Jelek és rendszerek - 7.előadás
|
|
- Ede Németh
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Jelek és rendszerek - 7.előadás A Laplace-transzformáció és alkalmazása Mérnök informatika BSc Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika és Villamos Intézet Műszaki Informatika Tanszék Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 1 / 45
2 Ismétlés Vázlat I.rész: Ismétlés 1 Ismétlés Fourier-transzformáció és tételei A spektrum Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 2 / 45
3 Vázlat II.rész: A Laplace-transzformáció és alkalmazása A Laplace-transzformáció és alkalmazása 2 A Laplace-transzformáció Definíció A Laplace-transzformáció tételei FI jelek Laplace-transzformáltja Átviteli függvény 3 A Laplace-transzformáció alkalmazása A válaszjel Laplace-transzfomáltja 4 Az inverz Laplace-transzformáció Pólus-zérus elrendezés 5 Rendszeregyenlet operátoros megoldása Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 3 / 45
4 Vázlat II.rész: A Laplace-transzformáció és alkalmazása A Laplace-transzformáció és alkalmazása 2 A Laplace-transzformáció Definíció A Laplace-transzformáció tételei FI jelek Laplace-transzformáltja Átviteli függvény 3 A Laplace-transzformáció alkalmazása A válaszjel Laplace-transzfomáltja 4 Az inverz Laplace-transzformáció Pólus-zérus elrendezés 5 Rendszeregyenlet operátoros megoldása Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 3 / 45
5 Vázlat II.rész: A Laplace-transzformáció és alkalmazása A Laplace-transzformáció és alkalmazása 2 A Laplace-transzformáció Definíció A Laplace-transzformáció tételei FI jelek Laplace-transzformáltja Átviteli függvény 3 A Laplace-transzformáció alkalmazása A válaszjel Laplace-transzfomáltja 4 Az inverz Laplace-transzformáció Pólus-zérus elrendezés 5 Rendszeregyenlet operátoros megoldása Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 3 / 45
6 Vázlat II.rész: A Laplace-transzformáció és alkalmazása A Laplace-transzformáció és alkalmazása 2 A Laplace-transzformáció Definíció A Laplace-transzformáció tételei FI jelek Laplace-transzformáltja Átviteli függvény 3 A Laplace-transzformáció alkalmazása A válaszjel Laplace-transzfomáltja 4 Az inverz Laplace-transzformáció Pólus-zérus elrendezés 5 Rendszeregyenlet operátoros megoldása Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 3 / 45
7 Összefoglalás Vázlat III.rész: Összefoglalás 6 Összefoglalás Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 4 / 45
8 A Fourier-transzformáció Ismétlés Fourier-transzformáció néhány tulajdonsága Az alábbi összefüggéssel definiált Fourier-transzformáció S(jω) = F {s(t)} = a következő fontos tulajdonságokkal rendelkezik s(t)e jωt dt, s(t) valós valós és páros valós és páratlan S(jω) komplex valós és páros képzetes és páratlan Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 5 / 45
9 Ismétlés A Fourier-transzformáció (folyt.) Az energiaspektrum és a Parseval-tétel Ha az s(t) jel négyzetesen integrálható, akkor a jel energiája az alábbi módon számítható E s = s(t) 2 dt. A jel energiája a spektrum ismeretében is meghatározható 1 E s = s(t) S(jω)e jωt dω dt = 1 S(jω) 2π 2π = 1 2π S(jω)S (jω) dω = 1 2π S(jω) 2 dω. s(t)e jωt dt dω Tétel (Parseval) E s = s(t) 2 dt = 1 S(jω) 2 dω. 2π Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 6 / 45
10 Ismétlés A Fourier-transzformáció tételei Fourier-transzformáció és tételei Tétel (Linearitás) Tetszőleges C 1, C 2 konstansok esetén F {C 1 s 1 (t) + C 2 s 2 (t)} = C 1 F {s 1 (t)} + C 2 F {s 2 (t)}, F 1 {C 1 S 1 (jω) + C 2 S 2 (jω)} = C 1 F 1 {S 1 (jω)} + C 2 F 1 {S 2 (jω)}. vagy általánosabban tetszőleges C i konstansokra, n-tagú összegre { n } n F C i s i (t) = C i F {s i (t)}, i=1 { n } F 1 C i S i (jω) = i=1 i=1 i=1 n C i F 1 {S i (jω)}. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 7 / 45
11 Ismétlés A Fourier-transzformáció tételei Fourier-transzformáció és tételei Tétel (Eltolási tétel) Ha az s(t) jel spektruma S(jω), akkor az s(t τ) eltolt jelre F {s(t τ)} = e jωτ S(jω), azaz az időbeli eltolás τ-val, e jωτ -val való szorzást, azaz ωτ értékű fázisforgatást jelent a spektrumban. Tétel (Konvolúció spektruma) Az időtartományban végzett konvolúció y(t) = w(t) s(t) = a frekvenciatartományban szorzássá egyszerűsödik Y(jω) = W(jω)S(jω). s(t)w(t τ) dτ, Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 8 / 45
12 Ismétlés A Fourier-transzformáció tételei Fourier-transzformáció és tételei Tétel (Derivált jel spektruma) Ha az s(t) jel spektruma S(jω), akkor az s (t) derivált jelre F {s (t)} = jωs(jω), tehát az időtartománybeli deriválás jω-val való szorzást, azaz az eredeti amplitúdóspektrum ω-val szorzását és a fázisspektrum π/2-vel való forgatását jelenti. A fenti tétel általánosítható magasabb rendű deriváltakra is { } F s (n) (t) = (jω) n S(jω). Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 9 / 45
13 Ismétlés Fourier-transzformáció és tételei A Fourier-transzformáció tételei Tétel (Modulációs tétel (eltolás a frekvenciatartományban)) szinuszos jellel való szorzás esetén F { s(t)e jω 0t } = S(j(ω ω 0 )), F {s(t)cosω 0 t} = 1 2 [S(j(ω ω 0)) + S(j(ω + ω 0 ))], azaz az eredeti S(jω) spektrum az ω 0 és a ω 0 körfrekvenciákon jelenik meg az eredeti amplitúdó felével.! Nagyon fontos gyakorlati alkalmazások. (pl. távközlésben) Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 10 / 45
14 Ismétlés A Fourier-transzformáció (folyt.) Fourier-transzformáció és tételei Az átviteli karakterisztika meghatározása A derivált jel spektrumára vonatkozó F { s (n) (t) } = (jω) n S(jω) összefüggést alkalmazva az állapotváltozós leírásra vagy a rendszeregyenletre, W(jω) = F {y(t)} F {s(t)} = Y(jω) S(jω) Az átviteli karakterisztika tehát tetszőleges gerjesztés, és a rá adott válasz spektrumából meghatározható. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 11 / 45
15 Ismétlés Fontosabb FI jelek spektruma A spektrum Szimmetrikus négyszögjel spektruma sin ωt F {h T (t) = ε(t + T) ε(t + T)} = 2T ωt Dirac-impulzus(δ(t)) spektruma F {δ(t)} = 1 Egységugrás(ε(t)) spektruma F {ε(t)} = πδ(ω) + 1 jω Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 12 / 45
16 Alakhű jelátvitel Ismétlés A spektrum Pl.1 Legyen egy rendszer átviteli karakterisztikája és gerjesztése az alábbi W(jω) = valamint legyen ǫ = 0.1, η = 1/ 2. 1, s(t) = ε(t + T) ε(t T), jω Határozzuk meg milyen széles impulzusok mellett alakhű az átvitel (T =?)! 2 A jel spektruma S(ω), b S (ω) ω sin ωt S(jω) = 2T ωt S(jω) = 2T sinωt ωt, Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 13 / 45
17 A Laplace-transzformáció A Laplace transzformáció Definíció A Laplace transzformáció során olyan esetekkel foglalkozunk, ahol a FI rendszer bemenetére t = 0 időpontban egy olyan s(t) gerjesztést kapcsolunk, amely értéke nulla t < 0 időpontokban. A gerjesztés tehát belépő, így a kauzalitás miatt a válaszjel is belépő lesz. Ezen válaszjel számítására FI rendszerek esetén alkalmas a Laplace transzformáció. A Laplace transzformációt a Fourier transzformáció felől közeĺıtjük meg, mely során a transzformálandó függvényről feltételeztük az abszolút integrálhatóságot, azaz eleget tesz a következő feltételnek: + s(t) dt < K, K R,, tehát integrálja korlátos. Így nem Fourier transzformálható tehát az ε(t) egységugrás gerjesztés, mivel az abszolút integrálja nem korlátos. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 14 / 45
18 A Laplace-transzformáció Definíció A Laplace transzformáció Az abszolút integrálhatóság erősen leszűkíti az alkalmazási lehetőségeket. Laplace (francia matematikus, ) javaslata alapján a függvények konvergenciára kényszeríthetők, ha azokat t 0 esetén erősen nullához tartó e σt függvénnyel szorozzuk, így: + s(t)e σt dt < K, K R, teljesül. Ha a jel belépő, akkor tetszőleges pozitív értékű σ választható az abszolút integrálhatóság biztosításásra. Az ε(t) egységugrás esetén tetszőleges σ > 0, exponenciálisan növekvő ε(t)e αt, α > 0 jel esetén σ > α érték választható. Abban az esetben, ha nem találunk alkalmas σ értéket az abszolút integrálhatóság biztosítására a Laplace transzformáció nem alkalmazható, azonban ilyen jelekkel nem foglalkozunk (pl. ε(t)e (αt)2 ). Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 15 / 45
19 A Laplace-transzformáció A Laplace transzformáció Definíció Az előző ε(t)e σt, α > 0 belépő szorzatfüggvény egyoldalas Fourier transzformáltját képezve: F { ε(t)s(t)e σt} = 0 s(t)e σt e jωt dt. Definíció (Laplace transzformáció) bevezetve az s = σ + jω jelölést, egy s(t) jel Laplace transzformáltja alatt a következő összefüggést értjük: L{s(t)} = S(s) = 0 s(t)e st dt Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 16 / 45
20 A Laplace-transzformáció Definíció A Laplace transzformáció A Laplace transzformáció során: s az un. komplex frekvencia, az integrálás alsó határa 0, vagyis a kezdeti értékek (s( 0), s ( 0)), illetve a δ(t) impulzusfüggvény is figyelembe vehető. A transzformáció során az un. komplex frekvenciatartományba térünk át, A L{.} a Laplace, az L 1 {.} az inverz Laplace transzformáció jelölése. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 17 / 45
21 Linearitás tétele A Laplace-transzformáció A Laplace-transzformáció tételei Mivel a Laplace transzformáció egy lineáris operátor, ezért bármely C 1,C 2 konstans esetén: L{C 1 f(t) + C 2 g(t)} = C 1 L{f(t)} + C 2 L{g(t)} = C 1 F(s) + C 2 G(s) L 1 {C 1 F(s) + C 2 G(s)} = C 1 L 1 {F(s)} + C 2 L 1 {G(s)} Valamint: L{as(t)} = al{s(t)}, { n } n L C i s i (t) = C i L{s i (t)}, i=1 { n } L 1 C i S i (s) = i=1 i=1 i=1 n C i L 1 {S i (s)}. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 18 / 45
22 Eltolási tétel A Laplace-transzformáció A Laplace-transzformáció tételei Ha a ε(t)s(t) belépő jelet τ > 0 idővel eltoltjuk, a ε(t τ)s(t τ) jelet kapjuk, melynek Laplace transzformáltja a következőképpen adódik: L{ε(t τ)s(t τ)} = s(t τ)e st dt = τ 0 τ 0 Bevezetve p = t τ változót, (dp = dt (τ konstans!)) adódik: s(t τ)e s(t τ) e sτ dt L{ε(t τ)s(t τ)} = e sτ 0 s(p)e sp dp = e sτ S(s). Vagyis az időbeli τ > 0 eltolás komplex frekvenciatartományban e sτ exponenciális függvénnyel való szorzásnak felel meg. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 19 / 45
23 Deriválás A Laplace-transzformáció A Laplace-transzformáció tételei Elsőrendű derivált Laplace transzformáltja Ha s(t) jel szakaszonként folytonos és differenciálható, és létezik S(s) Laplace transzformáltja, akkor s (t) Laplace transzformáltja: L{s (t)} = ss(s) s( 0), mivel: L{s (t)} = 0 s (t)e st dt = [ s(t)e st] 0 s(t)( s)e st dt 0 = (0 s( 0)) + s 0 s(t)e st dt = ss(s) s( 0). A fenti levezetésre felhasználtuk a parciális integrálás szabályát, miszerint u v = [uv] uv. Helyesen választva u = s (t) u = s(t) és v = e st v = se st. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 20 / 45
24 A Laplace-transzformáció A Laplace-transzformáció tételei Deriválás (folyt.) Másodrendű derivált Laplace transzformáltja L{s"(t)} = s [S(s) s( 0)] s ( 0) = s 2 S(s) ss( 0) s ( 0). Általánosítva n 1 L{s n (t)} = s n S(s) s i s (n 1 i) ( 0). i=0 Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 21 / 45
25 Integrálás tétele A Laplace-transzformáció A Laplace-transzformáció tételei Ha létezik ε(t)s(t) jel S(s) Laplace transzformáltja, akkor a jel integráljának Laplace transzformáltja: { t } L s(τ)dτ = 1 0 s S(s). mivel (parciális integrálást felhasználva): + 1 s 0 { t } L s(τ)dτ = 0 { 0 s(t)e st dt = e s { t } s(τ)dτ e st dt = 0 0 s(τ)dτ + e 0 s 0 0 t [ e st s(τ)dτ s } 0 ] s(τ)dτ s S(s) = 1 s S(s). Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 22 / 45
26 Következtetés A Laplace-transzformáció A Laplace-transzformáció tételei Fontos! Mivel a differenciálásnak illetve integrálásnak s-el való szorzás illetve osztás felel meg, a differenciál egyenletek helyébe a transzformált tartományban algebrai egyenletek lépnek. Így a feladatok megoldása lényegesen egyszerűsödik. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 23 / 45
27 Csillapítási tétel A Laplace-transzformáció A Laplace-transzformáció tételei Egy belépő és Laplace transzformálható s(t) jel és egy exponenciálisan csökkenő e αt, α > 0 jel szorzatának Laplace transzformáltja: L { s(t)e αt} dt = S(s + α). Mivel: s(t)e αt e st dt = 0 0 s(t)e (α+s)t dt = S(s + α). Megjegyzés: A csillapítási tétel a Fourier transzformációnál tárgyalt modulációs tétellel analóg. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 24 / 45
28 A Laplace-transzformáció Kezdeti és végérték tétel A Laplace-transzformáció tételei Ezeket az un. végérték tételeket akkor érdemes alkalmazni, ha ismert a Laplace transzformált, és az időfüggvény határértéke a kérdés, vagyis s(t) jel kezdeti értéke t = +0-ban (s(+0)) és végértéke t -ben: s(+0) = lim ss(s), s(t ) = lim ss(s). s s 0 Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 25 / 45
29 A Laplace-transzformáció A Laplace-transzformáció tételei Fourier és a Laplace transzformáció kapcsolata Ha s(t) belépő és abszolút integrálható, akkor a jel S(jω) spektruma meghatározható: S(jω) = S(s) s=jω Ha a jel korlátos és véges tartójú, vagy ha a jel belépő, korlátos, t esetén exponenciálisan 0-hoz tart. megj: ε(t)-re nyilván nem alkalmazható, mert F {ε(t)} = 1 jω + πδ(ω) GV stabilis kauzális rendszer esetén: W(jω) = W(s) s=jω Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 26 / 45
30 A Laplace-transzformáció FI jelek Laplace-transzformáltja ε(t) egységugrás Laplace transzformáltja L{ε(t)} = +0 [ e e st st dt = s ] +0 = 0 1 s = 1 s megjegyzés: Mivel ε(t) belépő jel, ε( 0) = 0, így elég +0-tól integrálni. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 27 / 45
31 A Laplace-transzformáció FI jelek Laplace-transzformáltja ε(t)t sebességugrás Laplace transzformáltja L{ε(t)t} = 0 te st dt = ] [t e st + 1 e st dt = 1 1 s 0 s 0 s s = 1 s 2 Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 28 / 45
32 A Laplace-transzformáció FI jelek Laplace-transzformáltja δ(t) impulzus Laplace transzformáltja Az integrálási határokat megfelelően megválasztva: L{δ(t)} = +0 δ(t)e s0 dt = δ(t)dt = 1 Másképpen, a ε(t) egységugrásból levezetve: L{δ(t)} = sl{ε (t)} = s 1 s Eltolt impulzus Laplace transzformáltja: L{δ(t τ)} = e st Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 29 / 45
33 A Laplace-transzformáció FI jelek Laplace-transzformáltja Csillapított egységugrás Laplace transzformáltja Az e αt (α > 0) szigorúan monoton csökkenő függvény nem egyoldalas, ezért beszorozva az ε(t) egységugrás függvénnyel, mint ablakfügvénnyel az transzformáció elvégezhető: L { ε(t)e αt} = e αt e st dt = 0 0 [ e e (α+s)t (α+s)t dt = (α + s) ] 0 = 1 s + α Csillapítási tételt felhasználva: L { ε(t)e αt} = 1 s s s+α = 1 s + α Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 30 / 45
34 A Laplace-transzformáció FI jelek Laplace-transzformáltja ε(t)e jωt,ε(t) cos(ωt) és ε(t) sin(ωt) Laplace transzformáltja A csillapított egységugrás számítása alapján α = jω helyettesítéssel: L { ε(t)e jωt} = 1 s + jω Az Euler relációt felhasználva: L{ε(t)cos(ωt)} = L {ε(t) ejωt + e jωt } = s jω s + jω = s s 2 + ω 2 L{ε(t)sin(ωt)} = L {ε(t) ejωt e jωt } = 1 1 2j 2j s jω 1 1 2j s + jω = ω s 2 + ω 2 Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 31 / 45
35 A Laplace-transzformáció FI jelek Laplace-transzformáltja Példa feladatok Laplace transzformációhoz Példa, L{ε(t)te αt } Már számítottuk, hogy L{ε(t)t} = 1 s 2, illetve a csillapítási tételt felhasználva, miszerint L{s(t)e αt } dt = S(s + α) L { ε(t)te αt} = 1 (s + α) 2 2. Példa, L{ε(t)e αt cos(ωt)} Hasonlóan a csillapítási tételt felhasználva: L { ε(t)te αt cos(ωt) } = s + α (s + α) 2 + ω 2 Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 32 / 45
36 A Laplace-transzformáció FI jelek Laplace-transzformáltja Példa feladatok Laplace transzformációhoz példa T szélességű impulzus Laplace transzformáltja A T szélességű impulzus feĺırható eltolt egységugrások összegeként: s(t) = ε(t) ε(t T) Ebből: L{ε(t) ε(t T)} = L{ε(t)} L{ε(t T)} = 1 s 1 s e st 4. példa δ(t) integráljának Laplace transzformáltja { +0 L δ(t)dt = 1 1 s = 1 s. 0 } Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 33 / 45
37 A Laplace-transzformáció Átviteli függvény Konvolúció komplex frekvenciatartományban Időtartományban a konvolúcióval számított válasz y(t) = w(t) s(t). Komplex frekvenciatartományban a konvolúció egyszerű szorzássá egyszerűsödik: Y(s) = W(s)S(s), ahol S(s) a gerjesztés-, Y(s) a válasz Laplace transzformáltja, W(s) az un. átviteli függvény, amely a lineáris rendszer leírására szolgál komplex frekvenciatartományban, másrészt a w(t) impulzusválasz Laplace transzformáltja. Definíció Egy lineáris rendszer átviteli függvénye a kimenet és bemenet Laplace transzformáltjának a hányadosa, azaz: W(s) = Y(s) S(s). Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 34 / 45
38 A Laplace-transzformáció Átviteli függvény Impulzusválasz és az átviteli függvény kapcsolata 1. konvolúció s(t) = e st nem belépő gerjesztés esetén y(t) = 0 w(τ)s(t τ)dτ = 0 w(τ)e s(t τ) dτ = e st 0 w(τ)e sτ dτ A fenti összefüggésben az integrált w(t) impulzusválasz Laplace transzformáltjának, vagy másképpen átviteli függvényének nevezzük: W(s) = 0 w(t)e st dt. A rendszer válasza így: y(t) = W(s)e st. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 35 / 45
39 A Laplace-transzformáció Átviteli függvény Impulzusválasz és az átviteli függvény kapcsolata 2. Dirac-impulzus gerjesztés esetén L{δ(t)} = 1, így az átviteli függvény: W(s) = Y(s) 1 = Y(s). Tétel Az impulzusválasz Laplace transzformáltja az átviteli függvény, illetve az átviteli függvény inverz Laplace transzformáltja az impulzusválasz. W(s) = L{w(t)}, w(t) = L 1 {W(s)}. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 36 / 45
40 A Laplace-transzformáció Átviteli függvény A rendszeregyenlet és az átviteli fv. kapcsolata A rendszeregyenlet: n n y (n) (t) + a i y (n i) (t) = b i s (n i) (t), i=1 i=0 amely Laplace transzformáltja 0 kezdeti feltételek esetén: ( ) n n Y(s) s n + a i s n i = S(s) b i s n i, i=1 i=0 amelyből: W(s) = Y(s) S(s) = n i=0 b is n i s n + n i=1 a is n i Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 37 / 45
41 A Laplace-transzformáció alkalmazása A válaszjel Laplace-transzfomáltja A válaszjel Laplace-transzfomáltjának meghatározása A gerjesztés Laplace transzformáltja általában egy tört, mely számlálója konstans, nevezője egy polinom s-ben, illetve időben eltolt jelek esetében megjelenhet az e sτ tényező is, W(s) két polinom hányadosa, így Y(s) a két tört szoztata, két polinom hányadosa. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 38 / 45
42 Az inverz Laplace-transzformáció Az inverz Laplace transzformáció Az inverz Fourier transzformáció oldaláról megközeĺıtve: ε(t)s(t)e σt = 1 S(σ + jω)e jωt dω 2π ε(t)s(t) = 1 S(σ + jω)e (σ+jω)t dω 2π Mivel s = σ + jω ds = j dω dω = ds j, így: ε(t)s(t) = 1 σ+j S(s)e st ds = L 1 {S(s)}. 2πj σ j megj: A fenti összefüggés az un. inverz Laplace transzformáció.integrálási határokat szintén s szerint kell értelmeznünk. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 39 / 45
43 Az inverz Laplace-transzformáció Az inverz Laplace transzformáció gyakorlatban Gyakorlatban az integrál kiértékelésére nincs szükségünk, helyette az un. kifejtési tételt alkalmazzuk, mellyel a két polinom hányadosából álló Laplace transzformáltat törtfüggvényekre bontjuk. Törtfüggvények lehetnek: Valódi törtfüggvények,ha deg(p nom ) < deg(p den ). Ezek lehetnek: 1 egyszeres pólusúak, 2 többszörös pólusúak, 3 szerepel benne exponenciális szorzótényező. Nem valódi törtfüggvények, ha deg(p nom ) deg(p den ) az un. polinomosztással visszavezethető az előzőre. Ha deg(p nom ) < deg(p den ) akkor: lim X(s) <. s Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 40 / 45
44 Pólus-zérus elrendezés Az inverz Laplace-transzformáció Pólus-zérus elrendezés Mint láttuk W(s) két polinom hányadosa, amely gyöktényzős alakban: W(s) = b 0s n + b 1 s n b n s n + a 1 s n a n = K (s z 1)(s z 2 )...(s z n ) (s p 1 )(s p 2 )...(s p n ). A számláló gyökei az un. zérushelyek, a nevező gyökeit pólusoknak nevezzük (W(s) itt 0 illetve értéket vesz fel). Az időtartomány beli sajátértékek megegyeznek W(s) pólusaival, így a stabilitás feltétele: R{p i } < 0, i = 1...n. Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 41 / 45
45 Az inverz Laplace-transzformáció Pólus-zérus elrendezés Pólus-zérus elrendezés W(S) = 1 s + 0.5, p 1 = 0.5 Impulzusválasz transmission zeros and poles w(t) imag. axis t Ugrásválasz v(t) Poles real axis t Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 42 / 45
46 Az inverz Laplace-transzformáció Pólus-zérus elrendezés Pólus-zérus elrendezés W(S) = s (s + 0.3)(s + 0.2), z 1 = 0.5 p 1 = 0.3 p 2 = 0.2 Impulzusválasz transmission zeros and poles w(t) imag. axis t Ugrásválasz v(t) Ο Zeros Poles real axis t Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 43 / 45
47 Az inverz Laplace-transzformáció Pólus-zérus elrendezés Pólus-zérus elrendezés W(S) = s (s ( 1 + j))(s ( 1 j)), z 1 = 0.5 p 1 = 1 + j p 2 = 1 j Impulzusválasz transmission zeros and poles w(t) imag. axis v(t) t Ugrásválasz Ο Zeros Poles real axis t Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 44 / 45
48 Összefoglalás Mérnök informatika BSc (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 7.előadás 45 / 45
Jelek és rendszerek - 4.előadás
Jelek és rendszerek - 4.előadás Rendszervizsgálat a komplex frekvenciatartományban Mérnök informatika BSc (lev.) Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika és Villamos Intézet
RészletesebbenJelek és rendszerek - 12.előadás
Jelek és rendszerek - 12.előadás A Z-transzformáció és alkalmazása Mérnök informatika BSc Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika és Villamos Intézet Műszaki Informatika Tanszék
RészletesebbenRENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT
RENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT ÜTEMTERV VÁLTOZÁS Gyakorlat Hét Dátum Témakör Házi feladat Egyéb 1 1. hét 02.09 Ismétlés, bevezetés Differenciálegyenletek mérnöki 2 2. hét 02.16 szemmel 1. Hf kiadás 3 3.
RészletesebbenNégypólusok tárgyalása Laplace transzformációval
Négypólusok tárgyalása Laplace transzformációval Segédlet az Elektrotechnika II. c. tantárgyhoz Összeállította: Dr. Kurutz Károly egyetemi tanár Szászi István egyetemi tanársegéd . Laplace transzformáció
RészletesebbenReichardt András okt. 13 nov. 8.
Példák és feladatok a Hálózatok és rendszerek analízise 2. tárgyhoz Reichardt András 2003. okt. 3 nov. 8. . fejezet Komplex frekvenciatartománybeli analízis Az alábbiakban a komplex frekvenciatartományban
RészletesebbenSzámítógép-vezérelt szabályozás- és irányításelmélet
Számítógép-vezérelt szabályozás- és irányításelmélet 2. gyakorlat Feladattípusok két függvény konvolúciója ÿ + aẏ + by = e at, y(), ẏ() típusú kezdetiérték feladatok megoldása (Laplace transzformációval)
RészletesebbenDINAMIKAI VIZSGÁLAT OPERÁTOROS TARTOMÁNYBAN. 2003.10.30. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1
DINAMIKAI VIZSGÁLAT OPERÁTOROS TARTOMÁNYBAN 2003.10.30. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1 Differenciálegyenlet megoldása u(t) diff. egyenlet v(t) a n d n v m dt a dv n
RészletesebbenSzámítógépes gyakorlat MATLAB, Control System Toolbox
Számítógépes gyakorlat MATLAB, Control System Toolbox Bevezetés A gyakorlatok célja az irányítási rendszerek korszerű számítógépes vizsgálati és tervezési módszereinek bemutatása, az alkalmazáshoz szükséges
RészletesebbenFolytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja
Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)
RészletesebbenMátrix-exponens, Laplace transzformáció
2016. április 4. 2016. április 11. LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET RENDSZEREK ÉS A MÁTRIX-EXPONENS KAPCSOLATA Feladat - ismétlés Tegyük fel, hogy A(t) = (a ik (t)), i, k = 1,..., n és b(t) folytonos mátrix-függvények
RészletesebbenJelek és rendszerek 1. 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék
Jelek és rendszerek 1 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék 1 Ajánlott irodalom: FODOR GYÖRGY : JELEK ÉS RENDSZEREK EGYETEMI TANKÖNYV Műegyetemi Kiadó, Budapest, 2006
Részletesebben4. Laplace transzformáció és alkalmazása
4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4.1. Laplace transzformált és tulajdonságai Differenciálegyenletek egy csoportja algebrai egyenletté alakítható. Ennek egyik eszköze a Laplace transzformáció. Definíció:
RészletesebbenJelek és rendszerek - 1-2.előadás
Jelek és rendszerek - 1-2.előadás Bevezetés, rendszeranaĺızis az időtartományban Mérnök informatika BSc (lev.) Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika és Villamos Intézet
RészletesebbenIrányítástechnika II. előadásvázlat
Irányítástechnika II. előadásvázlat Dr. Bokor József egyetemi tanár, az MTA rendes tagja BME Közlekedés- és Járműirányítási Tanszék 2018 1 Tartalom Irányítástechnika II. féléves tárgytematika Az irányításelmélet
RészletesebbenDr. Kuczmann Miklós. Ez a példatár a tervezett példatár nulladik verziója. További
Dr. Kuczmann Miklós Példatár a Jelek és rendszerek című tárgyhoz 0. verzió Csak a könyvből kimaradt példák... Ez a példatár a tervezett példatár nulladik verziója. További példákat és megoldásokat az előadásokon
RészletesebbenFourier transzformáció
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Fourier transzformáció Fourier transzformáció, heurisztika Tekintsük egy 2L szerint periodikus függvény Fourier sorát: f (x) = a 0 2 + ( ( nπ ) ( nπ )) a n cos
RészletesebbenKuczmann Miklós. Jelek és rendszerek
Kuczmann Miklós Jelek és rendszerek Készült a HEFOP 3.3.-P.-4-9-/. pályázat támogatásával Szerzők: Lektor: Kuczmann Miklós Keviczky László, akadémikus c Kuczmann Miklós, 6. TARTALOMJEGYZÉK 3 Tartalomjegyzék.
RészletesebbenFI rendszerjellemz függvények
FI rendszerjellemz függvények Dr. Horváth Péter, BME HVT 6. október 7.. feladat Határozzuk meg az ábrákon látható hálózatok által reprezentált rendszerek alábbi rendszerjellemz függvényeit, ha a rendszer
RészletesebbenSegédlet a gyakorlati tananyaghoz GEVAU141B, GEVAU188B c. tantárgyakból
Segédlet a gyakorlati tananyaghoz GEVAU141B, GEVAU188B c. tantárgyakból 1 Átviteli tényező számítása: Lineáris rendszer: Pl1.: Egy villanymotor 100V-os bemenő jelre 1000 fordulat/perc kimenő jelet ad.
RészletesebbenDigitális jelfeldolgozás
Digitális jelfeldolgozás Mintavételezés és jel-rekonstrukció Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék magyar.attila@virt.uni-pannon.hu 2010.
RészletesebbenL-transzformáltja: G(s) = L{g(t)}.
Tartalom 1. Stabilitáselmélet stabilitás feltételei inverz inga egyszerűsített modellje 2. Zárt, visszacsatolt rendszerek stabilitása Nyquist stabilitási kritérium Bode stabilitási kritérium 2018 1 Stabilitáselmélet
RészletesebbenPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben
RészletesebbenJelek és rendszerek - 1.előadás
Jelek és rendszerek - 1.előadás Bevezetés, alapfogalmak Mérnök informatika BSc Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika és Villamos Intézet Műszaki Informatika Tanszék Mérnök
RészletesebbenIrányítástechnika GÁSPÁR PÉTER. Prof. BOKOR JÓZSEF útmutatásai alapján
Irányítástechnika GÁSPÁR PÉTER Prof. BOKOR JÓZSEF útmutatásai alapján Irányítástechnika a Alapfogalmak, modellezési elvek. Irányítástechnika Budapest, 2009 2 Az előadás szerkezete a 1. 2. módszerei 3.
RészletesebbenFI rendszerek analízise a komplex frekvenciatartományban
FI rendszerek analízise a komplex frekvenciatartományban Dr. Horváth Péter, BME HVT 07. január 9.. feladat Vázoljuk fel az alábbi függvényeket, és határozzuk meg aplace-transzformáltjukat!.. +f t = Ae
RészletesebbenTartalom. Állapottér reprezentációk tulajdonságai stabilitás irányíthatóság megfigyelhetőség minimalitás
Tartalom Állapottér reprezentációk tulajdonságai stabilitás irányíthatóság megfigyelhetőség minimalitás 2018 1 Állapottér reprezentációk tulajdonságai Általánosan egy lineáris, SISO dinamikus rendszer
RészletesebbenGibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén
Matematikai modellek, I. kisprojekt Gibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén Unger amás István B.Sc. szakos matematikus hallgató ungert@maxwell.sze.hu, http://maxwell.sze.hu/~ungert
RészletesebbenFODOR GYÖRGY JELEK ÉS RENDSZEREK
FODOR GYÖRGY JELEK ÉS RENDSZEREK EGYETEMI TANKÖNYV Műegyetemi Kiadó, 2006 Előszó A valóságos fizikai, kémiai, műszaki, gazdasági folyamatokat modellek segítségével írjuk le. A modellalkotás során leegyszerűsítjük
RészletesebbenJelek és rendszerek MEMO_03. Pletl. Belépő jelek. Jelek deriváltja MEMO_03
Jelek és rendszerek MEMO_03 Belépő jelek Jelek deriváltja MEMO_03 1 Jelek és rendszerek MEMO_03 8.ábra. MEMO_03 2 Jelek és rendszerek MEMO_03 9.ábra. MEMO_03 3 Ha a jelet méréssel kapjuk, akkor a jel következő
RészletesebbenVillamosságtan szigorlati tételek
Villamosságtan szigorlati tételek 1.1. Egyenáramú hálózatok alaptörvényei 1.2. Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása 1.3. Nemlineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása 1.4. Egyenáramú hálózatok
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenMintavételezés és FI rendszerek DI szimulációja
Mintavételezés és FI rendszerek DI szimulációja Dr. Horváth Péter, BME HVT 5. december.. feladat Adott az alábbi FI jel: x f (t) = cos(3t) + cos(4t), ([ω] =krad/s). Legalább mekkorára kell választani a
RészletesebbenFourier-sorfejtés vizsgálata Négyszögjel sorfejtése, átviteli vizsgálata
Fourier-sorfejtés vizsgálata Négyszögjel sorfejtése, átviteli vizsgálata Reichardt, András 27. szeptember 2. 2 / 5 NDSM Komplex alak U C k = T (T ) ahol ω = 2π T, k módusindex. Időfüggvény előállítása
RészletesebbenIntegrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
RészletesebbenEllenőrző kérdések a Jelanalízis és Jelfeldolgozás témakörökhöz
Ellenőrző kérdések a Jelanalízis és Jelfeldolgozás témakörökhöz 1. Hogyan lehet osztályozni a jeleket időfüggvényük időtartama szerint? 2. Mi a periodikus jelek definiciója? (szöveg, képlet, 3. Milyen
RészletesebbenHatványsorok, Fourier sorok
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés
RészletesebbenHálózatok számítása egyenáramú és szinuszos gerjesztések esetén. Egyenáramú hálózatok vizsgálata Szinuszos áramú hálózatok vizsgálata
Hálózatok számítása egyenáramú és szinuszos gerjesztések esetén Egyenáramú hálózatok vizsgálata Szinuszos áramú hálózatok vizsgálata Egyenáramú hálózatok vizsgálata ellenállások, generátorok, belső ellenállások
RészletesebbenDigitális jelfeldolgozás
Digitális jelfeldolgozás Átviteli függvények Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék magyar.attila@virt.uni-pannon.hu 2011. október 13. Digitális
RészletesebbenHatározatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenIrányítástechnika GÁSPÁR PÉTER. Prof. BOKOR JÓZSEF útmutatásai alapján
Irányítástechnika GÁSPÁR PÉTER Prof. BOKOR JÓZSEF útmutatásai alapján Rendszer és irányításelmélet Rendszerek idő és frekvencia tartományi vizsgálata Irányítástechnika Budapest, 29 2 Az előadás felépítése
RészletesebbenÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK I. 5. A JELFELDOLGOZÁS ALAPJAI: JELEK
ÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK I. 5. A JELFELDOLGOZÁS ALAPJAI: JELEK Dr. Soumelidis Alexandros 2018.10.18. BME KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR 32708-2/2017/INTFIN SZÁMÚ EMMI ÁLTAL TÁMOGATOTT TANANYAG Mérések
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
Részletesebben0.1. Lineáris rendszer definíciója
Részlet Török János, Orosz László, Unger Tamás, Elméleti Fizika jegyzetéből.. Lineáris rendszer definíciója be linearis rendszer ki be bei ki i ki + ki be λki + be 2 2 λ. ábra. Lineáris rendszer. Mielőtt
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
Részletesebben25/1. Stacionárius és tranziens megoldás. Kezdeti és végérték tétel.
25/1. Stacionárius és tranziens megoldás. Kezdeti és végérték tétel. A gerjesztı jelek hálózatba történı be- vagy kikapcsolása után átmeneti (tranziens) jelenség játszódik le. Az állandósult (stacionárius)
RészletesebbenIrányítástechnika 2. előadás
Irányítástechnika 2. előadás Dr. Kovács Levente 2013. 03. 19. 2013.03.19. Tartalom Tipikus vizsgálójelek és azok információtartalma Laplace transzformáció, állapotegyenlet, átviteli függvény Alaptagok
RészletesebbenTörténeti Áttekintés
Történeti Áttekintés Történeti Áttekintés Értesülés, Információ Érzékelő Ítéletalkotó Értesülés, Információ Anyag, Energia BE Jelformáló Módosító Termelőeszköz Folyamat Rendelkezés Beavatkozás Anyag,
RészletesebbenSzili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány
Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........
Részletesebben3. témakör. Rendszerek idő, frekvencia-, és komplex frekvenciatartományi leírása
3. témakör Rendszerek idő, frekvencia-, és komplex frekvenciatartományi leírása Bevezetés Célunk a rendszer kimenő jelének meghatározása a bemenő jel és a rendszerjellemző függvény ismeretében. A rendszereket
RészletesebbenTudományegyetemen. jelfeldolgozásba I. A tananyag a TÁMOP F-14/1/KONV azonosító számú, A
TÁMOP-4.1.1.F-14/1/KONV-2015-0009 A gépészeti és informatikai ágazatok duális és moduláris képzéseinek kialakítása a Pécsi Tudományegyetemen Bevezetés a számítógépes jelfeldolgozásba I. Sári Zoltán Pécs
Részletesebben1. témakör. A hírközlés célja, általános modellje A jelek osztályozása Periodikus jelek leírása időtartományban
1. témakör A hírközlés célja, általános modellje A jelek osztályozása Periodikus jelek leírása időtartományban A hírközlés célja, általános modellje Üzenet: Hír: Jel: Zaj: Továbbításra szánt adathalmaz
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
Részletesebben6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
RészletesebbenHurokegyenlet alakja, ha az áram irányával megegyező feszültségeséseket tekintjük pozitívnak:
Első gyakorlat A gyakorlat célja, hogy megismerkedjünk Matlab-SIMULINK szoftverrel és annak segítségével sajátítsuk el az Automatika c. tantárgy gyakorlati tananyagát. Ezen a gyakorlaton ismertetésre kerül
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
RészletesebbenSzabályozás Irányítástechnika PE MIK MI BSc 1
Szabályozás 2008.03.29. Irányítástechnika PE MIK MI BSc 1 Nyílt hatásláncú rendszerek Az irányító rendszer nem ellenőrzi a beavatkozás eredményét vezérlő rendszerek ahol w(s) bemenő változó / előírt érték
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
RészletesebbenGépészeti rendszertechnika (NGB_KV002_1)
Gépészeti rendszertechnika (NGB_KV002_1) 6. Óra Kőrös Péter Közúti és Vasúti Járművek Tanszék Tanszéki mérnök (IS201 vagy a tanszéken) E-mail: korosp@ga.sze.hu Web: http://www.sze.hu/~korosp http://www.sze.hu/~korosp/gepeszeti_rendszertechnika/
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
RészletesebbenHatározatlan integrál, primitív függvény
Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,
RészletesebbenAz ideális határesetek, mint például tömegpont, tökéletesen merev testek pillanatszerű
Részlet Török János, Orosz László, Unger Tamás, Elméleti Fizika 1 jegyzetéből 1 1. fejezet Matematikai bevezető 1.1. Dirac-delta Az ideális határesetek, mint például tömegpont, tökéletesen merev testek
RészletesebbenÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK II. 5. DC MOTOROK SZABÁLYOZÁS FORDULATSZÁM- SZABÁLYOZÁS
ÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK II. 5. DC MOTOROK SZABÁLYOZÁS FORDULATSZÁM- SZABÁLYOZÁS Dr. Soumelidis Alexandros 2019.03.13. BME KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR 32708-2/2017/INTFIN SZÁMÚ EMMI ÁLTAL TÁMOGATOTT
RészletesebbenBevezetés az állapottér-elméletbe Dinamikus rendszerek állapottér reprezentációi
Tartalom Bevezetés az állapottér-elméletbe Irányítható alak Megfigyelhetőségi alak Diagonális alak Állapottér transzformáció 2018 1 A szabályozáselmélet klasszikus, BODE, NICHOLS, NYQUIST nevéhez kötődő,
RészletesebbenA L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
RészletesebbenMéréstechnika. Rezgésmérés. Készítette: Ángyán Béla. Iszak Gábor. Seidl Áron. Veszprém. [Ide írhatja a szöveget] oldal 1
Méréstechnika Rezgésmérés Készítette: Ángyán Béla Iszak Gábor Seidl Áron Veszprém 2014 [Ide írhatja a szöveget] oldal 1 A rezgésekkel kapcsolatos alapfogalmak A rezgés a Magyar Értelmező Szótár megfogalmazása
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
RészletesebbenZ v 1 (t)v 2 (t τ)dt. R 12 (τ) = 1 R 12 (τ) = lim T T. ill. periódikus jelekre:
1 Korrelációs fügvények Hasonlóság mértéke a két függvény szorzatának integrálja Időbeli változások esetén lehet vizsgálni a hasonlóságot a τ relatív időkülönbség szerint: Keresztkorrelációs függvény:
RészletesebbenIV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november
IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +
RészletesebbenFourier transzformáció
Fourier transzformáció A szeizmikus hullámok tanulmányozása során igen nagy jelentősége van a hullámok frekvencia tartalmának. Ezt használjuk a hullámok alakjának mintavételezésekor, lineáris szűrések
RészletesebbenFourier sorok február 19.
Fourier sorok. 1. rész. 2018. február 19. Függvénysor, ismétlés Taylor sor: Speciális függvénysor, melynek tagjai: cf n (x) = cx n, n = 0, 1, 2,... Állítás. Bizonyos feltételekkel minden f előállítható
RészletesebbenFüggvény differenciálás összefoglalás
Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a
RészletesebbenGépészeti rendszertechnika (NGB_KV002_1)
Gépészeti rendszertechnika (NGB_KV002_1) 5. Óra Kőrös Péter Közúti és Vasúti Járművek Tanszék Tanszéki mérnök (IS201 vagy a tanszéken) E-mail: korosp@ga.sze.hu Web: http://www.sze.hu/~korosp http://www.sze.hu/~korosp/gepeszeti_rendszertechnika/
Részletesebben1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási
Részletesebbenjelfeldolgozásba II.
TÁMOP-4.1.1.F-14/1/KONV-215-9 A gépészeti és informatikai ágazatok duális és moduláris képzéseinek kialakítása a Pécsi Tudományegyetemen Bevezetés a számítógépes jelfeldolgozásba II. Sári Zoltán Pécs 215
RészletesebbenFelügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenInverz Laplace-transzformáció. Vajda István március 4.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Definíció: Ha az f (t) függvény laplace-transzformáltja F (s), akkor f (t)-t az F (s) függvény inverz Laplace-transzformáltjának nevezzük. Definíció: Ha
RészletesebbenNéhány fontosabb folytonosidejű jel
Jelek és rendszerek MEMO_2 Néhány fontosabb folytonosidejű jel Ugrásfüggvény Bármely választással: Egységugrás vagy Heaviside-féle függvény Ideális kapcsoló. Signum függvény, előjel függvény. MEMO_2 1
RészletesebbenTartalom. Soros kompenzátor tervezése 1. Tervezési célok 2. Tervezés felnyitott hurokban 3. Elemzés zárt hurokban 4. Demonstrációs példák
Tartalom Soros kompenzátor tervezése 1. Tervezési célok 2. Tervezés felnyitott hurokban 3. Elemzés zárt hurokban 4. Demonstrációs példák 215 1 Tervezési célok Szabályozó tervezés célja Stabilitás biztosítása
RészletesebbenHatározott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenDIFFERENCIAEGYENLETEK
DIFFERENCIAEGYENLETEK Példa: elsőrendű állandó e.h. lineáris differenciaegyenlet Ennek megoldása: Kezdeti feltétellel: Kezdeti feltétel nélkül ha 1 és a végtelen összeg (abszolút) konvergens: / 1 Minden
RészletesebbenSzámítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 7.
Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 7. előadás Szederkényi Gábor Pázmány Péter Katolikus Egyetem Információs
RészletesebbenDiszkrét idej rendszerek analízise az id tartományban
Diszkrét idej rendszerek analízise az id tartományban Dr. Horváth Péter, BME HVT 06. október 4.. feladat Számítuk ki a DI rendszer válaszát, ha adott a gerjesztés és az impulzusválasz! u[k = 0,6 k ε[k;
RészletesebbenSzámítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája
Számítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája Tasnádi Tamás 2014. szeptember 11. Kivonat A tárgy a BME Fizika BSc szak kötelező, alapozó tárgya a képzés 1. félévében. A tárgy
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus megoldása
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens
RészletesebbenFourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.
ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés
RészletesebbenÉrtelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,
25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit
Részletesebbenn 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,
205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:
RészletesebbenFourier térbeli analízis, inverz probléma. Orvosi képdiagnosztika 5-7. ea ősz
Fourier térbeli analízis, inverz probléma Orvosi képdiagnosztika 5-7. ea. 2017 ősz 5. Előadás témái Fourier transzformációk és kapcsolataik: FS, FT, DTFT, DFT, DFS Mintavételezés, interpoláció Folytonos
RészletesebbenGépészeti rendszertechnika (NGB_KV002_1)
Gépészeti rendszertechnika (NGB_KV002_1) 4. Óra Kőrös Péter Közúti és Vasúti Járművek Tanszék Tanszéki mérnök (IS201 vagy a tanszéken) E-mail: korosp@ga.sze.hu Web: http://www.sze.hu/~korosp http://www.sze.hu/~korosp/gepeszeti_rendszertechnika/
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
Részletesebbenilletve, mivel előjelét a elnyeli, a szinuszból pedig kiemelhető: = " 3. = + " 2 = " 2 % &' + +
DFT 1. oldal A Fourier-sorfejtés szerint minden periodikus jel egyértelműen felírható különböző amplitúdójú és fázisú szinusz és koszinusz jelek összegeként: = + + 1. ahol az együtthatók, szintén a definíció
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I
Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html
RészletesebbenKomplex számok. A komplex számok algebrai alakja
Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j
Részletesebben