25/1. Stacionárius és tranziens megoldás. Kezdeti és végérték tétel.

Átírás

1 25/1. Stacionárius és tranziens megoldás. Kezdeti és végérték tétel. A gerjesztı jelek hálózatba történı be- vagy kikapcsolása után átmeneti (tranziens) jelenség játszódik le. Az állandósult (stacionárius) állapot, csak a tranziens jelenség lezajlása után következik be. Bekapcsolási jelenségrıl beszélünk, ha a gerjesztı jelnek a hálózatra történı kapcsolása elıtt a hálózat energiamentes volt. Ha a hálózat energiatároló elemei a kapcsolást megelızı pillanatban nem energiamentesek, akkor átkapcsolási vagy kikapcsolási jelenségrıl beszélünk. Kikapcsolásnál a kapcsolást követıen fellépı áramok és feszültségek a hálózat energiatároló elemeiben felhalmozott energia hatására jönnek létre. Ha a hálózat ellenállást vagy veszteséges energiatárolót tartalmaz, akkor a kikapcsolás utáni stacionárius állapotban a hálózat valamennyi árama és feszültsége zérus. Ha a feszültség és áramforrásokból, ellenállásokból, induktivitásokból és kondenzátorokból álló hálózat analíziséhez a szükséges összefüggéseket, vagyis a lineárisan független Kirchhoff-egyenleteket és az egyes ágak árama és feszültsége közötti kapcsolatokat felírjuk, akkor integro-differenciál egyenletrendszert kapunk. Ennek megoldása többféle módon történhet. Az egyik módszer során a keresett áramok és feszültségek idıfüggvényit közvetlenül az idıtartományban való számításokból kapjuk. Más módszereknél olyan integráltranszformációt alkalmazunk, amellyel a t idı függvényében felírt egyenleteket másik változó tartományába transzformáljuk, ezzel az idıtartománybeli integro-differenciál egyenletek algebrai egyenletekbe mennek át. Az idıtartományban végzett számítások egyik módszere az ún. klasszikus módszer. Ennek során az integro-differenciál egyenletrendszert differenciál egyenletrendszerré alakítjuk. A differenciál egyenletek egyik változatát állapotegyenletnek nevezik. Ennél a módszernél elsırendő differenciálegyenletek rendszerét írjuk fel és oldjuk meg. Az integráltranszformációk közül leginkább a aplace-transzformáció alkalmazása szokásos. A felsorolt módszerek bármelyikének alkalmazásához szükséges a kezdeti feltételek ismerete. A kezdeti feltételek meghatározása. A vizsgált hálózat egyes áramainak, feszültségeinek idıfüggvényét egy bizonyos idıponttól számítva kívánjuk ismerni. Ezt az idıpontot célszerő t -nak választani. A hálózatban történı be-, át- vagy kikapcsolás esetén a kapcsolás pillanatát választjuk t -nak. A hálózatra vonatkozó egyenletrendszer megoldásához általában a kapcsolás utáni, t + pillanatban felvett kezdeti érétkek ismerete szükséges. endszerint azonban a hálózatnak a kapcsolás elıtti állapota, vagyis az áramok, feszültségek t - pillanatra vonatkozó értéke ismert. A következıkben megvizsgáljuk, hogy egy hálózati elem t - pillanatbeli áramának, feszültségének értéke alapján milyen következtetés vonható le az illetı áram, feszültség idıfüggvényének a t pillanatbeli jobb oldali határértékére, vagyis a kapcsolást követı pillanatban felvett értékére.

2 25/2. Az ellenállás i ( t ) árama és u t feszültsége arányos egymással. (1.ábra) 1. ábra 1 u t i t i t u t Ha az ellenállás áramának, ill. feszültségének idıbeli változása nem folytonos, akkor feszültségének, ill. áramának idıfüggvénye sem folytonos. u t + ugyanolyan arányban van egymással, mint az Az i ( t + ) és az i ( t ) és az u ( t ). A kondenzátor C u t feszültsége és i C t árama között az du 1 t t C C C C C τ τ + dt u t i d i t C egyenletek írják le a kapcsolatot. (1.ábra) A kondenzátor feszültsége nem változhat ugrásszerően. Ha t pillanatban u történik a kapcsolás, a kapcsolás elıtt ( t - ) pillanatban C a kondenzátor feszültsége. A kapcsolást követı ( t + ) pillanatra a (25.2.)-ben u u, szereplı integrál értéke nulla, így C ( + ). Ha C akkor ennek megfelelıen u +, vagyis a kondenzátor bekapcsolási jelenségnél a bekapcsolás pillanatában rövidzárként viselkedik. Az induktivitás (1.ábra) árama és feszültsége között di 1 t u t it u τ dτ + I dt C az összefüggés. Ha a kapcsolás a t pillanatban történik, akkor a kapcsolás elıtti, t - idıpontban i I és i + I vagyis az induktivitás árama nem változik ugrásszerően. Ha megfelelıen i, akkor ennek i +. Ez azt jelenti, hogy bekapcsolási jelenségnél az induktivitás a bekapcsolás pillanatában szakadásként viselkedik. ácz Tibor, Hegedős Tamás, Taraczközi Gusztáv

3 25/3. Klasszikus módszer A Kirchhoff-egyenletek integro-differenciál egyenletrendszert jelentenek, ha a hálózatban van kondenzátor és ennek feszültségét az áramával fejezzük ki, vagy ha a hálózatban van induktivitás, amelynek az áramát a feszültségével fejezzük ki. Ha azokat az egyenleteket, amelyekben integrál szerepel, az idı szerint differenciáljuk, akkor az integrálok eltőnnek és differenciál egyenletrendszert kapunk. A klasszikus módszer azt jelenti, hogy az így nyert differenciál egyenletrendszer egyenleteibıl egy-egy ismeretlent kifejezünk és ezeket a többi egyenletbe helyettesítve egyetlen ismeretlent hagyunk meg. Vizsgáljuk a soros - kört a 2.ábra szerinti kapcsolásban. 2. ábra A gerjesztést jelentı egyenfeszültségő forrást a t pillanatban a kapcsoló I állásba helyezésével kapcsoljuk a körre, majd a t T pillanatban a kapcsoló II állásba helyezésével, az áram megszakítása nélkül lekapcsoljuk. A t - pillanatban (az elsı kapcsolás elıtt) az induktivitás energiamentes, azaz i ( ). Mivel ez az áram nem változhat ugrásszerően, így i ( + ). Az i( t ) áram meghatározásához a Kirchhoff-hurokegyenletet írjuk fel: di i + < t < T dt Ez állandó együtthatójú (lineáris), inhomogén elsırendő differenciálegyenlet. dih A megfelelı homogén egyenlet: ih + dt Ennek általános megoldása: ih I e ahol I ismeretlen állandó. Az inhomogén egyenlet egyik megoldását minthogy az egyenlet inhomogenitását jelentı tag, idıben állandó I 1 állandó alakjában keressük. Az inhomogén egyenletbıl I1 vagyis I1 t ácz Tibor, Hegedős Tamás, Taraczközi Gusztáv

4 25/4. Az inhomogén egyenlet általános megoldása ennek és a homogén egyenlet t megoldásának összege: i ( t) + Ie I értéke a kezdeti feltételbıl határozható meg: vagyis ezzel i + + I I t i ( t) 1+ e t T (*) a kezdeti feltételnek eleget tevı megoldás. A megoldás két részbıl áll: az egyik a gerjesztı jelhez hasonlóan idıben állandó, a másik abszolút értéke az idı függvényében exponenciálisan csökken. (3.ábra) 3. ábra Az elıbbi a megoldás állandósult (stacionárius) része. Ez az egyenáramú megoldást jelenti, az induktivitás ekkor ugyanis rövidzárat jelent. Az exponenciálisan változó tag a homogén egyenlet megoldása, a megoldás átmeneti (tranziens) része. A tranziens rész kitevıjében szereplı τ mennyiség a kör idıállandója. Az idıállandó adja meg, hogyan tart a tranziens rész a zérushoz. A tranziens rész t + esetén zérushoz tart. A kapcsolás után 5τ idıvel a tranziens rész rendszerint elhanyagolható a t pillanatban fellépı értékéhez képest. ácz Tibor, Hegedős Tamás, Taraczközi Gusztáv

5 25/5. Az idıállandó kizárólag a hálózat passzív elemeitıl függ, a gerjesztı jeltıl független. A soros - kör áramának i t ismeretében felírható az ellenállás. t u ( t) i ( t) 1+ e t T és az induktivitás di t u ( t) 1 e dt u t + u t Kirchhoff-egyenlet minden pillanatban átható, hogy az teljesül. Ezután nézzük meg hogyan változik a kör árama a kapcsoló II állásba helyezése után, vagyis a t > T idıtartományban. A kapcsolás pillanatában az elızı megoldás (*) alapján: i ( T ) t i( T + ) 1 e (**) A t > T idıtartományra di i + t > T dt a Kirchhoff-egyenlet. Ennek a homogén differenciál egyenletnek 2 t i t I e I állandót az a megoldása, amelyben 2 i t T értékbıl határozhatjuk meg. Az (**) összefüggés felhasználásával: T T i ( T ) 1 e I2e Ebbıl T I2 e 1 és így ( t T ) t i ( t) e e t > T ( t T ) t u ( t ) e e t > T ( t T ) t u ( t) e e t > T ácz Tibor, Hegedős Tamás, Taraczközi Gusztáv

6 25/6. A kör áramának, az ellenállás és az induktivitás feszültségének idıbeli változását a 4.ábrán láthatjuk. 4. ábra átható, hogy i ( t ) és u ( t ) a kapcsolás t és t T pillanatában is folytonos, u ( t ) azonban t -ban ról -ra változik, t T -ben pedig a bal- és jobboldali határérték különbsége. A válasz jel meghatározása aplace-transzformációval. Egy energiamentes hálózatra a t pillanatban idıben periódikus (de nem szinuszos) gerjesztı jelet kapcsolunk. A gerjesztı jelet ε ( t) u1 ( t) -vel jelöljük. aplace-transzformáltjának felírásához szükségünk van egy periódusának idıfüggvényére: u1 Tt u1 ( t) ε ( t) ε ( t T ) ahol T a gerjesztı jel periódusideje. 1 T ( s) u1 T 1 T ( s) 1 T ( s) st 1 e a gerjesztı jel aplace-transzformáltja. Keressük az 2 2 M ( s) felhasználásával kiszámítjuk az W ( s) Q( s) t válaszjelet. A válasz jel s aplace-transzformáltjának meghatározásához az operátoros impedanciák operátoros átviteli függvényt. A W(s) átviteli függvényben M(s) és Q(s) az s változó polinomja. Ezekkel s W s s 2 1 ácz Tibor, Hegedős Tamás, Taraczközi Gusztáv

7 25/7. A válasz jel stacionárius és tranziens részbıl áll. A stacionárius rész a gerjesztı 2t ( s) jelhez hasonlóan periodikus, vagyis aplace-tanszformáltja 2st ( s) st 1 e alakban írható, ahol 2T ( s ) még nem ismert. A tranziens rész idıbeli változása nem függ a gerjesztı jelétıl (ezt a hálózat passzív elemei határozzák meg). A tranziens rész aplace-transzformáltja valódi racionális törtfüggvény, melynek P ± nevezıje megegyezik az operátoros átviteli függvény nevezıjével: 2tr ( s) Q s és P(s) polinom, amely legalább 1-gyel alacsonyabb fokszámú, mint Q(s). Az eddigiek alapján a válaszjel aplace-transzformáltja: Ebbıl 2T 2 ( s) s kifjezve: 1T 2T + s M s s P s 1 e Q s 1 e Q s M s P s 2T ( s) 1 T ( s) 1 e Q s Q s Ebbıl inverz aplace-transzformációval: a válasz jel stacionárius része a tranziens rész pedig Ezzel a válasz jelet tehát alakban kaptuk. + ( ) u t u t it 2st 2T i k 1 Q ' ( k ) ( s ) n P s u2tr ( t) ε ( t) e + u t u t u t 2 2st 2tr k ( ) Kezdeti és végérték tétel A lineáris invariáns hálózatok keresett feszültségeinek és áramainak értékét a t pillanatra és t + esetére az átmeneti jelenség számítása nélkül meg tudjuk határozni. A aplace-transzformációval történı számítás ellenırzésére jó lehetıséget jelent a lim f t lim sf s t lim t + s lim sf ( s) f t s s t k összefüggés. ácz Tibor, Hegedős Tamás, Taraczközi Gusztáv

8 25/8. Ezeket kezdeti érték-tételnek és végérték-tételnek nevezik. Bizonyításuk bonyolult. Némi rátekintés: Induljunk ki az f ' t e dt sf s f összefüggésbıl. Ha s -hez, az f ' t függvények táp osztályain elegendı erısen tart nullához, hogy az egész bal oldalt nullává tegye. Így f lim sf s s vagy figyelembe véve, hogy f lim f ( t) t jutunk. Hasonlóan valószínősíthetjük a másik tételt is lim f ' t e dt lim sf s f, s s e, az elsı kezdeti érték-tételhez lim f ' t e dt f ' t dt lim f ' t dt lim f t f s t t t Segítségükkel meghatározhatók az f, illetve f ( ) értékek csupán az F ( s ) ismeretében, anélkül, hogy az f ( t ) -t ismernénk. ácz Tibor, Hegedős Tamás, Taraczközi Gusztáv