Elektromosságtan. I. Egyenáramú hálózatok általános számítási módszerei. Magyar Attila

Átírás

1 Elektromosságtan I. Egyenáramú hálózatok általános számítási módszerei Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatika Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék február 22.

2 Áttekintés Gráfelméleti alapfogalmak 1 Egyenáramú hálózatok általános számítási módszerei Gráfelméleti alapfogalmak A gráfot jellemző mátrixok A gráfot jellemző mátrixok kapcsolata egymással és a gráffal Ohm-törvény Kirchoff-törvények Ágáramok és ágfeszültségek számítása A hurokáramok módszere A vágatfeszültségek módszere A csomóponti potenciálok módszere Átviteli mennyiségek Reciprocitás és szimmetria Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 2 / 45

3 A csúcs fokszáma a csúcshoz illeszkedő élek száma. A csúcsok számát n-nel, az élek számát b-vel jelöljük Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 3 / 45 Egyenáramú hálózatok általános számítási módszerei Gráfelméleti alapfogalmak Gráfelméleti alapfogalmak A hálózat gráfja a hálózat ágainak és csomópontjainak egymáshoz illeszkedését, azaz a hálózat struktúráját jellemzi Gráf: élek és csúcsok kölcsönös egymáshoz rendelése. Az élet vonaldarabbal, a csúcsot kis körrel jelöljük. Az él végpontja a csúcs. Két élnek közös pontja csak a csúcs lehet

4 Gráfelméleti alapfogalmak Végcsúcs: csak egyetlen élhez illeszkedik Nyitott él: csúcsnélküli él Izolált csúcs: olyan csúcs, amelyhez él nem illeszkedik Részgráf: a gráf csúcsainak és éleinek egy részhalmaza. Részgráfhoz tartozás szempontjából jellemezhető a gráf éleinek halmaza egy sorvektorral: x = [x 1 x 2... x b ], ahol 1, ha a j ág a részgráf eleme és megfelelő az irány x j = 0, ha a j ág nem eleme a részgráfnak 1, ha a j ág a részgráf eleme és fordított az irány x = [ ], x = [ ], x = [ ] Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 4 / 45

5 Gráfelméleti alapfogalmak Kiegészítő részgráfok: a két részgráf tartalmazza az eredeti gráf minden élét és csúcsát úgy, hogy a két részgráf egyetlen közös élet sem tartalmaz Út: Olyan (irányított) részgráf, amelynek két végcsúcsa van a többi csúcsának fokszáma a részgráfban pedig 2. Az út egy élen legfeljebb egyszer halad át. Minden út jellemezhető egy b elemű sorvektorral. Összefüggő gráf: bármely csúcsa között van legalább egy út. Az összefüggő részgráfok neve komponens. A komponensek számát c-vel jelöljük. Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 5 / 45

6 Hurok Gráfelméleti alapfogalmak Hurok (kör): olyan összefüggő (irányított) részgráf, amelyben minden csúcs fokszáma 2. A hurokból egy nyitott élet elhagyva utat kapunk A hurokban a csúcsok és az élek száma megegyezik. Jellemezhető egy sorvektorral: B T = [ ] Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 6 / 45

7 Gráfelméleti alapfogalmak Fa: az összefüggő gráf olyan összefüggő részgráfja, amely tartalmazza az összes csúcsot és annyi élet, hogy ne alakuljon ki hurok. n csúcs esetén a fának r = n 1 éle (faág) van. A faágak számát a gráf rangjának nevezzük, általánosan r = n c. Összefüggő gráf egy-egy fájában bármely csúcs között pontosan egy út van Egy irányított gráf fájában az (i)-től (j)-ig mutató utat jellemezze az L T ij sormátrix, a (j)-től (k)-ig vezető utat pedig L T jk. Ekkor L T ik = LT ij + L T jk mivel a fában tetsz két csúcs között az út egyértelmű. L T 14 = [ ] L T 47 = [ ] L T 17 = [ ] Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 7 / 45

8 Gráfelméleti alapfogalmak További példák: Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 8 / 45

9 Gráfelméleti alapfogalmak Fakomplementum: összefüggő gráf egyik fájának kiegészítő részgráfja. Általában nem tartalmazza a gráf valamennyi csúcsát. A fakomplementum élei a kötőélek (kötőágak) A fakomplementum éleinek száma a gráf nullitása: m = b r = b (n c) = b + c n Nem összefüggő gráf minden egyes komponenséhez rendelhető fa. Az egyes komponensekhez rendelt fák összessége erdőt alkot. Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 9 / 45

10 Vágat Gráfelméleti alapfogalmak Vágat: a gráf nyitott éleinek olyan halmaza, amelynek elhagyásával a kapott gráf rangja az eredeti gráf rangjánál egyel kisebb, és a vágat bármelyik élét a gráfba visszahelyezve a rang az eredeti gráf rangjával megegyezik. Több komponensből álló gráf esetén vágatot csak az egyik komponenshez tartozó nyitott élek alkothatnak, mert különben nem elégítik ki a vágat definícióját Vágatnak irányítás is adható oly módon, hogy az irányítás a vágat elhagyásával keletkezett két összefüggő részgráf egyikétől a másik felé mutat A vágathoz rendelhető egy Q T = [x 1 x 2... x b ] sorvektor, amely megadja, hogy a vágat a gráf mely éleit tartalmazza, és ezeknek milyen az irányítása a vágat irányításához képest Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 10 / 45

11 Gráfelméleti alapfogalmak Példa: Q T = [ ] Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 11 / 45

12 Fundamentális vágatrendszer Gráfelméleti alapfogalmak Vágatrendszer: adott gráfhoz rendelt több vágat vágatrendszert alkot. A vágatrendszer lineárisan független, ha a rendszerben lévő egyetlen vágat sorvektora sem fejezhető ki a többi vágat sorvektorainak lineáris kombinációjaként. Fundamentális vágatrendszer olyan lineárisan független vágatrendszer, amely a gráf bármely vágatával kiegészítve már nem lineárisan független. Ha adott a gráf egy fája (erdő), és a vágatokat úgy készítjük el, hogy minden vágat csak egy faágat vág el, a létrejött vágatrendszer lineárisan független lesz (minden vágat sorvektora tartalmaz egy olyan faágat, amit a többi nem tartalmaz). Fundamentális vágatrendszer = fa, v. erdő által generált vágatrendszer Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 12 / 45

13 Példa Gráfelméleti alapfogalmak A fundamentális vágatrendszert alkotó r számú vágat sorvektorai: Q T 1 = [ ] Q T 2 = [ ] Q T 3 = [ ] Q T 4 = [ ] Csúcsok által generált vágatok: n = 0 T i=1 A T i A T 1 = [ ] A T 2 = [ ] A T 3 = [ ] A T 4 = [ ] A T 5 = [ ] Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 13 / 45

14 Fundamentális hurokrendszer Gráfelméleti alapfogalmak Hurokrendszer: adott gráfhoz rendelt több hurok hurokrendszert alkot. A hurokrendszer lineárisan független, ha a rendszerben lévő egyetlen hurok B T k sorvektora sem fejezhető ki a többi hurok sorvektorainak lineáris kombinációjaként. Fundamentális hurokrendszer olyan lineárisan független hurokrendszer, amely a gráf bármely hurokjával kiegészítve már nem lineárisan független. Összefüggő gráf fundamentális hurokrendszere a gráf egy tetszőeges fája segítségével meghatározható úgy, hogy a fához sorba illesztjük a kötőéleket: minden kötőél feltétele egy hurkot, és így egy sorvektort határoz meg. Az így létrejött hurokrendszer fundamentális, mert minden hurokban szerepel egy olyan kötőág, amely a többi huroknak nem eleme. Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 14 / 45

15 Példa Gráfelméleti alapfogalmak A fundamentális hurokrendszert alkotó hurkok: B T 1 = [ ] B T 2 = [ ] B T 3 = [ ] A fundamentális hurokrendszert megadó sorvektorok száma megegyezik a gráf nullitásával (a kötőélek számával): m = b n + c Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 15 / 45

16 A gráfot jellemző mátrixok A gráfot jellemző mátrixok Ha ismerjük a hálózat struktúráját, definiálhatjuk a hálózatot jellemző mátrixokat: Csúcsmátrix (A t ) Hurokmátrix (B t ) Vágatmátrix (Q t ) Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 16 / 45

17 A gráfot jellemző mátrixok Csúcsmátrix - A t Incidencia mátrix n sora van (csúcsok száma) b oszlopa van (ágak száma) Értéke 0, ha (i) és j nem illeszkedik a ij = +1, ha j irányítása (i)-től elmutat 1, ha j irányítása (i) felé mutat Tulajdonságai: Egy oszlopban pontosan két nemnulla elem van Rangja n c (mint a gráfé) c sor elhagyható a mátrixból (komponensenként egy), mivel nem szolgáltat új információt a többihez képest (redukált csúcsmátrix A) Redukált csúcsmátrixból meghatározható a csúcsmátrix Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 17 / 45

18 A gráfot jellemző mátrixok Csúcsmátrix - A t A t = Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 18 / 45

19 A gráfot jellemző mátrixok Csúcsmátrix - A t A = Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 19 / 45

20 A gráfot jellemző mátrixok Hurokmátrix - B t Nullitás számú (m) sora van (hurkok száma) b oszlopa van (ágak száma) Értéke 0, ha j nem illeszkedik az i-edik hurokra +1, ha j illeszkedik az i-edik hurokra, b ij = és az irányítása a hurokéval egyező 1, ha j illeszkedik az i-edik hurokra, és az irányítása a hurokéval ellentétes B t = Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 20 / 45

21 A gráfot jellemző mátrixok Hurokmátrix - B t B t = A t = A csúcsmátrix és a hurokmátrix szorzata A t B T t = 0 B t A T t = Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 21 / 45

22 A gráfot jellemző mátrixok Vágatmátrix - Q t Rang számú (r) sora van (vágatok száma) b oszlopa van (ágak száma) Értéke q ij = 0, ha az i-edik vágat nem tartalmazza a j-edik élet +1, ha az i-edik vágat tartalmazza a j-edik élet, és az irányítása a vágatéval egyező 1, ha az i-edik vágat tartalmazza a j-edik élet, és az irányítása a vágatéval ellentétes A vágatmátrix és a hurokmátrix szorzata Q B T t t = 0 B t Q T t = 0 Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 22 / 45

23 A gráfot jellemző mátrixok kapcsolata egymással és a gráffal A gráfot jellemző mátrixok kapcsolata egymással és a gráffal Válasszuk ki a gráf egy fáját, és számozzuk az éleket úgy, hogy az 1, 2,..., m számúak kötőélek legyenek Válasszuk ki a gráfnak azt a fundamentális hurokrendszerét, amelyben az I. hurok az 1, a II. hurok a 2,... az m sorszámú hurok az m-edik kötőélet tartalmazza, a hurok irányítása egyezzen meg a megfelelő kötőélek irányításával Ekkor a fundamentális hurokrendszer hurokmátrixa partícionálható: B = [ I m F ], ahol I m az m m-es egységmátrix Redukált hurokmátrix normálalak Képezzünk a kiválasztott fával fundamentális vágatrendszert is úgy, hogy az I. vágat az m + 1-edik faélet, a II vágat az m + 2-edik faélet tartalmazza. A vágatok irányítása a faélek irányításával egyezzen meg. A faélek száma r, így a fundamentális vágatmátrix ] partícionálható: Q = [Q I e r Redukált vágatmátrix normálalak Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 23 / 45

24 Példa A gráfot jellemző mátrixok kapcsolata egymással és a gráffal Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 24 / 45

25 A gráfot jellemző mátrixok kapcsolata egymással és a gráffal A gráfot jellemző mátrixok kapcsolata egymással és a gráffal B = Q = I. II. III. IV. I. II. III. IV. Mivel Q B T = 0, ezért ] [Q I e r I m F T = 0 ] [I = 4 F [ ] = Q I e 4 ebből Q e = F T, vagy F = Q T e Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 25 / 45

26 Ohm-törvény Ohm-törvény Definiáljuk az egyenáramú ágtípusokra a hálózat ágáramaiból és ágfeszültségeiből alkotott oszlopvektort! Gráfélek, ágáramok, és feszültségek indexelése: I 1, I 2,..., I b ágáramok referencia iránya legyen az él irányítása Áramgenerátort tartalmazó ág árama az áramforrás és a belső ellenállás áramának összege (I = I A + I Z ) U 1, U 2,..., U b ágfeszültségek referencia iránya legyen az él irányítása Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 26 / 45

27 Ohm-törvény Ágáramok oszlopmátrixa (I ), véges ellenállású ágak árama (I Z ), és az áramforrások árama (I A ) Áram- vagy I 1 I Z1 I A1 feszültséggenerátort I 2 I =., I I Z2 Z =., I I A2 tartalmazó ágak esetén I Z A = eleme az áram-, vagy. feszültséggenerátor belső I b I Zb I Ab ellenállásán folyó áram Ágfeszültségek oszlopvektora (U), véges ellenállású ágak feszültségei (U Z ), és a forrásfeszültségek (U V ) Áram- vagy U 1 U Z1 U V1 feszültséggenerátort U 2 U =., U U Z2 Z =., U U V2 tartalmazó ágak esetén V = U. Z eleme az áram-, vagy feszültséggenerátor belső U b U Zb U Vb ellenállásán eső feszültség I A + I Z = I és U V + U Z = U Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 27 / 45

28 Ohm-törvény Az i-edik ág ellenállásának árama és feszültsége közötti kapcsolat: U Zi = R i I Zi ahol R i az i-edik ág ellenállása Valamennyi ágra felírva: U Z = R I Z, ahol R R R =..... mindig diagonális R b R inverze a G konduktanciamátrix: G G G = G b mindig diagonális Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 28 / 45

29 Kirchoff csomóponti törvénye Kirchoff-törvények Kirchoff csomóponti törvény a j-edik csomópontra: I k = 0, a csomóponttól elmutató a pozitív referencia irány k Minden csomóponthoz van egy A T j sorvektor, és így A T j (I A + I Z ) = 0 Az összes csomópontra: A t (I A + I Z ) = 0 Elegendő a redukált csúcsmátrixszal számolni: A(I A + I Z ) = 0 Független csomópontokra felírt Kirchoff-egyenletek egyenértékűek egy fundamentális vágatrendszerre vonatkozó Kirchoff-egyenletekkel: ahol Q a redukált vágatmátrix Q(I A + I Z ) = 0 Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 29 / 45

30 Kirchoff huroktörvénye Kirchoff-törvények Kirchoff huroktörvény a j-edik hurokra: U k = 0 k Minden hurkot egy B T j sorvektor jellemez, és így B T j (U V + U Z ) = 0 Az összes hurokra: B T t (U V + U Z ) = 0 Elegendő a az egyenletek a B fundamentális hurokrendszerre felírni: B U = B(U V + U Z ) = 0 ahol B a redukált hurokmátrix Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 30 / 45

31 Ágáramok és ágfeszültségek számítása Ágáramok és ágfeszültségek számítása (Feladat) Adott: a hálózatra jellemző Q, B, R, U V, I A mátrixok és vektorok Határozzunk meg: az ágáramokat és az ágfeszültségeket (I Z és U Z ) Kiindulási egyenletek: Q (I A + I Z ) = 0 B (U V + U Z ) = 0 Rendezve: Q I Z = Q I A B R I Z = B U V Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 31 / 45

32 Ágáramok és ágfeszültségek számítása Hipermátrixos alak: [ Q B R I Z meghatározása: [ I Z = ] [ Q I I Z = A B U V Q B R ] 1 [ Q I A B U V A hálózat passzív elemein fellépő feszültségek: [ Q R 1 ] 1 [ Q I U Z = R I Z = A B B U V A hálózat ágfeszültségei: [ Q R 1 U = U Z + U V = U V B ] ] ] ] 1 [ Q I A B U V U Z és U nem meghatározható a fenti képletekkel, ha a hálózat nulla ellenállású ágat tartalmaz Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 32 / 45 ]

33 A hurokáramok módszere A hurokáramok módszere Az ágáramok vagy ágfeszültségek meghatározására szolgáló egyenletekben az ismeretlenek száma b. A hurokáramok módszerének lényege az ismeretlenek számának csökkentése. Képezzük a hálózat gráfjának egy fundamentális hurokrendszerét. Minden hurokban folyik egy képzeletbeli áram. A hurokáramok referenciairánya a hurkok irányításával egyezik meg. Az ágáramokat az adott ágon áthaladó hurokáramok előjeles összege adja m hurokáram (ahány független hurok) Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 33 / 45

34 A hurokáramok módszere Feladat: b számú ismeretlen ágáram meghatározása. Hurokáramok felvételével r csomóponti egyenlet automatikusan teljesül. A hurokáramok száma pedig m. (r + m = b) Hurokáramokat tartalmazó oszlopvektor: J = J 1. J m A j-edik ág eredő árama az ághoz illeszkedő hurokáramok előjeles összege: I j = B T j J, ahol B j a B hurokmátrix j-edik oszlopa. Az összes ágáram: I Z -re rendezve: Eml. hurokegyenlet: U Z = R I Z = R (B T J I A ) I = I Z + I A = B T J I Z = B T J I A B U = B (U V + U Z ) = 0 Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 34 / 45

35 A hurokáramok módszere Behelyettesítve U Z -t a hurokegyenletbe: B U V + B U Z = B U V + B R B T J B R I A = 0 Rendezve: B R B T J = B (R I A U V ) Jelölje R B = B R B T Kifejezhető a hurokáram vektor: (A passzív elemek árama) I Z = B T R 1 B (hurokellenállás mátrixot) J = R 1 B B (R I A U V ) B (R I A U V ) I A Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 35 / 45

36 A vágatfeszültségek módszere A vágatfeszültségek módszere Az egyes vágatokban fellép egy ún. vágatfeszültség, amelynek referenciairánya a vágat irányításával egyezik meg. Egy ág feszültsége azon vágatfeszültségek előjeles összegével egyenlő, amely vágatok az ágat tartalmazzák. r vágatfeszültség, amelyek a huroktörvényt automatikusan kielégítik. Jelölje a vágatok sorrendjének megfelelően rendezett vágatfeszültség vektort V Q : Az i-edik ág feszültsége V Q = V Q1. V Qr U i = Q T i V Q, ahol Q i a vágatmátrix i-edik oszlopa. Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 36 / 45

37 A vágatfeszültségek módszere Az ágfeszültségek oszlopmátrixa: U = Q T V Q Célunk a vágatfeszültségek meghatározása U Z = U U V = Q T V Q U V Fundamentális vágatrendszerre vonatkozó Kirchoff-egyenletből: Q (I A + I Z ) = Q R 1 U Z + Q I A = = Q R 1 Q T V Q Q R 1 U V + Q I A = 0 Rendezve Q G Q T V Q = Q (G U V I A ), ahol G = R 1 Jelölje G Q = Q G Q T a vágatkonduktancia mátrixot, ekkor (A passzív elemek feszültsége) U Z = Q T G 1 Q V Q = G 1 Q Q (G U V I A ) Q (G U V I A ) U V Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 37 / 45

38 A csomóponti potenciálok módszere A csomóponti potenciálok módszere Válasszuk nullának a hálózat egy-egy komponensében egy-egy csomópont potenciálját! (Összefüggő hálózat esetén csak egy nullpotenciál van) Jelöljük a többi csomópont potenciálját φ 1,..., φ r -rel. Oszlopvektorba rendezve: φ 1 φ =. Meghatározhatók az ágfeszültségek: a k-adik ág feszültsége az ághoz illeszkedő (i) és (j) csomópont potenciáljának különbsége U k = ±(φ i φ j ) φ r (az ág irányításától függően) Ha A k az A csúcsmátrix k-adik oszlopa, akkor U k = A T K φ Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 38 / 45

39 A csomóponti potenciálok módszere Ágfeszültségek mátrixegyenlete: U = A T φ A csomóponti potenciálok automatikusan kielégítik a huroktörvényt. Az A csúcsmátrix speciális vágatmátrix, a csomóponti potenciálok kiszámítása a vágatfeszültségek meghatározására vezethető vissza: φ = G 1 A A (G U V I A ), ahol G A = A G A T a csomóponti konduktanciamátrix Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 39 / 45

40 Átviteli mennyiségek Átviteli mennyiségek A hálózat struktúrája sok esetben a következő alakú: Határozzuk meg az U 2 és I 2 kimeneti (szekunder) mennyiségeket az U 1 és I 1 bemeneti (primer) mennyiségek ismeretében! Lineáris hálózat esetében a kimeneti mennyiségek arányosak a bemeneti mennyiségekkel. Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 40 / 45

41 Átviteli mennyiségek Négy átviteli mennyiség definiálható: W U = U 2 U 1 feszültségátviteli tényező W I = I 2 I1 R T = U 2 I 1 áramátviteli tényező átviteli (transzfer) rezisztencia G T = I 2 U 1 átviteli (transzfer) konduktancia A négy mennyiség nem független egymástól, mivel U 2 = R I 2, és I 2 = G U 2, azaz W U = R G T, és W I = G R T Bemeneti mennyiségek R B = U 1 I 1 G B = I 1 U 1 bemeneti rezisztancia bemeneti konduktancia Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 41 / 45

42 Átviteli mennyiségek Ha U 1 feszültséggel gerjesztjük a bemenetet: I 1 = G B U 1, U 2 = W U U 1, I 2 = G T U 1 Ha I 1 árammal gerjesztjük a bemenetet: U 1 = R B I 1, U 2 = R T I 1, I 2 = W I I 1 Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 42 / 45

43 Reciprocitás és szimmetria Reciprocitás és szimmetria Kapcsoljunk az első kapura egy feszültségforrást, a másodikat pedig zárjuk rövidre és mérjük meg az áramokat Kapcsoljunk a második kapura egy feszültségforrást, az elsőt pedig zárjuk rövidre és mérjük meg az áramokat A hálózat a két kapura nézve reciprok, ha I 2 = I 1 ha a hálózat reciprok, és a források árama is megegyezik (I 1 = I 2 ), akkor a hálózat a két kapura nézve szimmetrikus Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 43 / 45

44 Reciprocitás és szimmetria Kapcsoljunk az első kapura egy áramforrást, a másodikat pedig zárjuk le szakadással és mérjük meg az áramokat Kapcsoljunk a második kapura egy áramforrást, az elsőt pedig zárjuk le szakadással és mérjük meg az áramokat A hálózat a két kapura nézve reciprok, ha U 2 = U 1 ha a hálózat reciprok, és a források feszültsége is megegyezik (U 1 = U 2 ), akkor a hálózat a két kapura nézve szimmetrikus Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 44 / 45

45 Reciprocitás és szimmetria Tétel A szimmetria feltétele Reciprocitás I 1 U = I 1 2 U, vagy U 2 1 I = U 1 2 I (a két oldalról mért rövidzárási konduktancia, 2 illetve üresjárási rezisztancia megegyezik) Lineáris ellenállásokból álló kétkapu mindig reciprok. Magyar A. (Pannon Egyetem) Elektromosságtan február 45 / 45