Elektromosságtan. II. Általános áramú hálózatok. Magyar Attila
|
|
- Gusztáv Faragó
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Elektromosságtan II. Általános áramú hálózatok Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatika Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék március 22.
2 Áttekintés Alaptörvények 1 Alaptörvények Áram, feszültség, teljesítmény, potenciál Források Ellenállás Kondenzátor Tekercs 2 Hálózati egyenletek 3 Lineáris időinvariáns hálózatok Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 2 / 59
3 Alaptörvények Áram, feszültség, teljesítmény, potenciál Áram, feszültség, teljesítmény, potenciál Időben állandó mennyiségek nagybetűvel, időben változók pedig kisbetűvel (pillanatérték) i = i(t) u = u(t) p = p(t) φ = φ(t) Önkényesen megválasztott referenciairány is tartozik a mennyiségekhez i(t) 0, ha t t 1 i(t) < 0, ha t > t 1 Amikor i(t) > 0, az áram valódi iránya a referenciairánnyal egyező, ha pedig i(t) < 0, a valódi irány a referenciairánnyal ellentétes Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 3 / 59
4 Kirchoff-törvények Alaptörvények Áram, feszültség, teljesítmény, potenciál (Kirchoff csomóponti törvénye) Bármely csomópontra az áramerősségek előjeles összege minden pillanatban nulla: i k (t) = 0 (Kirchoff huroktörvénye) k Bármely hurok mentén a feszültségek előjeles összege nulla minden időpontban: u k (t) = 0 k Pillanatnyi teljesítmény: p(t) = u(t) i(t) A pillanatnyi teljesítmény pozitív, ha u és i referenciairánya egyező, negatív, ha ellentétes. Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 4 / 59
5 Pillanatnyi teljesítmény Alaptörvények Áram, feszültség, teljesítmény, potenciál Míg az időben állandó teljesítmény pozitív, vagy negatív a teljes idótartományban, addig az időben változó teljesítmény bizonyos tartományokon lehet pozitív, másutt pedig negatív. A kétpólus időnként teljesítményt ad le, máskor teljesítményt vesz fel I. időtartomány: t t 1 u > 0, i > 0, p = u i > 0 fogyasztó II. időtartomány: t 1 < t t 2 u > 0, i < 0, p = u i < 0 termelő III. időtartomány: t 2 < t u < 0, i < 0, p = u i > 0 fogyasztó Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 5 / 59
6 Források Alaptörvények Források Feszültségforrás: olyan kétpólus, amelynek feszültségét - az áramtól függetlenül - meghatározott időfüggvény írja le. A feszültségforrás feszültsége a forrásfeszültség: u(t) = u V (t). Áramát a hozzá csatlakozó kétpólus határozza meg. Pl. u V (t) = A sin(ωt + ϕ) Áramforrás: olyan kétpólus, melynek áramát - a feszültségtől függetlenül - meghatározott időfüggvény írja le. Árama a forrásáram: i(t) = i A (t). Az áramforrás feszültségét a hozzá csatlakozó kétpólus határozza meg. Aktív kétpólus: forrást és belső ellenállást tartalmaz (feszültségés áramgenerátor) A generátor forrásfeszültsége, ill. forrásárama az üresjárási feszültség, ill. rövidzárási áram Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 6 / 59
7 Ellenállás Alaptörvények Ellenállás A kétpólus ellenállás, ha bármely u(t) és i(t) időfüggvény esetén u(t) = f (i(t)), vagy i(t) = h(u(t)), t. Homogén lineáris ellenállás esetén u(t) = R i(t), illetve i(t) = G u(t), ahol R, illetve G a rezisztív kétpólus rezisztanciája, illetve konduktanciája. Ha R = R(t), illetve G = G(t), akkor idővariáns az ellenállás, egyébként időinvariáns. Az ellenállás pillanatnyi teljesítménye: { i f (i) p = u i = u h(u) Lineáris ellenállás esetén p = u i = R i 2 = G u 2. Lineáris időfüggő ellenállás esetén p = u i = R(t) i 2 = G(t) u 2. Rezisztív hálózatok alapegyenletei: i k = 0 minden csomópontra, u k = 0 minden hurokra k u k = f k (i k ), vagy i k = h k (u k ) k minden ellenállásra Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 7 / 59
8 Kondenzátor Alaptörvények Kondenzátor Kondenzátor, vagy kapacitív kétpólus: kapcsolat található a kétpólus feszültsége, és áramának idő szerinti integrálja között. Töltés és áram kapcsolata: t i(t) = dq(t), illetve t q(t) = i(τ)dτ = q(t 0 ) + i(τ)dτ t 0 Töltés mértékegysége: [q] = A s = coulomb = C Kondenzátor karakterisztikája q = f (u), vagy u = h(q) lineáris esetben q = C u, vagy u = D q, ahol C = kapacitás: [C] = C V = As V = farad = F, D = elaszticitás: [D] = V C = V As Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 8 / 59
9 Alaptörvények Kondenzátor karakterisztikája Kondenzátor Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 9 / 59
10 Alaptörvények Kondenzátor Kondenzátor feszültsége és árama Lineáris időinvariáns kondenzátor: q(t) = C u(t), deriválva mindkét oldalt i(t) = C du(t) ebből u(t) = u(t 0 ) + 1 t i(τ)dτ C t 0 Lineáris időfüggő kondenzátor: i(t) = d dc(t) [C(t) u(t)] = u(t) = 1 t C(t) Nemlineáris kondenzátor: i = dq = dq(u(t)) = dq(u) du du u(t) + C(t) u(t) t 0 i(t ) + C(t 0) C(t) u(t 0) Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 10 / 59
11 Alaptörvények Kondenzátor teljesítménye Kondenzátor Teljesítmény: p(t) = u(t) i(t) = u(t) q(t) A [t 0, t] időintervallumban végzett munka: t t q(t) w(t 0, t) = p(τ)dτ = u(τ) dq(τ) t 0 t 0 dτ dτ = u(q )dq q(t 0 ) ha az u(q) skalárértékű függvény, akkor w(t 0, t) megadja a kondenzátor energiájának megváltozását Mivel u(q = 0) = 0, ezért a töltés- és feszültségmentes állapothoz nulla energiát rendelve, a kondenzátor által tárolt energia w(t) = q(t) 0 u(q )dq Lineáris időinvariáns kondenzátor esetén q = C u, azaz dq = C du, és w(t) = 1 2 Cu2 (t) Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 11 / 59
12 Alaptörvények Alaptörvények Kondenzátor Homogén kapacitív hálózat: csak forrásokat és kondenzátorokat tartalmaz (Kapacitív hálózatok alapegyenletei) Csomóponti törvény: Huroktörvény deriváltja: i k = 0 k k du k Karakterisztika: i k = C k du k = 0 Analógia az egyenáramú hálózatokkal: I i, U du, G C Időben állandó feszültségkomponensek figyelmen kívül hagyhatók, mivel ezekre du = 0 Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 12 / 59
13 Alaptörvények Kondenzátor Kondenzátorok soros és párhuzamos kapcsolása Feltétel: t = 0 pillanatban energiamentes kondenzátor Párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok: du 1 C = C 1 + C 2, = du 2 = du Kapacitív áramosztó: i 1 = C 1 i C 1 + C 2 Kapacitív töltésosztó: u 1 = u 2 = u, q 1 = C 1 C 1 + C 2 q Kapacitív áramderivált osztó: di 1 = C 1 di C 1 + C 2 Sorosan kapcsolt kondenzátorok: C = C 1 C 2, i 1 = i 2 = i Kapacitív feszültségderivált osztó: du 1 = C 2 du C 1 + C 2 Kapacitív feszültségosztó: q 1 = q 2 = q, u 1 = C 2 u C 1 + C 2 di 1 = di 2 = di Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 13 / 59
14 Tekercs Alaptörvények Tekercs Induktív kétpólus, vagy tekercs: jelalaktól független kapcsolat van az árama és feszültségének idő szerinti integrálja között Mágneses fluxus és feszültség kapcsolata: u(t) = dψ(t), illetve t t Ψ(t) = u(τ)dτ = Ψ(t 0 ) + u(τ)dτ t 0 Fluxus mértékegysége: [Ψ] = V s = weber = Wb Tekercs karakterisztikája Ψ = f (i), vagy i = h(ψ) lineáris esetben Ψ = L i, vagy i = Γ Ψ, ahol L = induktivitás: [L] = Wb A = Vs = henry = H, A Γ = reciprok induktivitás: [Γ] = A Wb = A Vs Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 14 / 59
15 Tekercs karakterisztikája Alaptörvények Tekercs Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 15 / 59
16 Alaptörvények Tekercs feszültsége és árama Tekercs Lineáris időinvariáns tekercs: Ψ(t) = L i(t), deriválva mindkét oldalt u(t) = L di(t) ebből i(t) = i(t 0 ) + 1 t u(τ)dτ L t 0 Lineáris időfüggő tekercs: u(t) = d dl(t) [L(t) i(t)] = i(t) = 1 t L(t) Nemlineáris tekercs: i(t) + L(t) di(t) t 0 u(τ)dτ + L(t 0) L(t) i(t 0) u = dψ = dψ(i(t)) = dψ(i) di di Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 16 / 59
17 Tekercs teljesítménye Alaptörvények Tekercs Pillanatnyi teljesítmény: p(t) = u(t) i(t) = i(t) dψ(t) A [t 0, t] időintervallumban végzett munka: t t Ψ(t) w(t 0, t) = p(τ)dτ = i(τ) dψ(τ) dτ = i(ψ )dψ t 0 t 0 dτ Ψ(t 0 ) ha az i(ψ) skalárértékű függvény, akkor w(t 0, t) megadja a tekercs energiájának megváltozását Mivel i(ψ = 0) = 0, ezért a töltés- és feszültségmentes állapothoz nulla energiát rendelve, a tekercs által tárolt energia w(t) = Ψ(t) 0 i(ψ )dψ Lineáris időinvariáns tekercs esetén Ψ = L i, azaz dψ = L di, és w(t) = 1 2 Li 2 (t) Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 17 / 59
18 Alaptörvények Alaptörvények Tekercs Homogén induktív hálózat: csak forrásokat és tekercseket tartalmaz (Induktív hálózatok alapegyenletei) Csomóponti törvény deriváltja: Huroktörvény: k u k = 0 Karakterisztika: u k = L k di k k di k = 0 Analógia az egyenáramú hálózatokkal: I di, U u, R L Időben állandó áramkomponensek figyelmen kívül hagyhatók, mivel ezekre di = 0 Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 18 / 59
19 Alaptörvények Tekercs Tekercsek soros és párhuzamos kapcsolása Feltétel: t = 0 pillanatban energiamentes tekercs Párhuzamosan kapcsolt tekercsek: L = L 1 L 2, u 1 = u 2 = u Induktív áramderivált osztó: di 1 = L 2 di L 1 + L 2 Induktív áramosztó: Ψ 1 = Ψ 2 = Ψ, i 1 = L 2 i L 1 + L 2 Sorosan kapcsolt tekercsek: di 1 L = L 1 + L 2, = di 2 = di Induktív feszültségosztó: u 1 = L 1 L 1 + L 2 u Induktív fluxusosztó: i 1 = i 2 = i, Ψ 1 = L 1 L 1 + L 2 Ψ Induktív feszültségderivált osztó: du 1 = L 1 du L 1 + L 2 Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 19 / 59
20 Áttekintés Hálózati egyenletek 1 Alaptörvények 2 Hálózati egyenletek Kirchoff-törvények Az egyenletek teljes rendszere Kezdeti és kiindulási értékek A hálózat regularitása és rendszáma Az állapotváltozók 3 Lineáris időinvariáns hálózatok Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 20 / 59
21 Kirchoff-törvények Hálózati egyenletek Kirchoff-törvények A csomóponti és hurokegyenletek érvényesek általános áramú hálózatokra is (A Kirchoff-egyenletek teljes rendszere) r i k = 0, r = n c csomópontra k=1 m u k = 0, k=1 m = b r hurokra ahol n a csomópontok száma, c az összefüggő komponensek száma, b az ágak száma, az egyenletek száma összesen m + r = b. Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 21 / 59
22 Hálózati egyenletek Az egyenletek teljes rendszere Az egyenletek teljes rendszere Ha a hálózat b ágat tartalmaz, akkor az ismeretlenek száma 2b: b feszültség és b áram. A Kirchoff-törvények b számú egyenletet szolgáltatnak, a hiányzó b egyenletet az ágtörvények adják. A Kirchoff-törvényekből és az ágtörvényekből származó egyenletek alkotják együtt az egyenletek teljes rendszerét. Feszültségforrás: Áramforrás: Ellenállás: lineáris időinvariáns: u k = u Vk i k = i Ak u k = R k i k vagy i k = G k u k lineáris időben változó: u k = R k (t)i k vagy i k = G k (t)u k nemlineáris: u k = f k (i k ) vagy i k = h k (u k ) Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 22 / 59
23 Hálózati egyenletek Az egyenletek teljes rendszere Az egyenletek teljes rendszere Kondenzátor: lineáris időinvariáns: lineáris időben változó: i k = C k du k i k = d [C k(t)u(k)] = C k du k + dc k u k nemlineáris: Tekercs: lineáris időinvariáns: lineáris időben változó: nemlineáris: i k = dq k vagy q k = f k (u k ) vagy u k = h k (q k ) vagy i k = C k (u k ) du k u k = L k di k u k = d [L k(t)i(k)] = L k di k + dl k i k u k = dψ k vagy Ψ k = f k (i k ) vagy i k = h k (Ψ k ) vagy u k = L k (i k ) di k Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 23 / 59
24 Hálózati egyenletek Kezdeti és kiindulási értékek Kezdeti és kiindulási értékek Kezdeti érték: u(+0) = lim u(t), t > 0 t 0 i(+0) = lim i(t), t > 0 t 0 Kiindulási érték: u( 0) = lim u(t), t < 0 t 0 i( 0) = lim i(t), t < 0 t 0 Korlátos mennyiségeket tételezünk fel: kondenzátor töltése és tekercs fluxusa. Ez azt jelenti, hogy kezdeti és kiindulási értékük megegyezik. q(+0) = q( 0), Ψ(+0) = Ψ( 0) Különben dq dψ = i, és = u miatt végtelen áramok és feszültségek jelennének meg Ebből u C (+0) = u C ( 0) és i L (+0) = i L ( 0) is teljesül (Összefoglalva) A q(t), Ψ(t), illetve u C (t) és i L (t) függvényeknek folytonosnak kell lenniük, nem lehet ugrás t = 0-ban. Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 24 / 59
25 Hálózati egyenletek Kezdeti és kiindulási értékek A t = 0 időpillanatban a kondenzátor egy u C ( 0) forrásfeszültségű feszültségforrásnak tekinthető A t = 0 időpillanatban a tekercs egy i L ( 0) forrásáramú áramforrásnak tekinthető A t = +0 időpillanatban a hálózat olyan egyenáramú hálózattal helyettesíthető, amely a kondenzátorokat és tekercseket helyettesítő fiktív forrásokon és az u V (+0) forrásfeszültségű és i A (+0) forrásáramú valódi forrásokon kívül csak ellenállásokat tartalmaz. Spec. eset: u C ( 0) = 0 és i L ( 0) = 0, ekkor a kondenzátor rövidzárral (u C (+0) = 0), a tekercs pedig szakadással (i A (+0) = 0) helyettesíthető. Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 25 / 59
26 Példa Hálózati egyenletek Kezdeti és kiindulási értékek Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 26 / 59
27 Példa Hálózati egyenletek Kezdeti és kiindulási értékek Kiindulási értékek Kezdeti értékek: u 3 ( 0) = R 4 R 2 + R 4 U A, i 5 ( 0) = u 3 (+0) = u 3 ( 0), 1 R 2 + R 4 U A i 5 (+0) = i 5 ( 0) Kondenzátor áramának és az R 2 (= 1 G 2 ) ellenállás feszültségének kiindulási és kezdeti értékei: u 2 ( 0) = i 3 ( 0) = 0 R 2 R 2 +R 4 U A u 2 (+0) = u v (+0) u 3 (+0) = U B R 4 R 2 +R 4 U A i 3 (+0) = G 2 u 2 (+0) i 5 (+0) = G 2 (U B U A ) Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 27 / 59
28 Hálózati egyenletek A hálózat regularitása és rendszáma A hálózat regularitása és rendszáma Reguláris hálózat: korlátos gerjesztések esetén minden változó korlátos marad véges időkre. Egyenáramú hálózatok esetében ez azt jelenti, hogy feszültségforrások nem alkothatnak hurkot, áramforrások pedig vágatot Általános áramú hálózatok esetében pedig azt, hogy a hálózat nem tartalmazhat csak feszültségforrásokból és kondenzátorokból álló (V+C) hurkot, illetve csak áramforrásokból és tekercsekből álló (A+L) vágatot: Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 28 / 59
29 Hálózati egyenletek A hálózat regularitása és rendszáma Reguláris hálózat gráfjában mindig található normál fa: olyan fa, amelyben a feszültségforrásoknak és a kondenzátoroknak megfelelő ágak faágak, az áramforrásoknak és tekercseknek megfelelő ágak pedig kötőágak. Reguláris hálózat N rendszáma az energiatárolók számával egyezik meg: N = b C + b L ahol b C a hálózatban található kondenzátorok száma, b L a hálózatban található tekercsek száma. Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 29 / 59
30 Az állapotváltozók Hálózati egyenletek Az állapotváltozók A hálózat a környezetéből érkező hatásokra (e 1,..., e P gerjesztések) reagál (y 1,..., y M válaszokat ad) A gerjesztések a forrásfeszültségek és forrásáramok, a válaszok pedig a minket érdeklő feszültségek és áramok. Állapotváltozók (x 1,..., x N ): belső változók, amelyek valamely t 1 időpillanatbeli x 1 (t 1 ),..., x N (t 1 ) értékére 1 a t 1 -beli állapot és a gerjesztések ismeretében bármely t 2 -beli állapot (t 2 > t 1 ) meghatározható 2 a t 1 -beli állapot és a gerjesztések ismeretében meghatározhatók a rendszer válaszai Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 30 / 59
31 Hálózati egyenletek Az állapotváltozók Az állapotváltozók elsőrendű differenciálegyenleteknek tesznek eleget: x i (t) = ϕ i (x 1, x 2,..., x N ; e 1, e 2,..., e P ; t), i = 1, 2,..., N A válaszok az állapotok és a gerjesztések, valamint az idő függvényeként fejezhetők ki: y j (t) = γ j (x 1, x 2,..., x N ; e 1, e 2,..., e P ; t), j = 1, 2,..., N Mátrix-vektoros alak: e = e 1 e 2. e P, y = y 1 y 2. y M dx = ϕ(x, e, t) y = γ(x, e, t), ahol, x = x 1 x 2. x N, ϕ : RN RP R RN γ : R N R P R R M Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 31 / 59
32 Hálózati egyenletek Az állapotváltozók Mivel e ismert, csak x és t a független változók. A hálózat állapottér modellje: dx = f (x, t), állapotegyenlet y = g(x, t), kimeneti egyenlet Ha a hálózat lineáris és időinvariáns, akkor a hálózat állapottér modellje is lineáris: dx = A x + B e y = C x + D e, ahol A R N N, B R N P, C R M N, D R M P f -et és g-t, illetve az A, B, C, D mátrixok értékeit a hálózat struktúrája, illetve az ágtörvények határozzák meg. Reguláris hálózatok állapotváltozói a a kondenzátorok töltése, illetve a tekercsek fluxusa, mivel ezek folytonos mennyiségek. Lineáris időinvariáns hálózatok esetében a kondenzátorok feszültségei és a tekercsek áramai is tekinthetők állapotváltozóknak. Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 32 / 59
33 Hálózati egyenletek Állapottérmodell felírása Az állapotváltozók 1 Felírjuk a hálózati egyenletek teljes rendszerét 2 A kondenzátorok áramát dq illetve C du C alakban, a tekercsek feszültségét dψ illetve L di L alakban fejezzük ki. 3 A hálózati egyenleteket úgy rendezzük, hogy az állapotváltozókat (q k, u Ck, Ψ k, i Lk ) és a gerjesztéseket ismertnek tekintjük, az összes többi változót pedig ismeretlennek. 4 Az egyenletrendszert megoldjuk Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 33 / 59
34 Hálózati egyenletek Az állapotváltozók A hálózati egyenletek teljes rendszere 2b, azaz 10 egyenletből áll Kirchoff-egyenletek: (r + m) i 1 + i 2 = 0 i 1 + i 3 + i 4 = 0 i 1 i 3 i 5 = 0 u 1 + u 2 + u 4 + u 5 = 0 u 3 + u 4 + u 5 = 0 Ágtörvények: (b) u 1 = u V u 2 = R 2 i 2 i 3 = C 3 du 3 u 4 = R 4 i 4 u 5 = L 5 di 5 Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 34 / 59
35 Hálózati egyenletek Az állapotváltozók 0 = u V + R 2 i 5 + R 2 C 3 du 3 + R 4 i 5 + L 5 di 5 0 = u 3 + R 4 i 5 + L 5 di 5 u 2 = u v u 3 i 3 = i 2 i 5 Állapottér modell du 3 di 5 u 2 i 3 = = 1 R 2 C 3 1 C 3 1 L 5 R 4 L R 2 1 u 3 i 5 u 3 i R 2 1 R 2 C 3 0 u V u V Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 35 / 59
36 Áttekintés Lineáris időinvariáns hálózatok 1 Alaptörvények 2 Hálózati egyenletek 3 Lineáris időinvariáns hálózatok A hálózategyenletek megoldása A tranziens összetevő A stacionárius összetevő A teljes megoldás Néhány elsőrendű hálózat Néhány másodrendű hálózat Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 36 / 59
37 Lineáris időinvariáns hálózatok A hálózategyenletek megoldása A hálózategyenletek megoldása Adottak Állapotegyenlet (elsőrendű, lineáris inhomogén, állandó együtthatós differenciálegyenlet) dx(t) = A x(t) + B e(t) Az állapotváltozókra vonatkozó kezdeti feltételek: x(+0) = x( 0) Kimeneti egyenlet (algebrai egyenlet) y(t) = C x(t) + D e(t) Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 37 / 59
38 Lineáris időinvariáns hálózatok A hálózategyenletek megoldása Lineáris állandó együtthatós differenciálegyenletrendszer megoldása A homogén differenciálegyenlet x(t) = x tr (t) megoldása, ami N határozatlan állandót tartalmaz dx(t) = A x(t), e(t) = 0 Ez a tranziens összetevő, ami a források nélküli hálózat folyamatait írja le. Ezek akkor vannak jelen, ha a hálózat energiát tárolt (kondenzátor kiindulási feszültsége, tekercs kiindulási árama). Ez az energia a hálózat veszteségein hővé alakul, azaz: lim x t tr(t) = 0 Az inhomogén differenciálegyenlet egy x st (t) partikuláris megoldása (stacionárius összetevő) A differenciálegyenlet általános megoldása: ( ) x(t) = x st (t) + x tr (t) lim x(t) = x t st(t) A határozatlan állandók az x( 0) = x(+0) kezdeti feltételekből számolhatók. Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 38 / 59
39 Lineáris időinvariáns hálózatok A tranziens összetevő A tranziens összetevő (x tr (t)) - Elsőrendű hálózat Egyetlen energiatárolót tartalmaz egy állapotváltozója van dx tr (t) = A x tr (t) Megoldás általános alakja: x tr (t) = M e λt λ meghatározása: λ M e λt = A M e λt λ = A Reguláris hálózat esetén a tranziens nullához tart (λ < 0): λ = A = δ = 1 T ahol δ a csillapítási tényező, és T az időállandó, T = 1 δ > 0 Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 39 / 59
40 Lineáris időinvariáns hálózatok A tranziens összetevő A tranziens összetevő (x tr (t)) - Elsőrendű hálózat T időállandó értelmezése: a tranziens T idő alatt e-ed részére csökken x tr (T ) = M e 1 = 1 e x tr(0) x tr (0) a kezdeti érintő t = T helyen metszi az időtengelyt d [x tr(0)] t=0 = M T e t T = M T = cot(α 0) t=0 Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 40 / 59
41 Lineáris időinvariáns hálózatok A tranziens összetevő A tranziens összetevő (x tr (t)) - Másodrendű hálózat Két energiatárolót tartalmaz két állapotváltozó jellemzi dx 1 (t) = A 11 x 1 (t) + A 12 x 2 (t) dx 2 (t) = A 21 x 1 (t) + A 22 x 2 (t) Megoldás általános alakja: x 1 (t) = M 1 e λt, Visszahelyettesítve, és e λt -vel egyszerűsítve: x 2 (t) = M 2 e λt (A 11 λ) M 1 + A 12 M 2 = 0 A 21 M 1 + (A 22 λ) M 2 = 0 Nemtriviális megoldás a karakterisztikus egyenletből: A 11 λ A 12 A 22 λ = 0 λ 1, λ 2 ; v λ1, v λ2 A 21 λ 1, λ 2 : az A mátrix sajátértékei, v λ1, v λ2 : a λ 1, λ 2 -hez tartozó sajátvektorok Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 41 / 59
42 Lineáris időinvariáns hálózatok A tranziens összetevő A tranziens összetevő (x tr (t)) - Másodrendű hálózat A megoldás alakja: λ 1 λ 2 R egyszeres valós sajátértékek: x(t) = c 1 e λ 1t v λ1 + c 2 e λ 2t v λ2 λ 1,2 = δ ± jω komplex konjugált sajátérték pár (v λ = a ± jb): x(t) = c 1 e δt (a cos(ωt) b sin(ωt)) + c 2 e δt (a sin(ωt) + b cos(ωt)) λ 1 = λ 2 R többszörös (kétszeres) valós sajátértékek: x(t) = c 1 e λt v λ + c 2 ( t e λt v λ + e λt η λ ) η λ általánosított sajátérték ((A λi )η = v megoldása) Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 42 / 59
43 Lineáris időinvariáns hálózatok A tranziens összetevő A tranziens összetevő (x tr (t)) - Másodrendű hálózat Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 43 / 59
44 Lineáris időinvariáns hálózatok A tranziens összetevő A tranziens összetevő Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 44 / 59
45 Lineáris időinvariáns hálózatok A tranziens összetevő A tranziens összetevő Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 45 / 59
46 Lineáris időinvariáns hálózatok A tranziens összetevő A tranziens összetevő (x tr (t)) - Magasabbrendű hálózat N-edrendű állapotegyenlet dx i (t) N = A ik x k (t), Megoldás alakja: Karakterisztikus egyenlet: k=1 x i (t) = M i e λt i = 1,..., N det(a λ I N ) = 0 λ 1,..., λ N ; v λ1,..., v λn Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 46 / 59
47 Lineáris időinvariáns hálózatok A stacionárius összetevő A stacionárius összetevő Állandósult állapotbeli viselkedés Állandó forrásmennyiségek: t = -ben a kondenzátorokon nem folyik áram (szakadás), a tekercseken nem esik feszültség (rövidzár), így a hálózat csak forrásokat és ellenállásokat tartalmaz. Ha a forrásmennyiségek időfüggők, akkor egy inhomogén differenciálegyenlet rendszert kell megoldani Laplace-transzformáció Próbafüggvény módszere Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 47 / 59
48 A teljes megoldás Lineáris időinvariáns hálózatok A teljes megoldás Az általános megoldás a stacionárius összetevő és a tranziens összetevő összegeként áll elő: x(t) = x st (t) + x tr (t) A tranziens összetevő tartalmaz N határozatlan állandót, amelyet az N számú kezdeti érték alapján határozhatók meg: Elsőrendű esetben: x i (+0) = x sti (0) + x tri (0), i = 1, 2,..., N. x(t) = x st (t) + c e t T, x(+0) = xst (0) + c Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 48 / 59
49 Soros RL-kör Lineáris időinvariáns hálózatok Néhány elsőrendű hálózat u V = R i + L di di = R L i + 1 L u V λ = R L δ = R L, T = L R Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 49 / 59
50 Soros RL-kör Lineáris időinvariáns hálózatok Néhány elsőrendű hálózat Tranziens összetevő: Stacionárius összetevő: Teljes megoldás: Feszültségek: i tr (t) = k e R L t = k e t T i st (t) = U 0 R i(t) = U 0 R + k e R L t, i(+0) = 0 k = U 0 R i(t) = U 0 (1 e R t) L R u R (t) = R i(t) = U 0 ( 1 e R L t) u L (t) = U 0 u R (t) = U 0 e R L t Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 50 / 59
51 Soros RL-kör Lineáris időinvariáns hálózatok Néhány elsőrendű hálózat Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 51 / 59
52 Soros RC-kör Lineáris időinvariáns hálózatok Néhány elsőrendű hálózat λ = 1 RC u V = RC du + u du = 1 RC u + 1 RC u V δ = 1 RC, Külön-külön a [0, τ] és a [τ, ) intervallumokon T = RC Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 52 / 59
53 Lineáris időinvariáns hálózatok Soros RC-kör, 0 < t τ Néhány elsőrendű hálózat Tranziens összetevő: Stacionárius összetevő: Kezdeti feltétel: u tr (t) = k 1 e 1 RC t = k 1 e t T, u st (t) = U 0, 0 < t τ u(+0) = U 0 + k 1 = u( 0) = U C 0 < t τ Teljes megoldás 0 < t < τ: k 1 = U C U 0 u(t) = U 0 + (U C U 0 ) e 1 RC t, 0 < t τ Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 53 / 59
54 Lineáris időinvariáns hálózatok Soros RC-kör, τ < t < Néhány elsőrendű hálózat Tranziens összetevő: u tr (t) = k 2 e 1 RC (t τ) = k 2 e (t τ) T, τ < t < Stacionárius összetevő: Kezdeti feltétel: u st (t) = 0, τ < t < u(τ + 0) = k 2 = u(τ 0) = U 0 + (U C U 0 ) e τ RC Teljes megoldás τ < t < : u(t) = [U 0 (1 e τ RC ) + UC e τ RC ] e (t τ) RC Az ellenálláson fellépő feszültség u R = u V u: (U C U 0 ) e t RC, 0 < t τ u R (t) = [ ] U 0 (1 e τ RC ) + U C e τ RC e (t τ) RC, τ < t < Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 54 / 59
55 Soros rezgőkör Lineáris időinvariáns hálózatok Néhány másodrendű hálózat Állapotváltozók a tekercs i árama és a kondenzátor u feszültsége Az állapotegyenlet: du = 1 C i di = 1 L u R L i + 1 L u V Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 55 / 59
56 Soros rezgőkör Lineáris időinvariáns hálózatok Néhány másodrendű hálózat A tranziens összetevők alakja: u tr (t) = k 1 e λt, i tr (t) = k 2 e λt A homogén diffegyenletbe helyettesítve: λ C k 1 k 2 = 0, k 1 + (λ L + R) k 2 A sajátértékek: λ 1,2 = R 2L ± R 2 (2L) 2 1 LC Stacionárius összetevők: u st (t) = U 0 i st (t) = 0 Mivel k 2i = λ i C k 1i, i = 1, 2 Általános megoldás: u(t) = U 0 + k 11 e λ 1t + k 21 e λ 2t i(t) = λ 1 C k 11 e λ 1t + λ 2 C k 21 e λ 2t Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 56 / 59
57 Soros rezgőkör Lineáris időinvariáns hálózatok Néhány másodrendű hálózat Kezdeti feltételek: Ebből: u(+0) = 0, i(+0) = 0 k 11 + k 12 = U 0 λ 1 C k 11 + λ 2 C k 12 = 0 Ebből a megoldás: [ u(t) = U λ 2 e λ1t λ ] 1 e λ 2t λ 1 λ 2 λ 1 λ 2 i(t) = Relatív csillapítási tényező: U [ ] 0 e λ1t e λ 2t λ 1 λ 2 ζ = R 2 C L Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 57 / 59
58 Soros rezgőkör Lineáris időinvariáns hálózatok Néhány másodrendű hálózat Relatív csillapítási tényező: ζ > 1 - túlcsillapított rezgőkör ζ < 1 - csillapított rezgőkör ζ = 1 - kritikus csillapítás Túlcsillapított eset (ζ > 1) az időállandók: δ 1,2 = λ 1,2 = R 2L T 1,2 = 1 δ 1,2 = R 2 (2L) 2 1 LC = ζ ζ 2 1 LC LC ζ ζ 2 1 LCζ 1 ( 1 ± 1 ζ 2 ) Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 58 / 59
59 Soros rezgőkör Lineáris időinvariáns hálózatok Néhány másodrendű hálózat Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan március 59 / 59
Elektrotechnika- Villamosságtan
Elektrotechnika- Villamosságtan Általános áramú hálózatok 1 Magyar Attila Tömördi Katalin Alaptörvények-áttekintés Alaptörvények Áram, feszültség, teljesítmény, potenciál Források Ellenállás Kondenzátor
RészletesebbenElektrotechnika- Villamosságtan
Elektrotechnika- Villamosságtan 1.Előadás Egyenáramú hálózatok 1 Magyar Attila Tömördi Katalin Villamos hálózat: villamos áramköri elemek tetszőleges kapcsolása. Reguláris hálózat: ha helyesen felírt hálózati
RészletesebbenÁtmeneti jelenségek egyenergiatárolós áramkörökben
TARTALOM JEGYZÉK 1. Egyenergiatárolós áramkörök átmeneti függvényeinek meghatározása Példák az egyenergiatárolós áramkörök átmeneti függvényeinek meghatározására 1.1 feladat 1.2 feladat 1.3 feladat 1.4
RészletesebbenVillamosságtan szigorlati tételek
Villamosságtan szigorlati tételek 1.1. Egyenáramú hálózatok alaptörvényei 1.2. Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása 1.3. Nemlineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása 1.4. Egyenáramú hálózatok
Részletesebben25/1. Stacionárius és tranziens megoldás. Kezdeti és végérték tétel.
25/1. Stacionárius és tranziens megoldás. Kezdeti és végérték tétel. A gerjesztı jelek hálózatba történı be- vagy kikapcsolása után átmeneti (tranziens) jelenség játszódik le. Az állandósult (stacionárius)
RészletesebbenElektromosságtan. I. Egyenáramú hálózatok általános számítási módszerei. Magyar Attila
Elektromosságtan I. Egyenáramú hálózatok általános számítási módszerei Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatika Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék amagyar@almos.vein.hu 2010.
RészletesebbenFolytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja
Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)
RészletesebbenHálózatok számítása egyenáramú és szinuszos gerjesztések esetén. Egyenáramú hálózatok vizsgálata Szinuszos áramú hálózatok vizsgálata
Hálózatok számítása egyenáramú és szinuszos gerjesztések esetén Egyenáramú hálózatok vizsgálata Szinuszos áramú hálózatok vizsgálata Egyenáramú hálózatok vizsgálata ellenállások, generátorok, belső ellenállások
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 9 IX Magasabbrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk n-ed rendű differenciálegyenletek Az alakú ahol n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges
RészletesebbenDifferenciálegyenlet rendszerek
Differenciálegyenlet rendszerek (A kezdeti érték probléma. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek, magasabb rendű lineáris egyenletek.) Szili László: Modellek és algoritmusok ea+gyak jegyzet alapján
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet
Részletesebben2.Előadás ( ) Munkapont és kivezérelhetőség
2.lőadás (207.09.2.) Munkapont és kivezérelhetőség A tranzisztorokat (BJT) lineáris áramkörbe ágyazva "működtetjük" és a továbbiakban mindig követelmény, hogy a tranzisztor normál aktív tartományban működjön
RészletesebbenSZINUSZOS ÁRAMÚ HÁLÓZATOK Számítási feladatok
DR. GYURCSEK ISTVÁN SZINUSZOS ÁRAMÚ HÁLÓZATOK Számítási feladatok Forrás és ajánlott irodalom q Iványi A. Hardverek villamosságtani alapjai, Pollack Press, Pécs 2015, ISBN 978-963-7298-59-2 q Gyurcsek
RészletesebbenALAPFOGALMIKÉRDÉSEK VILLAMOSSÁGTANBÓL 1. EGYENÁRAM
ALAPFOGALMIKÉRDÉSEK VILLAMOSSÁGTANBÓL INFORMATIKUS HALLGATÓK RÉSZÉRE 1. EGYENÁRAM 1. Vezesse le a feszültségosztó képletet két ellenállás (R 1 és R 2 ) esetén! Az összefüggésben szerepl mennyiségek jelölését
RészletesebbenMárkus Zsolt Tulajdonságok, jelleggörbék, stb BMF -
Márkus Zsolt markus.zsolt@qos.hu Tulajdonságok, jelleggörbék, stb. 1 A hatáslánc részegységekből épül fel, melyek megvalósítják a jelátvitelt. A jelátviteli sajátosságok jellemzésére (leírására) létrehozott
RészletesebbenTranziens jelenségek rövid összefoglalás
Tranziens jelenségek rövid összefoglalás Átmenet alakul ki akkor, ha van energiatároló (kapacitás vagy induktivitás) a rendszerben, mert ezeken a feszültség vagy áram nem jelenik meg azonnal, mint az ohmos
Részletesebben4. Konzultáció: Periodikus jelek soros RC és RL tagokon, komplex ellenállás Részlet (nagyon béta)
4. Konzultáció: Periodikus jelek soros és tagokon, komplex ellenállás észlet (nagyon béta) "Elektrós"-Zoli 203. november 3. A jegyzetről Jelen jegyzet a negyedik konzultációm anyagának egy részletét tartalmazza.
Részletesebben1. konferencia: Egyenáramú hálózatok számítása
1. konferencia: Egyenáramú hálózatok számítása 1.feladat: 20 1 kω Határozzuk meg az R jelű ellenállás értékét! 10 5 kω R z ellenállás értéke meghatározható az Ohm-törvény alapján. Ehhez ismernünk kell
RészletesebbenElektrotechnika. 1. előad. Budapest Műszaki Főiskola Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Kar Mechatronikai és Autechnikai Intézet
Budapest Műszaki Főiskola Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Kar Mechatronikai és Autechnikai ntézet Elektrotechnika. előad adás Összeállította: Langer ngrid főisk. adjunktus A tárgy t tematikája
Részletesebben1 kérdés. Személyes kezdőlap Villamos Gelencsér Géza Simonyi teszt május 13. szombat Teszt feladatok 2017 Előzetes megtekintés
Személyes kezdőlap Villamos Gelencsér Géza Simonyi teszt 2017. május 13. szombat Teszt feladatok 2017 Előzetes megtekintés Kezdés ideje 2017. május 9., kedd, 16:54 Állapot Befejezte Befejezés dátuma 2017.
RészletesebbenELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK. Váltakozóáramú hálózatok
ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK Váltakozóáramú hálózatok Háromfázisú hálózatok Miért használunk többfázisú hálózatot? Mutassa meg a háromfázisú rendszer fontosabb jellemzőit és előnyeit az egyfázisú rendszerrel szemben!
RészletesebbenElektromosságtan. III. Szinuszos áramú hálózatok. Magyar Attila
Eletromosságtan III. Szinuszos áramú hálózato Magyar Attila Pannon Egyetem Műszai Informatia Kar Villamosmérnöi és Információs Rendszere Tanszé amagyar@almos.vein.hu 2010. április 26. Átteintés Szinuszosan
RészletesebbenOrvosi jelfeldolgozás. Információ. Információtartalom. Jelek osztályozása De, mi az a jel?
Orvosi jelfeldolgozás Információ De, mi az a jel? Jel: Információt szolgáltat (információ: új ismeretanyag, amely csökkenti a bizonytalanságot).. Megjelent.. Panasza? információ:. Egy beteg.. Fáj a fogam.
RészletesebbenMátrix-exponens, Laplace transzformáció
2016. április 4. 2016. április 11. LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET RENDSZEREK ÉS A MÁTRIX-EXPONENS KAPCSOLATA Feladat - ismétlés Tegyük fel, hogy A(t) = (a ik (t)), i, k = 1,..., n és b(t) folytonos mátrix-függvények
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)
Részletesebben12.A 12.A. A belsı ellenállás, kapocsfeszültség, forrásfeszültség fogalmának értelmezése. Feszültséggenerátorok
12.A Energiaforrások Generátorok jellemzıi Értelmezze a belsı ellenállás, a forrásfeszültség és a kapocsfeszültség fogalmát! Hasonlítsa össze az ideális és a valóságos generátorokat! Rajzolja fel a feszültség-
RészletesebbenElektrotechnika 1. előadás
Óudai Egyetem ánki Donát épész és iztonságtechnikai Kar Mechatronikai és utechnikai ntézet Elektrotechnika. előadás Összeállította: Langer ngrid adjunktus tárgy tematikája Egyen- és váltakozó áramú villamos
Részletesebben3. előadás Stabilitás
Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása
RészletesebbenJelek és rendszerek 1
Jelek és rendszerek 1 Tantárgykód: Villamosmérnöki szak, Bsc. képzés Készítette: Dudás Márton 1 Bevezető: A jegyzet a BME VIK első éves villamosmérnök hallgatóinak készült a Jelek és rendszerek 1 tárgyhoz.
RészletesebbenTételek Elektrotechnika és elektronika I tantárgy szóbeli részéhez 1 1. AZ ELEKTROSZTATIKA ALAPJAI AZ ELEKTROMOS TÖLTÉS FOGALMA 8 1.
Tételek Elektrotechnika és elektronika I tantárgy szóbeli részéhez 1 1. AZ ELEKTROSZTATIKA ALAPJAI 8 1.1 AZ ELEKTROMOS TÖLTÉS FOGALMA 8 1.2 AZ ELEKTROMOS TÉR 9 1.3 COULOMB TÖRVÉNYE 10 1.4 AZ ELEKTROMOS
RészletesebbenEgyszerű áramkörök árama, feszültsége, teljesítménye
Egyszerű árakörök áraa, feszültsége, teljesíténye A szokásos előjelek Általában az ún fogyasztói pozitív irányokat használják, ezek szerint: - a ϕ fázisszög az ára helyzete a feszültség szinusz hullá szöghelyzetéhez
RészletesebbenElektrotechnika 9. évfolyam
Elektrotechnika 9. évfolyam Villamos áramkörök A villamos áramkör. A villamos áramkör részei. Ideális feszültségforrás. Fogyasztó. Vezeték. Villamos ellenállás. Ohm törvénye. Részfeszültségek és feszültségesés.
RészletesebbenElektrotechnika 11/C Villamos áramkör Passzív és aktív hálózatok
Elektrotechnika 11/C Villamos áramkör A villamos áramkör. A villamos áramkör részei. Ideális feszültségforrás. Fogyasztó. Vezeték. Villamos ellenállás. Ohm törvénye. Részfeszültségek és feszültségesés.
RészletesebbenModellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
RészletesebbenTARTALOMJEGYZÉK. Előszó 9
TARTALOMJEGYZÉK 3 Előszó 9 1. Villamos alapfogalmak 11 1.1. A villamosság elő for d u lá s a é s je le n t ősége 12 1.1.1. Történeti áttekintés 12 1.1.2. A vil la mos ság tech ni kai, tár sa dal mi ha
RészletesebbenFizika A2E, 9. feladatsor
Fizika 2E, 9. feladatsor Vida György József vidagyorgy@gmail.com 1. feladat: hurokáramok módszerével határozzuk meg az ábrán látható kapcsolás ágaiban folyó áramokat! z áramkör két ablakból áll, így két
Részletesebben11-12. évfolyam. A tantárgy megnevezése: elektrotechnika. Évi óraszám: 69. Tanítási hetek száma: 37 + 32. Tanítási órák száma: 1 óra/hét
ELEKTROTECHNIKA (VÁLASZTHATÓ) TANTÁRGY 11-12. évfolyam A tantárgy megnevezése: elektrotechnika Évi óraszám: 69 Tanítási hetek száma: 37 + 32 Tanítási órák száma: 1 óra/hét A képzés célja: Választható tantárgyként
RészletesebbenDifferenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel
Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós
RészletesebbenDINAMIKAI VIZSGÁLAT OPERÁTOROS TARTOMÁNYBAN. 2003.10.30. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1
DINAMIKAI VIZSGÁLAT OPERÁTOROS TARTOMÁNYBAN 2003.10.30. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1 Differenciálegyenlet megoldása u(t) diff. egyenlet v(t) a n d n v m dt a dv n
Részletesebben7. L = 100 mh és r s = 50 Ω tekercset 12 V-os egyenfeszültségű áramkörre kapcsolunk. Mennyi idő alatt éri el az áram az állandósult értékének 63 %-át?
1. Jelöld H -val, ha hamis, I -vel ha igaz szerinted az állítás!...két elektromos töltés között fellépő erőhatás nagysága arányos a két töltés nagyságával....két elektromos töltés között fellépő erőhatás
RészletesebbenEGYFÁZISÚ VÁLTAKOZÓ ÁRAM
VANYSEEŐ KÉPÉS 0 5 EGYFÁSÚ VÁTAKOÓ ÁAM ÖSSEÁÍTOTTA NAGY ÁSÓ MÉNÖKTANÁ - - Tartalomjegyzék Váltakozó áram fogalma és jellemzői...3 Szinuszos lefolyású váltakozó feszültség előállítása...3 A szinuszos lefolyású
RészletesebbenGingl Zoltán, Szeged, :14 Elektronika - Hálózatszámítási módszerek
Gingl Zoltán, Szeged, 05. 05.09.9. 9:4 Elektronika - Hálózatszámítási módszerek 05.09.9. 9:4 Elektronika - Alapok 4 A G 5 3 3 B C 4 G Áramköri elemek vezetékekkel összekötve Csomópontok Ágak (szomszédos
RészletesebbenFizika A2E, 8. feladatsor
Fizika AE, 8. feladatsor ida György József vidagyorgy@gmail.com. feladat: Az ábrán látható áramkörben határozzuk meg az áramer sséget! 4 5 Utolsó módosítás: 05. április 4., 0:9 El ször ki kell számolnunk
RészletesebbenHARDVEREK VILLAMOSSÁGTANI ALAPJAI. 9. Gyakorlat
HADVEEK VILLAMOSSÁGTANI ALAPJAI 9. Gyakorlat Hardverek Villamosságtani Alapjai/GY-9/1 9. Gyakorlat feladatai A gyakorlat célja: A szuperpozíció elv, a Thevenin és a Norton helyettesítő kapcsolások meghatározása,
Részletesebben2. Ideális esetben az árammérő belső ellenállása a.) nagyobb, mint 1kΩ b.) megegyezik a mért áramkör eredő ellenállásával
Teszt feladatok A választásos feladatoknál egy vagy több jó válasz lehet! Számításos feladatoknál csak az eredményt és a mértékegységet kell megadni. 1. Mitől függ a vezetők ellenállása? a.) a rajta esett
Részletesebbendifferenciálegyenletek
Állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenletek L[y] = y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = 0 a i R (1) a valós, állandó együtthatójú lineáris homogén n-ed rendű differenciálegyenlet Megoldását y
RészletesebbenDifferenciálegyenletek december 13.
Differenciálegyenletek 2018. december 13. Elsőrendű DE Definíció. Az elsőrendű differenciálegyenlet általános alakja y = f (x, y), ahol f (x, y) adott kétváltozós függvény. Minden y = y(x) függvény, amire
RészletesebbenElektrotechnika példatár
Elektrotechnika példatár Langer Ingrid Tartalomjegyzék Előszó... 2 1. Egyenáramú hálózatok... 3 1.1. lapfogalmak... 3 1.2. Példák passzív hálózatok eredő ellenállásának kiszámítására... 6 1.3. Impedanciahű
RészletesebbenMatematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
RészletesebbenGingl Zoltán, Szeged, szept. 1
Gingl Zoltán, Szeged, 08. 8 szept. 8 szept. 4 A 5 3 B Csomópontok feszültség Ágak (szomszédos csomópontok között) áram Áramköri elemek 4 Az elemeken eső feszültség Az elemeken átfolyó áram Ezek összefüggenek
RészletesebbenFIZIKA II. Egyenáram. Dr. Seres István
Dr. Seres István Áramerősség, Ohm törvény Áramerősség: I Q t Ohm törvény: U I Egyenfeszültség állandó áram?! fft.szie.hu 2 Seres.Istvan@gek.szie.hu Áramerősség, Ohm törvény Egyenfeszültség U állandó Elektromos
RészletesebbenBevezetés a méréstechnikába és jelfeldolgozásba. Tihanyi Attila április 17.
Bevezetés a méréstechnikába és jelfeldolgozásba Tihanyi Attila 2007. április 17. ALAPOK Töltés 1 elektron töltése 1,602 10-19 C 1 C (coulomb) = 6,24 10 18 elemi elektromos töltés. Áram Feszültség I=Q/t
RészletesebbenMeghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.
Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független
RészletesebbenDINAMIKAI VIZSGÁLAT ÁLLAPOTTÉRBEN. 2003.11.06. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1
DINAMIKAI VIZSGÁLAT ÁLLAPOTTÉRBEN 2003..06. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet Egy bemenetű, egy kimenetű rendszer u(t) diff. egyenlet v(t) zárt alakban n-edrendű diff. egyenlet
RészletesebbenDifferenciálegyenletek gyakorlat december 5.
Differenciálegyenletek gyakorlat Kocsis Albert Tihamér Németh Adrián 05 december 5 Ismétlés Integrálás Newton Leibniz-formula Integrálás és alapműveletek wwwwolframalphacom Alapintegrálok sin x dx = cos
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK
Azonosító jel NSZI 0 6 0 6 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Szakmai előkészítő érettségi tantárgyi verseny 2006. február 23. ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK ELŐDÖNTŐ ÍRÁSBELI FELADATOK Az írásbeli időtartama: 180 perc
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
Differenciálegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 1 /
RészletesebbenSzámítási feladatok a 6. fejezethez
Számítási feladatok a 6. fejezethez 1. Egy szinuszosan változó áram a polaritás váltás után 1 μs múlva éri el első maximumát. Mekkora az áram frekvenciája? 2. Egy áramkörben I = 0,5 A erősségű és 200 Hz
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
Részletesebbeny + a y + b y = r(x),
Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan
RészletesebbenELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. október 20. ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2008. október 20. 1:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 20 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS
RészletesebbenAz elektromágneses indukció jelensége
Az elektromágneses indukció jelensége Korábban láttuk, hogy az elektromos áram hatására mágneses tér keletkezik (Ampère-féle gerjesztési törvény) Kérdés, hogy vajon ez megfordítható-e, és a mágneses tér
RészletesebbenTARTALOMJEGYZÉK EL SZÓ... 13
TARTALOMJEGYZÉK EL SZÓ... 13 1. A TÖLTÉS ÉS ELEKTROMOS TERE... 15 1.1. Az elektromos töltés... 15 1.2. Az elektromos térer sség... 16 1.3. A feszültség... 18 1.4. A potenciál és a potenciálfüggvény...
Részletesebbenλx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények
RészletesebbenElektromos áramerősség
Elektromos áramerősség Két különböző potenciálon lévő fémet vezetővel összekötve töltések áramlanak amíg a potenciál ki nem egyenlítődik. Az elektromos áram iránya a pozitív töltéshordozók áramlási iránya.
RészletesebbenHurokegyenlet alakja, ha az áram irányával megegyező feszültségeséseket tekintjük pozitívnak:
Első gyakorlat A gyakorlat célja, hogy megismerkedjünk Matlab-SIMULINK szoftverrel és annak segítségével sajátítsuk el az Automatika c. tantárgy gyakorlati tananyagát. Ezen a gyakorlaton ismertetésre kerül
RészletesebbenBevezető fizika (infó), 8. feladatsor Egyenáram, egyenáramú áramkörök 2.
evezető fizika (infó), 8 feladatsor Egyenáram, egyenáramú áramkörök 04 november, 3:9 mai órához szükséges elméleti anyag: Kirchhoff törvényei: I Minden csomópontban a befolyó és kifolyó áramok előjeles
RészletesebbenSzámítógépes gyakorlat MATLAB, Control System Toolbox
Számítógépes gyakorlat MATLAB, Control System Toolbox Bevezetés A gyakorlatok célja az irányítási rendszerek korszerű számítógépes vizsgálati és tervezési módszereinek bemutatása, az alkalmazáshoz szükséges
RészletesebbenELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2007. május 25. ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2007. május 25. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenMODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS
MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenMéréstechnika. Rezgésmérés. Készítette: Ángyán Béla. Iszak Gábor. Seidl Áron. Veszprém. [Ide írhatja a szöveget] oldal 1
Méréstechnika Rezgésmérés Készítette: Ángyán Béla Iszak Gábor Seidl Áron Veszprém 2014 [Ide írhatja a szöveget] oldal 1 A rezgésekkel kapcsolatos alapfogalmak A rezgés a Magyar Értelmező Szótár megfogalmazása
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek Példák differenciálegyenletekre Newton második törvénye Egy tömegpont gyorsulása egyenesen arányos a rá ható erővel és fordítottan arányos
RészletesebbenI. Fejezetek a klasszikus analízisből 3
Tartalomjegyzék Előszó 1 I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3 1. Topológia R n -ben 5 2. Lebesgue-integrál, L p - terek, paraméteres integrál 9 2.1. Lebesgue-integrál, L p terek................... 9
Részletesebben1.7. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek
7 Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek Legyen n N, I R intervallum és A: I M n n (R), B: I R n folytonos függvények, és tekintsük az { y (x) = A(x)y(x) + B(x) y(ξ) = η kezdeti érték problémát,
RészletesebbenÁRAMKÖRÖK SZIMULÁCIÓJA
ÁRAMKÖRÖK SZIMULÁCIÓJA Az áramkörök szimulációja révén betekintést nyerünk azok működésébe. Meg tudjuk határozni az áramkörök válaszát különböző gerjesztésekre, különböző üzemmódokra. Végezhetők analóg
Részletesebben1. Egy lineáris hálózatot mikor nevezhetünk rezisztív hálózatnak és mikor dinamikus hálózatnak?
Ellenörző kérdések: 1. előadás 1/5 1. előadás 1. Egy lineáris hálózatot mikor nevezhetünk rezisztív hálózatnak és mikor dinamikus hálózatnak? 2. Mit jelent a föld csomópont, egy áramkörben hány lehet belőle,
RészletesebbenFizika 1 Elektrodinamika beugró/kis kérdések
Fizika 1 Elektrodinamika beugró/kis kérdések 1.) Írja fel a 4 Maxwell-egyenletet lokális (differenciális) alakban! rot = j+ D rot = B div B=0 div D=ρ : elektromos térerősség : mágneses térerősség D : elektromos
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2015. május 19. ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2015. május 19. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK
RészletesebbenIrányításelmélet és technika I.
Irányításelmélet és technika I Folytonos idejű rendszerek leírása az állapottérben Állapotvisszacsatolást alkalmazó szabályozási körök Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki
RészletesebbenELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2015. október 12. ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2015. október 12. 14:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK
Részletesebben1. Feladat. 1. ábra. Megoldás
. Feladat Az. ábrán látható egyenáramú áramkörben, kezdetben mindkét kapcsoló nyitott állásba található. A0 pillanatban zárjuk a kapcsolót, majd megvárjuk, hogy a létrejövő tranziens folyamat során a kondenzátor
RészletesebbenFizika II minimumkérdések. A zárójelben lévő értékeket nem kötelező memorizálni, azok csak tájékoztató jellegűek.
izika II minimumkérdések zárójelben lévő értékeket nem kötelező memorizálni, azok csak tájékoztató jellegűek. 1. Coulomb erőtörvény: = kq r 2 e r (k = 9 10 9 m2 C 2 ) 2. Coulomb állandó és vákuum permittivitás
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
RészletesebbenVezetők elektrosztatikus térben
Vezetők elektrosztatikus térben Vezető: a töltések szabadon elmozdulhatnak Ha a vezető belsejében a térerősség nem lenne nulla akkor áram folyna. Ha a felületen a térerősségnek lenne tangenciális (párhuzamos)
RészletesebbenHobbi Elektronika. Bevezetés az elektronikába: Ohm törvény, Kirchoff törvényei, soros és párhuzamos kapcsolás
Hobbi Elektronika Bevezetés az elektronikába: Ohm törvény, Kirchoff törvényei, soros és párhuzamos kapcsolás 1 Felhasznált irodalom Hodossy László: Elektrotechnika I. Torda Béla: Bevezetés az Elektrotechnikába
RészletesebbenNemlineáris programozás 2.
Optimumszámítás Nemlineáris programozás 2. Többváltozós optimalizálás feltételek mellett. Lagrange-feladatok. Nemlineáris programozás. A Kuhn-Tucker feltételek. Konvex programozás. Sydsaeter-Hammond: 18.1-5,
RészletesebbenMÉRÉSI GYAKORLATOK (ELEKTROTECHNIKA) 10. évfolyam (10.a, b, c)
MÉRÉSI GYAKORLATOK (ELEKTROTECHNIKA) 10. évfolyam (10.a, b, c) 1. - Mérőtermi szabályzat, a mérések rendje - Balesetvédelem - Tűzvédelem - A villamos áram élettani hatásai - Áramütés elleni védelem - Szigetelési
Részletesebben= Φ B(t = t) Φ B (t = 0) t
4. Gyakorlat 32B-3 Egy ellenállású, r sugarú köralakú huzalhurok a B homogén mágneses erőtér irányára merőleges felületen fekszik. A hurkot gyorsan, t idő alatt 180 o -kal átforditjuk. Számitsuk ki, hogy
RészletesebbenNégypólusok tárgyalása Laplace transzformációval
Négypólusok tárgyalása Laplace transzformációval Segédlet az Elektrotechnika II. c. tantárgyhoz Összeállította: Dr. Kurutz Károly egyetemi tanár Szászi István egyetemi tanársegéd . Laplace transzformáció
RészletesebbenDifferenciaegyenletek
Differenciaegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2009/10 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 2009/10 tanév, I. félév 1 / 11
RészletesebbenFeladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.
Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t
RészletesebbenBevezetés az állapottér-elméletbe Dinamikus rendszerek állapottér reprezentációi
Tartalom Bevezetés az állapottér-elméletbe Irányítható alak Megfigyelhetőségi alak Diagonális alak Állapottér transzformáció 2018 1 A szabályozáselmélet klasszikus, BODE, NICHOLS, NYQUIST nevéhez kötődő,
RészletesebbenOszcillátorok. Párhuzamos rezgőkör L C Miért rezeg a rezgőkör?
Oszcillátorok Párhuzamos rezgőkör L C Miért rezeg a rezgőkör? Töltsük fel az ábrán látható kondenzátor egy megadott U feszültségre, majd zárjuk az áramkört az ábrán látható módon. Mind a tekercsen, mind
RészletesebbenELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 25. ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 25. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 20 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐORRÁS
Részletesebbenazonos sikban fekszik. A vezetőhurok ellenállása 2 Ω. Számítsuk ki a hurok teljes 4.1. ábra ábra
4. Gyakorlat 31B-9 A 31-15 ábrán látható, téglalap alakú vezetőhurok és a hosszúságú, egyenes vezető azonos sikban fekszik. A vezetőhurok ellenállása 2 Ω. Számítsuk ki a hurok teljes 4.1. ábra. 31-15 ábra
Részletesebben