Elektrotechnika- Villamosságtan

Átírás

1 Elektrotechnika- Villamosságtan Általános áramú hálózatok 1 Magyar Attila Tömördi Katalin

2 Alaptörvények-áttekintés Alaptörvények Áram, feszültség, teljesítmény, potenciál Források Ellenállás Kondenzátor Tekercs Hálózati egyenletek Lineáris időinvariáns hálózatok 1. 2

3 Áram, feszültség, teljesítmény, potenciál Időben állandó mennyiségek nagybetűvel, időben változók pedig kisbetűvel (pillanatérték) jelölendők i = i(t) u = u(t) p = p(t) Φ=Φ(t) Önkényesen megválasztott referenciairány is tartozik a mennyiségekhez, pl az ábrán i(t) > 0; ha t < t1 i(t) < 0; ha t > t1 Amikor i(t) > 0, az áram valódi iránya a referenciairánnyal egyező, ha pedig i(t) < 0, a valódi irány a referenciairánnyal ellentétes 1. 3

4 Kirchoff törvények Bármely csomópontra az I áramerősségek előjeles összege minden pillanatban nulla. n k = 1 I k () t Bármely hurok mentén a feszültségek előjeles összege nulla minden időpontban: n k = 1 U k () t Pillanatnyi teljesítmény: p(t) = u(t) i(t) A pillanatnyi teljesítmény pozitív, ha u és i referenciairánya egyező, negatív, ha ellentétes. = =

5 Pillanatnyi teljesítmény Míg az időben állandó teljesítmény pozitív, vagy negatív a teljes időtartományban, addig az időben változó teljesítmény bizonyos tartományokon lehet pozitív, másutt pedig negatív. A kétpólus időnként teljesítményt ad le, máskor teljesítményt vesz fel I. időtartomány: t < t1 u > 0; i > 0; p = u i > 0 fogyasztó II. időtartomány: t1 < t < t2 u > 0; i < 0; p = u i < 0 termelő III. időtartomány: t2 < t u < 0; i < 0; p = u i > 0 fogyasztó 1. 5

6 Források Feszültségforrás: olyan kétpólus, amelynek feszültségét - az áramtól függetlenül - meghatározott időfüggvény írja le. A feszültségforrás feszültsége a forrásfeszültség: u(t) = u V (t). Áramát a hozzá csatlakozó kétpólus határozza meg. Áramforrás: olyan kétpólus, melynek áramát - a feszültségtől függetlenül - meghatározott időfüggvény írja le. Árama a forrásáram: i(t) = i A (t). Az áramforrás feszültségét a hozzá csatlakozó kétpólus határozza meg. Aktív kétpólus: forrást és belső ellenállást tartalmaz (feszültség és áramgenerátor) A generátor forrásfeszültsége, ill. forrásárama az üresjárási feszültség, ill. üresjárási áram 1. 6

7 Ellenállás A kétpólus ellenállás, ha bármely u(t) és i(t) időfüggvény esetén u(t) = f(i(t)); vagy i(t) = h(u(t)); minden t-re. Lineáris ellenállás esetén u(t) = R i(t), illetve i(t) = G u(t), ahol R, illetve G a rezisztív kétpólus rezisztanciája, illetve konduktanciája. Ha R = R(t), illetve G = G(t), akkor idővariáns az ellenállás, egyébként időinvariáns. Az ellenállás pillanatnyi teljesítménye: p = u i = i f (i) u h(u) Lineáris ellenállás esetén p = u i = R i 2 = Gu 2. Lineáris időfüggő ellenállás esetén p = u i = R(t) i 2 = G(t) u 2. Rezisztív hálózatok alapegyenletei: i k = 0 minden csomópontra, u k = 0 minden hurokra u k = f k (i k ); vagy i k = h k (u k ) minden ellenállásra 1. 7

8 Kondenzátor 1. 8

9 Kondenzátor karakterisztikája 1. 9

10 Kondenzátor feszültsége és árama 1. 10

11 Kondenzátor teljesítménye és energiája 1. 11

12 Kondenzátorok soros és párhuzamos kapcsolása 1. 12

13 Tekercs 1. 13

14 Tekercs karakterisztikája 1. 14

15 Tekercs feszültsége és árama 1. 15

16 Tekercs teljesítménye, energiája 1. 16

17 Tekercsek soros és párhuzamos kapcsolása 1. 17

18 Csatolt tekercsek Az egyik tekercs fluxusa a másik tekercs áramától is függ dφ1 U1 =, Φ1 = f1( i1 ) + f12( i2) dt Lineáris esetben : u1 i1 i2 u2 U U 1 2 di1 = L1 + M dt di1 = M + L dt 2 di2 dt di dt

19 Áttekintés Alaptörvények Hálózati egyenletek Kirchoff-törvények Az egyenletek teljes rendszere Kezdeti és kiindulási értékek A hálózat regularitása és rendszáma Az állapotváltozók Lineáris időinvariáns hálózatok 1. 19

20 Kirchoff-törvények 1. 20

21 Az egyenletek teljes rendszere 1. 21

22 Az egyenletek teljes rendszere 1. 22

23 Kezdeti és kiindulási értékek 1. 23

24 Kezdeti és kiindulási értékek 1. 24

25 Példa 1. 25

26 Példa 1. 26

27 A hálózat regularitása és rendszáma 1. 27

28 A hálózat regularitása és rendszáma 1. 28

29 Az állapotváltozók 1. 29

30 1. 30

31 1. 31

32 Állapottérmodell felírása 1. 32

33 Állapottérmodell felírása 1. 33

34 Állapottérmodell felírása 1. 34

35 Áttekintés Alaptörvények Hálózati egyenletek Lineáris időinvariáns hálózatok A hálózategyenletek megoldása A tranziens összetevő A stacionárius összetevő A teljes megoldás Néhány elsőrendű hálózat Néhány másodrendű hálózat 1. 35

36 A hálózategyenletek megoldása 1. 36

37 Lineáris állandó együtthatós differenciálegyenletrendszer megoldása 1. 37

38 A tranziens összetevő Elsőrendű hálózat 1. 38

39 A tranziens összetevő Elsőrendű hálózat 1. 39

40 A tranziens összetevő - Másodrendű hálózat 1. 40

41 A tranziens összetevő - Másodrendű hálózat 1. 41

42 A tranziens összetevő - Másodrendű hálózat 1. 42

43 A tranziens összetevő - Másodrendű hálózat 1. 43

44 A tranziens összetevő - Másodrendű hálózat 1. 44

45 A tranziens összetevő - Magasabbrendű hálózat 1. 45

46 A stacionárius összetevő 1. 46

47 A teljes megoldás 1. 47

48 Soros RL-kör 1. 48

49 Soros RL-kör 1. 49

50 Soros RL-kör 1. 50

51 Soros RC-kör 1. 51

52 Soros RC-kör, 0 < t τ 1. 52

53 Soros RC-kör, τ < t < 1. 53

54 Soros rezgőkör 1. 54

55 Soros rezgőkör 1. 55

56 Soros rezgőkör 1. 56

57 Soros rezgőkör 1. 57