Jelek és rendszerek előadás

Átírás

1 Jelek és rendszerek előadás Bevezetés, rendszeranaĺızis az időtartományban Mérnök informatika BSc (lev.) Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika és Villamos Intézet Műszaki Informatika Tanszék Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 1 / 141

2 Bevezetés,alapfogalmak Vázlat I.rész: Bevezetés, alapfogalmak 1 Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Jelek további csoportosítása Fontosabb FI és DI jelek 2 Rendszerek és osztályozásuk SISO, MIMO rendszerek Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek 3 Hálózatok Jelfolyam-hálózatok és elemeik Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 2 / 141

3 Bevezetés,alapfogalmak Vázlat I.rész: Bevezetés, alapfogalmak 1 Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Jelek további csoportosítása Fontosabb FI és DI jelek 2 Rendszerek és osztályozásuk SISO, MIMO rendszerek Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek 3 Hálózatok Jelfolyam-hálózatok és elemeik Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 2 / 141

4 Bevezetés,alapfogalmak Vázlat I.rész: Bevezetés, alapfogalmak 1 Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Jelek további csoportosítása Fontosabb FI és DI jelek 2 Rendszerek és osztályozásuk SISO, MIMO rendszerek Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek 3 Hálózatok Jelfolyam-hálózatok és elemeik Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 2 / 141

5 Vázlat II.rész: Ugrásválasz, impulzusválasz, rendszeregyenlet Ugrásválasz, impulzusválasz, rendszeregyenlet 4 Az ugrásválasz és alkalmazása Definíció Alap tulajdonságok Tetszőleges válasz számítása 5 Az impulzusválasz és alkalmazása Definíció Alap tulajdonságok A válasz számítása A konvolúció Gerjesztés-válasz stabilitás 6 A rendszeregyenlet Definíció A rendszeregyenlet megoldása Gerjesztés-válasz stabilitás Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 3 / 141

6 Vázlat II.rész: Ugrásválasz, impulzusválasz, rendszeregyenlet Ugrásválasz, impulzusválasz, rendszeregyenlet 4 Az ugrásválasz és alkalmazása Definíció Alap tulajdonságok Tetszőleges válasz számítása 5 Az impulzusválasz és alkalmazása Definíció Alap tulajdonságok A válasz számítása A konvolúció Gerjesztés-válasz stabilitás 6 A rendszeregyenlet Definíció A rendszeregyenlet megoldása Gerjesztés-válasz stabilitás Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 3 / 141

7 Vázlat II.rész: Ugrásválasz, impulzusválasz, rendszeregyenlet Ugrásválasz, impulzusválasz, rendszeregyenlet 4 Az ugrásválasz és alkalmazása Definíció Alap tulajdonságok Tetszőleges válasz számítása 5 Az impulzusválasz és alkalmazása Definíció Alap tulajdonságok A válasz számítása A konvolúció Gerjesztés-válasz stabilitás 6 A rendszeregyenlet Definíció A rendszeregyenlet megoldása Gerjesztés-válasz stabilitás Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 3 / 141

8 Vázlat Állapotváltozós rendszerleírás III.rész: Az állapotváltozós rendszerleírás 7 Fizikai objektumok és leírásuk (pl.) 8 Az állapotváltozós rendszerleírás Definíció Az állapotváltozós leírás előálĺıtása hálózat alapján Az állapotváltozós leírás megoldása SISO rendszer megoldása Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 4 / 141

9 Vázlat Állapotváltozós rendszerleírás III.rész: Az állapotváltozós rendszerleírás 7 Fizikai objektumok és leírásuk (pl.) 8 Az állapotváltozós rendszerleírás Definíció Az állapotváltozós leírás előálĺıtása hálózat alapján Az állapotváltozós leírás megoldása SISO rendszer megoldása Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 4 / 141

10 Összefoglalás Vázlat IV.rész: Összefoglalás 9 Összefoglalás Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 5 / 141

11 Jel fogalma és leírása 1 Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Jelek további csoportosítása Fontosabb FI és DI jelek 2 Rendszerek és osztályozásuk SISO, MIMO rendszerek Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek 3 Hálózatok Jelfolyam-hálózatok és elemeik Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 6 / 141

12 Jel fogalma és leírása Jelek és fizikai mennyiségek Valamely valóságos folyamat mérhető mennyiségeiről mérőeszközök segítségével szerezhetünk információt. Definíció (Fizikai mennyiség) Különböző folyamatok mérhető mennyiségeiről valamilyen mérőeszköz segítségévél mért mennyiséget fizikai mennyiségnek nevezzük. Példa hőmérséklet a tér egy adott pontján, egy testre ható erő, feszültség egy erősítő kimenetén, folyadékszint egy tartályban, stb. A fizikai mennyiségek matematikai leírását változók bevezetésével végezzük, melyek értéke valamely mértékegységben (pl. SI) megadott számérték. Példa T = 26.2 C, F = 90 N, u = 0.8 V, l = 1.43 m. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 7 / 141

13 Jel fogalma és leírása A jel fogalma és matematikai leírása Definíció (Jel) A jel valamely fizikai mennyiség olyan értéke vagy értékváltozása, amely egy egyértelműen hozzárendelt információt hordoz. Jelek matematikai leírására függvényeket használunk. A függvények egy független változó és egy függő változó között definiálnak kapcsolatot. (Egy változós skalár függvények) f : R R, y = x f(x), y = f(x) A független változó lehetséges értékeinek halmaza alkotja a függvény értelmezési tartományát (D f ), a függő változó értékeinek halmaza pedig a függvény értékkészletét (R f ). Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 8 / 141

14 Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása A jelek alaptípusai, az értékkészlet és az értelmezési tartomány szerkezete alapján. 1 Ha a jel az idő argumentum minden valós értékére értelmezett, akkor folytonos idejű jelről beszélünk. Ezen csoportban legismertebb az analóg jel (folytonos értékű jel),amelynél a jel értéke is folytonos, 2 Ha egy analóg jelből adott (általában egyenletes osztású) időpillanatokban mintákat veszünk, akkor az időben diszkrét, értékkészletében pedig folytonos jelet kapunk, ami voltaképpen egy számsorozat. Ezt diszkrét idejű jelnek nevezzük, 3 Vannak olyan jelek, amelyek csak bizonyos értékeket vehetnek fel egy megszámlálható számhalmaz elemeiből (lépcsős, másnéven kvantált jelalak, vagy diszkrét értékű jel). Az ilyen jel az időben folytonos, de értékkészletében diszkrét, 4 Végül a számítástechnika szinte minden műszaki területen jelen lévő alkalmazása miatt nagy jelentősége van a mind időben, mind értékkészletében diszkrét jelnek, amelyet digitális jelnek nevezünk. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 9 / 141

15 A különböző jeltípusok Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása x 1 (t) 0 x 2 [k] t k x 3 (t) 0.5 x 4 [k] t k Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 10 / 141

16 Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Folytonos jelek és megadásuk Egy x jel akkor folytonos idejű, ha a jel az idő minden valós értékére értelmezett ahol t az időváltozó jele. Megadásuk: x = x(t), t R, < t <, Képlettel (matematikai formulával) (pl. x(t) = 3cos(t π/2)) Grafikusan (ábrázolással) Differenciál-egyenlettel Értékek felsorolásával (értéktáblázattal) Figyelem! A grafikus és értéktáblázatos megadással csak véges hosszú jel adható meg korlátozott pontossággal. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 11 / 141

17 Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Megadás képlettel(formulával) és grafikusan x 1 (t) 0 x 1 (t) = { 0 ha t < 0 2cos(3t)sin(5t) ha t 0 x 2 (t) = { t ha t < 2 t 2 ha t t x 2 (t) t Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 12 / 141

18 Jel fogalma és leírása Megadás képlettel és grafikusan Jelek osztályozása x 3 (t) x 3 (t) = 2cos(3t π/2) t x 4 (t) = 1 0.3e 0.5t sin(3t) t x 4 (t) t Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 13 / 141

19 Jel fogalma és leírása Megadás differenciálegyenlettel Jelek osztályozása Egy folytonos idejű jel megadható egy n-ed rendű differenciálegyenlettel, de ebben az esetben egy adott t időpontban (célszerűen a t = 0-ban) meg kell adnunk n számú kezdeti értéket is. A megadott jel ekkor a differenciálegyenlet megoldásaként kapott függvény. Pl. dy dt = f(y, t), y(0) = y 0 y(t) Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 14 / 141

20 Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Megadás differenciálegyenlettel A megadott egyenlet dy dt = 2y, y(0) = 5 dy = 2ydt (1) dy y = 2dt (2) 1 dy = 2 1dt (3) y lny + C 1 = 2(t + C 2 ) (4) y = e 2t C = e 2t C (5) e y(t) = Me 2t 1 vigyük át az y változót a bal, a t változót pedig a jobb oldalra (változók szeparálása) 2 formálisan integráljuk az egyenlet mindkét oldalát. 3 felhasználjuk az 1/y és az 1 integranduszok primitív függvényét, az ln y + C 1 és a t + C 2 függvényeket, és 4 rendezzük az egyenletet y-ra úgy, hogy a C 1 és C 2 konstanokat összevonjuk egyetlen C konstanssá (C = C 1 + 2C 2 ). 5 helyettesítsük az e C konstanst M-el. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 15 / 141

21 Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Megadás differenciálegyenlettel (folyt.) 25 Ezáltal az y = Me 2t általános megoldást kapjuk, ahol az M konstans értékét a t = 0 időpillanatban adott érték segítségével határozzuk meg: y(0) = Me 0 = 5 M = 5. Így a differenciálegyenletet és a kezdeti feltételt is kilégítő időfüggvény a következő (kék görbe): y(t) y(t) = 5e 2t t 5 Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 16 / 141

22 Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Diszkrét jelek és megadásuk Egy f[k] jel akkor diszkrét idejű, ha független változója k csak egész értékeket vehet fel y = f[k], k Z, k [,..., 1, 0, 1, 2,..., ], ahol k a diszkrét idő, azaz a kt s mintavételi időpillanat indexe. Megadásuk: Képlettel (matematikai formulával) (pl. y[k] = 3cos(k π/2)) Rekurzív formulával (pl. y[k] = 0.8y[k 1] + 0.2y[k 2]) Grafikusan (ábrázolással) Értékek felsorolásával (értéktáblázattal) Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 17 / 141

23 Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Megadás rekurzív formulával A jel k-adik ütembeli értéke sok esetben rekurzív úton számolható az azt megelőző értékek segítségével, pl.: y[k] = 0.5y[k 1] + 0.1y[k 2], y[ 1] = 2, y[ 2] = 0. A k = 0, 1, 2,... ütemekre az y[k] értéke lépésenként számolható, melyhez azonban ismerni kell a kezdeti feltételeket is (most y[ 1] = 2 és y[ 2] = 0). A rekurzió tehát a következő: y[0] = 0.5y[ 1] + 0, 1y[ 2] = = 1 y[1] = 0.5y[0] + 0, 1y[ 1] = = 0.7 y[2] = 0.5y[1] + 0, 1y[0] = 0.5 0, = 0.45 y[3] = = és így tovább. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 18 / 141

24 Jel fogalma és leírása Belépő és nem belépő jelek Jelek további csoportosítása Egy folytonos idejű y(t) jel belépő, ha értéke t negatív értékeire azonosan nulla. y(t) 0, ha t < 0 Egy diszkrét idejű y[k] jel belépő, ha értéke k negatív értékeire azonosan nulla. y[k] 0, ha k < 0 Általánosabban egy folytonos (diszkrét) idejű jel belépő a t 0 (k 0 ) időpillanatban, ha t < t 0 (k < k 0 ) esetén azonosan nulla. y(t) 0, ha t < t 0, y[k] 0, ha k < k 0 Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 19 / 141

25 Jel fogalma és leírása Jelek további csoportosítása Páros és páratlan jelek Egy x(t) ill. x[k] jel páros, ha igaz a jelre hogy x( t) = x(t), x[ k] = x[k], azaz a jel szimmetrikus az ordinátára (függőleges tengely). Pl. y(t) = cos(t), y(t) = 1, y(t) = t Egy x(t) ill. x[k] jel páratlan, ha x( t) = x(t), x[ k] = x[k]. azaz a jel szimmetrikus az origóra. Pl. y(t) = sin(t), y(t) = sgn(t), y(t) = t Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 20 / 141

26 Jel fogalma és leírása Jelek további csoportosítása Korlátos jelek Egy y(t) (y[k]) jel korlátos, ha létezik olyan véges K érték amelyre igaz, hogy y(t) < K, y[k] < K. Pl. pl. az y(t) = A sin(ωt) korlátos mert az értéke abszolút értékben legfeljebb A. Az y(t) = t vagy az y[k] = e 3k nem korlátos, mert nem létezik olyan véges K amelyre igaz a fenti feltétel. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 21 / 141

27 Jel fogalma és leírása Jelek további csoportosítása Periodikus és aperiodikus jelek Az y(t) folytonos idejű jel T periódusidővel periodikus, ha y(t + T) = y(t) igaz t minden értékére. Hasonlóan az y[k] diszkrét idejű jel K periódusidővel periodikus, ha y[k + K] = y[k] igaz k minden értékére. Pl. Periodikus jelek pl. a harmonikus függvények (sin, cos), aperiodikus pl. az y(t) = e t vagy az y[k] = k 2 jel. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 22 / 141

28 Jel fogalma és leírása Jelek további csoportosítása Determinisztikus és sztochasztikus jelek Az y(t) (y[k]) jel determinisztikus, ha értékét minden t időpillanatra előre ismerjük. Pl. Determinisztikus pl. y(t) = t vagy y[k] = sin[k]. Az y(t) (y[k]) jel sztochasztikus, ha időfüggését nem ismerjük előre, de meg tudjuk határozni bizonyos statisztikai jellemzőit. A sztochasztikus jelek véletlen folyamatok eredményei. Pl. Tipikus sztochasztikus jelek a különböző zajok. Melyek időfüggvény formájában nem adhatók meg, de statisztikai tulajdonságaik ismertek. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 23 / 141

29 Jelek átlaga és szórása Jel fogalma és leírása Jelek további csoportosítása Egy y(t) (y[k]) jel átlagértéke a [0, T] ([0, K]) intervallumon µ = 1 T T 0 y(t)dt, µ = 1 K + 1 K y[k]. k=0 Egy y(t) (y[k]) jel szórása a [0, T] ([0, K]) intervallumon 1 T σ = (y(t) µ) T 2 dt, σ = 1 K (y[k] µ) 0 K 2. k=0 Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 24 / 141

30 Jelek átlaga és szórása Jel fogalma és leírása Jelek további csoportosítása Két különböző sztochasztikus jel átlaga és szórása. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 25 / 141

31 Jelek átlaga és szórása Jel fogalma és leírása Jelek további csoportosítása Különböző jelek átlaga és szórása. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 26 / 141

32 Jel fogalma és leírása További gyakori jeltípusok Jelek további csoportosítása Korlátos tartójú jelek: A jel egy korlátos intervallumon kívül azonosan 0. Abszolút integrálható jelek: Abszolút összegezhető jelek: k= Négyzetesen integrálható jelek Négyzetesen összegezhető jelek k= x(t) dt < x[k] < x(t) 2 dt < x[k] 2 < Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 27 / 141

33 Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek A FI egységugrásjel ε(t) (Heaviside fv., 1(t) ) A vizsgált folyamatokat leíró jelek egy adott időpillanatban kezdődnek, ami célszerűen választható nullának. Az egységugrásjel hasznos lesz ilyen jelek leírására Definíció (Egységugrás) ε(t) = { 0, ha t < 0, 1, ha t > 0. ε(t) t A szakaszonként folytonos egységugrásjelnek a t = 0 időpillanatban szakadása van. Itt bal oldali határértéke (a t = 0 időpillanatban) 0, jobb oldali határértéke (a t = +0 időpillanatban) pedig 1. lim ε(t) = 0, lim t 0 ε(t) = 1. t +0 Az ε(t) a t = 0 időpillanatban nem definiált. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 28 / 141

34 Eltolt egységugrás Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek Szükségünk lehet egy tetszőleges τ idővel eltolt egységugrásjelre, amely a következőképp adható meg Definíció (Eltolt egységugrás) ε(t τ) = { 0, ha t < τ, 1, ha t > τ. ε(t τ) τ t Az egységugrásjelet és eltolját korlátos tartójú jelek matematikai formulával történő megadására alkalmazzuk Definíció (Négyszög-ablak) ε(t) w R(τ1,τ 2 )(t) = ε(t τ 1 ) ε(t τ 2 ) ε(t) ε(t τ) ε(t τ) τ t Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 29 / 141

35 Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek Ablakolás az egységugrásjel segítségével Egy x(t) jel adott intervallumát szeretnénk kiválasztani Az egységugrásjel segítségével, a vizsgált jel egy adott részét kitakarjuk egy négyszögletes ablakkal, amit két eltolt egységugrásjel különbségeként álĺıthatunk elő Az eredeti jel x(t) = e 0.2t cos(2t) Az ablakolt jel y(t) = [ε(t τ 1 ) ε(t τ 2 )]x(t), 0 ahol τ 1 = 0.5 és τ 2 = y(t) t Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 30 / 141

36 Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek A FI Dirac-impulzus δ(t) (egységimpulzus) Definíció (Egységnyi intenzitású impulzus) δ(t, τ) = ε(t) ε(t τ) τ Ennek szélessége tehát τ, magassága pedig 1/τ, így intenzitása (területe) egységnyi δ(t, τ)dt = 1. Szemléletesen δ(t, τ) δ(t) ε(t) ε(t τ) δ(t) = lim. τ 0 τ δ(t,τ) δ(t) /τ τ t Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 31 / 141

37 Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek A Dirac-δ fontosabb tulajdonságai jelölése egy függőleges nyíl, a Dirac-δ páros függvény. A Dirac-δ tehát olyan jel, melynek értéke minden t helyen 0, kivéve a t = 0 helyet, ahol végtelen nagy, és intenzitása (területe) egységnyi. δ(t)dt = +0 0 δ(t)dt = 1. A fenti egyenlőség igaz az eltolt Dirac-impulzusra is δ(t τ)dt = τ+0 τ 0 δ(t τ)dt = 1. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 32 / 141

38 Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek A Dirac-δ definíciója Definíció (Dirac-δ) Ha f(t) folytonos a τ helyen, akkor f(t)δ(t τ)dt = f(τ), mert, ha az f(t) időfüggvényt beszorozzuk a δ(t τ) Dirac-impulzussal, akkor egy olyan függvényt kapunk, amelynek értéke mindenütt nulla, kivéve a t = τ helyet, ahol viszont értéke egy olyan Dirac-impulzus, melynek nagysága arányos a konstans f(τ) értékkel, azaz f(t)δ(t τ)dt = f(τ) τ+0 τ 0 δ(t τ)dt = f(τ). Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 33 / 141

39 Jel fogalma és leírása Az általánosított derivált Fontosabb FI és DI jelek Ha az x = x(t) jel differenciálható, akkor x (t) dx dt = lim x(t + t) x(t) t 0 t az x(t) jel derivált jele, ha létezik a fenti határérték. Előfordul, hogy egy folytonos idejű jel szakaszonként differenciálható, viszont az egyes szakaszok közötti átmenetnél a jelnek véges szakadása (ugrása) van. Ennek kezelésére vezetjük be az általánosított derivált fogalmát Definíció (Általánosított derivált) egy x(t) jel általánosított deriváltja az az x (t) jel, melynek segítségével az x(t) jel az alábbi módon álĺıtható elő x(t) = t t 0 x (τ)dτ + x(t 0 ). Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 34 / 141

40 Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek Az egységugrás és a Dirac-δ kapcsolata Pl.1 Közeĺıtsük az ε(t) függvényt az alábbi függvénnyel 0 ha t < 0 x(t) = t/τ ha 0 < t < τ 1 ha t > τ Innen az x (t) derivált jel egy olyan négyszögimpulzus, amelynek értéke a 0 < t < τ intervallumban 1/τ, azaz x (t) = δ(t, τ). x(t) t Ha τ 0, akkor x(t) ε(t) és x (t) δ(t). Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 35 / 141

41 Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek Az egységugrás és a Dirac-δ kapcsolata (folyt.) Pl.1 (folyt) A definíciós összefüggés szerint tehát (figyelembe véve, hogy x( ) = 0) hiszen t ε(t) = δ(τ)dτ = t δ(τ)dτ { 0 ha t < 0 1 ha t > 0 ε(t), tehát ε(t) = δ(t), Azaz a Dirac-δ az ε(t) egységugrásjel általánosított deriváltja. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 36 / 141

42 Jel fogalma és leírása Az általánosított derivált (folyt.) Fontosabb FI és DI jelek Pl.2 Adott egy x(t) jel, amelyet szakaszonként az x 1 (t) illetve az x 2 (t) folytonos jel ír le, melyek találkozásánál (a t 1 helyen) x(t)-nek K értékű véges szakadása van { { x 1 (t) ha t < t 1 x 1 (t) = 3e 2t ha t < 2 x(t) = = x 2 (t) ha t t 1 x 2 (t) = 5e 2(t 2) ha t 2 A jel általánosított deriváltja x 1 (t) ha t < t 1 x 1 (t) = 6e 2t ha t < 2 x (t) = Kδ(t t 1 ) ha t = t 1 = 4.95δ(t 2) ha t = 2 x 2 (t) ha t > t 1 x 2 (t) = 10e 2(t 2) ha t > 2 mivel K = x 2 (t 1 ) x 1 (t 1 ) = 5 3e 4 = Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 37 / 141

43 Jel fogalma és leírása Az általánosított derivált (folyt.) Fontosabb FI és DI jelek Pl.2 (folyt) 5 5 x(t) x (t) t x(t) = { x 1 (t) = 3e 2t ha t < 2 x 2 (t) = 5e 2(t 2) ha t t x 1 (t) = 6e 2t ha t < 2 x (t) = 4.95δ(t 2) ha t = 2 x 2 (t) = 10e 2(t 2) ha t > 2 Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 38 / 141

44 Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek Az általánosított derivált (folyt.) Pl.2 alternatív megoldási módszer Írjuk fel az x(t) függvényt ablakozott jelek segítségével zárt alakban x(t) = x a (t) + x b (t) = [1 ε(t t 1 )]x 1 (t) + ε(t t 1 )x 2 (t), majd végezzük el a deriválást (szorzatfüggvények összegének deriváltja) x a(t) = [1 ε(t t 1 )] x 1 (t) + [1 ε(t t 1 )]x 1(t) = δ(t t 1 )x 1 (t) + [1 ε(t t 1 )]x 1 (t), x b(t) = ε (t t 1 )x 2 (t) + ε(t t 1 )x 2(t) = δ(t t 1 )x 2 (t) + ε(t t 1 )x 2(t), x (t) = x a(t) + x b(t) = δ(t t 1 )x 1 (t) + [1 ε(t t 1 )]x 1(t) + δ(t t 1 )x 2 (t) + ε(t t 1 )x 2 (t), Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 39 / 141

45 Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek Az általánosított derivált (folyt.) Pl.2 alternatív megoldási módszer (folyt.) A derivált jel tartalmaz eltolt Dirac-impulzusokat, melyekről azonban tudjuk, hogy csak a t = t 1 időpillanatban vesznek fel értéket, minden más időpillanatban az értékük nulla, (továbbá δ(t t 1 )x 1 (t) = δ(t t 1 )x 1 (t 1 )) x (t) = δ(t t 1 )x 1 (t) + [1 ε(t t 1 )]x 1 (t) + δ(t t 1)x 2 (t) + ε(t t 1 )x 2 (t) = [1 ε(t t 1 )]x 1 (t) + δ(t t 1)(x 2 (t 1 ) x 1 (t 1 )) + ε(t t 1 )x 2 (t) ahonnan a számértékek behelyettesítésével x (t) = 6[1 ε(t 2)]e 2t δ(t 2) 10ε(t 2)e 2(t 2), ami azonos az előzőekben kapott eredménnyel. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 40 / 141

46 Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek A DI egységugrás ε[k] és egységimpulzus δ[k] Definíció (Egységugrás) ε[k] = { 0 ha k < 0, 1 ha k 0, azaz az egységugrás értéke a k < 0 ütemekre 0, nemnegatív egészekre pedig 1. Definíció (Egységimpulzus) 0 ha k < 0, δ[k] = 1 ha k = 0, 0 ha k > 0, azaz az egységimpulzus értéke a k = 0 helyen 1, bármely más helyen értéke nulla. Eltolt egységugrás ε[k i] = Eltolt egységimpulzus { 0 ha k < i, 1 ha k i, 0 ha k < i, δ[k i] = 1 ha k = i, 0 ha k > i, Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 41 / 141

47 Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek DI jelek megadása eltolt egységimpulzusokkal Pl. x[k] = { 0 ha k < 0, k = 4δ[k] + 2δ[k 1] + δ[k 2] +... ha k 0, Tetszőleges x[k] jel megadása x[k] = i= x[i]δ[k i], tehát az x[k] jelet eltolt egységimpulzusok súlyozott összegeként, más néven szuperpozíciójaként írhatjuk fel. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 42 / 141

48 Jel fogalma és leírása Fontosabb FI és DI jelek Az egységugrás és az egységimpulzus kapcsolata Az egységugrásjel kifejezhető egységimpulzusokkal ε[k] = δ[k i] = δ[k] + δ[k 1] + δ[k 2] +..., i=0 Az egységimpulzus pedig megadható az egységugrással δ[k] = ε[k] ε[k 1], melynek általánosításával juthatunk el a folytonos idejű ablakhoz hasonló diszkrét idejű ablakhoz. 0 ha k < 0, x[k] = 1.1k ha 0 k < 4 x[k] = {ε[k] ε[k 4]}1.1k 0 ha k 4, Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 43 / 141

49 Rendszerek és osztályozásuk 1 Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Jelek további csoportosítása Fontosabb FI és DI jelek 2 Rendszerek és osztályozásuk SISO, MIMO rendszerek Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek 3 Hálózatok Jelfolyam-hálózatok és elemeik Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 44 / 141

50 A rendszer fogalma Rendszerek és osztályozásuk Definíció (Rendszer) A rendszer egy fizikai objektum valamilyen modellje, melynek segítségével modellezhetjük, matematikailag leírhatjuk annak működését. Rendszer lehet pl. egy szabályozandó berendezés, egy bonyolult ipari robot, de rendszer lehet egy rugóra akasztott test és a rugó együttesen. A rendszer lényege, hogy matematikai formába öntsük azt a bonyolult folyamatot, amelynek szimulációját el szeretnénk végezni annak érdekében, hogy megbizonyosodjunk az objektum tulajdonságairól, megtudjuk, hogy az hogyan fog viselkedni, ha valamilyen hatás éri. Ezek a külső hatások a rendszer bemenetei, másnéven gerjesztések, s a rendszer ezen gerjesztésekre válaszokkal reagál, melyek a rendszer kimenetei. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 45 / 141

51 Rendszerek és osztályozásuk SISO és MIMO rendszerek SISO, MIMO rendszerek A rendszer a bemeneteket kimenetekké transzformálja, azaz adott gerjesztésekhez adott válaszokat rendel. A rendszereket bemeneteik és kimeneteik száma alapján két fő csoportba sorolhatjuk 1 SISO-rendszerek (Single Input Single Output), melyek egy gerjesztéshez egy választ rendelnek y(t) = W{s(t)}, vagy y[k] = W{s[k]}, 2 MIMO-rendszerek (Multiple Input Multiple Output), melyek több gerjesztéshez több választ rendelnek y(t) = W{s(t)}, vagy y[k] = W{s[k]}, Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 46 / 141

52 Rendszerek és osztályozásuk SISO, MIMO rendszerek További osztályozási lehetőségek Attól függően, hogy a gerjesztés és a válasz folytonos idejű vagy diszkrét idejű, egy rendszer lehet 1 Folytonos idejű gerjesztésű és folytonos idejű válaszú, (FI rendszerek) 2 diszkrét idejű gerjesztésű és diszkrét idejű válaszú, (DI rendszerek) 3 diszkrét idejű gerjesztésű és folytonos idejű válaszú, (D/A átalakítók) 4 folytonos idejű gerjesztésű és diszkrét idejű válaszú, (A/D átalakítók) Főként az 1 2 csoportba tartozó rendszerekkel foglalkozunk. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 47 / 141

53 Rendszerek és osztályozásuk Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek FI és DI rendszerek további csoportosítása Lineáris rendszerek Egy rendszer lineáris, ha a G-V kapcsolatot jellemző W operátor lineáris,azaz homogén és additív (érvényes a szuperpozíció elve). A y = W{s} jelöléssel W{C 1 s 1 + C 2 s 2 } = C 1 W{s 1 } + C 2 W{s 2 } = C 1 y 1 + C 2 y 2. Pl. Lináris elemek pl. ellenállás, kondenzátor, tekercs, nemlineáris elemek pl. dióda, tranzisztor. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 48 / 141

54 Rendszerek és osztályozásuk Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek FI és DI rendszerek további csoportosítása Invariáns rendszerek Egy rendszer akkor invariáns, ha a gerjesztés időbeli eltolása azt eredményezi, hogy a válaszban csak egy ugyanekkora időbeli eltolódás következik be. Ellenkező esetben a rendszer variáns. Pl. Variáns rendszer pl. egy egyszerű ellenállás is, ha figyelembe vesszük, hogy a rajta átfolyó áram által létrehozott teljesítmény melegíti az ellenálláshuzalt, amelynek ennek hatására megnő az ellenállása. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 49 / 141

55 Rendszerek és osztályozásuk Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek FI és DI rendszerek további csoportosítása Kauzális rendszerek Egy rendszer akkor kauzális, ha válaszának adott időpontbeli értéke nem függ a gerjesztés jövőbeli értékétől, azaz egy FI (DI) rendszer akkor kauzális, ha az y(t) (y[k]) válasz bármely t 1 (k 1 ) időpontban az s(t) (s[k]) gerjesztés csak olyan értékeitől függ, melyekre t < t 1 (k k 1 ). Egyébként a rendszer akauzális. Pl. Minden fizikai rendszer kauzális, hiszen a tapasztalat szerint nincs olyan rendszer, amelynek jelen időpillanatbeli állapota függene a jövőtől. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 50 / 141

56 Rendszerek és osztályozásuk Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek FI és DI rendszerek további csoportosítása Stabil rendszerek Egy rendszer akkor gerjesztés-válasz stabilis, ha bármely korlátos gerjesztésre korlátos válasszal reagál. Ezt a stabilitást BIBO-stabilitásnak is szokás nevezni a,,bounded input implies bounded output angol elnevezés rövidítéséből. Fontos! Elképzelhető, hogy a rendszer több korlátos gerjesztésre korlátos választ ad, de ha létezik akár egyetlen olyan korlátos gerjesztés, amelyre a rendszer nem korlátos válasszal reagál, akkor a rendszer nem gerjesztés-válasz stabilis, más szóval a rendszer labilis. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 51 / 141

57 Hálózatok 1 Jel fogalma és leírása Jelek osztályozása Jelek további csoportosítása Fontosabb FI és DI jelek 2 Rendszerek és osztályozásuk SISO, MIMO rendszerek Lineáris, invariáns, kauzális, stabil rendszerek 3 Hálózatok Jelfolyam-hálózatok és elemeik Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 52 / 141

58 Hálózatok A hálózat fogalma A hálózat komponensek összekapcsolásából áll. Minden komponensnek (hálózati elemnek) egy vagy több bemenete és egy vagy több kimenete lehet (pólusok). A bemenet(ek) és a kimenet(ek) közti kapcsolatot a komponens karakterisztikája adja meg, ami egy függvénykapcsolat a komponens bemeneti változója (változói) és kimeneti változója (változói) között, pl. megadja a kimeneti változót a bemeneti változó függvényében. A hálózat be- és kimenete A hálózat bemenetére a gerjesztést kapcsoljuk, kimenetén pedig a választ várjuk. A hálózat is rendelkezhet egy, vagy több bemenettel és egy, vagy több kimenettel, gerjesztése és válasza lehet folytonos idejű vagy diszkrét idejű. Hálózatok és rendszerek kapcsolata A hálózat akkor reprezentál, másszóval realizál egy rendszert, ha gerjesztés-válasz kapcsolataik megegyeznek. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 53 / 141

59 Jelfolyam hálózatok elemei Hálózatok Jelfolyam-hálózatok és elemeik Az általunk vizsgált hálózatok un. jelfolyamhálózatok, melyekben a következő jellegzetes (elemi) komponensek fordulhatnak elő: 1 Forrás, a hálózat bemenetét, gerjesztését reprezentálja 2 Nyelő, a hálózat kimenetét, válaszát reprezentálja 3 Összegzőcsomópont, kimenetén a bemenetére érkező jelek összege jelenik meg 4 Elágazócsomópont, A bemenetére érkező jel minden kimenetén változatlanul halad tovább 5 Erősítő, olyan lineáris komponens, amelynek karakterisztikája y = Ks, ahol K egy időtől független konstans 6 Késleltető, a bemenetére érkező diszkrét idejű jelet egy ütemmel késlelteti 7 Integrátor, kimenetén a bemenetére érkező folytonos idejű jel integrálja jelenik meg 8 Nemlineáris erősítő,karakterisztikája nemlineáris, bemenet és kimenete között az η = Φ(ξ) kapcsolat áll fenn 9 Szorzócsomópont, kimenetén a bemenetére érkező jelek szorzata jelenik meg Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 54 / 141

60 Hálózatok Jelfolyam-hálózatok és elemeik Jelfolyam hálózatok elemei Forrás A forrás a hálózat bemenetét, gerjesztését reprezentálja, egyetlen kimeneti változója az s = s(t) folytonos idejű jel, vagy az s = s[k] diszkrét idejű jel, bemenete nincs Nyelő A nyelő a hálózat kimenetét, válaszát reprezentálja, bemeneti változója a keresett y = y(t) folytonos idejű jel, illetve y = y[k] diszkrét idejű jel, kimenete nincs Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 55 / 141

61 Jelfolyam hálózatok elemei Hálózatok Jelfolyam-hálózatok és elemeik Összegzőcsomópont Az összegzőcsomópont kimenetén a bemenetére érkező jelek összege jelenik meg, azaz y(t) = i s i (t), vagy y[k] = i s i [k] Tetszőleges számú bemenete lehet és egyetlen kimenete van Elágazócsomópont Egyetlen bemeneti pólusa és tetszőleges számú kimeneti pólusa van. A bemenetére érkező s = s(t), vagy s = s[k] jel minden kimenetén változatlanul halad tovább Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 56 / 141

62 Jelfolyam hálózatok elemei Hálózatok Jelfolyam-hálózatok és elemeik Erősítő Az erősítő olyan lineáris komponens, amelynek karakterisztikája y(t) = Ks(t), vagy y[k] = Ks[k], ahol K egy időtől független konstans (erősítés), tehát az erősítő invariáns elem Késleltető A késleltető olyan diszkrét idejű hálózati elem, amely a bemenetére érkező diszkrét idejű jelet egy ütemmel késlelteti, de a kimeneti jel és a bemeneti jel értéke megegyezik. Ez memóriával bíró, un. dinamikus elem Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 57 / 141

63 Jelfolyam hálózatok elemei Hálózatok Jelfolyam-hálózatok és elemeik Integrátor Az integrátor olyan folytonos idejű hálózati elem, amelynek kimenetén a bemenetére érkező folytonos idejű jel integrálja jelenik meg. A későbbiekben azonban azt a jelölést fogjuk használni, hogy az integrátor bemeneti jele az x (t) derivált jel, kimenete pedig az x(t) jel Nemlineáris erősítő A nemlineáris erősítő olyan komponens, melynek karakterisztikája nemlineáris, bemenete és kimenete között az η = Φ(ξ) kapcsolat áll fenn, ahol ξ a nemlineáris erősítő bemeneti jele, η a kimeneti jele, Φ(.) pedig egy nemlineáris függvénykapcsolat Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 58 / 141

64 Hálózatok Jelfolyam-hálózatok és elemeik Jelfolyam hálózatok elemei Szorzócsomópont A szorzócsomópont (nemlineáris komponens) kimenetén a bemenetére érkező jelek szorzata jelenik meg, azaz y(t) = i s i (t), vagy y[k] = i s i [k] Megjegyzés: Nem csak jelfolyam hálózatok léteznek. (pl. Neurális hálózatok, Kirchoff-típusú hálózatok stb.) Hálózatanaĺızis A hálózatanaĺızis feladata az ismert hálózati topológiával, és ismert karakterisztikájú komponensekkel megadott hálózat által reprezentált rendszer valamely gerjesztés-válasz kapcsolatának meghatározása Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 59 / 141

65 Az ugrásválasz és alkalmazása 4 Az ugrásválasz és alkalmazása Definíció Alap tulajdonságok Tetszőleges válasz számítása 5 Az impulzusválasz és alkalmazása Definíció Alap tulajdonságok A válasz számítása A konvolúció Gerjesztés-válasz stabilitás 6 A rendszeregyenlet Definíció A rendszeregyenlet megoldása Gerjesztés-válasz stabilitás Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 60 / 141

66 Vizsgálójelek Az ugrásválasz és alkalmazása Ha ismerjük egy lineáris rendszer adott gerjesztéshez (az un. vizsgálójelhez) tartozó válaszát, akkor ezen gerjesztés-válasz kapcsolat ismeretében meg tudjuk határozni a rendszer tetszőleges gerjesztéshez tartozó válaszát is. Ilyen vizsgálójel az egységugrásjel (ε(t)) és a Dirac-impulzus (δ(t)). Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 61 / 141

67 Az ugrásválasz és alkalmazása Definíció Az ugrásválasz Definíció (Az ugrásválasz) Ha egy y = W{s} rendszer bemenetére az egységugrás jelet adjuk, akkor a rendszer válasza az un. ugrásválasz, (átmeneti függvény) lesz, melynek szokásos jelölése v(t). s(t) = ε(t) y(t) = v(t), azaz v(t) = W{ε(t)}. Ha a rendszer kauzális, akkor az ugrásválasz belépőjel (v(t) = 0, t R ), ha a rendszer invariáns, akkor az eltolt ε(t τ) gerjesztésre a rendszer v(t τ) válasszal felel. Az ugrásválasz megadja, hogy miként viselkedik a rendszer, ha gerjesztése egy bizonyos idő után állandó marad. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 62 / 141

68 Az ugrásválasz (folyt.) Az ugrásválasz és alkalmazása Alap tulajdonságok Pl.1 Legyen egy lineáris, invariáns és kauzális rendszer ugrásválasza, az alábbi jel v(t) = ε(t)e 2t Ha ugyanezen rendszer bemenetére a s(t) = ε(t 2) gerjesztést adjuk, akkor az invariancia miatt a rendszer válasza ε(t),v(t) t y(t) = v(t 2) = ε(t 2)e 2(t 2). (Minden t helyett t 2 került a v(t)-be.) ε(t 2),v(t 2) t Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 63 / 141

69 Az ugrásválasz (folyt.) Az ugrásválasz és alkalmazása Alap tulajdonságok Pl.2 Legyen egy lineáris, invariáns és kauzális rendszer ugrásválasza, az alábbi jel v(t) = ε(t)e 2t Ha ugyanezen rendszer bemenetére a s(t) = 3ε(t) gerjesztést adjuk, akkor a linearitás miatt a rendszer válasza y(t) = 3v(t) = 3ε(t)e 2t. (Lineáris y = W{s} rendszer esetén Ks(t) Ky(t).) 3ε(t),3v(t) ε(t),v(t) t t Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 64 / 141

70 Az ugrásválasz (folyt.) Az ugrásválasz és alkalmazása Alap tulajdonságok Pl.3 Határozzuk meg egy LI rendszer válaszát az s(t) = 2[ε(t) ε(t 4)] gerjesztésre, ha tudjuk, hogy ugrásválasza v(t) = ε(t)e 3t. A rendszer lineáris és invariáns tulajdonsága miatt a válasz y(t) = 2[ε(t)e 3t ε(t 4)e 3(t 4) ]. ε(t),v(t) s(t),y(t) t t Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 65 / 141

71 Az ugrásválasz és alkalmazása Általános válasz számítása Tetszőleges válasz számítása Tegyük fel, hogy ismert egy rendszer v(t) ugrásválasza, és szeretnénk meghatározni a rendszer egy tetszőleges s(t) gerjesztésre adott y(t) válaszát. Értelmezzük az s(t) jelet eltolt ugrások összegeként s(t) A t időtengely mentén a [0, t] s intervallumban vegyünk fel i τ i = i τ időpontokat. s i (i = 0...N, τ = t/n) (1) s(0)ε(t), τ (2) (1) + s 1 ε(t τ 1 ), (3) (2) + s 2 ε(t τ 2 ), s 0 τ 1 s 1 s 2 τ 2 τ i t. (i+1) (i) + s i ε(t τ i ),. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 66 / 141

72 Az ugrásválasz és alkalmazása Általános válasz számítása (folyt.) Tetszőleges válasz számítása A fenti értelmezéssel N s(t) s(τ i )ε(t τ i ) = s 0 ε(t) + s 1 ε(t τ 1 ) + s 2 ε(t τ 2 ) +... i=0 Ennek alapján a válasz ε(t) v(t) ismeretében a következő: N y(t) s(τ i )v(t τ i ) = s 0 v(t) + s 1 v(t τ 1 ) + s 2 v(t τ 2 ) +... i=0 vagy másképpen: N y(t) s(0)v(t) + s(τ i )v(t τ i ) i=1 Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 67 / 141

73 Az ugrásválasz és alkalmazása Általános válasz számítása (folyt.) Tetszőleges válasz számítása Felhasználva, hogy s(τ i ) ds(τ) dτ i=1 τ τi 1 N N y(t) s(0)v(t) + s(τ i )v(t τ i ) s(0)v(t) + Egyre sűrűbb felosztás mellett ( τ 0, N ) y(t) = s(0)v(t) + lim N τ 0 i=1 az összeg az alábbi integrálhoz konvergál t y(t) = s(0)v(t) + 0 melyből a válasz már számítható. ds(τ) dτ i=1 ds(τ) dτ v(t τ i ) τ τi 1 ds(τ) v(t τ)dτ, dτ τ v(t τ i ) τi 1 Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 68 / 141

74 Az ugrásválasz és alkalmazása Általános válasz számítása (folyt.) Tetszőleges válasz számítása A b a u v = [uv] b a b a uv szabály szerint alakítva, írható ahonnan d(t τ) dt valamint a dv(t τ) dτ Tétel (Duhamel) t y(t) = s(0)v(t) + [s(τ)v(t τ)] t 0 dv(t τ) s(τ) dτ, 0 dτ = 1 d(t τ) = dt figyelembevételével, = dv(t τ) d(t τ) d(t τ) dτ = dv(t τ) dt láncszabály alkalmazásával, y(t) = s(0)v(t) + s(t)v(0) s(0)v(t) + t 0 s(τ) dv(t τ) dτ. dt A v(t) ugrásválasz ismeretében a LI rendszer válasza tetszőleges s(t) gerjesztésre az alábbi összefüggéssel számítható y(t) = s(t)v(0) + t 0 s(τ) dv(t τ) dτ. dt Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 69 / 141

75 A Duhamel-tétel Az ugrásválasz és alkalmazása Tetszőleges válasz számítása Az ilyen módon megfogalmazott Duhamel-tétel y(t) = s(t)v(0) + t 0 s(τ) dv(t τ) dτ, dt levezetésénél feltételeztük, hogy a rendszer kauzális és a gerjesztés belépő. Általános esetben (nem belépő gerjesztés és ugrásválasz) a Duhamel-tétel a következő alakban adható meg y(t) = v( ) = 0 feltételezés mellett. s(τ) dv(t τ) dτ, dt A Duhamel-tétel segítségével tehát, az ugrásválasz ismeretében a rendszer tetszőleges gerjesztésre adott válasza számítható. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 70 / 141

76 Az impulzusválasz és alkalmazása 4 Az ugrásválasz és alkalmazása Definíció Alap tulajdonságok Tetszőleges válasz számítása 5 Az impulzusválasz és alkalmazása Definíció Alap tulajdonságok A válasz számítása A konvolúció Gerjesztés-válasz stabilitás 6 A rendszeregyenlet Definíció A rendszeregyenlet megoldása Gerjesztés-válasz stabilitás Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 71 / 141

77 Az impulzusválasz és alkalmazása Definíció Az impulzusválasz Definíció (Impulzusválasz) Egy y = W{s} rendszer δ(t) Dirac-impulzusra adott válasza az un. impulzusválasz (vagy súlyfüggvény), melynek szokásos jelölése w(t). s(t) = δ(t) y(t) = w(t), azaz w(t) = W{δ(t)}. Ha a rendszer kauzális, akkor az impulzusválasz belépőjel (w(t) = 0, t R ), ha a rendszer invariáns, akkor az eltolt δ(t τ) gerjesztésre a rendszer w(t τ) válasszal felel. Az impulzus arról ad felvilágosítást, hogy miként viselkedik a rendszer, a gerjesztés megszűnése után. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 72 / 141

78 Az impulzusválasz és alkalmazása Alap tulajdonságok Az impulzusválasz (folyt.) Pl.1 Legyen egy y = W{s} lineáris, invariáns, kauzális rendszer impulzusválasza w(t) = δ(t) 2ε(t)e 3t. Ha ezen rendszer bemenetére az s(t) = δ(t 2) jelet kapcsoljuk, akkor az y(t) válasz az invariancia miatt y(t) = δ(t 2) 2ε(t 2)e 3(t 2). Ha a rendszer bemenetére az s(t) = 3δ(t) jelet kapcsoljuk, akkor az y(t) válasz a linearitás miatt y(t) = 3δ(t) 6ε(t)e 3t. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 73 / 141

79 Az impulzusválasz és alkalmazása Alap tulajdonságok Az impulzusválasz (folyt.) Pl.2 Legyen egy y = W{s} lineáris, invariáns, kauzális rendszer impulzusválasza w(t) = 2δ(t) 3ε(t)e 2t. Legyen a rendszer gerjesztése s(t) = 2δ(t) δ(t 1) + 3δ(t 3). A rendszer válasza y(t) = 2w(t) w(t 1) + 3w(t 3) = 4δ(t) 6ε(t)e 2t 2δ(t 1) + 3ε(t 1)e 2(t 1) + 6δ(t 3) 9ε(t 3)e 2(t 3). Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 74 / 141

80 Az impulzusválasz és alkalmazása Általános válasz számítása A válasz számítása Tegyük fel, hogy ismert egy rendszer w(t) impulzusválasza, és szeretnénk meghatározni a rendszer egy tetszőleges s(t) gerjesztésre adott y(t) válaszát. Értelmezzük az s(t) jelet eltolt impulzusok összegeként s(t) s i A t időtengely mentén a [0, t] intervallumban vegyünk fel τ i = i τ időpontokat. (i = 0...N, τ = t/n) s 1 s 2 τ Minden intervallumon közeĺıtsük az s(t) függvényt az s i = s(τ i ) értékkel. s 0 τ 0 τ 1 τ 2 τ i t Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 75 / 141

81 Az impulzusválasz és alkalmazása A válasz számítása Általános válasz számítása (folyt.) Ilymódon az s(t) gerjesztés feĺırható az eltolt impulzusok összegeként az alábbi alakban s(t) N s(τ i )[ε(t τ i ) ε(t (τ i + τ))], i=0 alakítsuk ezt a következőképpen s(t) N i=0 Vegyük észre, hogy ε(t τ i) ε(t (τ i + τ)) τ s(τ i ) ε(t τ i) ε(t (τ i + τ)) τ. τ s(t) = δ(t τ i, τ), tehát N s(τ i )δ(t τ i, τ) τ. i=0 Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 76 / 141

82 Az impulzusválasz és alkalmazása A válasz számítása Általános válasz számítása (folyt.) Ha minden határon túl sűrítjük a felosztást ( τ 0, N ), akkor az N s(t) s(τ i )δ(t τ i, τ) τ. i=0 összeg a δ(t τ i, τ) δ(t τ) határátmenettel az alábbi integrálba megy át s(t) = s(τ)δ(t τ)dτ, ennek alapján pedig a linearitás és az invariancia következtében az y(t) válasz y(t) = hiszen Kδ(t τ) Kw(t τ). s(τ)w(t τ)dτ, Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 77 / 141

83 A konvolúció-tétel Az impulzusválasz és alkalmazása A konvolúció Tétel (Konvolúció) Egy y = W{s} LI rendszer w(t) impulzusválaszának ismeretében, a rendszer tetszőleges s(t) gerjesztésre adott válasza számítható az y(t) = integrál kiértékelésével. s(τ)w(t τ)dτ, Az így definiált műveletet konvolúciónak nevezzük. Szokásos jelölése a Az y(t) jel tehát az s(t) és a w(t) jelek konvolúciója y(t) = s(t) w(t). Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 78 / 141

84 Az impulzusválasz és alkalmazása A konvolúció A konvolúció tulajdonságai Ha a rendszer kauzális, akkor a w(t) impulzusválasz belépő jel. Ilyenkor a válasz a y(t) = t s(τ)w(t τ)dτ, összefüggéssel számítható, hiszen a w(t τ) jel τ > t argumentum esetén azonosan 0 (w(t τ) = 0, τ > t). Ha ezenfelül még az s(t) gerjesztés is belépő jel, akkor a konvolúciós integrál tovább egyszerűsödik y(t) = t 0 mert s(τ) = 0, τ < 0 (s(t) belépő jel). s(τ)w(t τ)dτ, Ha a gerjesztés tartalmaz δ(t) összetevőt, akkor azt a fenti integrálásnál figyelembe kell venni (alsó határként megadott 0). Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 79 / 141

85 Az impulzusválasz és alkalmazása A konvolúció A konvolúció tulajdonságai (folyt.) A konvolúció akkor értelmezhető, ha s(t) és w(t) legalább egyike korlátos, másika pedig abszolút integrálható. A konvolúció az alábbi tulajdonságokkal bír: kommutativitás, azaz f(t) g(t) = g(t) f(t), asszociativitás, azaz f(t) (g(t) h(t)) = (f(t) g(t)) h(t), disztributivitás, azaz f(t) (g(t) + h(t)) = f(t) g(t) + f(t) h(t). Ha az integrálási határok 0 és t, akkor egyoldali konvolúcióról, ha és, akkor kétoldali konvolúcióról beszélünk. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 80 / 141

86 Az impulzusválasz és alkalmazása A kommutatív tulajdonság A konvolúció A konvolúció kommutativitása könnyen belátható egy ξ = t τ segédváltozó bevezetésével, tekintve, hogy dτ = dξ y(t) = = s(τ)w(t τ)dτ = s(t ξ)w(ξ)dξ = Kauzális rendszer esetén (w(t) belépő) y(t) = t s(τ)w(t τ)dτ továbbá, ha az s(t) gerjesztés is belépő y(t) = t 0 s(τ)w(t τ)dτ b a s(t ξ)w(ξ)dξ = f= a b f w(ξ)s(t ξ)dξ. 0 t 0 w(τ)s(t τ)dτ, w(τ)s(t τ)dτ. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 81 / 141

87 Az impulzusválasz és alkalmazása A konvolúció Az ugrásválasz és az impulzusválasz kapcsolata A konvolúció definiáló összefüggésében s(t) = ε(t) helyettesítéssel az ugrásválasz meghatározható v(t) = amiből következik, hogy 0 ε(τ)w(t τ)dτ t w(t) = v (t), w(τ)ε(t τ)dτ t w(τ)dτ, azaz a w(t) impulzusválasz a v(t) ugrásválasz általánosított deriváltja. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 82 / 141

88 Az impulzusválasz és alkalmazása A konvolúció Válasz számítása konvolúcióval Pl.1 Legyen egy LI rendszer impulzusválasza az alábbi w(t) = ε(t)8e 2t. Határozzuk meg a rendszer válaszát az s(t) = ε(t) gerjesztésre! y(t) = t 0 8e 2(t τ) dτ = 8 = 8e 2t t 0 t 0 e 2t e 2τ f(y)g(x)dx=f(y) g(x)dx dτ = e 2τ dτ = 4e 2t [ e 2τ] t 0 = 4e 2t [ e 2t e 0] = 4 4e 2t = y(t)=0, t<0 = 4ε(t)(1 e 2t ). Ell.: w(t) = v (t) = 4ε (t)(1 e 2t ) + 4ε(t)(2e 2t ) = ε (t)=δ(t) = 8ε(t)e 2t. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 83 / 141

89 Az impulzusválasz és alkalmazása Válasz számítása konvolúcióval A konvolúció Pl.2 Legyen egy LI rendszer impulzusválasza az alábbi w(t) = ε(t)8e 2t. Határozzuk meg a rendszer válaszát az s(t) = ε(t)e 3t gerjesztésre! y(t) = t 0 e 3τ 8e 2(t τ) dτ = 8 t t t = 8e 2t e 3τ e 2τ dτ = 8e 2t f(y)g(x)dx=f(y) g(x)dx e 3τ e 2(t τ) dτ = e τ dτ = 8e 2t [ e τ] t 0 = 8e 2t (e t e 0 ) = 8e 3t + 8e 2t = y(t)=0, t<0 = 8ε(t)(e 2t e 3t ). Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 84 / 141

90 Az impulzusválasz és alkalmazása Válasz számítása konvolúcióval A konvolúció Pl.3 Legyen egy LI rendszer impulzusválasza az alábbi w(t) = ε(t)8e 2t. Határozzuk meg a rendszer válaszát az s(t) = 2δ(t) + ε(t)e 2t gerjesztésre! y(t) = = t 0 t 0 [2δ(τ) + e 2τ ]8e 2(t τ) (f+g)= f+ g dτ = 16δ(τ)e 2(t τ) dτ + t 0 f(y)g(x)dx=f(y) g(x)dx 8e 2τ e 2(t τ) dτ = t 0 δ(τ)e2τ dτ=e 0 =1 t t = 16e 2t δ(τ)e 2τ dτ + 8e 2t dτ = 0 0 = 16e 2t + 8e 2t t = y(t)=0, t<0 = 8ε(t)e 2t (2 + t). Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 85 / 141

91 Az impulzusválasz és alkalmazása Gerjesztés-válasz stabilitás Gerjesztés-válasz stabilitás Folytonos idejű LI rendszer akkor és csak akkor gerjesztés-válasz stabilis (G-V stabilis), ha impulzusválasza abszolút integrálható, azaz ha w(t) dt <, Ez könnyen belátható, a konvolúciós integrál segítségével, ugyanis tetszőleges korlátos ( s(t) M) gerjesztés mellett y(t) w(τ) s(t τ) dτ M w(τ) dτ, ennek alapján pedig y(t) valóban csak akkor korlátos, ha a w(t) impulzusválasz abszolút integrálható. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 86 / 141

92 Az impulzusválasz és alkalmazása Gerjesztés-válasz stabilitás (folyt.) Gerjesztés-válasz stabilitás Kauzális rendszer esetén a G-V stabilitás feltétele 0 w(t) dt <, mert kauzális esetben w(t) belépő jel (w(t) azonosan 0, ha t kisebb mint 0). A fenti stabilitási feltétel teljesülésének szükséges feltétele, hogy lim w(t) = 0 lim v(t) = K, t t azaz, hogy a rendszer impulzusválasza 0-hoz, ugrásválasza egy véges K konstanshoz tart t mellett. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 87 / 141

93 A rendszeregyenlet 4 Az ugrásválasz és alkalmazása Definíció Alap tulajdonságok Tetszőleges válasz számítása 5 Az impulzusválasz és alkalmazása Definíció Alap tulajdonságok A válasz számítása A konvolúció Gerjesztés-válasz stabilitás 6 A rendszeregyenlet Definíció A rendszeregyenlet megoldása Gerjesztés-válasz stabilitás Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 88 / 141

94 A rendszeregyenlet Folytonos idejű LI rendszerek jellemzése Az eddigiekben láttuk tehát, hogy egy folytonos idejű LI rendszer viselkedése formálisan a y = W{s} gerjesztés válasz kapcsolattal jellemezhető. A rendszer tényleges viselkedéséről pedig az un. vizsgálójelek segítségével szerezhetünk információt. Ilyen vizsgálójelek az ε(t) egységugrás, és a δ(t) egységimpulzus (Dirac-δ). A y = W{s} LI rendszer jellemzése történhet az alábbi Ugrásválasz: ε(t) W{.} v(t), Impulzusválasz: δ(t) W{.} w(t), un. rendszerjellemző függvényekkel, vagy a rendszeregyenlettel. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 89 / 141

95 A rendszeregyenlet A rendszeregyenlet Definíció Definíció (Rendszeregyenlet) Egy folytonos idejű, lineáris, invariáns SISO rendszer rendszeregyenletének általános alakja a következő y (n) (t) + a 1 y (n 1) (t) + a 2 y (n 2) (t) + + a n 1 y (1) (t) + a n y(t) = b 0 s (m) (t) + b 1 s (m 1) (t) + b 2 s (m 2) (t) + + b m 1 s (1) (t) + b m s(t), n m feltétel mellett ill. az y (n) (t) = dn y(t) dt n jelölés bevezetésével. A rendszeregyenlet megadásánál feltételezzük, hogy a benne szereplő deriváltak léteznek (a gerjesztés és a válasz a szükséges rendben deriválható). A fenti módon differenciáló jellegű (pl. y(t) = s (t)) rendszerek nem írhatók le. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 90 / 141

96 A rendszeregyenlet Definíció A rendszeregyenlet tulajdonságai A rendszeregyenlet y (n) (t) + a 1 y (n 1) (t) + a 2 y (n 2) (t) + + a n 1 y (1) (t) + a n y(t) = b 0 s (m) (t) + b 1 s (m 1) (t) + b 2 s (m 2) (t) + + b m 1 s (1) (t) + b m s(t), egy n-ed rendű lineáris, állandó együtthatós, inhomogén differenciálegyenlet, az általa definiált gerjesztés-válasz kapcsolat invariáns (az a i ill. b i együtthatók nem időfüggvények), továbbá lineáris (a benne szereplő függvények lineáris kombinációját tartalmazza), segítségével csak kauzális rendszerek írhatók le (az y(t) válasz csak a t időpillanatot megelőző gerjesztő jeltől és válaszjeltől függ). Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 91 / 141

97 A rendszeregyenlet Definíció A rendszeregyenlet tulajdonságai (folyt.) Kauzalitás A rendszeregyenletet integrálva, a következő alakot kapjuk t y (n 1) + a 1 y (n 2) + a 2 y (n 3) + + a n 1 y + a n y dτ = t b 0 s (m 1) + b 1 s (m 2) + b 2 s (m 3) + + b m 1 s + b m s dτ, egy további integrálás után t t t y (n 2) + a 1 y (n 3) + a 2 y (n 4) + + a n 1 y dτ + a n y dτ dτ = t t t b 0 s (m 2) + b 1 s (m 3) + b 2 s (m 4) + + b m 1 s dτ + b m s dτ dτ. n db. integrálás után olyan alakot kapunk, melyben y(t) csak a (,t) intervallumbeli, azaz a t időpillanatot megelőző s(t) és y(t) függvénye. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 92 / 141

98 A rendszeregyenlet Definíció A rendszeregyenlet tulajdonságai (folyt.) A rendszer y(t) válaszjele tehát egy t időpillanatban a gerjesztés és a válasz (, t), vagy belépő gerjesztés esetén a (0, t) intervallumbeli értékeitől függ, azaz a rendszer kauzális. A rendszeregyenletet szokás az alábbi tömör formában megadni n m y (n) (t) + a i y (n i) (t) = b m s (m i) (t). i=1 i=0 A rendszeregyenlet megoldása egy időfüggvény y(t) = y tr (t) + y st (t), y tr (t) az un. tranziens összetevő (szabad válasz), y st (t) az un. stacioner összetevő (gerjesztett válasz) Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 93 / 141

99 A rendszeregyenlet A rendszeregyenlet megoldása A rendszeregyenlet megoldása A rendszeregyenlet y(t) = y tr (t) + y st (t) megoldásának első tagját az alábbi alakban keressük melyet a homogén (s(t) 0) y tr (t) = Me λt, y(t) (n) + rendszeregyenletbe helyettesítve λ n Me λt + n a i y(t) (n i) = 0 i=1 n a i λ n i Me λt = Me (λ λt n + i=1 ) n a i λ n i ha M 0 = 0 i=1 λ n +a 1 λ n 1 +a 2 λ n 2 + +a n 2 λ 2 +a n 1 λ+a n = 0 (karakterisztikus egyenlet) Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 94 / 141

100 A rendszeregyenlet A rendszeregyenlet megoldása A rendszeregyenlet megoldása (folyt.) Definíció (Karakterisztikus egyenlet) Az n-ed rendű rendszeregyenlethez tartozó λ n + a 1 λ n 1 + a 2 λ n a n 2 λ 2 + a n 1 λ + a n = 0 karakterisztikus egyenlet egy n-ed fokú polinomegyenlet, melynek megoldása az n-ed fokú polinom n db. gyökét (λ 1,2,...,n ), az un. sajátértékeket szolgáltatja. A rendszeregyenlet y tr (t) tranziens megoldásának szerkezete a sajátértékek tulajdonságaitól függ. Az alábbi fontos eseteket különböztetjük meg egyszeres sajátértékek, egy vagy több többszörös sajátérték, valós ill. komplex sajátértékek. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 95 / 141

101 A rendszeregyenlet A rendszeregyenlet megoldása A rendszeregyenlet megoldása (folyt.) Egyszeres sajátértékek (λ i λ j, ha i j) n y tr (t) = M i e λ it i=1 1 db. q - szoros sajátérték (λ 1 = λ 2 = = λ q = λ, q n) q n y tr (t) = M i t i 1 e λt + M i e λ it i=1 i=q+1 p db. q 1,2,...,p - szeres sajátérték ( i q i n) q 1 q 2 n y tr (t) = M i t i 1 e λ1t + M i t i 1 e λ2t + + M i e λ it i=1 i=1 i=q 1 +q 2 + +q p+1 Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 96 / 141

102 A rendszeregyenlet A rendszeregyenlet megoldása A rendszeregyenlet megoldása (folyt.) Komplex konjugált sajátértékek Ha a rendszeregyenletben szereplő a i együtthatók valósak (a i R, i), akkor a karakterisztikus egyenlet komplex sajátértékei konjugált párokban jelennek meg, melyeket célszerű együtt kezelni. Legyen adott λ 1 = α + jω C komplex sajátérték és λ 2 = λ 1 = α jω konjugáltja. A hozzájuk tartozó e λ 1t és az e λ 2t megoldások összege e λ1t + e λ2t = e } (α+jω)t {{ } +e (α jω)t = e αt ( e jωt + e jωt) = 2e αt cos(ωt). } {{ } e αt e jωt 2 cos(ωt) Euler-formulák e ±jϕ cos(ϕ) ± jsin(ϕ) = sin(ϕ) = ejϕ e jϕ 2j, cos(ϕ) = ejϕ +e jϕ 2 Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 97 / 141

103 A rendszeregyenlet A rendszeregyenlet megoldása A rendszeregyenlet megoldása (folyt.) Az y st stacioner összetevő meghatározása A stacioner összetevő (gerjesztett válasz) meghatározására nincs általánosan alkalmazható módszer. Tétel (Stacioner összetevő meghatározása) Ha a rendszeregyenlet jobboldala (a gerjesztés) R(t)e αt alakú függvény (un. kvázipolinom), akkor létezik egy y st = Q(t)t r e αt alakú stacioner megoldás, ahol deg Q(t) deg R(t) és r az α multiplicitása a karakterisztikus egyenletben. Próbafüggvény módszer Az s(t) gerjesztés Az y st (t) stacioner összetevő Konstans C A α nem gyök Ce αt Ae αt λ r-szeres gyök Ce λt At r e λt Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 98 / 141

104 A rendszeregyenlet A rendszeregyenlet megoldása A rendszeregyenlet megoldása (folyt.) Az y st (t) stacioner összetevő megoldása az inhomogén rendszeregyenletnek, tehát az y st (t)-ben szereplő ismeretlen konstansok a rendszeregyenletbe való behelyetessítéssel meghatározhatók (ld. példák). Az y tr = n i=1 M ie λ i tranziens összetevőben szereplő M i, i = 1, 2,..., n konstansok meghatározásához n db un. kezdeti feltételre van szükség, melyek célszerűen az y(t) válasznak és deriváltjainak a t = 0 időpillanatbeli helyettesítési értékei, melyek ismeretében az M i -k az alábbi egyenletrendszerből számíthatók y tr (t) t=0 + y st (t) t=0 = y 0 y tr (t) t=0 + y st (t) t=0 = y 0 y tr(t) t=0 + y st(t) t=0 = y 0. y (n) tr (t) t=0 + y (n) st (t) t=0 = y (n) 0 Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 99 / 141

105 A rendszeregyenlet A rendszeregyenlet megoldása A rendszeregyenlet megoldása (folyt.) Pl.1 Adott az alábbi FI rendszeregyenlet, y (t) + 4y (t) + 3y(t) = s(t), az s(t) = 2ε(t) gerjesztéssel és y( 0) = 0, y ( 0) = 0 kezdeti feltételekkel, határozzuk meg az y(t) válaszfüggvényt. Írjuk fel a karakterisztikus egyenletet, λ 2 + 4λ + 3 = 0, λ 1 = 1, λ 2 = 3, melyből az y tr (t) tranziens megoldásban szereplő λ sajátértékek számíthatók. Mivel csak egyszeres sajátértékek fordulnak elő (λ 1 λ 2 ), az y(t) megoldás alakban adódik. y(t) = M 1 e t + M 2 e 3t + y st (t), Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 100 / 141

106 A rendszeregyenlet A rendszeregyenlet megoldása A rendszeregyenlet megoldása (folyt.) Pl.1 (folyt.) Az y st (t) stacioner összetevő (gerjesztett válasz) meghatározásához a próbafüggvény módszert használjuk. Mivel a gerjesztés belépő, és s(t) = 2ε(t) 2 konstans, ha t > 0, a gerjesztett válasz szintén konstans y st (t) = A, melynek meghatározásához helyettesítsük vissza ezt a megoldást az inhomogén egyenletbe (t > 0 feltételezéssel) az y(t) megoldás most tehát, A + 4A + 3A = 2, A =A =0 A = 2 3, y(t) = M 1 e t + M 2 e 3t Az M 1 és M 2 konstansok meghatározásához szükségünk van az y( 0) = 0, y ( 0) = 0 kezdeti feltételekre. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 101 / 141

107 A rendszeregyenlet A rendszeregyenlet megoldása A rendszeregyenlet megoldása (folyt.) A kezdeti feltételek megadásakor a t = 0 és t = +0 időpillanat megkülönböztetése a Dirac-δ impulzust tartalmazó gerjesztések miatt szükséges. Ha a gerjesztés nem tartalmaz Dirac-impulzust, akkor y (i) (+0) = y (i) ( 0), i = 0, 1, 2,..., n 1. Pl.1 (folyt.) Az y tr (t)-ben szereplő M 1, és M 2 konstansok az alábbi { { M 1 e 0 + M 2 e = y(+0) e 0 =1,y(+0)=y (+0)=0 M 1 + M M 1 e 0 3M 2 e 0 = y 3 = 0 (+0) M 1 3M 2 = 0 egyenletrendszer megoldásaként adódnak, M 1 = 1 és M 2 = 1 3. A rendszeregyenlet megoldása tehát y(t) = M 1 e t + M 2 e 3t = M 1= 1,M 2 = 1 3 = e t e 3t Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 102 / 141

108 A rendszeregyenlet A rendszeregyenlet megoldása A rendszeregyenlet megoldása (folyt.) Pl.1 (folyt.) Mivel a rendszeregyenlet által leírt rendszer kauzális és a gerjesztés belépő jel, az y(t) válasz is belépő jel lesz. Az y (t) + 4y (t) + 3y(t) = s(t) rendszeregyenlettel megadott rendszer az s(t) = 2ε(t) gerjesztésre y( 0) = 0, y ( 0) = 0 kezdeti feltételek mellett a ( 1 y(t) = ε(t) 3 e 3t e t + 2 ), 3 A gerjesztés, a megoldás és komponensei s(t),y(t) y st (t) s(t)=2ε(t) y(t)=y tr (t)+y st (t) y tr (t) t válaszjelet adja. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 103 / 141

109 A rendszeregyenlet A rendszeregyenlet megoldása A rendszeregyenlet megoldása (folyt.) Pl.2 Adott az alábbi FI rendszeregyenlet, y (t) + 4y (t) + 4y(t) = s(t), az s(t) = ε(t) gerjesztéssel és y( 0) = 0, y ( 0) = 0 kezdeti feltételekkel, határozzuk meg az y(t) válaszfüggvényt. Írjuk fel a karakterisztikus egyenletet, λ 2 + 4λ + 4 = 0, λ 1 = 2, λ 2 = 2, melyből az y tr (t) tranziens megoldásban szereplő λ sajátértékek számíthatók. A λ = λ 1 = λ 2 egy kétszeres sajátérték (a λ multiplicitása 2), az y(t) megoldás y(t) = M 1 e 2t + M 2 te 2t + y st (t), alakban adódik. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 104 / 141

110 A rendszeregyenlet A rendszeregyenlet megoldása A rendszeregyenlet megoldása (folyt.) Pl.2 (folyt.) Az y st (t) stacioner összetevő (gerjesztett válasz) meghatározásához a próbafüggvény módszert használjuk. Mivel a gerjesztés belépő, és s(t) = ε(t) 1 konstans, ha t > 0, a gerjesztett válasz szintén konstans y st (t) = A, melynek meghatározásához helyettesítsük vissza ezt a megoldást az inhomogén egyenletbe (t > 0 feltételezéssel) az y(t) megoldás most tehát, A + 4A + 4A = 1, A =A =0 A = 1 4, y(t) = M 1 e 2t + M 2 te 2t Az M 1 és M 2 konstansok meghatározásához szükségünk van az y( 0) = 0, y ( 0) = 0 kezdeti feltételekre. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 105 / 141

111 A rendszeregyenlet A rendszeregyenlet megoldása A rendszeregyenlet megoldása (folyt.) Pl.2 (folyt.) Az y tr (t)-ben szereplő M 1, és M 2 konstansok az alábbi { { M 1 e 0 + M 2 0e = y(+0) 2M 1 e 0 + M 2 e 0 2M 2 0e 0 = y (+0) M = 0 2M 1 + M 2 = 0 egyenletrendszer megoldásaként adódnak, M 1 = 1 4 és M 2 = 1 2. A rendszeregyenlet megoldása tehát y(t) = M 1 e 2t + M 2 te 2t = M 1= 1 4,M 2= 1 2 = 1 4 e 2t 1 2 te 2t Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 106 / 141

112 A rendszeregyenlet A rendszeregyenlet megoldása A rendszeregyenlet megoldása (folyt.) Pl.2 (folyt.) Mivel a rendszeregyenlet által leírt rendszer kauzális és a gerjesztés belépő jel, az y(t) válasz is belépő jel lesz. Az y (t) + 4y (t) + 4y(t) = s(t) rendszeregyenlettel megadott rendszer az s(t) = ε(t) gerjesztésre y( 0) = 0, y ( 0) = 0 kezdeti feltételek mellett a y(t) = 1 4 ε(t)( e 2t + 2te 2t 1 ), A gerjesztés, a megoldás és komponensei s(t),y(t) y st (t) y tr (t) s(t)=ε(t) y(t)=y tr (t)+y st (t) t válaszjelet adja. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 107 / 141

113 A rendszeregyenlet A rendszeregyenlet megoldása A rendszeregyenlet megoldása (folyt.) Pl.3 Adott az alábbi FI rendszeregyenlet, y (t) + 2y (t) + 4y(t) = s(t), az s(t) = ε(t)e t gerjesztéssel és y( 0) = 1, y ( 0) = 1 kezdeti feltételekkel, határozzuk meg az y(t) válaszfüggvényt. Írjuk fel a karakterisztikus egyenletet, λ 2 + 2λ + 4 = 0, λ 1 = 1 + 3j, λ 2 = 1 3j, melyből az y tr (t) tranziens megoldásban szereplő λ sajátértékek számíthatók. Mivel csak egyszeres sajátértékek fordulnak elő (λ 1 λ 2 ), az y(t) megoldás y(t) = M 1 e ( 1+ 3j)t + M 2 e ( 1 3j)t + y st (t), alakban adódik. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 108 / 141

114 A rendszeregyenlet A rendszeregyenlet megoldása A rendszeregyenlet megoldása (folyt.) Pl.3 (folyt.) Az y st (t) stacioner összetevő (gerjesztett válasz) meghatározásához a próbafüggvény módszert használjuk. Mivel a gerjesztés belépő, és s(t) = e t (t > 0), továbbá 1 nem gyöke a karakterisztikus egyenletnek, a gerjesztett válasz szintén exponenciális fv. y st (t) = Ae t, melynek meghatározásához helyettesítsük vissza ezt a megoldást az inhomogén egyenletbe (t > 0 feltételezéssel) Ae t 2Ae t + 4Ae t = e t e t (A 2A + 4A) = e t, e t 0 A = 1 } {{ } 3, 3A az y(t) megoldás most tehát, y(t) = M 1 e ( 1+ 3j)t + M 2 e ( 1 3j)t e t. (Az M 1 és M 2 konstansok a y( 0) = 1, y ( 0) = 1 kezdeti feltételekből) Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 109 / 141

115 A rendszeregyenlet A rendszeregyenlet megoldása A rendszeregyenlet megoldása (folyt.) Pl.3 (folyt.) Az y tr (t)-ben szereplő M 1, és M 2 konstansok az alábbi { M 1 e 0 + M 2 e e0 = y(+0) ( 1 + 3j)M 1 e 0 + ( 1 3j)M 2 e e0 = y (+0) { M 1 + M = 1 ( 1 + 3j)M 1 + ( 1 3j)M = 1 M 1 = 2 3 M 2 az első egyenletből M 1 = 2 3 M 2 adódik, ezt a második egyenletbe helyettesítve ( 1 + ( ) 2 3j) 3 M 2 + ( 1 3j)M = 1 M 2 = 1 3 egyenletrendszer megoldásaként adódik tehát, M 1 = M 2 = 1 3. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 110 / 141

116 A rendszeregyenlet A rendszeregyenlet megoldása A rendszeregyenlet megoldása (folyt.) Pl.3 (folyt.) A rendszeregyenlet y(t) megoldása tehát ahonnan tehát a megoldás végső, valós alakja y(t) = 1 3 e( 1+ 3j)t e( 1 3j)t e t, y(t) = 1 ( ) 3 e t e 3jt + e 3jt + 1 } {{ } 3 e t, 2cos( 3t) y(t) = 2 3 e t cos( 3t) e t = = y(t) 0,t<0 1 ( 3 e t ε(t) 2cos( ) 3t) + 1 Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 111 / 141

117 A rendszeregyenlet A rendszeregyenlet megoldása A rendszeregyenlet megoldása (folyt.) Pl.3 (folyt.) Mivel a rendszeregyenlet által leírt rendszer kauzális és a gerjesztés belépő jel, az y(t) válasz is belépő jel lesz. Az y (t) + 2y (t) + 4y(t) = s(t) rendszeregyenlettel megadott rendszer az s(t) = ε(t)e t gerjesztésre y( 0) = 1, y ( 0) = 1 kezdeti feltételek mellett a y(t) = 1 ( 3 e t ε(t) 2cos( ) 3t) + 1, A gerjesztés, a megoldás és komponensei s(t),y(t) y st (t) s(t)=ε(t)e t y(t)=y tr (t)+y st (t) y tr (t) t válaszjelet adja. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 112 / 141

118 A rendszeregyenlet Gerjesztés-válasz stabilitás Gerjesztés-válasz stabilitás Definíció (G-V stabilitás) Egy rendszeregyenletével adott rendszer akkor és csakis akkor gerjesztés-válasz stabilis, ha minden sajátértékének valós része negatív, R{λ i } < 0, i = 1, 2,..., n, azaz minden sajátértéke a komplex sík baloldalán helyezkedik el. Ugyanis ebben az esetben a y(t) = n M i e λ it +y st (t), i=1 } {{ } y tr(t) megoldás y tr (t) tranziens összetevője tart a 0-hoz, t mellett. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 113 / 141

119 Fizikai objektumok és leírásuk (pl.) 7 Fizikai objektumok és leírásuk (pl.) 8 Az állapotváltozós rendszerleírás Definíció Az állapotváltozós leírás előálĺıtása hálózat alapján Az állapotváltozós leírás megoldása SISO rendszer megoldása Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 114 / 141

120 Villamos RC-tag Fizikai objektumok és leírásuk (pl.) Jelfolyam hálózat Fizikai objektum Rendszeregyenlet u be (t) = RCu ki (t) + u ki(t), u ki (t) = 1 RC u ki(t) + 1 RC u be(t) Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 115 / 141

121 Fizikai objektumok és leírásuk (pl.) Villamos RC-tag (folyt.) u be (t) = 2ε(t) u ki (t) = 2ε(t)(1 e t RC ) u be (t) kapocsfeszültség (gerjesztés) u ki (t) (válasz) u be (t) 1 u ki (t) t t Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 116 / 141

122 Fizikai objektumok és leírásuk (pl.) Rugóra akasztott test (csillapítatlan eset) Fizikai objektum Jelfolyam hálózat Rendszeregyenlet mx (t) + kx(t) = mg, x (t) + k x(t) = g, m Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 117 / 141

123 Fizikai objektumok és leírásuk (pl.) Rugóra akasztott test (csillapítatlan eset) (folyt.) Az elmozdulás időfüggvénye m = 1kg m = 5kg 0 m = 1kg, x max = cm 0 m = 5kg, x max = cm x(t) x(t) t t Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 118 / 141

124 Fizikai objektumok és leírásuk (pl.) Rugóra akasztott test (csillapított eset) Fizikai objektum Jelfolyam hálózat Rendszeregyenlet mx (t) + dx (t) + kx(t) = mg, x (t) + d m x (t) + k x(t) = g m Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 119 / 141

125 Fizikai objektumok és leírásuk (pl.) Rugóra akasztott test (csillapított eset) (folyt.) 0 m = 1kg, x max = cm 0 m = 5kg, x max = cm x(t) 0.01 x(t) t m = 15kg, x = cm max t 0 x 10 4 m = 0.03kg, x max = cm 0.05 x(t) x(t) t t Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 120 / 141

126 Az állapotváltozós rendszerleírás 7 Fizikai objektumok és leírásuk (pl.) 8 Az állapotváltozós rendszerleírás Definíció Az állapotváltozós leírás előálĺıtása hálózat alapján Az állapotváltozós leírás megoldása SISO rendszer megoldása Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 121 / 141

127 Az állapotváltozós rendszerleírás Definíció Az állapotváltozók Definíció (Állapotváltozók) Egy folytonos idejű rendszer x i (t), (i = 1,..., N) állapotváltozói olyan változók, amelyek az alábbi két tulajdonsággal bírnak A rendszert leíró állapotváltozós leírás ismeretében az állapotváltozók és a gerjesztés(ek) t 1 időpontbeli értékéből meghatározható az állapotváltozók értéke tetszőleges t 2 > t 1 időpontokban, ugyanezen adatokból meghatározható a rendszer válaszának (válaszainak) értéke a t 1 időpontban. Rendszám N az állapotváltozók száma, és egyben az állapotváltozós leírás rendszáma, mely rendszerint megegyezik a rendszer rendszeregyenletének rendszámával. Előnyös, ha minél kisebb. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 122 / 141

128 Az állapotváltozós rendszerleírás Az állapotváltozós leírás Definíció Az állapotváltozós leírás normálalakja y k (t) = ahol N x i (t) = N s A ij x j (t) + B ij s j (t), (i = 1, 2,..., N) j=1 j=1 N N s C kj x j (t) + D kj s j (t), (k = 1, 2,..., N y ) j=1 j=1 x i (t) - az i-edik állapotváltozó, (időfüggvény) A ij, B ij, C kj, D kj - konstans együtthatók, N - az állapotváltozók száma, N s, N y - a gerjesztések és a válaszok száma. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 123 / 141

129 Az állapotváltozós rendszerleírás Definíció Az állapotváltozós leírás normálalakja (folyt.) Az állapotváltozós leírás egyenletei x i(t) = y k (t) = N N s A ij x j (t) + B ij s j (t), (i = 1, 2,..., N) j=1 j=1 N N s C kj x j (t) + D kj s j (t), (k = 1, 2,..., N y ) j=1 j=1 az alábbi kompaktabb alakban is írhatók x (t) = Ax(t) + Bs(t) y(t) = Cx(t) + Ds(t). Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 124 / 141

130 Az állapotváltozós rendszerleírás Definíció Az állapotváltozós leírás normálalakja (folyt.) Az állapotváltozós leírásban x (t) = Ax(t) + Bs(t) y(t) = Cx(t) + Ds(t), x(t) - az állapotvektor, A R N N - az un. állapotmátrix, B R N Ns,C R Ny N,D R Ny Ns - együtthatómátrixok SISO rendszer esetén az alábbi egyszerűbb alak adódik x (t) = Ax(t) + bs(t) y(t) = c T x(t) + Ds(t), ahol, A R N N, b R N 1, c T R 1 N, D R. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 125 / 141

131 Az állapotváltozós rendszerleírás Definíció Az állapotváltozós leírás normálalakja (folyt.) SISO rendszer állapotegyenletei x (t) = Ax(t) + bs(t) y(t) = c T x(t) + Ds(t), SISO rendszer hatásvázlata Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 126 / 141

132 Az állapotváltozós rendszerleírás Definíció Az állapotváltozós leírás normálalakja (folyt.) A SISO rendszer állapotegyenletei részletesen x (t) = Ax(t) + bs(t) y(t) = c T x(t) + Ds(t), x 1 A 11 A A 1N x 1 b 1 x 2. = A 21 A A 2N x b 2. s x N A N1 A N2... A NN x N b N x 1 y = [ ] x 2 c 1 c 2... c N. + Ds x N Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 127 / 141

133 Az állapotváltozós rendszerleírás Az állapotváltozós leírás előálĺıtása hálózat alapján Az állapotváltozós leírás előálĺıtása Hálózati reprezentáció alapján Adott az alábbi hálózat x 1 = x 2, x 2 = 3x 1 4x 2 + s, y = x 1 + 5x 2. Az állapotváltozókat (x 1, x 2 ) célszerű a dinamikus elemekhez (integrátor) kapcsolni. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 128 / 141

134 Az állapotváltozós rendszerleírás Az állapotváltozós leírás előálĺıtása hálózat alapján Hálózat és állaptváltozós leírás kapcsolata Abban az esetben, ha az állapotváltozós leírás nem fejezhető ki a kívánt alakban, akkor a hálózat nem reguláris (nem reprezentál valós fizikai objektumot), struktúrálisan nem reguláris felépítéséből adódóan nem reguláris, parametrikusan nem reguláris csak a paraméterek bizonyos értékei mellett nem reguláris, ha több hálózat is ugyanarra az állapotváltozós leírásra vezet, ezek a hálózatok ekvivalensek Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 129 / 141

135 Az állapotváltozós rendszerleírás Az állaptváltozós leírás megoldása Az állapotváltozós leírás megoldása Mátrixpolinom (kvadratikus mátrix polinomja) Az alábbi p(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x c N x N, skalár polinomba az x A R N N, kvadratikus mátrixot helyettesítve, a p(a) = c 0 E + c 1 A + c 2 A 2 + c 3 A c N A N, mátrixpolinomot értelmezhetjük, ahol A 0 = E, az N-ed rendű kvadratikus egységmátrix. Mátrix exponenciális függvénye (x (t) = λx(t), mo. x(t) = Me λt, λ A) e λt = 1 + t 1! λ + t2 2! λ2 + t3 3! λ3 + + tn N! λn +... e At = 1 + t 1! A + t2 2! A2 + t3 3! A3 + + tn N! AN +... Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 130 / 141

136 Az állapotváltozós rendszerleírás Az állapotváltozós leírás megoldása Az állaptváltozós leírás megoldása (folyt.) Bevezető példa Adott az alábbi egyenlet: x (t) = 2x(t) + s(t), s(t) = 4, ha t 0, x( 0) = 5. A megoldást először a már ismert módon végezzük el x(t)-t az alábbi alakban keressük x(t) = x tr (t) + x st (t), xtr(t)=meλt x(t) = Me 2t + x st (t), az M konstanst csak a megoldás végén határozzuk meg, az x st (t) stacioner összetevő a próbafüggvény módszer alapján számítható ahonnan a válasz x st (t) = A, xst(t)megoldás A = 2A + 4 A = 2, x(t) = Me 2t + 2. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 131 / 141

137 Az állapotváltozós rendszerleírás Az állapotváltozós leírás megoldása Az állaptváltozós leírás megoldása (folyt.) Bevezető példa (folyt.) Az M konstans a kezdeti feltételből határozható meg: 5 = M + 2 M = 3. A megoldás x(t) időfüggvénye tehát x(t) = 3e 2t + 2, ha t 0. Oldjuk meg most egy másik módszerrel az egyenletet! A megoldást most is hasonló alakban keressük x(t) = x tr (t) + x st (t), xtr(t)=meλt x(t) = Me 2t + x st (t), azonban az x tr (t) = Me 2t összetevőben most érvényesítjük a kezdeti feltételt 5 = Me 0 M = 5, tehát x tr (t) = 5e 2t, ha t 0. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 132 / 141

138 Az állapotváltozós rendszerleírás Az állapotváltozós leírás megoldása Az állaptváltozós leírás megoldása (folyt.) Bevezető példa (folyt.) Keressünk most egy homogén megoldáshoz tartozó, homogén kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldást! Ehhez határozzuk meg a w x (t) impulzusválaszt az alábbi egyenletből w x(t) = 2w x (t) + δ(t), (w = W{δ}) mivel a δ(t) gerjesztés a t = 0-ban nem korlátos, célszerű integrálni az egyenletet v x (t) = 2v x(t) + ε(t), (ε (t) = δ(t), v (t) = w(t)). Ez könnyen megoldható v x (t) = v x,tr (t) + v x,st (t) összetevőkre bontással, ahol v x,tr (t) = Ne 2t. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 133 / 141

139 Az állapotváltozós rendszerleírás Az állapotváltozós leírás megoldása Az állaptváltozós leírás megoldása (folyt.) Bevezető példa (folyt.) A v x,st (t) stacioner összetevő pedig a próbafüggvény módszer alapján számítható v x,st (t) = A, vx,st(t)megoldás A = 2A + 1 A = 1 2, ahonnan a v x ( 0) = v x (+0) = 0 kezdeti feltételből 0 = Ne N = 1 2, tehát az ugrásválasz v x (t) = v x,tr (t) + v x,st (t) = 1 2 ε(t)(1 e 2t ), melynek általánosított deriváltja a w x (t) impulzusválasz w x (t) = ε(t)e 2t. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 134 / 141

140 Az állapotváltozós rendszerleírás Az állapotváltozós leírás megoldása Az állaptváltozós leírás megoldása (folyt.) Bevezető példa (folyt.) A w x (t) impulzusválasz ismeretében az x st (t) konvolúcióval számítható x st (t) = t w x (t τ)s(τ)dτ = t 0 0 e 2(t τ) 4dτ = 2 2e 2t, Az x(t) = x tr (t) + x st (t) jel pedig ennek alapján x(t) = x tr (t) + x st (t) = 5e 2t + 2 2e 2t = 3e 2t + 2, ami megegyezik az előző módszer alapján számolt x(t)-vel.? Miért jobb ez a módszer? (sokkal bonyolultabb) Nem kell a próbafüggvénnyel törődni általánosabb megoldási módszer, nehézség nélkül implementálható numerikus algoritmus formájában. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 135 / 141

141 Az állapotváltozós rendszerleírás SISO rendszer megoldása Az állapotváltozós leírás megoldása (folyt.) SISO rendszer megoldása A megoldandó egyenletrendszer az alábbi x (t) = Ax(t) + bs(t), A megoldást x(t) = x tr (t) + x st (t) alakban keressük. Az x tr (t) tranziens összetevő a kezdeti feltételek érvényesítésével x tr (t) = e At x( 0). Határozzuk meg az x(t) állapotvektor w x impulzusválaszát ahonnan w x(t) = Aw x (t) + bδ(t), könnyen megoldható v x (t)-re. v x(t) = Av x (t) + bε(t), Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 136 / 141

142 Az állapotváltozós rendszerleírás SISO rendszer megoldása SISO rendszer megoldása (folyt.) A v x (t) = v x,tr (t) + v x,st (t) megoldásból v x,tr (t) = eat n, v x,st (t) pedig ahonnan tehát v x,st k megoldás (t) = k 0 = Ak + b, k = A 1 b, v x (t) = v x,tr (t) + v x,st (t) = e At n A 1 b. Az n konstansvektor meghatározható a v x (+0) = 0 kezdeti feltételből, innen az ugrásválasz 0 = n A 1 b, n = A 1 b, melyből v x(t) = w x (t) megadható. v x (t) = ε(t) ( e At A 1 b A 1 b ), Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 137 / 141

143 Az állapotváltozós rendszerleírás SISO rendszer megoldása SISO rendszer megoldása (folyt.) A v x (t) = ε(t)( e At A 1 b A 1 b ) ugrásválasz általánosított deriváltja w x (t) = ε(t) ( Ae At A 1 b ) = AeAt =e At A = ε(t) ( e At AA 1 b ) = ε(t)e At b. Most megadható x st (t) konvolúcióval x st (t) = t 0 ahonnan az x(t) állapotvektor w x (t τ)s(τ)dτ = t 0 e A(t τ) bs(τ)dτ, t x(t) = x tr (t) + x st (t) = e At x( 0) + e A(t τ) bs(τ)dτ. 0 Ennek alapján az y(t) = c T x(t) + Ds(t) válaszjel számítható. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 138 / 141

144 Az állapotváltozós rendszerleírás SISO rendszer megoldása (folyt.) SISO rendszer megoldása Az y(t) válaszjel tehát y(t) = c T x(t) + Ds(t) = c T (x tr (t) + x st (t)) + Ds(t) = c T e At x( 0) + c T t 0 e A(t τ) bs(τ)dτ + Ds(t). Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 139 / 141

145 Az állapotváltozós rendszerleírás SISO rendszer megoldása Az állaptváltozós leírás megoldása (folyt.) Összefoglalva a megoldás formulája SISO esetben: t x(t) = e At x( 0) + e A(t τ) bs(τ)dτ 0 y(t) = c T e At x( 0) + c T t 0 e A(t τ) bs(τ)dτ + Ds(t). MIMO esetben: t x(t) = e At x( 0) + e A(t τ) Bs(τ)dτ 0 y(t) = Ce At x( 0) + C t 0 e A(t τ) Bs(τ)dτ + Ds(t). Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 140 / 141

146 Összefoglalás 9 Összefoglalás Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek előadás 141 / 141