Differenciaegyenletek

Átírás

1 Differenciaegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2009/10 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 2009/10 tanév, I. félév 1 / 11

2 3.1 Differenciaegyenlet fogalma, egzisztencia- és unicitástétel Legyen f : N R R adott függvény, akkor az y(n + 1) = f (n, y(n)) (n N) egyenletet elsőrendű explicit differenciaegyenletnek nevezzük. Világos, hogy ha y(1) adott akkor az egyenletből egyértelműen meghatározható az y(n) (n N) sorozat valamennyi eleme. Egzisztencia- és unicitástétel Adott f : N R R és a(1) R esetén egyetlen olyan y(n) (n N) sorozat van melyre y(n + 1) = f (n, y(n)) (n N) és y(1) = a(1) teljesül. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 2009/10 tanév, I. félév 2 / 11

3 3.2 Pókháló modell Ha differenciaegyenletünkben az f függvény csak a második változótól függ f (n, x) = g(x), azaz egyenletünk y(n + 1) = g(y(n)) (n N) és y(1) = a(1) akkor a megoldást egy un. pókháló modellel szemléltethetjük: megrajzoljuk a g függvény gráfját, és az y = x egyenest, az x tengely y(1) = a(1) pontját és az (y(1), g(y(1))) pontot egy egyenes szakasszal összekötjük, ezután az (y(1), g(y(1))) pontot és a (g(y(1)), g(y(1))) pontot (utóbbi rajta van az y = x egyenesen) egy egyenes szakasszal összekötjük, majd az utóbbi pontot levetítjük az x tengelyre, ez lesz az y(2) értéke, ismételjük az eljárást az y(2) pontot véve (y(1) helyett), és így tovább. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 2009/10 tanév, I. félév 3 / 11

4 3.2 Pókháló modell Ábránkon az y(n + 1) = 4 y(n) (n N) differenciaegyenletre vonatkozó pókhálót vázoltuk y(1) = 0 kezdőérték mellett, y(2) = 2, y(3) = 2 1, 414, y(4) = 4 2 1, 608. Az ábrán a g(x) = 4 x és a h(x) = x függvények vannak felrajzolva. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 2009/10 tanév, I. félév 4 / 11

5 3.3 Másodrendű differenciaegyenlet, egzisztencia- és unicitástétel Legyen f : N R R R adott függvény, akkor az y(n + 2) = f (n, y(n + 1), y(n)) (n N) egyenletet másodrendű explicit differenciaegyenletnek nevezzük. Világos, hogy ha y(1), y(2) adottak akkor az egyenletből egyértelműen meghatározható az (y(n)) (n N) sorozat valamennyi eleme. Egzisztencia- és unicitástétel Adott f : N R R R és a(1), a(2) R esetén egyetlen olyan (y(n)) (n N) sorozat van melyre y(n + 2) = f (n, y(n + 1), y(n)) (n N) és y(1) = a(1), y(2) = a(2) teljesül. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 2009/10 tanév, I. félév 5 / 11

6 3.4 Lineáris differenciaegyenletek Az egyszerűség kedvéért másodrendű egyenletekre fogalmazzuk meg állításainkat, hasonló tételek érvényesek az n-edrendű egyenletekre is. Lineáris differenciaegyenletek Adott p, p, q : N R függvények esetén az y(n + 2) + p(n)y(n + 1) + q(n)y(n) = f (n) (n N) (1) egyenletet másodrendű lineáris differenciaegyenletnek nevezzük. A p, q függvények az egyenlet együtthatói, f az egyenlet szabad tagja. Az (1) egyenletet homogénnek nevezzük ha f (n) = 0 (n N), ellenkező esetben inhomogén egyenletről beszélünk. Világos, hogy adott a(1), a(2) R esetén egyetlen olyan (y(n)) (n N) sorozat van melyre y(n + 2) + p(n)y(n + 1) + q(n)y(n) = f (n) (n N) és y(1) = a(1), y(2) = a(2) teljesül. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 2009/10 tanév, I. félév 6 / 11

7 3.5 Konstansegyütthatós lineáris homogén differenciaegyenletek Ha az (1) egyenletben p, q konstans függvények (sorozatok) és f (n) = 0 (n N), akkor konstansegyütthatós lineáris homogén differenciaegyenletet kapunk: y(n + 2) + py(n + 1) + qy(n) = 0 (n N). (2) Könnyű ellenőrizni, hogy ha y 1 (n), y 2 (n) (n N) a (2) egyenlet megoldásai, akkor tetszőleges C 1, C 2 együtthatókkal képezett y(n) = C 1 y 1 (n) + C 2 y 2 (n) (n N) lineáris kombinációjuk is megoldása (2)-nek, és minden megoldás ilyen alakban kapható meg (feltéve, hogy az y 1 (n), y 2 (n) (n N) megoldások lineárisan függetlenek azaz nem egymás konstansszorosai). Azt is mondjuk, hogy y(n) = C 1 y 1 (n) + C 2 y 2 (n) (n N) a (2) egyenlet általános megoldása. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 2009/10 tanév, I. félév 7 / 11

8 3.6 A megoldás menete A (2) egyenlettel párhuzamosan tekintsük a λ 2 + pλ + q = 0 (3) másodfokú algebrai egyenletet (ezt a (2) egyenlet karakterisztikus egyenletének nevezzük). Ha p 2 4q > 0 akkor a karakterisztikus egyenletnek két különböző valós λ 1 λ 2 megoldása van, és ekkor y 1 (n) = λ n 1, y 2(n) = λ n 2 (n N) (lineárisan független) megoldásai (2)-nek, ti. a (3) egyenletbe λ = λ i (i = 1, 2)-t helyettesítve, és ezt λ n i -nel megszorozva kapjuk, hogy λ n+2 i + pλ n+1 i + qλ n i = 0 (i = 1, 2; n N). A (2) egyenlet általános megoldása y(n) = C 1 λ n 1 + C 2λ n 2 (n N) ahol C 1, C 2 tetszőleges konstansok. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 2009/10 tanév, I. félév 8 / 11

9 3.6 A megoldás menete Ha p 2 4q = 0, akkor a karakterisztikus egyenletnek egy kétszeres valós λ 1 == p 2 megoldása van, ekkor igazolható, hogy y 1 (n) = λ n 1, y 2(n) = nλ n 1 (n N) (lineárisan független) megoldásai (2)-nek, így a (2) egyenlet általános megoldás y(n) = C 1 λ n 1 + C 2nλ n 1 (n N) ahol C 1, C 2 tetszőleges konstansok. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 2009/10 tanév, I. félév 9 / 11

10 3.6 A megoldás menete Ha p 2 4q < 0, akkor a karakterisztikus egyenletnek két különböző komplex gyöke van λ 1,2 = α ± iβ ahol α = p 2, β = 4q p 2 2, ekkor igazolható, hogy y 1 (n) = r n cos(ϑn), y 2 (n) = r n sin(ϑn), (n N), (r = α 2 + β 2, cos ϑ = α r ) lineárisan független megoldásai (2)-nek, így a (2) egyenlet általános megoldása y(n) = C 1 r n cos(ϑn) + C 2 r n sin(ϑn) (n N) ahol C 1, C 2 tetszőleges konstansok. A megoldás átirható y(n) = Ar n cos(ϑn + ω) vagy y(n) = Ar n sin(ϑn + ω) (n N) alakba is, ahol A, ω tetszőleges konstansok. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 2009/10 tanév, I. félév 10 / 11

11 3.7 Gyakorló feladatok y(n + 2) 6y(n + 1) + 8y(n) = 0 y(n + 2) + 2y(n + 1) + 3y(n) = 0 y(n + 2) 8y(n + 1) + 16y(n) = 0 3y(n + 2) + 2y(n) = 4 y(n + 1) + 2y(n) = 5 A legutolsó két inhomogén egyenlet megoldását a megfelelő homogén egyenlet általános megoldásának és az inhomogén egyenlet egy megoldásának összegeként kaphatjuk meg. Most az inhomogén egyenleteknek van konstans (sorozat) megoldása. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 2009/10 tanév, I. félév 11 / 11