I. A DIGITÁLIS ÁRAMKÖRÖK ELMÉLETI ALAPJAI

Átírás

1 I. A DIGITÁLIS ÁRAMKÖRÖK ELMÉLETI ALAPJAI 1

2 A digitális áramkörökre is érvényesek a villamosságtanból ismert Ohm törvény és a Kirchhoff törvények, de az elemzés és a tervezés rendszerint nem ezekre épül. Köszönhető ez annak, hogy a digitális áramkörökben csak bizonyos diszkrét áram- és feszültségértékeket veszünk figyelembe, azt is csak bizonyos időpontokban, az analízis és a szintézis nagymértékben leegyszerűsíthető. Ez az egyszerűsített analízis a matematikai logikára, vagy, más néven, a Boole algebrára épül. 2

3 I.1. AZ ANALÓG ÉS A DIGITÁLIS JELEK ÉS RENDSZEREK ÖSSZEHASONLÍTÁSA Az analóg áramkörök segítségével olyan jeleket dolgozunk fel, amelyek folytonosak időben és érték szempontjából: egy áram- vagy feszültségtartományon belül minden értéket felvehetnek, ugyanakkor az adott időszakasz minden pontjában definiált az érték. Az analóg jelfeldolgozás során a jel továbbra is analóg jellegű marad. A XX. század első felében az elektronika szinte kizárólag analóg jelfeldolgozással foglalkozott a híradástechnika volt a húzó ágazat. 3

4 A digitális áramkörök is ugyanazokból az alkatrészekből épülnek fel, mint az analóg áramkörök, így szigorú értelemben véve itt is folytonos jeleket dolgozunk fel. A digitális leírási mód egy közelítés, egy absztrakció, olyan esetekre, amikor az elvégzendő feladat szempontjából elegendő, ha a jelnek csak két értéke lehet, a két érték közötti átmenettel nem kell foglalkozni. A digitális áramköröket úgy szerkesztik meg, hogy a megfelelő pontokban kialakuló áramok vagy feszültségek két jellemző érték körül összpontosuljanak, a közöttük jelentkező átmenetek pedig minél gyorsabban játszódjanak le. A két értéket nevezhetjük 0-nak és 1-nek, alacsonynak és magasnak, igaznak és hamisnak. 4

5 A digitális rendszerek előnyei: Megismételhető eredményeket ad: ugyanazokra a bemeneti értékekre a digitális áramkör ugyanazokat a válaszokat adja, míg az analóg áramkörökre jellemző a hőmérsékletfüggés, tápfüggés, öregedés stb. Egyszerű a tervezés: nincs szükség bonyolult matematikai apparátusra (pl. differenciálegyenletek megoldására) az áramkör elemzéséhez. Természetesen, az egyszerűség viszonylagos, mert összetett digitális rendszerek tervezése nagyon komoly feladat. 5

6 Sok digitális rendszer programozható. Ezeknél a hardver újratervezése nélkül meg tudunk oldani különböző feladatokat, ill. ugyanazt a feladatot különböző algoritmusok szerint végeztethetjük a hardver átalakítása nélkül. Nagy sebességeket tudunk elérni, mivel a korszerű digitális kapcsolótranzisztorok nagyon gyorsak, a belőlük épített összetett áramkörök 10 9 műveletet is el tudnak végezni egy másodperc alatt. 6

7 A digitális megoldások gazdaságosak, kis félvezető felületen nagyon összetett áramkör megvalósítható, alacsony áron. Folyamatos a fejlődés ezen a területen, remélni lehet, hogy a közeljövőben még jobb, olcsóbb, gyorsabb eszközök fognak rendelkezésre állni. 7

8 I.2. A MATEMATIKAI LOGIKA ÉS A BOOLE ALGEBRA A digitális berendezések algoritmusokat hajtanak végre: véges számú lépéssel megoldanak bizonyos feladatot. Az egyes lépések a matematikai logika eszközeivel írhatók le. A matematikai logika a XIX. század közepén kidolgozott Boole algebra továbbfejlesztése és alkalmazása a kapcsolókból felépített áramkörökre. 8

9 A MATEMATIKAI LOGIKA FÜGGVÉNYEI A matematikai logika nem aritmetikai (számítási) műveletekkel foglalkozik, hanem logikai műveletekkel. Ha a digitális berendezés végeredményben számítási feladatokat kell, hogy végezzen, azt is logikai műveletekre vezeti vissza. 9

10 A logikai műveleteket kétértékű, azaz logikai változókon hajtják végre és a művelet eredménye is csak a két érték egyike lehet. A logikai változókat a tankönyvekben az ábécé nagy betűivel jelölik, az ipari tervezéseknél rendszerint szükséges több karakterből álló elnevezés, amelynek az ember számára is van valami értelme. A matematikai logika három alapműveletre lett kidolgozva: ezek az ÉS, a VAGY és a NEM műveletek. Ezek alapján definiáljuk a későbbiekben a további műveleteket, a különböző logikai függvényeket. 10

11 Az ÉS művelet vagy logikai szorzat alapértelmezésben két bemeneti változóra vonatkozik. Értéke csak akkor logikai egyes, ha mindkét változó egyes értékű. A B Y=A B

12 A VAGY művelet vagy logikai összeg is alapértelmezésben két bemeneti változóra vonatkozik. Értéke csak akkor nulla, ha mindkét bemeneti változó értéke nulla. A B Y=A+B

13 A NEM művelet egy bemeneti változóra vonatkozik. A művelet eredményeként mindig a bemeneti logikai érték ellentettjét kapjuk. A NEM műveletet felülvonással jelöljük: A

14 Kissé összetettebb logikai algebrai kifejezésre vegyük a következő iskolapéldát : Az A változó akkor igaz, ha a hallgató szorgalmasan készül a vizsgára, a B változó akkor, ha a tanár könnyű feladatokat ad, a C akkor, ha a hallgató megjelenik a vizsgán. A megadott algebrai kifejezéssel minden egyes esetre kiértékelhető, hogy a hallgató le fog-e vizsgázni, mely esetekben lesz az Y kimeneti változó értéke logikai egyes. Y = ( A + B) C 14

15 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPTÖRVÉNYEI A matematikai logika mint a matematika más ágai is, axiómákra épül. Ezeket bizonyítás nélkül fogadjuk el. Az axiómák felhasználásával bizonyíthatók a matematikai logika összes törvénye és tételei. 15

16 Öt axióma-pár van, ezek a következők: 1. ha A = 0 akkor A 1, ha A = 1 akkor A 2. ha A = 0 akkor A = 1, ha A = 1 akkor A = = 0, = = 1, 1+ 1 = = 1 0 = 0, = 1+ 0 = 1 16

17 Az axiómák segítségével bizonyíthatók a következő egyváltozós tételek: 17

18 Két vagy három változóra vonatkozó tételeket tartalmaz a következő táblázat: 18