x) 7 Tétel Legyen η,, η n R n n darab lineárisan független vektor, y,, y n pedig a (H) homogén, lineáris, differenciálegyenlet-rendszernek az kezdeti feltételt kielégítő megoldásai Ekkor y i (ξ) = η i (i =,, n) (i) az y,, y n rendszer a (H) homogén, lineáris, differenciálegyenlet-rendszer alaprendszere; (ii) a (H) homogén, lineáris, differenciálegyenlet-rendszer tetszőleges ϕ: I R n megoldásához megadhatóak olyan c,, c n R konstansok, hogy teljesül ϕ(x) = c y (x) + + c n y n (x) (x I) Bizonyítás (i) Indirekt tegyük fel, hogy az y,, y n függvények lineárisan függőek Ekkor léteznek olyan c,, c n nem mind nulla valós konstansok úgy, hogy n i= c i y i (x) = 0 teljesül minden x I esetén Speciálisan, ha x = ξ, akkor n c i η i = 0, i= hiszen y i (ξ) = η i teljesül minden i =,, n esetén Ez azt jelenti, hogy az η,, η n vektorok lineárisan függőek, ami ellentmondás (ii) Mivel {η,, η n } egy n elemű lineárisan független vektorrendszer R n ben, ezért az {η,, η n } vektorok R n egy bázisát alkotják Így, ha ϕ: I R n a (H) homogén, lineáris differenciálegyenlet-rendszer megoldása, akkor n ϕ(ξ) = c i η i i= 2

2 teljesül valamely c,, c n valós konstansok esetén Legyen y(x) = ϕ(x) n c i y i (x) (x I) i= Ekkor y megoldása a (H) homogén, lineáris differenciálegyenlet-rendszernek és y(ξ) = 0 A homogén, lineáris differenciálegyenlet-rendszer egyértelmű megoldhatóságából azonban az adódik, hogy y 0, vagyis ϕ(x) = c y (x) + + c n y n (x) (x I) 72 Definíció Jelölje {e,, e n } R n természetes bázisát A (H) homogén, lineáris differenciálegyenletrendszer azon {y,, y n } R n alaprendszerét, melyre teljesül, standard alaprendszernek nevezzük y i (ξ) = e i (i =,, n) 7 Megjegyzés Ekkor Y = (y,, y n ) az Y = A(x)Y mátrix értékű differenciálegyenlet olyan megoldása, melyre Y(ξ) = I n n 7 Állítás Jelölje Z: I M n n (R) a (H) homogén, lineáris differenciálegyenlet-rendszer alapmátrixát, legyen továbbá Y: I M n n (R) egy standard alapmátrix Ekkor Z(x) = Y(x)Z(ξ) (x I) 73 Definíció Ha Y: I M n n (R) a (H) homogén, lineáris differenciálegyenlet-rendszer alapmátrixa, akkor a w(x) = det (Y(x)) (x I) módon értelmezett w: I R függvényt a (H) homogén, lineáris differenciálegyenlet-rendszer Wronski determinánsának hívjuk 72 Tétel (Liouville) Legyen Z: I M n n (R) a (H) homogén, lineáris differenciálegyenlet-rendszer alapmátrixa és w(x) = det (Z(x)) Ekkor a w: I R függvény megoldása a w (x) = tr (A(x)) w(x) differenciálegyenletnek, azaz Megoldási módszerek ( x ) w(x) = w(ξ) exp tr(a(t))dt ξ (x I) D Alembert-féle redukciós eljárás: Tegyük fel, hogy az n egyenletből álló y (x) = A(x)y(x) egyenletrendszer egy ϕ(x) 0 megoldása ismert Ekkor az egyenletek száma eggyel csökkenthető az alábbi módon Tegyük fel, hogy a ϕ: I R n függvény i edik koordinátája nemnulla egy nyílt intervallumon és keressük a megoldást y(x) = u(x)ϕ(x) + v(x) alakban, ahol u: I R skalárértékű, v: I R n pedig olyan függvény, melynek i edik koordinátafüggvénye nulla Behelyettesítés után az u ra és v-re kapott egyenletrendszer i edik egyenletéből u t és v t beírva a többi egyenletbe, v nemnulla koordinátafüggvényeire egy (n ) egyenletből álló differenciálegyenlet-rendszert kapunk 22

3 2 A csatolás csökkentése: Ha az A együtthatómátrix nem függ x-től (a változótól), azaz, a differenciálegyenlet y (x) = A y(x) + b(x) (x I), akkor válasszuk meg a T mátrixot úgy, hogy a B = T A T mátrix felső (vagy alsó) háromszög-mátrix legyen Ekkor az u = Ty helyettesítéssel u (x) = B u(x) + T b(x) (x I), és az egyik egyenlet csak egy ismeretlen függvényt tartalmaz 3 A konstansvariálás módszere: Tegyük fel, hogy ismert a homogén, lineáris differenciálegyenlet-rendszer egy alapmátrixa, legyen ez Y Ekkor az inhomogén, lineáris differenciálegyenlet-rendszer egy partikuláris megoldása meghatározható ϕ(x) = Y(x)c(x) (x I) alakban, ahol c: I R n egy ismeretlen függvény, melyet az inhomogén egyenletből kell meghatározni 8 Konstansegyütthatós, lineáris differenciálegyenlet-rendszerek 8 Tétel Legyen n N és A M n N (R), ekkor az y = A y homogén, lineáris differenciálegyenlet-rendszer ξ = 0 pontbeli standard alapmátrixa felírható alakban Bizonyítás Y (x) = lim h 0 Y(x + h) Y(x) h = lim h 0 exp(a(x + h)) exp(ax) h Így elegendő azt megmutatni, hogy Valóban, exp(ah) I lim h 0 h = lim h 0 h (Ah) k k=0 k! Y(x) = exp(ax) (x R) exp(ah) I lim h 0 h I = lim h 0 h exp(ax) exp(ah) exp(ax) = lim h 0 h exp(ah) I exp(ah) I = exp(ax) lim = Y(x) lim h 0 h h 0 h = A (Ah) k k= k! = lim h 0 A k h k = k! k= k= A k h k lim h 0 k! 82 Tétel (i) Legyen n N és A M n n (R), melynek sajátértékei λ,, λ k Tegyük fel, hogy Re(λ i ) < 0 (i =,, k) Ekkor az y = A y homogén, lineáris differenciálegyenlet-rendszer tetszőleges ϕ: [0, + [ R n megoldására lim x + ϕ(x) = 0 teljesül 23 = A

4 (ii) Ha létezik olyan i =,, k, melyre Re(λ i ) > 0, akkor a fenti differenciálegyenlet-rendszernek van olyan ϕ: [0, + [ R n megoldása, melyre 9 Differenciálegyenletek stabilitása 9 Bevezető meggondolások lim sup ϕ(x) = + x + Igen sok mechanikai, elektromos és más készülék működése írható le közönséges differenciálegyenlet-rendszerekkel Egy közönséges differenciálegyenlet-rendszernek mindig végtelen sok megoldása van, így egy konkrét megoldás meghatározásához kezdeti értékeket kell kijelölnünk A gyakorlatban használt készülékek azonban rendszerint egyértelműen meghatározott módon működnek, és legalábbis első pillantásra nem lehet felfedezni náluk az egyenletrendszer megoldásainak megfelelő végtelen sokféle működési módot Ennek a magyarázata vagy abban rejlik, hogy a készülék bekapcsolásakor a kezdeti értékeket valamilyen meghatározott módon választjuk meg, vagy abban, hogy a kezdeti értékek a rendszer folyamatos működése során elvesztik a befolyásukat, és a készülék maga stabilizálja a működését egy stacionárius megoldásra Ehhez tekintsük a következő példát Az ingaóra ingája teljesen meghatározott amplitúdójú kilengéseket végez, jóllehet azt a beindításakor kisebb nagyobb mértékben mozdítjuk ki a függőleges helyzetéből Ha a beindításkor az ingát nem mozdítjuk ki eléggé, akkor az néhány rezgés után megáll Ha viszont a kimozdítás elég nagy, akkor rövid idő múlva az inga rezgésének amplitúdója teljesen meghatározott nagyságot ér el, és az ingaóra ezzel a rezgésamplitúdóval működik gyakorlatilag végtelen hosszú ideig Az óra működését leíró rendszernek tehát két stacionárius megoldása van: az óra állásának megfelelő egyensúlyi helyzet és az óra normális járásának megfelelő periodikus megoldás Minden más megoldás és ilyen végtelen sok van nagyon gyorsan e két stacionárius megoldás egyikéhez közeledik, és egy bizonyos idő eltelte után gyakorlatilag nem különbözik tőle Mind a két említett megoldás bizonyos értelemben stabilis A vizsgált példából az is látszik, hogy az óra működését leíró differenciálegyenlet-rendszer fázistere két tartományra esik szét Ha a kezdeti értéket az egyikből vesszük, akkor a megoldás az egyensúlyi helyzethez tart, míg, ha a másikból, akkor a periodikus megoldáshoz Így nyilvánvaló, hogy valamely készülék működésének teljes megértéséhez szükséges, hogy a lehető legpontosabb képünk legyen a szóban forgó készülék működését leíró differenciálegyenlet-rendszer fázisteréről Ennek során az a legfontosabb, hogy ismerjük az egyenletrendszer összes stabilis megoldását A kezdeti értéktől való folytonos függés tétele szerint egy adott kompakt intervallumon a megoldás keveset változik, ha a kezdeti értéket szintén csak kicsit változtatjuk; a megoldások ezen tulajdonsága azonban egyáltalán nem jelenti a megoldás stabilitását Stabilitásról szólva ugyanis azt kívánjuk meg, hogy a megoldás tetszőlegesen nagy időintervallumon is csak keveset változzék, ha a kezdeti értékek kicsit változnak 92 Lyapunov tételei 9 Definíció Legyen ξ R, f : [ξ, [ R n R n folytonos függvény Azt mondjuk, hogy az { y = f (x, y) y(ξ) = η kezdeti érték problémának az η = η 0 kezdeti értékhez tartozó ϕ η0 megoldása stabil, ha (i) ϕ η0 értelmezve van a [ξ, [ intervallumon; (ii) létezik olyan ρ > 0, hogy minden η η 0 < ρ esetén a ϕ η megoldás értelmezve van a [ξ, [ intervallumon; 24

5 (iii) minden ε > 0 esetén van olyan δ > 0, melyre 0 < δ < ρ úgy, hogy η η 0 < δ esetén ϕη (x) ϕ η0 (x) < ε teljesül minden x [ξ, [ esetén ϕ η ϕ η0 ϕ η0 + ε ϕ η0 ε aszimptotikusan stabil, ha (i) ϕ η0 stabil megoldása a kezdeti érték problémának; (ii) lim ϕη x + (x) ϕ η0 (x) = 0 teljesül instabil, ha nem stabil ϕ η ϕ η0 ϕ η0 + ε ϕ η0 ε teljesen instabil, ha (i) ϕ η0 értelmezve van a [ξ, [ intervallumon; (ii) létezik olyan κ > 0, hogy minden η η 0 < κ esetén a ϕ η megoldás értelmezve van a [ξ, [ intervallumon; (iii) létezik egy olyan 0 < ρ < κ konstans, hogy minden η η 0 < ρ esetén van olyan T(η) > 0, hogy ϕ η0 (x) ϕ η (x) > ρ teljesül minden x [T(η), [ esetén 25

6 ϕ η ϕ η0 ϕ η0 + κ ϕ η0 κ 92 Definíció Legyen n N és A M n n (R) Azt mondjuk, hogy az A mátrix aszimptotikusan stabil, ha Re(λ) < 0 teljesül az A mátrix minden λ sajátértékére; az A mátrix stabil, ha Re(λ) 0 teljesül az A mátrix minden λ sajátértékére és az A mátrix azon sajátértékei, melyekre Re(λ) = 0 teljesül, egyszeres multiplicitásúak; az A mátrix instabil, ha nem stabil; az A mátrix teljesen instabil, ha Re(λ) > 0 teljesül az A mátrix minden λ sajátértékére; 93 Definíció Legyen f : [ξ, + [ R n R n olyan függvény, hogy a y = f (x, y) (C) y(τ) = η Cauchy-feladatnak minden τ [ξ, + [ és η R n esetén létezzen egy egyértelműen meghatározott megoldása, melyet jelöljünk y(t, τ, η)-val Legyenek továbbá a, b [ξ, + [, a < b Ekkor a P(η) = y(b, a, η) (η R n ) módon megadott P: R n R n leképezést Poincaré-leképezésnek hívjuk P(η) η y(t, a, η) a b 26

7 9 Állítás Legyen D [a, b] R n egy nemüres, nyílt halmaz, f : D R n pedig egy olyan függvény, melyre teljesülnek a Picard Lindelöf-tételben szereplő feltételek Ekkor az M = { y C ([a, b]) y megoldása (C)-nek } halmaz nemüres Továbbá, ha akkor a P: M a M b leképezés homeomorfizmus M a = {y(a) y M} és M b = {y(b) y M}, 9 Következmény Tegyük fel, hogy az f : D R n függvényre teljesülnek az előző tétel feltételei Ekkor a (C) Cauchy-feladat egy y megoldása pontosan akkor stabil egy t = µ pontban, ha stabil egy t = ν µ pontban Ugyanez vonatkozik a (C) kezdeti érték probléma aszimptotikusan stabil, instabil és teljesen instabil megoldásaira is 9 Tétel (Lineáris rendszerek stabilitása) Legyen I = [0, + [ és A: I M n n (R) és b: I R n adott folytonos függvények és tekintsük az () y (t) = A(t)y(t) + b(t) elsőrendű inhomogén lineáris differenciálegyenlet-rendszert és a hozzá tartozó (2) y (t) = A(t)y(t) elsőrendű homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszert Ekkor a (2) homogén rendszernek a nullmegoldása pontosan akkor stabil megoldása, ha az () inhomogén rendszer minden megoldása stabil Ugyanez vonatkozik ezen rendszerek aszimptotikusan stabil, instabil és teljesen instabil megoldásaira is 92 Tétel (Konstansegyütthatós rendszerek stabilitása) Legyen n N és A M n n (R) Ekkor az y = Ay konstansegyütthatós homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszernek a függvény ϕ 0 aszimptotikusan stabil megoldása, ha az A mátrix aszimptotikusan stabil; stabil megoldása, ha az A mátrix stabil; instabil megoldása, ha az A mátrix instabil; teljesen instabil megoldása, ha az A mátrix teljesen instabil Legyen g: [0, + [R n R n folytonos függvény, A M n n (R) és tekintsük a (3) y (t) = Ay(t) + g(t, y(t)) elsőrendű differenciálegyenlet-rendszert g(t, y(t)) az úgynevezett nemlinearitás Az Ay(t) kifejezést a rendszer lineáris főrészének mondjuk, míg 27

8 93 Tétel (Lyapunov-féle stabilitási tétel) Legyen A M n n (R) egy stabil mátrix és tegyük fel, hogy g: [0, [ R n R n olyan folytonos függvény, melyre bármely ε > 0 esetén létezik olyan δ > 0, hogy ha y < δ, akkor g(t, y) < ε y teljesül minden t > 0 esetén Ekkor az y = Ay + g(t, y) differenciálegyenlet-rendszernek a nullmegoldás függvény stabil megoldása 94 Tétel (Lyapunov-féle instabilitási tétel) Legyen A M n n (R) egy instabil mátrix és tegyük fel, hogy g: [0, [ R n R n olyan folytonos függvény, melyre bármely ε > 0 esetén létezik olyan δ > 0, hogy ha y < δ, akkor g(t, y) < ε y teljesül minden t > 0 esetén Ekkor az y = Ay + g(t, y) differenciálegyenlet-rendszernek a nullmegoldás függvény instabil megoldása Legyen D R n egy nemüres, nyílt halmaz és f : D R n egy folytonosan differenciálható függvény úgy, hogy f (0) = 0 és tekintsük az y = f (y) autonóm rendszert Ekkor az y = Ay konstansegyütthatós rendszert a fenti autonóm rendszer linearizációjának mondjuk, ha A = f (0) az f függvény 0-beli Fréchet-deriváltja Ebben az esetben a fenti egyenlet y = Ay + g(y) alakra hozható, továbbá f C (D) miatt még az is teljesül, hogy g(y) lim y 0 y = 0, ahol g(y) = f (y) f (0)y 95 Tétel (Autonóm rendszerek stabilitási tétele) Legyen f : R n R n egy folytonosan differenciálható függvény és tegyük fel, hogy f (0) = 0 Tekintsük az (A) y = f (y) autonóm rendszert Ekkor (i) az (A) differenciálegyenlet-rendszernek a nullmegoldás aszimptotikusan stabil megoldása, ha az f (0) M n n (R) mátrix aszimptotikusan stabil; (ii) az (A) differenciálegyenlet-rendszernek a nullmegoldás stabil megoldása, ha az f (0) M n n (R) mátrix stabil; (iii) az (A) differenciálegyenlet-rendszernek a nullmegoldás instabil megoldása, ha az f (0) M n n (R) mátrix instabil 28

9 (iv) az (A) differenciálegyenlet-rendszernek a nullmegoldás teljesen instabil megoldása, ha az f (0) M n n (R) mátrix teljesen instabil 9 Példa Tekintsük az másodrendű egyenletet, mely az ü + sin(u) = 0 ẋ ẏ autonóm rendszerrel ekvivalens Ebben az esetben = y f (x, y) = (y, sin(x)) = sin(x) ( (x, y) R 2 ) vektormező Fréchet-deriváltja ( ) f 0 (x, y) = cos(x) 0 ( (x, y) R 2 ), így f (0, 0) = ( 0 ) 0 Továbbá (ẋ ) ( x = f (0, 0) + g(x, y), ẏ y) ahol g(x, y) = f (x, y) f (0, 0) Ezért a fenti autonóm rendszer (0, 0) pont körüli linearizációja az (ẋ ) ( ) ( 0 x = ẏ 0 y) konstansegyütthatós rendszer ( x y) ábra Az autonóm rendszer fázissíkja 29

10 2 ábra A (0, 0) körül linearizált rendszer fázissíkja 94 Definíció Legyen D R n egy nemüres, nyílt halmaz, f : D R n pedig egy olyan folytonos függvény, melyre f (0) = 0 Azt mondjuk, hogy az y = f (y) autonóm rendszer nullmegoldása exponenciálisan stabil, ha vannak olyan β, γ, c pozitív konstansok, hogy a fenti rendszer minden olyan megoldására, melyre y(0) < β, az teljesül, hogy y(t) < ce γt (t ]0, + [) Legyen D R n egy nemüres, nyílt halmaz és ha V C (D), akkor legyen V(x) = gradv(x), f (x) = n i= f i (x) V x i (x) Figyeljük meg, hogy ha x megoldása az autonóm rendszernek, akkor teljesül ẋ = f (x) d dt V(x(t)) = V(x(t)) 95 Definíció Legyen D R n egy nemüres, nyílt halmaz, f : D R n egy folytonos függvény Ekkor az ẋ = f (x) autonóm rendszer Lyapunov-függvénye alatt egy olyan V C (D) függvényt értünk, melyre teljesül V(0) = 0 V(x) > 0 (x D, x 0) V(x) 0 (x D) 96 Tétel (Lyapunov-módszer) Legyen D R n egy nemüres, nyílt halmaz és f : D R n olyan függvény, hogy f (0) = 0, jelölje továbbá a V C (D) függvény az f függvény egy Lyapunov-függvényét Ekkor (i) ha V(x) 0 minden x D esetén, akkor a nullmegoldás stabil 30

11 (ii) ha V(x) < 0 minden x D, x 0 esetén, akkor a nullmegoldás aszimptotikusan stabil (iii) ha vannak olyan α, β, b pozitív konstansok, hogy akkor a megoldás exponenciálisan stabil V(x) < αv(x) és V(x) > β x 2 (x D), 92 Példa Legyen D R n egy nemüres, nyílt halmaz, ψ: D R folytonos skalármező, g: D R n olyan folytonos vektormező, melyre g(0) = 0 és B M n n (R) olyan mátrix, melyre B T = B és tekintsük az y = Ay + ψ(y)by + g(y) egyenletet és legyen Ekkor V(x) = x, x (x D) V (x + t f (x)) V(x) = x + t f (x), x + t f (x) x, x = 2t x, f (x) + t 2 f (x), f (x) (x D) Így Ebben az esetben V(x) = x, f (x) (x D) V(x) = 2 x, Ax + 2 x, g(x) (x D), hiszen B T = B miatt x, Bx = 0 A Lyapunov-módszer szerint (i) ha x, Ax 0 és x, g(x) 0 teljesül minden x D esetén, akkor az egyensúlyi helyzet stabil (ii) ha g(x) = o( x ), amint x 0 és ha van olyan α > 0, hogy x, Ax α x 2, akkor az egyensúlyi helyzet exponenciálisan stabil (iii) ha g(x) = o( x ), amint x 0 és x, Ax α x 2 teljesül valamely α > 0 esetén, akkor az egyensúlyi helyzet instabil 93 Példa Tekintsük most az ü + h(u) = 0 egyenletet, mely az (ẋ ) ( ) y = ẏ h(x) rendszerrel ekvivalens Tegyük fel, hogy minden x 0 esetén xh(x) > 0 és legyen ahol E(x, y) = y2 2 H(x) = Ekkor minden (x, y) (0, 0) esetén E(x, y) > 0 és x 0 + H(x) (x, y R), h(t)dt (x R) Ė(x, y) = 0 (x, y R) A Lyapunov-módszer alkalmazásához Lyapunov-függvénynek válasszuk az E teljes energia függvényt 3

12 0 Magasabb rendű differenciálegyenletek 0 Definíció Legyen D R R n nemüres, nyílt halmaz, f : D R, ekkor az (N) y (n) = f ( x, y, y,, y (n )) egyenletet n-edrendű explicit differenciálegyenletnek nevezzük Ha (ξ, η 0, η,, η n ) D, akkor a y(ξ) = η 0 y (ξ) = η (κ) y (n ) (ξ) = η n feltételrendszert az (N) egyenletre vonatkozó kezdeti érték feltételnek hívjuk (N)-et és (κ)-t együtt n-edrendű kezdeti érték problémának vagy Cauchy-feladatnak nevezzük 02 Definíció Azt mondjuk, hogy a ϕ: I R függvény az (N) egyenlet megoldása, ha (i) I R (nem elfajuló) intervallum és ϕ n szer differenciálható I-n; (ii) minden x I esetén ( x, ϕ(x), ϕ (x),, ϕ (n ) (x) ) D; (iii) tetszőleges x I esetén ϕ (n) (x) = f ( x, ϕ(x), ϕ (x),, ϕ (n ) (x) ) teljesül 03 Definíció Az (N) (κ) kezdeti érték probléma megoldása alatt egy olyan ϕ: I R függvényt értünk, melyre (i) ϕ megoldása az (N) egyenletnek; (ii) ϕ(ξ) = η 0, ϕ (ξ) = η,, ϕ (n ) (ξ) = η n A fenti definíció feltételei és jelölései mellett tekintsük a következő n-edrendű differenciálegyenlet-rendszert, illetve kezdeti értékeket (N ) z = z 2 z 2 = z 3 z n = z n z n = f (x, z, z 2,, z n ) (κ ) z (ξ) = η 0 z 2 (ξ) = η z n (ξ) = η n 0 Tétel (Átviteli elv) Legyen ϕ megoldása az (N) egyenletnek, illetve az (N) (κ) kezdeti érték problémának Ekkor a ψ = ( ϕ, ϕ,, ϕ (n )) módon definiált ψ: I R n függvény megoldása az (N ) egyenletnek, illetve az (N ) (κ ) Cauchy-feladatnak Megfordítva, ha a ψ: I R n függvény megoldása az (N ) egyenletnek, illetve az (N ) (κ ) Cauchy-feladatnak, akkor a ψ (a ψ függvény első koordinátafüggvénye) függvény megoldása az (N) egyenletnek, illetve az (N) (κ) Cauchy-feladatnak 32

13 Bizonyítás Tegyük fel, hogy ϕ megoldása az (N) egyenletnek és legyen ψ i = ϕ (i ) (i =,, n) Mivel a ϕ függvény n szer differenciálható I-n, ezért a ψ,, ψ n függvények mindegyike differenciálható I-n Továbbá, tetszőleges x I esetén ( x, ϕ(x), ϕ (x),, ϕ (n ) (x) ) D, így (x, ψ (x), ψ 2 (x),, ψ n (x)) D teljesül Ha j n, akkor ebből azt kapjuk, hogy ψ j = ( ϕ ( j )) = ϕ ( j) = ψ j+, ψ n(x) = ( ϕ (n )) (x) = ϕ (n) (x) = f ( x, ϕ(x), ϕ (x),, ϕ (n ) (x) ) = f (x, ψ (x), ψ 2 (x),, ψ n (x)) (x I), vagyis a ψ = (ψ,, ψ n ) függvény kielégíti az (N ) differenciálegyenlet-rendszert Továbbá (κ) miatt így ϕ ( j) (ξ) = η j ( j = 0,, n ), ψ i (ξ) = η i (i =,, n), azaz, ψ kielégíti a (κ ) feltétel-rendszert is Megfordítva, tegyük fel, hogy a ψ: I R n függvény megoldása az (N ) differenciálegyenlet-rendszernek, és legyen ϕ = ψ Ekkor ψ differenciálható és ψ = ψ 2, és ψ 2 is differenciálható, ezért ψ kétszer differenciálható Azonban ψ = ψ 2 = ψ 3 és ψ 3 differenciálható, így ψ háromszor differenciálható Ezt folytatva, azt kapjuk, hogy ψ (n ) = ψ n és ψ n differenciálható, vagyis ψ n szer differenciálható és ψ i = ϕ (i ) teljesül minden 2 i n esetén Mivel minden x I esetén (x, ψ (x), ψ 2 (x),, ψ n (x)) D, így ( x, ϕ(x), ϕ (x),, ϕ (n ) (x) ) D (x I) Továbbá, ϕ (n) (x) = ( ϕ (n )) (x) = ψ n (x) = f (x, ψ (x), ψ 2 (x),, ψ n (x)) = f ( x, ϕ(x), ϕ (x),, ϕ (n ) (x) ), azaz, ϕ kielégíti az (N) differenciálegyenletet Mivel ψ teljesíti a (κ ) feltételeket, így a ϕ függvény teljesíti a (κ) kezdeti feltételeket 0 Megjegyzés A tétel bizonyításában követett módszer alkalmas annak az igazolására, hogy bármely magasabb rendű explicit differenciálegyenlet-rendszer is ekvivalens egy alkalmasan megkonstruált elsőrendű differenciálegyenlet-rendszerrel 02 Tétel (Globális egzisztencia és unicitási tétel) Legyen I R valódi intervallum, f : I R n R olyan folytonos függvény, mely esetén létezik olyan L: I [0, [ folytonos függvény, hogy (L) f (x, u) f (x, v) L(x) u v (x I, u, v R n ) Ekkor minden ξ I és (η 0,, η n ) R n esetén az (N) (κ) Cauchy-feladatnak létezik pontosan egy, az egész I intervallumon értelmezett ϕ: I R megoldása 33

14 Bizonyítás Az előző tétel szerint az (N) (κ) Cauchy-feladat ekvivalens az (N ) (κ ) Cauchy-feladattal Megmutatjuk, hogy az (N ) (κ ) Cauchy-feladatra teljesülnek a Picard Lindelöf-tétel féltételei Legyen ekkor az (N ) egyenletrendszer a F(x, z) = (x, z 2, z 3,, z n, f (x, z, z 2,, z n )), z = F(x, z) alakot ölti Továbbá, f folytonosságából adódik, hogy F : I R n R n folytonos függvény és F(x, u) F(x, v) u 2 v 2 + u 3 v u n v n + f (x, u,, u n ) f (x, v,, v n ) (n ) u v + L(x) u v = (L(x) + n ) u v, vagyis az F függvény az I R n halmazon egy lokális-globális Lipschitz-feltételt teljesít Így a tétel állítása adódik a Picard Lindelöf-tételből 03 Tétel (Lokális egzisztencia tétel) Legyen D R R n nemüres, nyílt halmaz, f : D R folytonos függvény Ekkor minden (ξ, η 0,, η n ) D esetén van olyan δ > 0, hogy az (N) (κ) kezdeti érték probléma megoldható a [ξ δ, ξ + δ] intervallumon 0 Magasabb rendű lineáris differenciálegyenletek 04 Definíció Legyen I R valódi intervallum, a 0, a,, a n, b n : I R folytonos függvények Ekkor az (L) y (n) + a n (x)y (n ) + + a (x)y + a 0 (x)y = b(x) egyenletet n-edrendű lineáris inhomogén differenciálegyenletnek nevezzük, ha b nem az azonosan zéró függvény, ellenkező esetben n-edrendű lineáris homogén differenciálegyenletről beszélünk Az Átviteli elv szerint (L)-nek a következő differenciálegyenlet-rendszer feleltethető meg azaz z = z 2 z 2 = z 3 z n = z n z n = a 0 (x)z a (x)z 2 a n (x)z n + b(x), (L ) Z (x) = A(x) Z(x) + B(x), ahol Z = z z 2 z n B(x) = 0 0 b(x) és A(x) = a 0 (x) a (x) a 2 (x) a n (x) 34

15 04 Tétel (Egzisztencia és unicitási tétel) Ha az a 0, a,, a n, b n : I R függvények folytonosak, akkor az (L) egyenletre vonatkozó tetszőleges kezdeti érték problémának létezik pontosan egy, I-n értelmezett megoldása 05 Definíció Legyen I R valódi intervallum, a 0, a,, a n, b n : I R folytonos függvények Ha a ϕ,, ϕ n : I R függvények lineárisan független megoldásai az (L hom ) y (n) + a n (x)y (n ) + + a (x)y + a 0 (x)y = 0 n-edrendű lineáris homogén differenciálegyenletnek, akkor ezeket a függvényeket az (L hom ) egyenlet alaprendszerének nevezzük 05 Tétel (Liouville-tétel) A ϕ,, ϕ n : I R függvények pontosan akkor alkotják alaprendszerét az (L hom ) differenciálegyenletnek, ha a ϕ ϕ n ϕ ϕ n alaprendszerét alkotják a ψ = ϕ (n ),, ψ n = Z (x) = A(x)Z(x) ϕ (n ) n elsőrendű homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszernek, továbbá, a ϕ (x) ϕ 2 (x) ϕ n (x) ϕ (x) ϕ 2 (x) ϕ n(x) w(x) = det ϕ (x) ϕ 2 (x) ϕ n (x) ϕ (n ) (x) ϕ (n ) 2 (x) ϕ (n ) n (x) módon definiált w: I R függvény kielégíti a w (x) + a n (x)w(x) = 0 egyenletet, azaz, ( x ) w(x) = w(ξ) exp a n (t)dt ξ (x I) 0 Következmény Ha a ϕ,, ϕ n : I R függvények alaprendszerét alkotják az (L hom ) homogén lineáris differenciálegyenletnek, akkor ezen függvényrendszer Wronski determinánsa seholsem nulla I-n Megfordítva, ha ϕ,, ϕ n : I R függvényrendszer Wronski determinánsa seholsem tűnik el I-n, akkor ezen függvényrendszer az (L hom ) homogén lineáris differenciálegyenlet egy alaprendszerét alkotja 06 Tétel (Inverz probléma) Legyen ϕ,, ϕ n : I R olyan, n-szer differenciálható függvényekből álló függvényrendszer, melynek Wronski-determinánsa seholsem tűnik el az I intervallumon Ekkor van olyan n-edrendű homogén lineáris differenciálegyenlet, melynek a ϕ,, ϕ n : I R függvények alaprendszerét alkotják Ez az egyenlet a következő képlettel adható meg w(x) det y ϕ (x) ϕ 2 (x) ϕ n (x) y ϕ (x) ϕ 2 (x) ϕ n(x) y (n ) y (n) ϕ (n ) (x) ϕ (n ) ϕ (n) (x) ϕ(n) 2 = 0 2 (x) ϕ (n ) n (x) (x) ϕ(n) n (x) 35

16 07 Tétel (Az inhomogén egyenlet megoldása) Legyen ϕ,, ϕ n az (L hom ) homogén lineáris differenciálegyenlet egy alaprendszere Ekkor az (L) inhomogén lineáris differenciálegyenlet összes megoldása előáll ϕ(x) = n c i ϕ i (x) + i= n ( x alakban, ahol c,, c n tetszőleges valós konstansok i= ξ ) w (ϕ (t),, ϕ i (t), ϕ i+ (t),, ϕ n (t)) b(t)dt ( ) n+i ϕ i (x) w (ϕ (t),, ϕ n (t)) 02 Konstansegyütthatós lineáris differenciálegyenletek 06 Definíció Legyen n N és a 0, a,, a n R, ekkor a (K) y (n) + a n y (n ) + + a y + a 0 y = 0 egyenletet n-edrendű konstansegyütthatós lineáris homogén differenciálegyenletnek nevezzük A P(λ) = λ n + a n λ n + + a λ + a 0 (λ C) módon megadott polinomot a (K) egyenlet karakterisztikus polinomjának hívjuk 08 Tétel Legyen n N és a 0, a,, a n R és jelölje P a (K) egyenlet karakterisztikus polinomját Ha α,, α k mult(α i ) = n i, i =,, k a P páronként különböző valós, míg β ± iγ,, β m ± iγ m mult(β j ± iγ j ) = l j, j =,, m a P páronként különböző komplex gyökei, akkor az e α x, xe α x,, x n e α x e α 2x, xe α 2x,, x n 2 e α 2x e α k x, xe α k x,, x n k e α k x e β x cos(γ x), e β x sin(γ x), x l e β x cos(γ x), x l e β x sin(γ x) e β 2x cos(γ 2 x), e β 2x sin(γ 2 x), x l 2 e β 2x cos(γ 2 x), x l 2 e β 2x sin(γ 2 x) e β mx cos(γ m x), e β mx sin(γ m x),, x l m e β mx cos(γ m x), x l m e β mx sin(γ m x) függvények a (K) egyenlet alaprendszerét alkotják 36