RENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT

Átírás

1 RENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT

2 ÜTEMTERV VÁLTOZÁS Gyakorlat Hét Dátum Témakör Házi feladat Egyéb 1 1. hét Ismétlés, bevezetés Differenciálegyenletek mérnöki 2 2. hét szemmel 1. Hf kiadás 3 3. hét Komponensekre bontás 4 4. hét Komponensek frekvencia tartományban 1. Hf beadás (1-3. gyakorlatból) 2. Hf kiadás 5 5. hét Frekvencia átviteli függvény 6 5. hét Közelítő Bode diagram Szombati nap (03.16 helyett) 7 7. hét Közelítő Bode diagram alaptípusok 2. Hf beadás (4-5. gyakorlatból) 3. Hf kiadás - 8. hét Nagypéntek - SZÜNET Tavaszi szünet 8 9. hét Komponensek operátor tartományban 3. Hf beadás (6-7. gyakorlatból) 4. Hf kiadás hét Laplace alaptípusok és azonosságok Laplace feladatok hét Laplace feladatok Átviteli függvények 4. Hf beadás (8-10. gyakorlatból) hét Átviteli függvények 5. Hf kiadás hét Fázissík, stabilitás 4. Hf beadás (8-10. gyakorlatból) (8 pont) hét Összetett feladatok 5. Hf beadás ( gyakorlatból)(2 pont)

3 KOMPONENSEK OPERÁTOR TARTOMÁNYBAN

4 A differenciálegyenletek (lin. áll. eh.) megoldásánál (homogén általános) az Euler-módszer -t alkalmaztuk Pl.: yሷ t + 5yሶ t + 6y t = 0 homogén rész y t = e λt - helyettesítés, ahol komplex szám is lehet λ 2 + 5λ + 6 = 0 - helyettesítés után karakterisztikus egyenlet λ 1 = 2 e 2t λ 2 = 3 e3t - a karakterisztikus egyenlet gyökei és a hozzájuk tartozó bázisfüggvények y há t = C 1 e 2t + C 2 e 3t - a homogén általános megoldás

5 Tehát a helyettesítés e λt segített az egyenlet megoldásában. A homogén általános megoldásban a tagok jellemzően a következők Karakteriszti voltak: kus polinom gyökei λ k = α λ k = α + iβ λ k = α iβ λ k = iβ λ k = iβ Hozzájuk tartozó bázisfüggvények e α e α cos(βt) e α sin(βt) cos(βt) sin(βt) A gyökök jelentése a megoldásban: Valós rész exponenciális tag Képzetes rész cos/sin tag (Az inhomogén részről és a többszörös gyökök esetét később látjuk majd)

6 Az eddigi komponensekre bontási módszerek (Fourier-sorfejtés, Fourier-transzformáció) csak a képzetes résznek megfelelő, sin/cos alakú tagokat tudták kezelni (pl. cos gerjesztés, cos alakú állandósul állapotban használtuk) A differenciálegyenlet megoldásához azonban célszerűbb lenne új komponensekre felbontani, melyek az exponenciális részt is tartalmazzák F jω = න f(t)e jωt dt e jωt e (σ+jω)t Kiegészítjük egy valós számmal F(s) = න 0 f(t)e (σ+jω)t dt

7 LAPLACE-TRANSZFORMÁCIÓ Legyen f t : R R (t f(t)) függvény (időfüggő jel). Amennyiben az alábbi improprius integrál létezik, úgy F s : C C (s F(s)) függvényt f t Laplacetranszformáltjának nevezzük, és az alábbi módon számítjuk: s = σ + jω F(s) = න f(t)e st dt Valós rész e σt Képzetes rész cos ωt \ sin ωt 0 A -0-nál (0 jobb oldali határértéke) korábbi időpillanatban a függvény értékét 0-nak tekintjük ( belépő függvény ). A rendszer bekapcsolás előtti/közbeni viselkedése nem érdekel minket. Ha maradna, mint a Fourier- e st = e σ+jωt e σt (cos ωt + sin ωt) Adott s-hez tartozó komponens esetén

8 Ez úgy is felfogható, mintha f(t)-t különböző σ értékű e σt függvényekkel szorozva lecsengővé tennénk és úgy Fouriertranszformálnánk. Így olyan jelek is kezelhetők, amik nem voltak Fourier-transzformálhatók. Ezt lekalapálásnak nevezzük. F s = න f t e σ+jω t dt = න E t f t e σt e jωt dt = F{E t f t e σt } 0 E t azért kell, hogy f(t) 0-nál kisebb helyen 0 legyen.

9 Lényegében minden σ értékhez egy-egy felbontás, egy-egy bázis tartozik tartozik. Tehát nem csak egy, hanem egyszerre végtelen sok bázis szerint bontjuk komponensekre a jelet. σ 1 : F 1 s = F σ 1, ω = න σ 2 : F 2 s = F σ 2, ω = න E t f t e σ 1t e jωt dt = F{E t f t e σ 1t } E t f t e σ 2t e jωt dt = F{E t f t e σ 2t } Így a jel visszaállítása a komponensekből is σ-tól függ. Minden σ esetén ugyanazt a jelet kapjuk vissza, csupán a felbontás más. σ 1 : f t = 1 2πi න σ 2 : f t = 1 2πi න F 1 s e σ 1t e jωt dω = 1 2πi F 2 s e σ 2t e jωt dω = 1 2πi σ+i න σ i σ+i න σ i F 1 s e st ds F 2 s e st ds

10 TRANSZFORMÁCIÓKNÁL HASZNÁLT BÁZISOK Fourier sorfejtés: 1T, 1 T/2 cos(kω at), 1 T/2 sin(kω at) k N + Fourier transzformáció: e jωt ω R Laplace transzformáció: { e st s = σ + iω ω R } σ R σ -tól függően végtelensokféle bázis

11 GRAFIKUS PÉLDA

12 f t = e 3t F s = 1 s 3 Vegyük például az s = 2 2i pontot (következő dián az ábrán piros pont). Ebben a pontban a transzformált függvény értéke: F 2 2i = 1 2 2i 3 = 1 2i 5 = 5 5 ei tan 1 2 = A(2 2i)e iφ(2 2i) F(s) a Fourier-sorfejtésnél/transzformációnál látott módon azt fejezi ki, hogy az adott komponensből mennyi van a jelben. Pontosabban itt is amplitúdó sűrűséget alkalmazunk, tehát nem az s pontban, hanem az s pont környezetében lévő pontokhoz tarotozó komponensekből összesen mennyi van a jelben. Az A(s) itt is az amplitúdót, míg a φ s a fázisszöget fejezi ki az adott komponens esetén.

13 f t = e 3t F s = 1 s 3 Ábrázoljuk a Laplace-transzformált abszolútértékét, vagyis az adott komponenshez tartozó amplitúdót minden s pontban.

14 A jel f t = e 3t, így igazából s = 3 + 0i pontban 1 kellene legyen az amplitúdó, a többi pontban 0. Mivel amplitúdó sűrűséget használtunk, így az egy 1 amplitúdójú e 3t komponens kvázi szétkenődik a környezetébe, s = 3 + 0i pontban pedig F s = értéket vesz fel. Ebben a pontban F s nincs értelmezve, pólusa van. Ez a pólus jelzi, hogy igazából csak ebből a komponensből van a jelben, így elemzéseinknél a pólusok lesznek a legfontosabbak, a többi s értékhez tartozó pont, és ezekhez tartozó komponensek amplitúdói érdektelenek.

15 Ha az s = jω pontokat vizsgáljuk ( σ = 0 ), akkor pont a jel Fouriertranszformáltját kapjuk vissza. L f t s = jω = F s = jω = න f t e st dt = 0 = න f t e σt e jωt dt = න f t e jωt dt = F E t f t e σt = F{E t f t } 0 0 Ez az s-síkon a σ = 0, vagyis az Im tengelynek felel meg.

16 Például az alábbi jelnél: f t = e t F s = 1 s A Fourier-transzformált: F jω = 1 jω

17 NEVEZETES JELEK LAPLACE- TRANSZFORMÁLTJAI

18

19

20 AZONOSSÁGO K

21

22

23

24

25 MIÉRT JÓ A LAPLACE-TRANSZFORMÁCIÓ? A deriválás s-el való szorzássá egyszerűsödik L f t = s F(s) (ha f 0 = 0) A konvolúció szorzássá egyszerűsödik L f t g(t) = F s G(s) Így tökéletesen alkalmas LTI rendszerek esetén, mert algebrai egyenlet lesz a differenciálegyenletből (könnyű megoldani), és tetszőleges bemenetre szorzással kapjuk a választ (konvolúció egyszerűsödik)

26 AJÁNLOTT VIDEÓ ma&t=995s