Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg 1) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a

Átírás

1 Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg ) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a b d c A megfelelő gráf: d a b c ) Egy szórakoztató feladat (Hamilton-féle probléma) Helyezzük el az,,,..., 9 számokat egy körön úgy, hogy bármelyik két szomszédos szám összege ne legyen osztható sem -mal, sem -tel és sem 7-tel

2 ) Még egy szórakoztató feladat Egy legalább hat személyből álló csoportban mindig van három, akik kölcsönösen ismerik egymást vagy három, akik egyáltalán nem ismerik egymást. x x x x 4 x x 6 Színezzük ki az x i és x j közötti élt pirossal ha x i és x j ismerik egymást, és színezzük ki kékkel, ha nem ismerik egymást. A feladat így is megfogalmazható: ha egy legalább hatpontú gráf bármelyik két pontja piros vagy kék éllel van összekötve, akkor van a gráfban vagy piros vagy kék háromszög. x legalább három ponttal ugyanolyan színű éllel van összekötve (piros vagy kék). Legyenek ezek: x, x, x 4 és legyen mindegyik él piros. Ha x és x piros éllel van összekötve, akkor van a gráfban piros háromszög. Ugyanez áll az x és x 4, valamint az x és x 4 pontokra is. (Ezek a piros háromszögek x, x, x vagy x, x, x 4 vagy x, x, x 4 ). Ha egyik eset sem áll fenn, akkor a fenti élek mindegyike kék, tehát ekkor van kék háromszög (x, x, x 4 ). Értelmezések A B = {(a, b) a A, b B} rendezett elemek halmaza A B = {{a, b} a A, b B vagy a B, b A} rendezetlen elemek halmaza Megjegyzés: {a, b} nem halmaz, mivel a és b nem feltétlenül különbözőek.

3 A gráf gráf G = (V, E, G), ahol V a szögpontok (vagy csúcsok vagy pontok) halmaza, E az élek halmaza és G : E V V Ha V =, akkor üres gráfról beszélünk. Használjuk a következő jelölést: G = (V (G), E(G), G(G)). n = V a G gráf rendje m = E a G gráf nagysága G egy (n, m) gráf Ha G(e ) = G(e ) akkor e és e párhuzamos élek (többszörös élek). Ha G(e) = {a, a} aakor e hurok. Ha G(e) = {a, b}, akkor a és b az e éllel vannak összekötve, a és b szomszédosak (e illeszkedik a-hoz és b-hez) Az a és b szögpontokat összekötő élek halmaza: G (a, b) = {e E G(e) = {a, b}}. Legyen x a G egy szögpontja. szögpontok halmaza: vagy N G (x) = {y V (G) e E(G), G(e) = {x, y}} N G (x) = {y V (G) G (x, y).} N G (x) vagy N(x) az x-szel szomszédos A G gráfban az x szögponthoz illeszkedő (nem hurok) élek halmaza: I G (x) = {e E(G) y V (G), y x, G(e) = {x, y}} Az x-hez illeszkedő hurokélek halmaza: L G (x) = {e E(G) G(e) = {x, x}} Az x szögpont foka, amelynek jelölése ϕ(x), az x-hez illeszkedő élek száma (A hurkot kétszer számítjuk). ϕ(x) = I G (x) + L G (x). Ha ϕ(x) = 0, akkor x izolált szögpont. Ha ϕ(x) =, akkor x végpont vagy levél. A többszörös él és hurok nélküli gráfot egyszerű gráfnak nevezzük. A G egyszerű gráfban G (a, b) minden a, b V és G (a, a) = minden a V, így G(e) = {a, b} helyett használhatjuk az {a, b} jelölést az egyetlen élre. Ebben az esetben a gráf jelölése: G = (V, E).

4 Az egyszerű gráfban az x foka (ϕ(x) vagy ϕ G (x) egyenlő az N G (x) halmaz elemszámával:: ϕ(x) = N G (x). Példák. e G e e e e gráf 4 e 6 4 e 7 V (G ) = {,,, 4, }, E(G ) = {e, e, e, e 4, e, e 6, e 7 }, G(e ) = G(e ) = G(e ) = {, 4}, G(e 4 ) = {, 4}, G(e ) = {, }, G(e 6 ) = {, }, G(e 7 ) = {, 4}. deg() = 4, deg() =, deg() =, deg(4) =, deg() = 0. a b c G egyszerű gráf e d V (G ) = {a, b, c, d, e}, E(G ) = { {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, e}, {b, d}{e, d} } Ha egy gráfban minden szögpont foka ugyananyi (r), akkor a gráf reguláris vagy r-reguláris.a következő gráf (7,4) 4-reguláris gráf. 4

5 Ha egy egyszerú gráfban bármelyik két szögpont szomszédos, akkor az teljes gráf. Az n szögpontú teljes gráf jelölése: K n. K K K K 4 K A G = (V, E) egyszerű gráf komplementuma a G = (V, E) egyszerű gráfnak, ha V = V és E = { {a, b} {a, b} E }. 4 4 G G Ha a G gráf n szögpontú, akkor E(G) E(G) = E(K n ). A G és G egyszerű gráfok izomorfak ha létezik egy φ : V (G ) V (G ) bijektiív függvény úgy hogy ha {a, b} E(G ), akkor {φ(a), φ(b)} E(G ). Tetszőleges gráfokra is értelemzhetjük az izomorfizmust. izomorfak, ha létezik agy A G és G gráfok φ : V (G ) V (G ) bijektív függvény, amelyre G (a, b) = G (φ(a), φ(b)) minden a, b V (G ). Példa izomorf gráfokra

6 x x 6 x a b c x x 4 x A φ föggvény a következő: G G x a b c φ(x) x x x x x 6 x 4 Izomorf gráfokban ϕ(x)=ϕ ( φ(x) ) minden x V (G ). Irányított gráf irányított gráf G = (V, E, G), ahol V szögpontok (vagy csúcsok vagy pontok) halmaza, E irányított élek halmaza és G : E V V e a e b e e 4 e e e 6 c d e 7 e 8 A fenti irányított gráfban az e és e párhuzamosak, de e 6 és e 8 nem. Legyen G egy irányított gráf. N be G (y) = {x V ( G) G (x, y) } N ki G (y) = {z V ( G) G (y, z) } Az x be-foka az x-be befutó élek száma, az x ki-foka az x-ből kifutó élek száma. Egyszerű irányított gráfokra: Az x be-foka: ϕ be (x) = N be (x) 6

7 és az x ki-foka: ϕ ki (x) = N ki (x). Gráfok ábrázolása ) értelmezés szerint ) geometriai ábrázolás ) szomszédsági mátrix G = (E, V, G), V = {x, x,..., x n } A = (a ij ) i,j=,n szomszédsági mátrix, ahol { G a ij = (x i, x j ) if i j G (x i, x j ) if i = j Példa: x x x x 4 A = ϕ(x i ) = n a ij, minden i =,,..., n j= Az egyszerű gráf szomszédsági mátrixában csupa 0 és szerepelnek. Irányított gráf esetében a definíció ugyanaz. 4) illeszkedési mátrix G = (E, V, G), V = {x, x,..., x n }, E = {e, e,..., e m } B = (b ij ) i=,n,j=,m, ha x i illeszkedik e j -hez és e j nem hurok b ij = ha x i illeszkedik e j -hez és e j hurok 0 ha x i nem illeszkedik e j -hez 7

8 x e e e x e 4 x e x 4 e 6 e 7 B = e e e e 4 e e 6 e 7 x x x 0 0 x ) listák a) x x x x 4 x x x x x x x x x 4 x 4 x 4 x x x láncolt listák b) x x x 4 x x x x x x x 4 x 4 x x x c) x x x 4 x x x x x x x 4 x 4 x x x 4 7 Tulajdonságok: ) G = (V, E, G), E(G) = m, akkor x V (G) ) A páratlan fokú szögpontok száma páros. ϕ(x) = m. ) Minden egyszerű gráfban van legalább két azonos fokú szögpont. Bizonyítás a skatulyaelvvel. Ha V (G) = n, akkor a fokszámok csak 0,,..., n vagy,,..., n lehetnek. 8