Jelek és rendszerek MEMO_03. Pletl. Belépő jelek. Jelek deriváltja MEMO_03

Átírás

1 Jelek és rendszerek MEMO_03 Belépő jelek Jelek deriváltja MEMO_03 1

2 Jelek és rendszerek MEMO_03 8.ábra. MEMO_03 2

3 Jelek és rendszerek MEMO_03 9.ábra. MEMO_03 3

4 Ha a jelet méréssel kapjuk, akkor a jel következő értéke még ismeretlen számunkra, így annak deriváltja csak a jel előző pillanatban vett értékéből számítható. Szigorúan nézve a diszkrét jelek esetében nem beszélhetünk deriváltról, hiszen a differencálhatóság feltétele(folytonosság) nincs kielégítve. Ha figyelembe vesszük az első derivált jelentését, miszerint az a függvény meredekségét takarja, akkor könnyen belátható, hogy diszkrét esetben a meredekség közelíthető az első rendű különbségekkel. Visszatekintő differenciál Előretekintő differenciál MEMO_03 4

5 Előretekintő első rendű különbség: = x[ n + 1 ] x[ n] Visszatekintő első rendű különbség: A gyakorlatban a visszatekintő különbséget használjuk. x f Jelek integrálja Általános definíció folytonosidejű jelek esetén: Amennyiben ideig elmondható, hogy akkor Fizikai rendszerekből nyert jelek esetén mindig található egy időpont mielőtt a jel értéke nullának vehető. Diszkrét jelet leíró függvény alatti területről nem beszélhetünk. Mégis létezik az integrálnak megfelelő operátor a diszkrét jelek esetében is. Az integrál ugyanis a differenciál inverzeként tekinthető diszkrét esetben is. Így: Amennyiben feltételezzük, hogy mintáig a jel értéke nulla, akkor az előretekintő és visszatekintő deriváltnak megfelelő integrálok a következők: Tehát diszkrét esetben az integrál megfelelője a gyűjtő összeg. Véges tulajdonságú jelek: MEMO_03 5

6 Teljesítmény 1 ellenálláson: A teljes disszipált energia egy időintervallumon: Az egy időintervallum alatt átlagosan disszipált energia: Az ellenálláson tapasztalhatók analógiájára felírhatjuk a fenti összefüggéseket egy adott jelre is. Tegyük fel, hogy a jel 1 ohm ellenálláson keresztül folyó áram vagy a rajta ható feszültség, akkor: A teljes disszipált energia egy időintervallumon: Az egy időintervallum alatt átlagosan disszipált energia: átlagteljesítmény. Az aperiodikus FI jel esetében fontos jellemző annak teljes energiája:, vagyis az Az aperiodikus FI jel fontos jellemzője a teljes átlagteljesítmény: Diszkrét esetben egy intervallum feletti teljes energia és az átlagteljesítmény a következőképp alakul: MEMO_03 6

7 Jelek és rendszerek MEMO_03 ahol egy intervallumon található pontok száma. Amennyiben, akkor és. Periodikus jel esetén legtöbbször csak az átlagteljesítményt vizsgáljuk: Azon jeleket, melyeknek véges az energiája véges energiájú jeleknek nevezzük. A folytonos és a diszkrét jelekre is érvényes, hogy az véges energiájú, amennyiben Azon jeleket, melyeknek véges a teljesítménye véges teljesítményű jeleknek nevezzük. Fontos megjegyezni, hogy a valós jelek sohasem tartanak végtelen ideig, ezért azoknak sose nincs végtelen energiája. Más szóval minden valós jel valamikor, nem végtelen távol keletkezik és véges idő múlva megszűnik. A vizsgáló jelek (pl. sin) némelyike csak a matematikai közelítésnek köszönhetik végtelen energiájukat, amit a fizikai megvalósítás oldaláról is tárgyalni kell. A jelek elemzése céljából alkalmazzuk a matematikai modelleket, módszereket, melyek gyakran ideális jeleket használnak fel. A véges idejű jelek nulla értékűek egy intervallumon kívül. Ablakozott jelek MEMO_03 7

8 A konvolúció A konvolúció két jel felett értelmezett művelet, melynek eredménye egy harmadik jel. A konvolúció a jelfeldolgozás és a rendszertechnika területének nagyon fontos művelete. Folytonosidejű esetben: A konvolúció négy lépésre bontható: - reflexió, függvény képzése, - eltolása a t-vel, - az eltolt függvény szorzata -val, - a szorzatfüggvény alatt levő terület a konvolúciófüggvény értéke t- időben. A konvolúció kommutatív. Egyszerű helyettesítéssel : példa: MEMO_03 8

9 Jelek és rendszerek MEMO_03 Grafikus megoldás: A konvolúció grafikus ábrázolása Analitikus megoldás: MEMO_03 9

10 Diszkrétidejű jelek esetén: Amit konvolúciós összegnek is nevezünk. Itt is érvényes a kommutativitás: Polinomszorzás: MEMO_03 10

11 Tehát amennyiben a polinomok egyes helyértékeken található együtthatóit egy diszkrét jel értékeinek tekintjük, akkor a polinomok szorzása valójában azok konvolúciója. A konvolúció tulajdonságai Periodikusság Periodikus jel konvolúciója is periodikus ugyanazzal a periódusidővel. Bizonyítás: Reflexió Bizonyítás: MEMO_03 11

12 Időbeni eltolás Bizonyítás: Konvolúció Dirac-impulzussal Vagyis Kommutativitás, asszociativitás és disztributivitás MEMO_03 12