Közönséges differenciálegyenletek

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Közönséges differenciálegyenletek"

Átírás

1 Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Közönséges differenciálegyenletek Gselmann Eszter Debrecen, 2011

2 Tartalomjegyzék 1. Differenciálegyenletek Differenciálegyenletek osztályozása Elsőrendű közönséges differenciálegyenletek Elemi úton megoldható differenciálegyenletek Az y = f (x) alakú differenciálegyenletek Szeparábilis differenciálegyenletek Homogén differenciálegyenletek Szeparábilis differenciálegyenletre visszavezethető differenciálegyenletek Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek A Bernoulli-féle differenciálegyenlet A Riccati-féle differenciálegyenlet Egzakt differenciálegyenletek Egzakt differenciálegyenletre visszavezethető differenciálegyenletek Hiányos másodrendű differenciálegyenletek Elsőrendű differenciálegyenlet-rendszerekre vonatkozó egzisztencia és unicitási tételek A Picard Lindelöf-féle egzisztencia és unicitási tétel A kezdeti értéktől való folytonos függés Gronwall-féle integrál-és differenciálegyenlőtlenségek Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek Konstansegyütthatós, lineáris differenciálegyenlet-rendszerek Autonóm differenciálegyenlet-rendszerek és fázistereik Autonóm rendszerek Egyensúlyi helyzetek és zárt trajektóriák Fázisterek Differenciálegyenletek stabilitása Bevezető meggondolások Lyapunov tételei Magasabb rendű differenciálegyenletek Magasabb rendű lineáris differenciálegyenletek Konstansegyütthatós lineáris differenciálegyenletek Variációszámítás Funkcionálok variációja Bilineáris és kvadratikus funkcionálok Funkcionálok második variációja Funkcionálok extrémuma Az Euler Lagrange-differenciálegyenletek Az Euler Lagrange-egyenlet invarianciája Az Euler Lagrange-egyenletek kanonikus alakja Az Euler Lagrange-egyenletek első integráljai A Noether-tétel

3 2.10. A legkisebb hatás elve Egy elegendő feltétel Néhány klasszikus probléma megoldása Feladatok Differenciálegyenletek Variációszámítás Név- és tárgymutató Irodalomjegyzék 118 2

4

5 1. fejezet Differenciálegyenletek Az olyan egyenleteket, melyben az ismeretlen függvény deriváltja, illetve deriváltjai szerepelnek, differenciálegyenleteknek nevezzük. Tehát egy differenciálegyenletben szerepelhetnek: konstansok; egy vagy több független változó; az ismeretlen függvény, illetve függvények közönséges, illetve parciális deriváltja, illetve deriváltjai Differenciálegyenletek osztályozása Ha a differenciálegyenletben egyetlen független változó van, akkor a derivált közönséges derivált. Ebben az esetben közönséges differenciálegyenletről beszélünk. Ha a differenciálegyenletben kettő vagy több független változó van, akkor a derivált parciális derivált. Ekkor a szóban forgó egyenlet egy parciális differenciálegyenlet. Ha az ismeretlen függvények száma egynél több, akkor az ismeretlen függvények számával egyenlő számú differenciálegyenletből álló differenciálegyenlet-rendszerrel van dolgunk. A differenciálegyenlet rendje az egyenletben szereplő legmagasabb rendű derivált rangjával egyenlő. A közönséges differenciálegyenletek közül azokat, amelyekben az ismeretlen függvény és ennek a deriváltjai legfeljebb csak első hatványon fordulnak elő és szorzatuk nem szerepel, lineáris differenciálegyenleteknek nevezzük. Ellenkező esetben nemlineáris differenciálegyenletekről beszélünk. Ha a közönséges differenciálegyenletben van olyan tag, amely állandó, vagy amelyben csak a független változó szerepel, akkor a differenciálegyenlet inhomogén differenciálegyenlet. Ellenkező esetben azt mondjuk, hogy a differenciálegyenlet homogén differenciálegyenlet. Ha a közönséges differenciálegyenletben a függvényt és a deriváltjait tartalmazó tagok állandók, akkor az egyenletet állandó együtthatós differenciálegyenletnek nevezzük. Ellenkező esetben függvényegyütthatós differenciálegyenletről beszélünk Példa. Az egyenlet egy x y 2 + y + x y y x y = 0 4

6 közönséges elsőrendű homogén függvényegyütthatós differenciálegyenlet Példa. A egyenlet egy közönséges másodrendű 4 (y )2 + 4x y 3x y + x 2 3 = 0 inhomogén függvényegyütthatós differenciálegyenlet Elsőrendű közönséges differenciálegyenletek Definíció. Legyen D R 3 nemüres, nyílt, F : D R, ekkor az (1) F(x, y, y ) = 0 egyenletet elsőrendű közönséges implicit differenciálegyenletnek nevezzük Definíció. Egy ϕ : I R függvény az (1) differenciálegyenlet megoldása Cauchy-féle értelemben, ha (i) I R valódi intervallum, ϕ differenciálható I-n; (ii) minden x I esetén (x, ϕ(x), ϕ (x)) D; (iii) F (x, ϕ(x), ϕ (x)) = 0 teljesül minden x I esetén Definíció. Egy ϕ : I R függvény az (1) differenciálegyenlet megoldása Carathèodory-féle értelemben, ha (i) I R valódi intervallum, ϕ abszolút folytonos I-n; (ii) λ majdnem minden x I esetén (x, ϕ(x), ϕ (x)) D; (iii) F (x, ϕ(x), ϕ (x)) = 0 teljesül λ majdnem minden x I esetén Definíció. Legyen (, η) R 2, az y() = η egyenletet az (1) egyenletre vonatkozó kezdeti feltételnek nevezzük Definíció. Az (2) { F(x, y, y ) = 0 y() = η egyenletekből álló rendszert kezdeti érték problémának vagy Cauchy-feladatnak nevezzük Definíció. Azt mondjuk, hogy a ϕ : I R függvény megoldása a (2) Cauchy-feladatnak, ha ϕ megoldása az (1) egyenletnek, I és ϕ() = η. 5

7 Definíció. Legyen D R 2 nemüres, nyílt, f : D R, ekkor az (3) y = f (x, y) egyenletet elsőrendű közönséges explicit differenciálegyenletnek nevezzük Definíció. Azt mondjuk, hogy a ϕ : I R függvény a (3) differenciálegyenlet megoldása, ha (i) I R valódi intervallum, ϕ differenciálható I-n; (ii) (x, ϕ(x)) D minden x I esetén; (iii) ϕ (x) = f (x, ϕ(x)) teljesül minden x I esetén Definíció. Ha (, η) D, akkor az y() = η egyenletet a (3) differenciálegyenletre vonatkozó kezdeti érték feltételnek nevezzük, míg a { y (4) = f (x, y) y() = η egyenletrendszert a (3) egyenletre vonatkozó kezdeti érték problémának vagy Cauchy-feladatnak hívjuk Elemi úton megoldható differenciálegyenletek Az y = f (x) alakú differenciálegyenletek Tétel. Legyen I R intervallum, f : I R folytonos függvény, I, η R. Ekkor az { y = f (x) y() = η Cauchy-feladat bármely ϕ : J R megoldása az y(x) = η + x módon megadott y függvény leszűkítése, ha J I és I. Bizonyítás. így amiből Ha f (t)dt (x I) Tegyük fel, hogy a ϕ : J R függvény megoldása a Cauchy-feladatnak. Ekkor x ϕ (x) = f (x) ϕ (t)dt = x ϕ(x) ϕ() = ϕ(x) = η + f (t)dt x x (x J), f (t)dt. f (t)dt, (x J), akkor az x = helyettesítéssel ϕ() = η adódik. Másrészt, a jobb oldal egy folytonos függvény felsőhatárfüggvénye, ami differenciálható. Ezért a ϕ függvény differenciálható J-n, így ϕ (x) = f (x) teljesül minden x J esetén, azaz ϕ megoldása a tételben szereplő Cauchy-feladatnak Példa. Tekintsük az { y = ln(x) y(1) = e Cauchy-feladatot. Ekkor az előző tétel szerint a megoldás y(x) = e + x 1 ln(t)dt = e + [t ln(t) t] x 1 = e + x ln(x) x + 1 = x (ln(x) 1) e. 6

8 Szeparábilis differenciálegyenletek Legyenek I, J R valódi intervallumok, f : I R, g : J R folytonos függvények úgy, hogy g(x) 0 minden x J esetén. Az y = f (x)g(y) egyenletet szeparábilis differenciálegyenletnek nevezzük Tétel. Legyenek I, J R valódi intervallumok, I, η J, f : I R, g : J R folytonos függvények úgy, hogy g(x) 0 minden x J esetén. A ϕ : H R függvény akkor és csakis akkor megoldása az { y (5) = f (x)g(y) y() = η Cauchy-feladatnak, ha (6) ϕ(x) η 1 x g(t) dt = f (s)ds (x H) teljesül, feltéve, hogy H I. Bizonyítás. azaz Ezt -től x-ig integrálva, Tegyük fel, hogy a ϕ : H R függvény megoldása az (5) Cauchy-feladatnak. Ekkor { ϕ (x) = f (x)g(ϕ(x)) (x H), ϕ() = η x ϕ (x) g (ϕ(x)) = f (x) f (s)ds = x Tegyük fel, hogy a ϕ : H R függvény kielégíti (6)-ot. Legyen G(u) = (x H). ϕ (s) ϕ(x) g (ϕ(s)) ds = 1 η g(t) dt. u η 1 g(t) dt. Mivel g 0, ezért G szigorúan monoton és G(η) = 0. Így G(u) = 0 pontosan akkor teljesül, ha u = η. A (6) azonosságból az adódik, hogy G (ϕ(x)) = Ha x =, akkor G(ϕ()) = 0, így ϕ() = η. Továbbá, x f (s)ds =: F(x). ϕ(x) = G 1 (F(x)) (x H) Mivel g 0, így a G függvény differenciálható és G azonban éppen a bizonyítandó állítás adódik. 0, ezért a G 1 függvény is differenciálható, ebből Példa. Tekintsük az { y ctg(x) + y = 2 y(0) = 1 7

9 Cauchy-feladatot. Ekkor a fenti tételt használva, azt kapjuk, hogy a megoldás ϕ(x) 1 x 1 2 t dt = tg(s)ds [ ln ( 2 t )] ϕ(x) 1 = [ ln ( cos(s) )] x 0 ln( 2 ϕ(x) ) + ln(3) = ln( cos(x) ) + ln( cos(x) ) ( ) 3 ln 2 ϕ(x) Homogén differenciálegyenletek Legyen I R intervallum, f : I R, ekkor az 0 ( ) 1 = ln cos(x) ϕ(x) = 2 3 cos(x) ( y y = f x) differenciálegyenletet homogén differenciálegyenletnek nevezzük Tétel. Legyen I R intervallum, f : I R, ekkor a ϕ : I R függvény pontosan akkor megoldása az ( y y = f x) differenciálegyenletnek, ha az módon definiált u függvény megoldása az szeparábilis differenciálegyenletnek. u(x) = ϕ(x) x u = f (u) u x Bizonyítás. ezért Tegyük fel, hogy ϕ a homogén egyenlet megoldása és u(x) = ϕ(x). Ekkor x u (x) = ϕ (x) x u (x) = ϕ (x) x ϕ(x) x 2 = f ϕ(x) x 2, ( ϕ(x) ) x ϕ(x) x x Tegyük fel, hogy u a szeparábilis egyenlet megoldása és u(x) = ϕ(x). Ekkor x ϕ (x) = u (x)x + u(x), = f (u(x)) u(x). x így ϕ (x) = f ( ) ϕ(x) x ϕ(x) x x x + ϕ(x) x. 8

10 Szeparábilis differenciálegyenletre visszavezethető differenciálegyenletek Az y = f (ax + by + c) alakú differenciálegyenletek Legyenek a, b, c R, b 0 és tekintsük az differenciálegyenletet. Legyen Ekkor y = f (ax + by + c) u = ax + by + c. u = a + by, továbbá a fenti egyenlet az 1 b u a b = f (u) alakra hozható, ami már egy szeparábilis differenciálegyenlet Példa. Tekintsük az Legyen Ekkor y = sin(x + y) y = u x és y = u 1. u 1 = sin(u) 1 du = 1dx sin(u) cos(u) + 2 sin(u) + cos(u) + 1 = x + c Végül, az u = x + y helyettesítéssel kapjuk az eredeti differenciálegyenlet általános megoldását. Az y = f ( ax+by+c Ax+By+C ) alakú differenciálegyenletek Legyenek a, b, c, A, B, C R és tekintsük az 2 cos(x + y) + 2 sin(x + y) + cos(x + y) + 1 = x + c y = f ( ) ax + by + c Ax + By + C differenciálegyenletet. Ebben az esetben a paraméterek értékétől függően két esetet kell megkülönböztetnünk. 1. eset. Ha ( ) a b det 0, A B akkor meghatározzuk az { ax + by + c = 0 Ax + By + C = 0 9

11 lineáris egyenletrendszer egyértelmű (x 0, y 0 ) megoldását. Ennek ismeretében, ha a fenti differenciálegyenletben elvégezzük az x = u + x 0 dx = du y = v + y 0 dy = dv helyettesítéseket, akkor egy szeparábilis differenciálegyenlet adódik. 2. eset. Ha ( ) a b det = 0, A B akkor a megfelelő helyettesítés u = ax + by u = a + by. A helyettesítések elvégzése után egy szeparábilis differenciálegyenlet adódik. Az y f (xy)dx + yg(xy)dy = 0 típusú differenciálegyenletek Legyen I R intervallum, f, g : I R folytonos függvények és tekintsük az y f (xy)dx + yg(xy)dy = 0 differenciálegyenletet. Ha ebben az egyenletben elvégezzük az u = xy helyettesítéseket, akkor egy szeparábilis egyenletre jutunk Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek du dx = y + xdy dx Legyen I R intervallum, f, g : I R folytonos függvények. Ekkor az (1) y + f (x)y = g(x) egyenletet elsőrendű lineáris inhomogén differenciálegyenletnek nevezzük, ha g 0. Abban az esetben, amikor g 0, elsőrendű lineáris homogén differenciálegyenletről beszélünk Tétel (A homogén egyenlet megoldásai). Legyen I R intervallum, f : I R folytonos függvény. Ekkor a (2) y + f (x)y = 0 differenciálegyenlet bármely megoldása a ϕ(x) = c e F(x) (x I) módon értelmezett ϕ : I R függvény leszűkítése, ahol c R egy tetszőleges konstans és F jelöli az f függvény egy primitív függvényét. Továbbá, ha I és η R, akkor a ( x ) ψ(x) = η exp f (t)dt (x I) módon megadott ψ : I R függvény az { y + f (x)y = 0 y() = η Cauchy-feladatnak az egyértelmű, I-n értelmezett megoldása. 10

12 Bizonyítás. Tegyük fel, hogy az y függvény megoldása a (2) egyenletnek és jelölje F az f függvény egy primitív függvényét. Ekkor y + f (x)y = 0, amit e F(x) szel végigszorozva, y e F(x) + y e F(x) f (x) = 0 adódik. Azonban ( e F(x) y(x) ) = y (x) e F(x) + y(x) e F(x) F (x) = y e F(x) + y e F(x) f (x) = 0, ezért teljesül valamely c R konstanssal, azaz y(x) e F(x) = c y(x) = c e F(x). Megfordítva, nyilván minden ilyen alakú függvény megoldása a (2) differenciálegyenletnek. Továbbá, az y függvény pontosan akkor megoldása az y() = η kezdeti feltételnek, ha c e F() = c e f (t)dt = η, azaz, ha c = η Megjegyzés. Az elsőrendű lineáris, homogén differenciálegyenlet összes I-n értelmezett megoldása egy egydimenziós valós vektorteret alkot Tétel (Az inhomogén egyenlet megoldásai). Legyen I R intervallum, f, g : I R folytonos függvények. Ekkor a (3) y + f (x)y = g(x) elsőrendű, lineáris, inhomogén differenciálegyenletnek az összes megoldása előáll ) ψ(x) = e (c F(x) + g(x)e F(x) dx alakban, ahol c R tetszőleges konstans és F jelöli az f függvény valamely primitív függvényét. Bizonyítás. Az inhomogén egyenlet megoldását ψ(x) = c(x)e F(x) alakban keressük, ahol F jelöli az f függvény egy primitív függvényét és c(x) egy (csak x-től függő) egyelőre ismeretlen függvény. Ekkor az ψ (x) + f (x)ψ(x) = g(x) egyenletnek kell teljesülnie. Ez azt jelenti, hogy c (x)e F(x) + c(x)e F(x) ( F (x) ) + f (x)c(x)e F(x) = g(x), vagyis azaz, c (x)e F(x) = g(x), c(x) = g(x)e F(x) dx. 11

13 Ekkor azonban a ϕ(x) = ce F(x) + e F(x) g(x)e F(x) dx függvény megoldja a differenciálegyenletet. Valóban ϕ (x) + f (x)ϕ(x) = ce F(x) ( f (x)) + e F(x) ( f (x)) g(x)e F(x) dx + e F(x) g(x)e F(x) + ce F(x) f (x) + f (x)e F(x) g(x)e F(x) dx = g(x). Ha ϕ és ψ a differenciálegyenlet megoldásai, akkor a ϕ ψ függvény megoldása a homogén egyenletnek, így ϕ(x) = ψ(x) + c e F(x) teljesül valamely c R konstanssal Megjegyzés. Az előző tétel feltételei mellett, ha I és η R, akkor az { y + f (x)y = g(x) y() = η Cauchy-feladat egyértelmű megoldása ϕ(x) = A Bernoulli-féle differenciálegyenlet ( x η + g(t)e ) t f (s)ds dt e x f (u)du. Legyen n N n 1, I R, f, g : I R folytonos függvények, g 0. Ekkor a (4) y + y f (x) = y n g(x) differenciálegyenletet Bernoulli-féle differenciálegyenletnek nevezzük. Ennek az egyenletnek a megoldása visszavezethető egy elsőrendű, lineáris differenciálegyenlet megoldására. Legyen ekkor Ha a (4) egyenletet y n -nel végigosztjuk, akkor adódik. Így a fenti helyettesítések elvégezése után a elsőrendű, lineáris differenciálegyenlet adódik. v = y 1 n, (1 n)y n dy = dv. y y n + y 1 n f (x) = g(x) v + (1 n)v f (x) = (1 n)g(x) 12

14 A Riccati-féle differenciálegyenlet Definíció. Legyen I R intervallum és f, g, h: I R folytonos függvények. Ekkor az y (x) = f (x)y 2 (x) + g(x)y(x) + h(x) elsőrendű differenciálegyenletet Riccati-féle differenciálegyenletnek hívjuk Tétel. Legyen I R intervallum és f, g, h: I R folytonos függvények. Ha ismert az y (x) = f (x)y 2 (x) + g(x)y(x) + h(x) Riccati-féle differenciálegyenlet egy y 0 partikuláris megoldása, akkor a differenciálegyenlet általános megoldása Φ(x) y(x) = y 0 (x) + C f (x)φ(x)dx alakú, ahol és C R. ( Φ(x) = exp ) f (x)y 0 (x) + g(x)dx Egzakt differenciálegyenletek Legyen D R 2 nemüres, nyílt, M, N : D R. Az (5) M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 differenciálegyenletet egzakt differenciálegyenletnek nevezzük, ha M(x, y) y = N(x, y) x ((x, y) D) teljesül. Ha a differenciálegyenlet egzakt, akkor létezik olyan F : D R folytonosan differenciálható függvény melyet az M és N függvények közös potenciálfüggvényének szokás nevezni úgy, hogy F(x, y) x = M(x, y) és F(x, y) y = N(x, y) teljesül minden (x, y) D esetén. Ekkor a differenciálegyenlet általános megoldása F(x, y) = c, valamely c R esetén. Így, az egyenlet megoldásához elegendő meghatározni az F függvényt. Mivel F(x, y) y = N(x, y), ezért F(x, y) = N(x, y)dy + f (x), ahol f egy egyelőre ismeretlen (csak x-től függő) függvény. Mivel F(x, y) x = M(x, y), 13

15 ezért amiből Így F(x, y) = [ x f (x) = ] N(x, y)dy + f (x) = M(x, y), [ ( )] N(x, y) M(x, y) dy dx x N(x, y)dy + [ ( )] N(x, y) M(x, y) dy dx x Megjegyzés. Az F függvényt úgy is meghatározhattuk volna, hogy abból indulunk ki, hogy M(x, y), ekkor a fenti számolást elvégezve az adódik, hogy [ ( )] M(x, y) F(x, y) = M(x, y)dx + N(x, y) dx dy, y F(x, y) x = ami az egyenlet egzakt volta miatt ugyanazt az F függvényt határozza meg, mint a fenti gondolatmenet Egzakt differenciálegyenletre visszavezethető differenciálegyenletek Ha az M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 egyenlet nem egzakt, akkor több esetben elérhető, hogy az egyenletet egy alkalmas m(x, y) 0 függvénnyel megszorozva a kapott egyenlet már egzakt. Az ilyen m(x, y) függvényt integráló tényezőnek nevezzük. M(x,y) y M(x,y) y M(x,y) y Eset Integráló tényező N(x,y) x = f (x) m(x) = e f (x)dx N(x,y) x = g(y) m(y) = e g(y)dy N(x,y) = N(x, y) f (x) M(x, y)g(y) m(x, y) = e f (x)dx+ g(y)dy x 1 M és N azonos fokszámú homogén függvények m(x, y) = xm(x,y)+yn(x,y) Hiányos másodrendű differenciálegyenletek Definíció. Legyen D R 3 nemüres, nyílt halmaz és f : D R. Azt mondjuk, hogy az y = f (x, y, y ) másodrendű egyenlet hiányos másodrendű differenciálegyenlet, ha az f függvény explicit módon nem függ x, y, y közül legalább egytől. Az y (x) = f (x) alakú differenciálegyenletek Legyen I R intervallum és f : I R és tekintsük az y (x) = f (x) hiányos másodrendű differenciálegyenletet. Azonnal látszik, hogy az egyenlet általános megoldása kétszeri integrálással kapható meg. 14

16 f (x, y, y ) = 0 alakú differenciálegyenletek Legyen I R intervallum és f : I R 2 R egy folytonos függvény és tekintsük az f (x, y, y ) = 0 hiányos másodrendű differenciálegyenletet. Vezessük be az függvényeket. Ekkor a fenti egyenlet az u(x) = y (x) és u (x) = y (x) f (x, u, u ) = 0 elsőrendű differenciálegyenletre redukálódik. Ebből u meghatározható, végül, az y = u egyenletet kell megoldanunk. f (y, y, y ) alakú differenciálegyenletek Legyen f : R 3 R egy adott folytonos függvény és tekintsük az hiányos másodrendű differenciálegyenletet. Legyenek Ekkor a fenti egyenlet az elsőrendű differenciálegyenletekre redukálható. f (y, y, y ) = 0 y = u(y) és y = u (y) y. f ( y, u, u y ) = 0 és y = u 1.4. Elsőrendű differenciálegyenlet-rendszerekre vonatkozó egzisztencia és unicitási tételek Definíció. Legyen D R R n nemüres, nyílt halmaz, f : D R folytonos függvény és legyen (, η) D. Ekkor az (1) y = f (x, y) és a (2) y() = η egyenleteket rendre közönséges, elsőrendű, explicit differenciálegyenlet -rendszernek, illetve (2) t az (1) differenciálegyenlet-rendszerre vonatkozó kezdeti érték feltételnek nevezzük. A két egyenletet együtt Cauchy-feladatnak hívjuk Definíció. A ϕ: I R n függvényt az (1) differenciálegyenlet-rendszer megoldásának nevezzük (Cauchyféle értelemben), ha (i) I R valódi intervallum, ϕ differenciálható I-n; (ii) minden x I esetén (x, ϕ(x)) D; (iii) minden x I esetén ϕ (x) = f (x, ϕ(x)) teljesül. 15

17 Ha még az is teljesül, hogy ϕ() = η, akkor a ϕ függvényt az (1) (2) Cauchy-feladat megoldásának hívjuk Definíció. Azt mondjuk, hogy a ϕ: I R n függvény az (1) (2) Cauchy-feladat egy teljes megoldása, ha nem létezik a Cauchy-feladatnak olyan ψ: J R n megoldása, ami a ϕ függvény valódi kiterjesztése lenne Példa. A szeparábilis, illetve az elsőrendű, lineáris differenciálegyenletek esetében egyből a teljes megoldásokat adtuk meg Definíció. A kezdeti érték probléma egy ϕ megoldását (globálisan) egyértelmű teljes megoldásnak nevezzük, ha a kezdeti érték probléma bármely ψ: J R n megoldása a ϕ függvény leszűkítése, azaz, J I és ϕ J ψ Definíció. Azt mondjuk, hogy a kezdeti érték probléma (globálisan) egyértelműen oldható meg, ha bármely ϕ: I R n és ψ: J R n megoldáspár esetén ϕ(x) = ψ(x) ha x I J Definíció. Azt mondjuk, hogy a kezdeti érték probléma lokálisan egyértelműen oldható meg, ha létezik olyan ε > 0, hogy bármely ϕ: I R n és ψ: J R n megoldáspár esetén ϕ(x) = ψ(x) ha x I J ] ε, + ε[ Lemma (Zorn lemma). Ha (P, ) egy parciálisan rendezett halmaz, amelyben minden nemüres láncnak (lineárisan rendezett részhalmaznak) van felső korlátja, akkor P ben van maximális elem, azaz, létezik olyan x P, hogy ha valamely y P esetén x y, akkor x = y Tétel. Ha az (1) (2) Cauchy-feladatnak létezik valamilyen megoldása, akkor létezik teljes megoldása is. Bizonyítás. Legyen P = { ϕ: I R n ϕ megoldása az (1) (2) Cauchy-feladatnak. } A tétel feltételei szerint az (1) (2) Cauchy-feladatnak van megoldása, így P. Ha ϕ: I R n és ψ: J R n P-beli elemek, akkor ϕ ψ I J és ψ I ϕ Ekkor (P, ) egy parciálisan rendezett halmaz. Legyen { ϕγ : I γ R n γ Γ } egy P-beli lánc. Legyen ekkor I = I γ és ϕ(x) = ϕ γ (x) ha x I γ. γ Γ A ϕ függvény definíciója korrekt, hiszen ha x I γ1 I γ2, akkor két eset lehetséges. Ha ϕ γ1 ϕ γ2, akkor I γ1 I γ2 és ekkor ϕ γ2 (x) = ϕ γ1 (x) teljesül minden x I γ1 esetén. Ha pedig ϕ γ2 ϕ γ1, akkor I γ2 I γ1 és ekkor ϕ γ1 (x) = ϕ γ2 (x) teljesül minden x I γ2 esetén. Továbbá, I R intervallum és ϕ γ ϕ teljesül minden γ Γ esetén. A ϕ függvény definíciójából világos, hogy ϕ() = η. Megmutatjuk, hogy ϕ kielégíti az (1) differenciálegyenlet-rendszert. Legyen x I. Ekkor három eset lehetséges, vagy x I, vagy x = sup(i), vagy x = inf(i). Tegyük fel, hogy x I. Ekkor létezik olyan r > 0, hogy ]x r, x + r[ I. Továbbá, létezik olyan γ 1 Γ, melyre x r I γ1 és létezik olyan γ 2 Γ, melyre x + r I γ2. Ekkor azonban létezik olyan γ Γ is, melyre ]x r, x + r[ I γ. Legyen ugyanis γ = γ 1, ha I γ2 I γ1, illetve legyen γ = γ 2, ha I γ1 I γ2. Ebben az esetben ϕ(x) = ϕ γ (x), ha t x < r. 16

18 ezért ϕ (x) = lim t x, t x < r ϕ(t) ϕ(x) t x = lim t x, t x < r ϕ γ (t) ϕ γ (x) t x = ϕ γ(x) = f ( x, ϕ γ (x) ) = f (x, ϕ(x)) Az x I eset hasonlóan kezelhető. Tehát bármely P-beli láncnak van felső korlátja, így a Zorn lemma szerint létezik P-nek maximális eleme, ami éppen az (1) (2) Cauchy-feladat teljes megoldását szolgáltatja Következmény. Ha az (1) (2) kezdeti érték probléma (globálisan) egyértelműen oldható meg, akkor a kezdeti érték problémának létezik egy egyértelmű teljes megoldása, feltéve, hogy egyáltalán van megoldása. Továbbá, ennek a teljes megoldásnak a kezdeti érték probléma bármely más megoldása leszűkítése. Bizonyítás. Az előző tétel szerint a kezdeti érték problémának létezik egy teljes ϕ: I R n megoldása. Ha ψ: J R n a kezdeti érték probléma egy tetszőleges megoldása, akkor az egyértelmű megoldhatóság miatt Ezért a ϕ(x) = ψ(x) ha x I J. (ϕ ψ)(x) = { ϕ(x), ha x I ψ(x), ha x J \ I módon megadott függvény a ϕ és ψ függvények közös kiterjesztése, továbbá, ez a függvény megoldása az (1) (2) Cauchy-feladatnak is. Mivel ϕ teljes megoldás, ezért ϕ ψ nem lehet a ϕ függvény valódi kiterjesztése, Tehát J \ I =, azaz, J I, ami éppen azt jelenti, hogy ψ leszűkítése ϕ-nek. Ezért ϕ egyértelmű teljes megoldás Tétel. Ha az (1) differenciálegyenlet-rendszerre vonatkozó bármely kezdeti érték probléma lokálisan egyértelműen oldható meg, akkor bármely kezdeti érték probléma globálisan is egyértelműen oldható meg. Bizonyítás. Indirekt tegyük fel, hogy létezik olyan (, η) D, melyhez tartozó kezdeti érték probléma globálisan nem egyértelműen oldható meg, azaz léteznek az (1) (2) Cauchy-feladatnak olyan ϕ: I R n és ψ: J R n megoldásai, melyekre ϕ I J ψ I J, vagyis van olyan x I J, hogy ϕ(x) ψ(x). Ekkor nyilván x, hiszen ϕ és ψ kielégítik a (2) kezdeti feltételt, azaz ϕ() = η = ψ(). Tegyük fel, hogy < x és tekintsük a H = { t, t I J ϕ [,t] = ψ [,t] } halmazt. Ekkor H, x H, ezért sup(h) < x, világos továbbá, hogy H intervallum. Legyen t = sup(h). A lokális egyértelmű megoldhatóság miatt létezik olyan r > 0, hogy ϕ(t) = ψ(t) ha t I J ] r, + r[, így H {}. Ez azt jelenti, hogy t >, így van olyan n 0 N, hogy n n 0 esetén t 1 n ( ϕ t 1 ) ( = ψ t 1 ) ha n n 0, n n H. Tehát ebből azonban n határátmenetet véve az adódik, hogy ϕ(t ) = ψ(t ) = η, vagyis t H. A lokális egyértelmű megoldhatóságot a (t, η ) kezdeti feltételre alkalmazva azt kapjuk, hogy ϕ és ψ a t egy környezetében megegyezik. Tehát sup(h) > t, ami ellentmondás. Ezért a kezdeti érték probléma globálisan egyértelműen oldható meg. 17

19 1.5. A Picard Lindelöf-féle egzisztencia és unicitási tétel Tétel (Picard Lindelöf). Legyen I R nemüres intervallum, f : I R n R n folytonos függvény és tegyük fel, hogy létezik olyan L: I [0, + [ folytonos függvény, melyre (L) f (x, y 1 ) f (x, y 2 ) L(x) y 1 y 2 (x I, y 1, y 2 R n ), azaz, f lokális-globális Lipschitz-feltételt teljesít I R n en. Legyen I, η R n, ekkor az { y (C) = f (x, y) y() = η Cauchy-feladatnak létezik pontosan egy ϕ: I R n megoldása és minden más megoldás ennek a megoldásnak a leszűkítése. Továbbá, bármely ϕ 0 : I R n folytonos függvény esetén a (P) ϕ n+1 (x) = η + x f (t, ϕ n (t)) dt (x I, n > 0) Picard-féle iteráció pontonként konvergál ϕ hez és a konvergencia az I bármely kompakt részintervallumán egyenletes Példa (Picard iteráció). Tekintsük az { y = x + y y(0) = 0 Cauchy-feladatot. Ekkor az előző tétel jelöléseivel Mivel = 0, η = 0 és f (x, y) = x + y f (x, y 1 ) f (x, y 2 ) = x + y 1 x y 2 = 1 y 1 y 2 (x, y 1, y 2 R), ezért az f függvény az L(x) = 1 függvénnyel eleget tesz egy lokális-globális Lipschitz-feltételnek. Legyen ϕ 0 (x) = 0 (x R), ekkor a Picard Lindelöf-tétel szerint ϕ 1 (x) = 0 + ϕ 2 (x) = 0 + ϕ 3 (x) = 0 + ϕ n (x) = 0 +. x 0 x 0 x 0 x Így a differenciálegyenlet megoldása 0 (t + 0)dt = x2 2 t + t2 x2 dt = x3 2 3 t + t2 2 + t + t2 2 + ϕ(x) = lim n ϕ n (x) = lim n t3 x2 dt = x x t tn x2 dt = n! 2 + x xn+1 (n + 1)!. n k=2 x k k! = k=2 x k k! = k=0 x k k! x 1 = ex x 1. 18

20 1.1. ábra. A differenciálegyenlet megoldása (pirossal) és a Picard-iteráció első három eleme Példa (Picard iteráció). Tekintsük az { y = xy y(0) = 1 Cauchy-feladatot. Ekkor az előző tétel jelöléseivel Mivel = 0, η = 1 és f (x, y) = xy f (x, y 1 ) f (x, y 2 ) = xy 1 xy 2 = x y 1 y 2 (x, y 1, y 2 R), ezért az f függvény az L(x) = x függvénnyel eleget tesz egy lokális-globális Lipschitz-feltételnek. Legyen ϕ 0 (x) = 1 (x R), ekkor a Picard Lindelöf-tétel szerint azaz, ebben az esetben ϕ 1 (x) = 1 + ϕ 2 (x) = 1 + ϕ 3 (x) = 1 +. x 0 x 0 x ϕ n (x) = 1 + x ! Így a kezdeti érték probléma megoldása 0 ϕ n+1 (x) = η + x f (t, ϕ n (t)) dt, t 1dt = 1 + x2 ( ) 2 ; t 1 + t2 dt = 1 + x x4 8 ; ( ) t 1 + t2 2 + t4 dt = 1 + x ! ( x 2 2 ) n! ϕ(x) = lim n ϕ n (x) = k=0 1 k! ( x 2 2 ( ) x 2 n (n N). 2 ( x 2 2 ) k = e x2 2. ) ! Lemma. Az előző tétel feltételei mellett legyen J I olyan intervallum, hogy J. Ekkor a ψ: J R n folytonos függvény akkor és csak akkor megoldása a (C) Cauchy-feladatnak, ha megoldása az (I) ψ(x) = η + integrálegyenletnek. x 19 f (t, ψ(t)) dt ( x 2 2 ) 3

21 Bizonyítás. Tegyük fel, hogy a ψ: J R n folytonos függvény megoldása (C)-nek. Ekkor ψ differenciálható J-n, ψ() = η és ψ (x) = f (x, ψ(x)) (x J). Ezt az egyenletet -től x-ig integrálva, x ψ (t)dt = x f (t, ψ(t)) dt (x J). A ψ-re vonatkozó differenciálegyenletből és az f függvény folytonosságából az adódik, hogy ψ folytonos, így a Newton Leibniz-formula miatt x ψ (t)dt = ψ(x) ψ() = ψ(x) η, azaz ψ kielégíti az (I) integrálegyenletet. Megfordítva, tegyük fel, hogy a ψ: J R n folytonos függvény teljesíti az (I) integrálegyenletet. Ekkor az x = helyettesítéssel ψ() = η adódik. Továbbá az (I) egyenletben az integrandus t-nek folytonos függvénye, ezért (I) jobb oldala egy folytonos függvény felsőhatárfüggvénye, ezért, mint x függvénye differenciálható, így a ψ függvény differenciálható. Az (I) egyenletet differenciálva ψ (x) = f (x, ψ(x)) (x J), vagyis ψ megoldása a (C) Cauchy-feladatnak. Legyen J I olyan kompakt intervallum, hogy J és legyen Ekkor C (J) egy teljes metrikus tér a C (J) = { ψ: J R n ψ folytonos J-n }. d (ψ, ϕ) = sup ψ(x) ϕ(x) x J (ψ, ϕ C (J)) metrikával Lemma. Legyen p: J ]0, + [ folytonos függvény és ψ C (J) esetén legyen ψ p = sup ψ(t) p(t). t J Ekkor. p ekvivalens a. supremum-normával, azaz léteznek olyan 0 < α β < konstansok, hogy α ψ ψ p β ψ teljesül minden ψ C (J) esetén. Ennek következtében ( C (J),. p ) teljes metrikus tér. Bizonyítás. Legyenek β = sup t J p(t) = max t J p(t) és α = inf t J Ekkor 0 < α β < +. Továbbá, tetszőleges ψ C(J) esetén ψ p = sup t J p(t) = min t J ψ(t) p(t) sup ψ(t) β = β ψ, t J p(t). 20

22 illetve ψ p = sup t J ψ(t) p(t) sup ψ(t) α = α ψ. t j Legyen (ϕ k ) k N Cauchy-sorozat a (C(J),. p ) térben. Ekkor tetszőleges ε > 0 esetén van olyan k 0 N úgy, hogy ha k, m N olyanok, hogy k, m > k 0, akkor amiből a fenti becslés miatt ϕ k ϕ m p < ε, ϕ k ϕ m < ε α adódik. Így a (ϕ k ) k N sorozat a (C(J),. ) teljes metrikus térben is Cauchy sorozat. Legyen ϕ 0 C(J) ennek a Cauchy-sorozatnak a (C(J),. p ) térbeli határértéke. Ekkor tetszőleges ε > 0 esteén van olyan k 0 N úgy, hogy ha k N olyan, hogy k > k 0, akkor ϕ k ϕ 0 < ε β, amiből szintén a fenti becslés miatt k > k 0 esetén ϕ k ϕ 0 p < ε. adódik. Ez azonban azt jelenti, hogy a (ϕ k ) k N sorozat a (C(J),. p ) térben a ϕ 0 függvényhez konvergál. A Picard Lindelöf-tétel jelölései és feltételei mellett értelmezzük a T : C (J) C (J) leképezést a T ψ (x) = η + x f (t, ψ(t)) dt (x J, ψ C (J)) képlettel, és legyen ( p(x) = exp Ekkor p egy pozitív és folytonos függvény. x ) L(t)dt (x J) Lemma (Bielicki). A fent megadott T : C (J) C (J) leképezés kontrakció a ( C (J),. p ) teljes metrikus téren. Bizonyítás. Legyenek ψ 1, ψ 2 C(J) tetszőlegesek. Ekkor T ψ1 (x) T ψ2 (x) p(x) = p(x) x Ha x, akkor p(x) x p(x) L(t) p(t) dt x = p(x) x x ( f (t, ψ 1 (t)) f (t, ψ 2 (t))) dt p(x) f (t, ψ 1 (t)) f (t, ψ 2 (t)) dt L(t) ψ 1 (t) ψ 2 (t) dt = p(x) x ( t ) x L(t) exp L(s)ds dt = p(x) ( x ( = p(x) exp L(t) p(t) ψ 1(t) ψ 2 (t) p(t)dt x p(x) L(t) p(t) dt ψ 1 ψ 2 p. ( ( d t exp dt ) L(t)dt ) 1 = p(x) )) L(s)ds dt ( ) 1 p(x) 1 = 1 p(x) < 1 21

23 Ha pedig x, akkor p(x) x L(t) p(t) dt = p(x) x ( t ) L(t) exp L(s)ds dt = p(x) x = p(x) ( ( 1 + exp x ( ( d t exp dt )) ( L(t)dt = p(x) )) L(s)ds dt 1 p(x) 1 ) = 1 p(x) < 1. Legyen q = sup(1 p(x)) < 1. x J Ebben az esetben Tψ1(x) T ψ2(x) p(x) (1 p(x)) ψ1 ψ 2 p q ψ 1 ψ 2 p, amiből azt kapjuk, hogy T ψ1 T ψ2 = sup T ψ1 (x) T ψ2 (x) p(x) q ψ1 ψ 2 p, x J ami éppen a bizonyítandó állítás. Bizonyítás. (Picard Lindelöf-tétel) Az előző állítások miatt a T leképezésre teljessülnek a Banach-féle fixponttétel feltételei, így a T leképezésnek létezik egy egyértelműen meghatározott fixpontja C(J)-ben. Ez a fixpont éppen az (I) integrálegyenlet megoldása, amely probléma éppen a (C) Cauchy-feladattal ekvivalens. Legyen most ϕ 0 : I R n egy tetszőleges, folytonos függvény. Ekkor a iterációra tetszőleges J I intervallum esetén ϕ m+1 = T ϕm (m = 0, 1, 2,...) ϕ m+1 J = T ϕm J J teljesül. A fenti eredmények miatt tetszőleges J I kompakt intervallum esetén a (ϕ m J ) m N függvénysorozat a T leképezés C(J)-beli fixpontjához konvergál. Ebből az is adódik, hogy tetszőleges x J esetén a (ϕ m (x)) m N sorozat konvergens. Mivel J I tetszőleges volt, ezért ez azt jelenti, hogy a (ϕ m ) m N függvénysorozat az I intervallumon pontonként konvergens. Legyen ϕ(x) = lim m ϕ m (x) (x I). Továbbá, tetszőleges J I intervallum esetén a (ϕ m J ) m N függvénysorozat a. p normában a ϕ J függvényhez konvergál. Mivel a. p norma ekvivalens a supremum normával, ezért a (ϕ m ) m N függvénysorozat a J kompakt intervallumon egyenletesen ϕ-hez konvergál. Mivel ϕ megoldja az (I) integrálegyenletet, ezért ϕ megoldása az ezzel ekvivalens (C) Cauchy-feladatnak is. Végül indirekt tegyük fel, hogy a (C) Cauchy-feladatnak van olyan ψ: K R n megoldása, melyre ϕ K ψ. Ekkor van olyan x K, hogy ϕ(x) ψ(x). Mivel mind a ϕ, mind a ψ függvény folytonos, ebből az adódik, hogy létezik olyan J K kompakt intervallum is, mely esetében ϕ(x) ψ(x), ha x J. Ez azonban azt jelenti, hogy a (C) Cauchy-feladatnak létezik két különböző megoldása, ami lehetetlen, hiszen a Banach-féle fixponttétel garantálja, hogy a (C)-vel ekvivalens (I) integrálegyenletnek pontosan egy megoldása van. 22

24 1.6. A kezdeti értéktől való folytonos függés Tétel. Legyen (X, d) egy teljes metrikus tér, 0 q < 1 és T n : X X, n N q-kontrakciók egy olyan sorozata, mely pontonként a T 0 : X X függvényhez konvergál. Ekkor T 0 is q-kontrakció, és a T n kontrakciók x n fixpontjaiból képzett (x n ) n N sorozat a T 0 kontrakció x 0 fixpontjához konvergál. Bizonyítás. Tetszőleges n N és x, y X esetén d (T n x, T n y) qd(x, y) teljesül, ebből n határátmenetet véve az adódik, hogy d (T 0 x, T 0 y) qd(x, y) (x, y X), hiszen a pontonkénti konvergencia miatt lim n T n x = T 0 x és lim n T n y = T 0 y. Ezért T 0 : X X valóban q-kontrakció. Továbbá, d(x n, x 0 ) = d (T n x n, T 0 x 0 ) d (T n x n, T n x 0 ) + d (T n x 0, T 0 x 0 ) = qd(x n, x 0 ) + d (T n x 0, T 0 x 0 ), így mert lim n T n x 0 = T 0 x 0, ezért lim n x n = x 0. d(x n, x 0 ) 1 1 q d (T nx 0, T 0 x 0 ) n 0, Megjegyzés. Ha T n : X X, n N q n -kontrakciók egy olyan sorozata, melyre sup n N q n = 1, akkor az előző tétel állítása nem feltétlenül marad érvényben. Legyen ugyanis ( T n (x) = 1 1 ) x + 1 (x R, n N). n Ekkor minden n N esetén T n ( 1 1 n) -kontrakció. Azonban xn = n és ami nem kontrakció, sőt T 0 -nak még fixpontja sincsen. lim T n(x) = T 0 (x) = x + 1, n Tétel (A kezdeti értéktől való folytonos függés tétele). Legyen I R egy nemüres intervallum, f : I R n R n folytonos függvény, és tegyük fel, hogy létezik olyan L: I [0, + [ folytonos függvény, mellyel az f függvény teljesíti az (L) feltételt. Ha I és η R n, akkor jelölje ϕ η : I R n az (C) { y = f (x, y) y() = η Cauchy-feladatnak a megoldását. Ekkor ϕ η a kezdeti érték folytonos függvénye, azaz ha (η k ) k N egy R n -beli, η 0 -hoz konvergáló sorozat, akkor a ( ϕ ηk )k N függvénysorozat az I intervallumon pontonként a ϕ η 0 függvényhez konvergál, továbbá a konvergencia az I minden kompakt részintervallumán egyenletes. Bizonyítás. Legyen ( p(x) = exp x ) L(t)dt, és y p = sup t J y(t) p(t), mely a C (J) téren ekvivalens a. supremum-normával. 23

25 Bármely η R esetén a ϕ η J függvény a ϕ η (x) = η + x f ( t, ϕ η (t) ) dt (x J) egyenlet megoldása, azaz, ϕ η a T η ϕ(x) = η + x f ( t, ϕ η (t) ) dt (x J) képlettel értelmezett T η : C(J) C(J) leképezés egyetlen fixpontja, melynek a. p norma szerint kontrakciós faktora sup x J (1 p(t)) < 1, ami nem függ η megválasztásától. Ezért, ha η k η 0, akkor ( Tηk ) (x) = ηk + x f ( t, ϕ ηk (t) ) dt n η 0 + x f ( t, ϕ η0 (t) ) dt = ( T η0 ) (x). Tehát a T ηk, k N leképezések kielégítik az előző tétel feltételeit. Így ezért ϕ ηk ϕ ηk. p ϕ η0,. ϕ η0, azaz ϕ ηk ϕ η0 a J intervallumon egyenletesen. Mivel J I tetszőleges intervallum, ezért a konvergencia az I intervallum bármely kompakt részintervallumán egyenletes, amiből az is adódik, hogy I-n fennáll a pontonkénti konvergencia is Gronwall-féle integrál-és differenciálegyenlőtlenségek Tétel (Gronwall-féle integrálegyenlőtlenség). Legyen I = [, a[ vagy I = [, a], ahol a R { } és < a, és tegyük fel, hogy f : I R R olyan folytonos függvény, mely kielégíti az (L) feltételt, tegyük még fel továbbá, hogy minden x I és y 1 y 2 esetén f (x, y 1 ) f (x, y 2 ) teljesül. Legyen ψ: I R olyan folytonos függvény, melyre ψ(x) η + x f (t, ψ(t)) dt (x I) teljesül. Ekkor ψ ϕ, ahol ϕ: I R a ϕ(x) = η + x f (t, ϕ(t)) dt integrálegyenlet egyértelmű megoldása. Bizonyítás. Legyen ε > 0 és jelölje ϕ ε : I R a ϕ ε (x) = η + ε + x f (t, ϕ ε (t)) dt 24

26 integrálegyenlet megoldását. Az előző tétel szerint lim ε 0+ ϕ ε (x) = ϕ(x) minden x I esetén, és a konvergencia az I intervallum minden kompakt részintervallumán egyenletes. Ekkor ψ() η < ϕ ε () = η + ε, ezért a pont egy környezetében ψ < ϕ ε teljesül. Indirekt tegyük fel, hogy a H = {x I ϕ ε (x) ψ(x)} halmaz nemüres. Legyen α = inf(h), mivel a H halmaz zárt, ezért α H és α >. Ekkor ψ(x) < ϕ ε (x), ha x < α és ψ(α) ϕ ε (x). Tekintsük az x n = α 1 n, n N sorozatot, ekkor n n 0 esetén x n < α, így ψ(x n ) < ϕ ε (x n ) (n n 0 ), amiből az n határátmenettel ψ(α) ϕ ε (α) adódik. Tehát < α olyan, hogy Továbbá, ψ(α) η + ψ(x) < ϕ ε (x), ha x < α és ψ(α) = ϕ ε (α). α f (t, ψ(t)) dt η + α f (t, ϕ ε (t)) dt = ϕ ε (α) ε < ϕ ε (α), ami ellentmondás, ezért ψ < ϕ ε teljesül az I intervallumon, amiből ε 0 határátmenettel adódik a bizonyítandó állítás Következmény (Gronwall-féle lineáris integrálegyenlőtlenség I.). Legyen I = [, a[ vagy I = [, a], A: I R egy folytonos, nemnegatív, B: I R pedig egy folytonos függvény. Ha a ψ: I R folytonos függvény kielégíti a ψ(x) η + x integrálegyenlőtlenséget, akkor minden x I esetén ( x ) ( ψ(x) exp A(t)dt η + teljesül. Bizonyítás. Tekintsük az módon megadott f : I R R függvényt. Ekkor, A(t)ψ(t) + B(t)dt (x I) x ( t ) ) B(t) exp A(s)ds dt f (x, y) = A(x)y + B(x) (x I, y R) f (x, y 1 ) f (x, y 2 ) = A(x) y 1 y 2 (x I, y 1, y 2 R), továbbá, az A nemnegativitása miatt, ha y 1, y 2 R olyanok, hogy y 1 y 2, akkor f (x, y 1 ) = A(x)y 1 + B(x) A(x)y 2 + B(x) = f (x, y 2 ). Így az előző tétel miatt ψ ϕ teljesül, ahol ϕ: I R megoldása a ϕ(x) = η + x A(t)ϕ(t) + B(t)dt integrálegyenletnek. Azonban ennek az integrálegyenletnek a megoldása ( x ) ( x ( t ) ) ϕ(x) = exp A(t)dt η + B(t) exp A(s)ds dt amiből már adódik a tétel állítása. 25 (x I),

27 Definíció. Legyen I R valódi intervallum, h: I R, ekkor ha létezik és véges a h (x) = lim sup t 0+ h(x) h(x t) t határérték, akkor a h (x) számot a h függvény baloldali (felső) Dini-deriváltjának nevezzük Tétel (Gronwall-féle differenciálegyenlőtlenség I.). Legyen I = [, a[ vagy I = [, a], ahol a R { } és < a, f : I R R folytonos függvény, ϕ, ψ: I R pedig olyan folytonos függvények, hogy ψ() < ϕ() ψ (x) f (x, ψ(x)) és ϕ (x) f (x, ϕ(x)) (x > ). Ekkor minden x I esetén ψ(x) < ϕ(x) teljesül. Bizonyítás. Indirekt tegyük fel, hogy a tétel állítása nem teljesül. Ekkkor van olyan α I, α >, hogy Ebből azt kapjuk, hogy ψ(x) < ϕ(x) (x [, α[) és ψ(α) = ϕ(α). ψ(α) ψ(α t) t Véve a lim sup t 0+ határátmenetet ebből > ϕ(α) ϕ(α t) t ψ (α) ϕ (α) (t ]0, α [). adódik. Másfelől, a ψ és ϕ függvényekre fennálló differenciálegyenlőtlenségek miatt ψ (α) = f (α, ψ(α)) = f (α, ϕ(α)) < ϕ (α), ami ellentmondás. Így az I intervallum minden x eleme esetén ψ(x) < ϕ(x) teljesül Tétel (Gronwall-féle differenciálegyenlőtlenség II.). Legyen I = [, a[ vagy I = [, a], ahol a R { } és < a, f : I R R folytonos függvény, ϕ, ψ: I R pedig olyan differenciálható függvények, hogy ψ() < ϕ() ψ (x) f (x, ψ(x)) és ϕ (x) > f (x, ϕ(x)) (x > ). Ekkor minden x I esetén ψ(x) < ϕ(x) teljesül. Bizonyítás. Ha ψ() < ϕ() teljessül, akkor a tétel állítás azonnal adódik az előző eredményből. Tegyük most fel, hogy ψ() = ϕ(). Ekkor ψ () f (, ψ()) = f (, ϕ()) < ϕ (). Ebben az esetben 0 < ϕ () ψ () = lim t 0 (ϕ ψ)( + t) (ϕ ψ)() t Így létezik olyan δ > 0, hogy ha t ]0, δ[, akkor ϕ( + t) > ψ( + t). (ϕ ψ)( + t) = lim. t 0 t Indirekt tegyük fel, hogy a tétel állítása nem teljesül. Ekkor az előző tétel bizonyításának gondolatmenetét megismételve létezik olyan α I, α > úgy, hogy ψ(x) < ϕ(x) (x [, α[) és ψ(α) = ϕ(α), amiből ψ (α) ϕ (α) adódna. Másfelől, a ψ és ϕ függvényekre fennálló differenciálegyenlőtlenségekből ψ (α) < ϕ (α) következik, ami ellentmondás. 26

28 Következmény (Gronwall-féle lineáris integrálegyenlőtlenség II.). Legyen I = [, a[ vagy I = [, a], A, B: I R folytonos függvények. Ha a ϕ, ψ: I R folytonos függvényekre ψ() ϕ() és ψ (x) A(x)ψ(x) + B(x) (x I), illetve teljesül, akkor minden x I esetén ϕ (x) > A(x)ϕ(x) + B(x) (x I) ψ(x) < ϕ(x) Tétel (Peano-féle egyenlőtlenség I.). Legyen I = [, a[ vagy I = [, a], ahol a R { } és < a, f : I R R olyan folytonos függvény, mely esetén van olyan ω: I [0, [ [0, [ folytonos függvény, hogy (Ω) f (x, y 1 ) f (x, y 2 ) ω (x, y 1 y 2 ) (x I, y 1, y 2 R). Tegyük fel, hogy y, z: I R differenciálható függvények és legyenek ε(x) = y (x) f (x, y(x)) és δ(x) = z (x) f (x, z(x)) (x I). Legyen továbbá ϱ: I R olyan függvény, melyre y() z() < ϱ() és ϱ (x) > ω (x, ϱ(x)) + ε(x) + δ(x) ( < x I). Ekkor y(x) z(x) < ϱ(x) (x I) Bizonyítás. Legyen ψ(x) = y(x) z(x) (x I). Azt fogjuk megmutatni, hogy a ψ és ϱ függvények kielégítik a Gronwall-féle differenciálegyenlőtlenség I. változatának feltételeit. A ψ() < ϱ() egyenlőtlenség világos. Már csak azt kell megmutatni, hogy teljesül. Valóban, ψ (x) = lim sup t 0+ ψ (x) ω(x, ψ(x)) + ε(x) + δ(x) (x I) ψ(x) ψ(x t) y(x) z(x) y(x t) z(x t) = lim sup t t 0+ t lim sup y(x) y(x t) z(x) z(x t) t 0+ t t = y (t) z (t) y (t) f (x, y(x)) + f (x, y(x)) f (x, z(x)) + f (x, z(x)) z (x) ε(x) + ω(x, ψ(x)) + δ(x) teljesül minden x I esetén, így a Gronwall-féle differenciálegyenlőtlenség I. változata szerint minden x I esetén ψ(x) < ϱ(x), azaz, y(x) z(x) < ϱ(x). 27

29 Tétel (Peano-féle egyenlőtlenség II.). Legyen I = [, a[ vagy I = [, a], f : I R n R n egy folytonos függvény és tegyük fel, hogy létezik egy olyan L: I [0, + [ folytonos függvény, hogy (L) f (x, y 1 ) f (x, y 2 ) L(x) y 1 y 2 (x I, y 1, y 2 R n ). Tegyük fel továbbá, hogy az y, z: I R n differenciálható függvényekre y (x) f (x, y(x)) < ε(x) és z (x) f (x, z(x)) < δ(x) (x I) teljesül. Ekkor ( x y(x) z(x) exp ) ( x ( t ) ) L(t)dt y() z() + (ε(t) + δ(t)) exp L(s)ds dt (x I). Bizonyítás. Az (L) feltételből következik az előző tétel (Ω) feltétele az ω(x, t) = L(x) t ((x, t) I [0, + [) függvénnyel. Legyen η > 0 tetszőleges és jelölje ϱ η : I [0, + [ a (K η ) { ϱ η (x) = ε(x) + δ(x) + L(x)ϱ η (x) + η ϱ η () = y() z() + η Cauchy-feladat megoldását. Ekkor ϱ η(x) > ε(x) + δ(x) + L(x)ϱ η (x) ϱ η () > y() z(), így az előző tétel miatt ϱ η (x) > y(x) z(x) (x I) A (K η ) kezdeti érték probléma egyértelmű oldható meg és ( x ) ( x ( t ) ) ϱ η (x) = exp L(t)dt y() z() + η + (ε(t) + δ(t) + η) exp L(s)ds dt ezért ebből η 0 határátmenetet véve éppen az adódik, hogy ( x ) ( x ( t ) ) y(x) z(x) exp L(t)dt y() z() + (ε(t) + δ(t)) exp L(s)ds dt (x I), (x I) Definíció. Legyen D R R n tartomány. Azt mondjuk, hogy az f : D R n függvény a második változójában lokális Lipschitz-feltételt teljesít, ha tetszőleges (, η) D pontnak van olyan U D nyílt környezete és létezik olyan L nemnegatív valós szám, hogy f (x, y 1 ) f (x, y 2 ) L y 1 y 2 ((x, y 1 ), (x, y 2 ) U) Tétel (Lokális egzisztencia és unicitási tétel). Legyen D R R n tartomány, f : D R n pedig egy olyan folytonos függvény, mely a második változójában lokális Lipschitz-feltételt teljesít D-n. Ekkor tetszőleges (, η) D esetén a (C) { y = f (x, y) y() = η Cauchy-feladatnak a pont valamely környezetében létezik egy egyértelműen meghatározott megoldása. 28

30 Bizonyítás. Legyenek a és b olyan pozitív valós számok, melyekkel H = [ a, + a] {y R n y η b} D teljesül. Ilyen pozitív valós számok léteznek, hiszen a (, η) pont a D nyílt halmaznak belső pontja. Mivel H R n+1 kompakt, ezért f H korlátos függvény, legyen K = sup f (x, y). (x,y) H Feltehető továbbá az is, hogy a és b olyan kicsik, hogy a H halmazon teljesül a Lipschitz-feltétel, azaz, van olyan L 0, hogy minden (x, y 1 ), (x, y 2 ) H esetén f (x, y 1 ) f (x, y 2 ) L y 1 y 2 teljesül. { Legyen δ = min a, b }. Azt fogjuk megmutatni, hogy az I = [ δ, + δ] intervallumon a (C) Cauchyfeladatnak létezik egy egyértelmű megoldása. Ehhez tekintsük a K f (x, ( y), ha y η b f (x, y) = f x, η + y η ) y η b, ha y η > b módon megadott f : I R n R n függvényt és legyen y, ha y η b π(y) = η + y η y η b, ha y η > b (y R n ). Megmutatjuk, hogy tetszőleges y 1, y 2 R n esetén ( ) π(y 1 ) π(y 2 ) y 1 y 2 teljesül. Ehhez vegyük észre azt, hogy ha y R n, z R n pedig olyan, hogy z η b, akkor y π(y), z π(y) 0. Valóban, ha y R n olyan, hogy y η b, akkor nincs mit bizonyítani, ha pedig z η > b teljesül, akkor az y π(y) vektor tompaszöget zár be a z π(y) alakú vektorokkal minden, a z η b feltételt kielégítő z R n vektor esetén. Alkalmazzuk ezt az egyenlőtlenséget először az majd az Ekkor y = y 1 és z = π(y 2 ), y = y 2 és z = π(y 1 ). y 1 π(y 1 ), π(y 2 ) π(y 1 ) 0 és y 2 π(y 2 ), π(y 1 ) π(y 2 ) 0. Ezeket az egyenlőtlenségeket összeadva, amiből rendezés után az adódik, hogy y 1 y 2 (π(y 1 π(y 2 ))), π(y 2 π(y 1 )) 0, π(y 1 ) π(y 2 ) 2 y 1 y 2, π(y 1 ) π(y 2 ) y 1 y 2 π(y 1 ) π(y 2 ). 29

31 A most igazolt ( ) egyenlőtlenséget felhasználva, azt kepjuk, hogy f (x, y 1 ) f (x, y 2 ) = f (x, π(y 1 )) f (x, π(y 2 )) L π(y 1 ) π(y 2 ) L y 1 y 2, vagyis az f függvény az első változótól független L konstanssal Lipschitz-feltételt teljesít. Így a globális egzisztencia és unicitási tétel miatt a { y (C) = f (x, y) y() = η Cauchy-feladatnak létezik egy egyértelműen meghatározott ϕ: I R n megoldása. Végül azt mutatjuk meg, hogy ϕ megoldja a (C) Cauchy-feladatot is és megfordítva, a (C) kezdeti érték probléma minden, I-n értelmezett megoldása megoldja a (C) Cauchy-feladatot is. Tegyük fel, hogy ϕ megoldja a (C) Cauchy-feladatot. Ekkor x ϕ(x) η = f (t, ϕ(t))dt = x f (t, π(ϕ(t)))dt x Kdt = K x Kδ K b = b (x I), K hiszen f (t, π(ϕ(t))) H. Ezért ϕ (x) = f (x, ϕ(x)) = f (x, ϕ(x)) (x I), vagyis ϕ megoldja a (C) Cauchy-feladatot. Hasonló érvelés mutatja, hogy az I intervallumon C megoldásai megoldásai (C)-nek is Tétel (A megoldások kiterjesztése). (i) Legyen D R R n tartomány, f : D R n folytonos függvény, ϕ: [, a[ R n pedig a { y (C) = f (x, y) y() = η Cauchy-feladat megoldása. Ha létezik olyan K D kompakt halmaz, hogy graph(ϕ) K, akkor létezik a lim x a ϕ(x) határérték és ha { ϕ(x), ha x [, a[ ϕ(x) = lim x a ϕ(x), ha x = a, akkor a ϕ: [, a] R n függvény is megoldása a (C) Cauchy-feladatnak. (ii) Ha ϕ: [, a] R n megoldása a (C) kezdeti érték problémának, ψ: [a, b[ R n pedig az { y = f (x, y) y(a) = ϕ(a) Cauchy-feladat megoldása, akkor a ˆϕ(x) = { ϕ(x), ha x [, a] ψ(x), ha x ]a, b[ módon megadott ˆϕ: [, b[ R n függvény megoldása a (C) Cauchy-feladatnak. Bizonyítás. (i) Mivel graph(ϕ) = {(x, ϕ(x)) x < a} K D 30

32 teljesül valamely K kompakt halmaz esetén, ezért f korlátos K-n, és így f korlátos graph(ϕ)-n, azaz létezik olyan M 0, hogy f (x, ϕ(x)) M teljesül minden x [, a[ esetén. Tehát ϕ (x) M (x [, a[), hiszen ϕ kielégíti a (C) Cauchy-feladatot. Legyen (x k ) k N olyan sorozat, hogy A Lagrange-féle középérték-tétel miatt x k < a (k N) és lim k x k = a. ϕ(x k ) ϕ(x m ) M x k x m teljesül. Mivel az (x k ) k N sorozat Cauchy sorozat, ezért minden ε > 0 esetén van olyan k 0 N, hogy k, m k 0 esetén x k x m < ε M, ekkor azonban ϕ(x k ) ϕ(x m ) < ε, azaz, a (ϕ(x k )) k N sorozat Cauchy sorozat, ami R n teljessége miatt konvergens is. Ez azonban azt jelenti, hogy tetszőleges [, a[-beli a-hoz konvergáló (x k ) k N sorozat esetén a (ϕ(x k )) k N sorozat konvergens, ami pontosan azt jelenti, hogy létezik a lim x a ϕ(x) határérték. Ekkor a tételben megadott ϕ függvény egy jóldefiniált, folytonos függvény a [, a] intervallumon. Mivel ϕ megoldása a (C) Cauchy-feladatnak, ezért ϕ(x) = η + x f (t, ϕ(t))dt (x [, a[). Véve az x a határátmenetet és ϕ(x) = η + ϕ(x) = η + x a f (t, ϕ(t))dt f (t, ϕ(t))dt (x [, a[). Azaz, ϕ teljesíti az integrálegyenletet a [, a] intervallumon, így ϕ megoldása a (C) Cauchy-feladatnak a [, a] intervallumon. (ii) Elegendő azt megmutatni, hogy ˆϕ megoldása a [, b[ intervallumon az integrálegyenletnek, azaz ˆϕ(x) = η + x f (t, ˆϕ(t))dt (x [, b[). Ha x [, a], akkor ˆϕ(x) = ϕ(x), így ˆϕ(x) = ϕ(x) = η + Ha x ]a, b[, akkor ˆϕ(x) = ψ(x), így x f (t, ϕ(t))dt = η + x f (t, ˆϕ(t))dt. ˆϕ(x) = ψ(x) = ϕ(a) + x a f (t, ψ(t)) dt = η + a f (t, ϕ(t))dt + x a f (t, ψ(t))dt = η + x f (t, ˆϕ(t)) dt, azaz, ˆϕ folytonos az a pontban és megoldása a (C) Cauchy-feladatnak a [, b[ intervallumon. 31

33 Definíció. Legyen D R R n nemüres, nyílt halmaz, f : D R n függvény és (, η) D. Azt mondjuk, hogy a { y (C) = f (x, y) y() = η Cauchy-feladat ϕ: I R n megoldása D határától D határáig halad, ha tetszőlges K D kompakt halmaz esetén léteznek olyan 1, 2 I pontok, hogy teljesül. 1 < < 2 és ( 1, ϕ( 1 )), ( 2, ϕ( 2 )) K η K D ϕ Tétel. Legyen D R R n nemüres, nyílt halmaz, f : D R n pedig egy folytonos, a második változójában lokális Lipschitz-feltételt teljesítő függvény. Ekkor tetszőlges (, η) D pont esetén a { y (C) = f (x, y) y() = η Cauchy-feladatnak létezik egy egyértelműen meghatározott D határától D határáig haladó megoldása Állítás. Legyen D R n R n nemüres, nyílt halmaz, f : D R n olyan folytonos függvény, amely a második változójában folytonosan parciálisan differenciálható. Ekkor f a második változójában lokális Lipschitzfeltételt teljesít Definíció. Legyen I R egy valódi intervallum és F C(I). Azt mondjuk, hogy F ekvifolytonos a p I pontban, ha bármely ε > 0 esetén van olyan δ > 0 úgy, hogy ha x I olyan, hogy x p < δ, akkor minden f F esetén f (x) f (p) < ε teljesül Megjegyzés. Tetszőleges véges függvénycsalád az I bármely pontjában ekvifolytonos Tétel. Legyen S I egy sűrű halmaz, F = { f k k N} C(I) pedig egy ekvifolytonos függvénycsalád. Ekkor, ha minden x S esetén az ( f k (x)) k N sorozat konvergens, akkor minden x I esetén az ( f k (x)) k N sorozat is konvergens, továbbá a konvergencia az I intervallum minden kompakt részintervallumán egyenletes Tétel (Arzelà Ascoli). Legyen F = { f k k N} C(I) egy olyan ekvifolytonos függvénycsalád, mely minden I-beli pontban ekvikorlátos. Ekkor az ( f k ) k N függvénysorozatnak létezik olyan ( f ki )i N részsorozata, amely az I minden pontjában konvergens úgy, hogy ez a konvergencia az I minden kompakt részhalmazán egyenletes Megjegyzés. Az I = {p} esetben a fenti tétel éppen a Bolzano Weierstrass-féle kiválasztási tételt adja vissza. 32

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Matematika III. harmadik előadás

Matematika III. harmadik előadás Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)

Részletesebben

1.7. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

1.7. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek 7 Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek Legyen n N, I R intervallum és A: I M n n (R), B: I R n folytonos függvények, és tekintsük az { y (x) = A(x)y(x) + B(x) y(ξ) = η kezdeti érték problémát,

Részletesebben

Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.

Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független

Részletesebben

Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek Differenciálegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 1 /

Részletesebben

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Differenciálegyenletek numerikus megoldása

Differenciálegyenletek numerikus megoldása a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens

Részletesebben

Boros Zoltán február

Boros Zoltán február Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0 I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)

Részletesebben

Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)

Részletesebben

Differenciálegyenlet rendszerek

Differenciálegyenlet rendszerek Differenciálegyenlet rendszerek (A kezdeti érték probléma. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek, magasabb rendű lineáris egyenletek.) Szili László: Modellek és algoritmusok ea+gyak jegyzet alapján

Részletesebben

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1 Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus II. példatár. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus II. példatár. Gselmann Eszter Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus II. példatár Gselmann Eszter Debrecen, 203 Tartalomjegyzék. Határozatlan integrál Elméleti áttekintés............................. Alapintegrálok...............................

Részletesebben

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

Elhangzott tananyag óránkénti bontásban

Elhangzott tananyag óránkénti bontásban TTK, Matematikus alapszak Differenciálegyenletek (Előadás BMETE93AM03; Gyakorlat BME TE93AM04) Elhangzott tananyag óránkénti bontásban 2016. február 15. 1. előadás. Közönséges differenciálegyenlet fogalma.

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon. 215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Részletesebben

Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet

Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

Differenciálegyenletek. Vajda István március 4.

Differenciálegyenletek. Vajda István március 4. Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:

Részletesebben

λx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)

λx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j) Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK:

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n

Részletesebben

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva? = komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.

Részletesebben

Kalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév

Kalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév Klkulus II. Beugró kérdések és válszok 2012/2013 s tnév II. félév 1. Legyen ], b[ R nemüres, nyílt intervllum, f :], b[ R függvény. Hogyn vn értelmezve z f függvény primitív függvénye? Válsz. Legyen ],

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Differenciálegyenletek december 13.

Differenciálegyenletek december 13. Differenciálegyenletek 2018. december 13. Elsőrendű DE Definíció. Az elsőrendű differenciálegyenlet általános alakja y = f (x, y), ahol f (x, y) adott kétváltozós függvény. Minden y = y(x) függvény, amire

Részletesebben

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx

Részletesebben

y = y 0 exp (ax) Y (x) = exp (Ax)Y 0 A n x n 1 (n 1)! = A I + d exp (Ax) = A exp (Ax) exp (Ax)

y = y 0 exp (ax) Y (x) = exp (Ax)Y 0 A n x n 1 (n 1)! = A I + d exp (Ax) = A exp (Ax) exp (Ax) III Az exp (Ax mátrixfüggvény módszere Ha y = ay, y( = y, a = állandó y = y exp (ax d dx [exp (Ax] = Y = AY, Y ( = Y, Y (x = exp (AxY exp (Ax = I + n= A n x n (n! = A A n x n, n! ] A n x n I + = A exp

Részletesebben

4. Laplace transzformáció és alkalmazása

4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4.1. Laplace transzformált és tulajdonságai Differenciálegyenletek egy csoportja algebrai egyenletté alakítható. Ennek egyik eszköze a Laplace transzformáció. Definíció:

Részletesebben

Utolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20

Utolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék,   Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20 Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális

Részletesebben

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 6. Differenciálegyenletekről röviden Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Elsőrendű differenciálegyenletek Definíciók Kezdetiérték-probléma

Részletesebben

Lineáris algebra numerikus módszerei

Lineáris algebra numerikus módszerei Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y

Részletesebben

Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek Példák differenciálegyenletekre Newton második törvénye Egy tömegpont gyorsulása egyenesen arányos a rá ható erővel és fordítottan arányos

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl

Részletesebben

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók

Részletesebben

Segédanyag az A3 tárgy gyakorlatához

Segédanyag az A3 tárgy gyakorlatához Segédanyag az A3 tárgy gyakorlatához Sáfár Orsolya Szeparábilis dierenciálegyenletek A megoldásról általában: A szeparábilis dierenciálegyenlet álatlános alakja: y (x) = f(x)g(y). Ebben az esetben g(y)-al

Részletesebben

5. fejezet. Differenciálegyenletek

5. fejezet. Differenciálegyenletek 5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y

Részletesebben

Analízis I. Vizsgatételsor

Analízis I. Vizsgatételsor Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2

Részletesebben

Többváltozós Függvények Analízise; Differenciálegyenletek Tantárgyi tájékoztató, 2014/2015 tavaszi félév

Többváltozós Függvények Analízise; Differenciálegyenletek Tantárgyi tájékoztató, 2014/2015 tavaszi félév Többváltozós Függvények Analízise; Differenciálegyenletek Tantárgyi tájékoztató, 214/215 tavaszi félév Kurzus adatai: Tárgy előadója: Gyakorlatvezető: Kurzus neve: Kurzus típusa: Kurzus kódja: Bessenyei

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek

Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC 016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet

Részletesebben

1. Bevezetés Differenciálegyenletek és azok megoldásai

1. Bevezetés Differenciálegyenletek és azok megoldásai . Bevezetés.. Differenciálegyenletek és azok megoldásai Differenciálegyenlet alatt olyan függvény egyenleteket értünk, melyekben független változók, függvények és azok deriváltjai szerepelnek. Legegyszerűbb

Részletesebben

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében? Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!

Részletesebben

Nemlineáris programozás 2.

Nemlineáris programozás 2. Optimumszámítás Nemlineáris programozás 2. Többváltozós optimalizálás feltételek mellett. Lagrange-feladatok. Nemlineáris programozás. A Kuhn-Tucker feltételek. Konvex programozás. Sydsaeter-Hammond: 18.1-5,

Részletesebben

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel. . Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +

Részletesebben

y + a y + b y = r(x),

y + a y + b y = r(x), Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

Matematikai analízis 1. Szász Róbert

Matematikai analízis 1. Szász Róbert Matematikai analízis Szász Róbert . fejezet.. Topológikus terek... Értelmezés. Adott egy X halmaz. A d : X X [0, + ) függvényt metrikának nevezzük, ha teljesülnek a következő feltételek:. d(x, y) > 0,

Részletesebben

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat . Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

Közönséges differenciálegyenletek

Közönséges differenciálegyenletek Szegedi Tudományegyetem Fizikus Tanszékcsoport Elméleti Fizikai Tanszék Közönséges differenciálegyenletek Segédlet Készítette: Szaszkó-Bogár Viktor PhD hallgató Szeged 2013 Tartalomjegyzék Előszó.......................................

Részletesebben

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport) MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f

Részletesebben

r a sugara, h a magassága a hengernek a maximalizálandó függvényünk a V (r, h) = πr 2 h. Az érintkezési pontokban x 2 + y 2 = r 2 és z = h/2.

r a sugara, h a magassága a hengernek a maximalizálandó függvényünk a V (r, h) = πr 2 h. Az érintkezési pontokban x 2 + y 2 = r 2 és z = h/2. Feltételes szélsőérték Keressük úgy egy kétváltozós f (x, y) függvény szélsőértékét, hogy közben eleget tegyünk egy másik, g(x, y) = 0 típusú megszorításnak. Példa Határozzuk meg egy forgásellipszoidba

Részletesebben

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. 1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet

Részletesebben

A legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris

A legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Fraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14.

Fraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14. Fraktálok Hausdorff távolság Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. március 14. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 36 Halmazok távolsága ELSŐ MEGKÖZELÍTÉS Legyen (S, ρ) egy metrikus tér, A, B S, valamint

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós

Részletesebben

differenciálegyenletek

differenciálegyenletek Állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenletek L[y] = y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = 0 a i R (1) a valós, állandó együtthatójú lineáris homogén n-ed rendű differenciálegyenlet Megoldását y

Részletesebben

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan! Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

Lagrange és Hamilton mechanika

Lagrange és Hamilton mechanika Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája

Részletesebben

8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,

8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, 3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus I. Gselmann Eszter Debrecen, 2011 A matematikában a gondolat, ami számít. (Szofja Vasziljevna Kovalevszkaja) Tartalomjegyzék 1. Halmazok,

Részletesebben

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx = Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl

Részletesebben

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2

Részletesebben

(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,

(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0, Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ

Részletesebben

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?

Részletesebben

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását Lagrange egyenletek Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását megnehezíti a δr i virtuális elmozdulások egymástól való függősége. (F i ṗ i )δx i = 0, i = 1, 3N. (1) i 3N infinitezimális

Részletesebben

Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek Lajkó Károly Differenciálegyenletek mobidiák könyvtár Lajkó Károly DIFFERENCIÁLEGYENLETEK mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Lajkó Károly Differenciálegyenletek egyetemi jegyzet, harmadik

Részletesebben

Funkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér

Funkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér Funkcionálanalízis Gyakorló feladatok 2017 március 22 Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér N1 Metrikát deniálnak-e R-en az alábbi függvények: (a) d(x, y) = x y (b) d(x, y) = x y (c) d(x, y) =

Részletesebben

Molnár Bence. 1.Tétel: Intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervallum. 0,ami ellentmondás uis. f (x n ) f (y n ) ε > 0

Molnár Bence. 1.Tétel: Intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervallum. 0,ami ellentmondás uis. f (x n ) f (y n ) ε > 0 Anlízis. Írásbeli tételek-bizonyítások Molnár Bence 1.Tétel: Intervllumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervllum Legyen I R tetszőleges intervllum és f I R folytonos függvény R f intervllum

Részletesebben

Differenciaegyenletek

Differenciaegyenletek Differenciaegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2009/10 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 2009/10 tanév, I. félév 1 / 11

Részletesebben

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 3. Fuzzy aritmetika Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Intervallum-aritmetika 2 Fuzzy intervallumok és fuzzy számok Fuzzy intervallumok LR fuzzy intervallumok

Részletesebben

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál

Részletesebben