Elektrotechnika- Villamosságtan

Átírás

1 Elektrotechnika- Villamosságtan 1.Előadás Egyenáramú hálózatok 1 Magyar Attila Tömördi Katalin

2 Villamos hálózat: villamos áramköri elemek tetszőleges kapcsolása. Reguláris hálózat: ha helyesen felírt hálózati egyenletekkel minden feszültség és áram meghatározható Egyenáramú hálózat: ha időben állandóak a feszültségek és az áramok 1. 2

3 Hálózatok osztályozása Pólusszám (2-, 3-, 4-,.. ellenállás, tranzisztor, csatolt tekercsek) Energiatermelés (aktív/passzív) Linearitás (lineáris/nem lineáris) Időbeli változás (variáns/invariáns) Áram szerint (állandó, váltakozó, szinuszos) Térbeli változás (koncentrált/elosztott paraméterű) 1. 3

4 Alaptörvények-áttekintés Alaptörvények Áramerősség Feszültség Potenciál A feszültség és az áram kapcsolata Ellenállás Források és generátorok Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása 1. 4

5 Elektromos áram - Elektromos áram: töltött részecskék mozgása. Áramirány: pozitív töltéshordozók iránya. Jele I. Ampermérő bekötése: [I]= amper = A 1. 5

6 Kirchoff I. csomóponti törvénye Bármely csomópontra az I áramerősségek előjeles összege nulla. k = 1 Általában a csomópontba befolyó a negatív, a kifolyó a pozitív áramirány. Ha nem ismerjük az áram irányát, akkor önkényes referencia irányokat veszünk fel, és ezekre írjuk fel a törvényeket Csomóponti törvény : Töltésmegmaradás elve: a csomópontot körülvevő zárt felület belsejében levő töltések száma állandó. n I k =

7 Kirchoff csomóponti törvénye Ismeretlen áramirányoknál referencia áramiránnyal dolgozunk: 1. 7

8 Feszültség Töltésáramlás energiaviszonyait fejezi ki, jele U. Iránya a pozitív pólusból a negatív felé mutat. Mérése voltmérővel történik. 1. 8

9 Kirchoff II. huroktörvénye Bármely hurok (irányított zárt görbe) mentén az U k feszültségek előjeles összege nulla. Az ellenkező irányúakat negatív előjellel kell figyelembe venni. n k = 1 U k =

10 Teljesítmény Teljesítmény jele P, [P]=watt =W, P =UI Mérése wattmérővel történik 1. 10

11 Potenciál 4 csomópont, köztük 6 feszültség mérhető. Helyette megadható 3 csomópont feszültsége (potenciálja) egy alapponthoz viszonyítva: 1. 11

12 Huroktörvény a kijelölt hurokra: U A0 U B0 U AB = 0 Φ A Φ B =U AB Két pont potenciáljának különbsége a két pont közt eső feszültség

13 A feszültség és az áram kapcsolata A kétpólusra szabályozható feszültségforrást kapcsolva, és mérve a feszültséget, megkaphatjuk a kétpólus feszültség-áram U=f(I), illetve áram feszültség I=g(U) karakterisztikáját

14 Kétpólus karakterisztikák 1. 14

15 Teljesítmény A P = UI teljesítmény lehet pozitív, vagy negatív. Ennek alapján a kétpólus lehet passzív, vagy aktív. passzív: csak (villamos) teljesítmény felvételére képes aktív: csak teljesítmény leadására képes Fogyasztó: teljesítményt vesz fel Termelő: teljesítményt ad le Passzív kétpólus csak fogyasztó lehet, aktív kétpólus fogyasztó és termelő is lehet

16 Ellenállás Az ellenállás passzív kétpólus. Az ellenállás, mint fizikiai mennyiség: rezisztencia Ha a karakterisztikája lineáris, akkor lineáris az ellenállás

17 Ellenállás Ha a karakterisztikája nem lineáris, akkor nemlineáris az ellenállás

18 Ohm törvény Lineáris ellenálláson eső feszültség egyenesen arányos a rajta átfolyó áram erősségével: U=RI, I=GU G=1/R vezetés, vagy konduktancia. Mértékegységeik: [R]= V/A =ohm =Ω [G]= A/V =siemens =S =1/Ω 1. 18

19 Lineáris ellenállás teljesítménye: Az ellenállás teljesítménye mindig pozitív, azaz mindig fogyasztó

20 Források és generátorok A források és generátorok aktív kétpólusok. A feszültségforrás U V forrásfeszültsége állandó, azaz U U V

21 Források és generátorok Az áramforrás I A forrásárama állandó, azaz I I A. A teljesítmény pozitív is lehet, ha a terhelő kétpólus aktív

22 Generátorok A valódi aktív kétpólust generátornak hívjuk: A karakterisztika helyettesíthető feszültség- és áramgenerátorral is

23 Generátoros helyettesítések A feszültséggenerátor üresjárási feszültsége az U V forrásfeszültség, az áramgenerátor rövidzárási árama az I A forrásáram. A kettő hányadosa a generátor R b belső ellenállása: 1. 23

24 Feszültséggenerátor hatásfoka Az R ellenállással lezárt feszültséggenerátor kapocsteljesítménye az R b -n hővé alakuló teljesítménnyel kisebb a forrás teljesítményénél: P = U I = ( U I R ) I = U I I R 2 v b v b P= R I b b 2 P = R I η 2 P P P P+ P hasznos = = teljes b 1. 24

25 Az R terhelő ellenállás által felvett teljesítmény: R ( ) P 2 2 = R I = U v R + R b

26 Teljesítmény illesztés Keressük meg azt az R terhelést, amely mellett a terhelés által kivett teljesítmény maximális! P = R I 2 = = R ( ) 2 Uv R + R b

27 Teljesítmény illesztés Keressünk szélsőértéket: dp dr = U = 0 = 2 v 2 ( b) 2 ( b) 4 ( R+ Rb ) R+ R = 2 R esetén lesz 0, vagyis R=R b, f ( x) f '( x) g( x) f( x) g'( x) = 2 gx ( ) g( x) R+ R R R+ R Így a maximális teljesítmény: R ( ) P 2 = U v R + R b b 2 P R I U R U R R R b v max = b = v = 2 ( b + b) 4 b 1. 27

28 1. 28

29 Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása-áttekintés Alaptörvények Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása Lineáris hálózat Szuperpozíció elve Ellenállások soros és párhuzamos kapcsolása Ellenállások csillagháromszög átalakítása Wheatstonehíd A helyettesítő generátorok tétele Millmann tétele 1. 29

30 Lineáris hálózat - kétpólus Egy hálózat lineáris, ha felépíthető lineáris kétpólusokból. Kevés elem esetén elemi módszerekkel számítható. Lineáris kétpólus matematikai alakja: U = RI + U 0 lineáris feszültséggenerátor I = GU + I 0 lineáris áramgenerátor Lineáris inhomogén karakterisztika Ha U 0 =0 illetve I 0 =0, akkor homogén lineáris ellenállás karakterisztika Ha R=0, feszültség, ill. áram forrás karakterisztika Egyenáramú időtől független (U V, I A, R) 1. 30

31 Feladat Lineáris egyenáramú hálózatok számításának alapfeladata: Adott a hálózat struktúrája, az ellenállások rezisztenciája, a források forrásfeszültsége, és forrásárama; határozzuk meg a hálózatot alkotó elemek ismeretlen feszültségeit és áramait

32 Szuperpozíció elve Lineáris hálózat esetén az x bemenet és az y kimenet között lineáris kapcsolat áll fenn: y = L{x}, ahol L{c 1 x 1 + c 2 x 2 } = c 1 L{x 1 } + c 2 L{x 2 }, c 1,2 : R Összegtartás: szuperpozíció elve Aránytartás: a kimenet a bemenet változásával arányosan változik Lineáris hálózat esetén a különböző források egymástól függetlenül hozzák létre feszültségeiket és áramaikat, ezek a hálózati elemeken összegződnek, szuperponálódnak. Az egyes források hatása úgy is vizsgálható, hogy a többi forrást dezaktivizáljuk, azaz a feszültségforrásokat rövidzárral (U V = 0), az áramforrásokat pedig szakadással (I A =0) helyettesítjük 1. 32

33 A szuperpozíció elve csak lineáris hálózatokra érvényes! 1. 33

34 Ellenállások soros kapcsolása Sorba kapcsolt ellenállások árama közös, feszültségeik összegződnek Az eredő kétpólus is ellenállás: 1. 34

35 Ellenállások soros kapcsolása Az ellenállásokon eső feszültségek arányosak az ellenállások rezisztenciájával: 1. 35

36 Rezisztív feszültségosztó Két sorba kapcsolt ellenállás rezisztív feszültségosztót alkot: 1. 36

37 Ellenállások párhuzamos kapcsolása Párhuzamosan kapcsolt ellenállások feszültsége közös, áramaik összegződnek 1. 37

38 Ellenállások párhuzamos kapcsolása Az ellenállásokon átfolyó áramok fordítottan arányosak az ellenállások rezisztenciájával: 1. 38

39 Rezisztív áramosztó Két párhuzamosan kapcsolt ellenállás rezisztív áramosztót alkot. A leosztott áramok: Szimmetria: A sorba kapcsolt konduktanciákra vonatkozó összefüggések ugyanolyan alakúak, mint a párhuzamosan kapcsolt rezisztanciákra vonatkozók, és fordítva 1. 39

40 R1 és R2 párhuzamos eredője R1 R2 (replusz) 1. 40

41 Ellenállások csillag-háromszög átalakítása A csillagkapcsolás és a háromszögkapcsolás rezisztenciái mindig megválaszthatók úgy, hogy a hálózat többi részében a feszültségek és áramok nem változnak meg: a két kapcsolás ekvivalens 1. 41

42 Háromszög csillag Az ekvivalencia feltétele, hogy bármely két kapocsra nézve az eredő rezisztencia a két kapcsolásnál megegyezzen, ha a harmadik kapocs árammentes

43 Csillag háromszög Ötlet: páronként zárjuk rövidre a kapcsokat, és határozzuk meg az így kapott kétpólus konduktanciáját. Például 2 és 3 rövidre zárva, és határozzuk meg 1 és 2 közötti konduktanciát! 1. 43

44 Csillag háromszög 1. 44

45 Csillag háromszög Áttérve rezisztenciákra: 1. 45

46 Wheatstone híd Feladat: határozzuk meg az I áramot! Ötlet: alakítsuk át az ABC háromszöget csillaggá! 1. 46

47 Wheatstone híd 1. 47

48 Wheatstone híd 1. 48

49 A helyettesítő generátorok tétele Tétel: Bármely lineáris kétpólus helyettesíthető egy feszültséggenerátorral (Thévenin ekvivalens), vagy egy áramgenerátorral (Norton ekvivalens)

50 A helyettesítő generátorok tétele A tétel a kétpólus linearitásának következménye. U és I kapcsolata: A helyettesítő generátor forrásfeszültsége a kétpólus üresjárási feszültsége (I = 0), forrásárama pedig a kétpólus rövidzárási árama (U = 0). Az üresjárási feszültség és a rövidzárási áram hányadosa az R b belső ellenállás, amely úgy is meghatározható, hogy dezaktivizáljuk a forrásokat, és meghatározzuk a kétpólus bemeneti ellenállását

51 Sorba kapcsolt feszültséggenerátorok A forrásfeszültségek összeadódnak, az eredő belső ellenállás pedig a belső ellenállások soros eredője: Általánosítva: 1. 51

52 Párhuzamosan kapcsolt áramgenerátorok A forrásáramok összeadódnak, az eredő belső konduktancia pedig a belső konduktanciák párhuzamos eredője

53 Párhuzamosan kapcsolt feszültséggenerátorok Párhuzamosan kapcsolt feszültséggenerátorokat helyettesíthetjük Norton ekvivalensükkel

54 Sorba kapcsolt áramgenerátorok A sorba kapcsolt áramgenerátorokat helyettesíthetjük Thévenin ekvivalensükkel

55 Millmann tétele, vagy csillagpont eltolódás tétele Határozzuk meg az alábbi kapcsolásban az R1, R2, R3, és R0 ellenállások feszültségeit és áramait! 1. 55