17. előadás: Vektorok a térben

Átírás

1 17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd

2 A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett (P 1 P 2 ) pontpárok, ahol azonosítjuk a (P 1 P 2 ) és (Q 1 Q 2 ) párokat, amennyiben P 1, P 2, Q 2, Q 1 ebben a sorrendben egy valamilyen irányban körüljárt parallelogramma egymás után következő csúcspontjai. Jelölés P 1 P 2. Minden v vektorhoz és P 1 ponthoz létezik egyetlen olyan P 2 pont, hogy P 1 P 2 = v. P 1 neve: v kezdőpontja, P 2 neve: v végpontja.

3 Vektorok iránya és hossza Ha a P 1, P 2, P 3 pontok egy egyenesre illeszkednek, és ebben a sorrendben követik rajta egymást, akkor azt mondjuk hogy a P 1 P 2 és P 2 P 3 vektorok egyirányúak, a P 1 P 2 és P 3 P 2 pedig ellentéttes irányúak. Két vektort párhuzamosnak mondunk, ha egyirányúak vagy ellentétes irányúak. A nulla-vektor: 0 = PP. Minden v 0 vektorhoz létezik egymással párhuzamos e egyenesek pontosan egy családja, amelyekkel bármely v = P 1 P 2 reprezentáció esetén a P 1, P 2 pontpárra illeszkedő egyenes párhuzamos. Ezen párhuzamos egyenesek halmazát v irányának nevezzük. A 0 vektornak nem értelmezett az iránya. Egy P 1 P 2 vektor P 1 P 2 hossza a P 1 P 2 szakasz hossza. Tétel Egy v 0 vektort iránya és hossza egyértelműen meghatározza.

4 Vektorok összeadása Legyenek v 1, v 2 vektorok. Reprezentáljuk v 1 -et tetszőleges P 1 kezdőponttal: v 1 = P 1 P 2 és v 2 -t P 2 kezdőponttal: v 2 = P 2 P 3. Ekkor v 1 és v 2 összege: Álĺıtás Minden a, b, c vektor esetén v 1 + v 2 = P 1 P 3. a + b = b + a, valamint Végül, ( a + b) + c = a + ( b + c). a + 0 = a.

5 Vektorok szorzása skalárral Legyen v = P 1 P 2 tetszőleges nem 0 vektor és α R skalár. Ha α = 0 akkor legyen 0 v = 0. Tegyük fel, hogy α > 0. Ekkor az α v vektort úgy definiáljuk, hogy ha v = P 1 P 2 egy reprezentáció, akkor legyen α v = P 1 P 3 az egyetlen olyan P 3 pontra, amelyre P 1, P 2, P 3 pontok egy egyenesre illeszkednek, ebben a sorrendben követik rajta egymást, valamint α v = α v. Végül, ha α < 0 és v = P 1 P 2 akkor legyen α v = P 1 P 3 arra a P 3 pontra, amelyre P 3, P 1, P 2 pontok egy egyenesre illeszkednek, ebben a sorrendben követik rajta egymást, valamint α v = α v. Speciális eset: v = ( 1) v.

6 Műveleti azonosságok Tétel Minden a, b vektor és α, β R esetén teljesülnek a következő tulajdonságok: 0 a = 0 1 a = a (α + β) a = α a + β a (αβ) a = α (β a) a + ( 1) a = 0 α ( a + b) = α a + α b

7 Vektortér Definíció Egy valós vektortér egy V halmaz, ellátva egy 0 V elemmel, valamint a következő műveletekkel: + : V V V minden α R esetén α : V V, amelyekre teljesülnek a fent felsorolt tulajdonságok.

8 Vektorok lineáris függetlensége Legyen V egy vektortér és legyenek v 1,..., v n V. Definíció A v 1,..., v n vektorok α 1,..., α n R skalárokra vett lineáris kombinációja a α 1 v α n v n vektor. A lineáris kombináció triviális, ha α 1 = = α n = 0. Ellenkező esetben azt mondjuk, hogy a lineáris kombináció nem-triviális. Azt mondjuk, hogy a v 1,..., v n vektorok lineárisan függők, ha létezik olyan nem-triviális lineáris kombinációjuk, amely egyenlő 0-val. Ellenkező esetben azt mondjuk, hogy a v 1,..., v n vektorok lineárisan függetlenek. Megjegyzés Bármely vektorok triviális lineáris kombinációja a 0.

9 Vektortér generátor-rendszere, bázisa Legyen V egy vektortér és legyenek v 1,..., v n V. Definíció Azt mondjuk, hogy a v 1,..., v n vektorok V egy generátor-rendszerét alkotják, ha bármely v V esetén létezik v 1,..., v n -nek olyan lineáris kombinációja, amely megegyezik v-vel. Azt mondjuk, hogy v 1,..., v n vektorok V egy bázisát alkotják, ha lineárisan függetlenek és generátor-rendszert alkotnak. Amennyiben V -nek létezik véges elemszámú bázisa, akkor egy bázisának (egyértelműen meghatározott) elemszámát V dimenziójának nevezzük. Tétel v 1,..., v n akkor és csak akkor alkot bázist, ha minden v V előáll egyértelműen v 1,..., v n lineáris kombinációjaként.

10 Bázisra vonatkozó koordináták Legyen V egy vektortér és e 1,..., e n egy bázisa. Definíció Egy tetszőleges v V e 1,..., e n -re vonatkozó koordinátái az egyetlen olyan (v 1,..., v n ) R n, amelyre v = v 1 e v n e n. Tétel Legyenek a v, w V koordinátái az e 1,..., e n bázisra nézve rendre (v 1,..., v n ), (w 1,..., w n ) R n. Ekkor, v + w koordinátái ugyanerre a bázisra nézve: (v 1 + w 1,..., v n + w n ). Bármely α R esetén α v koordinátái ugyanerre a bázisra nézve: (αv 1,..., αv n ).

11 A Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszer Az euklideszi sík 2-dimenziós, tehát egy i, j bázisára vonatkozó koordináták segítségével azonosíthatjuk R 2 -vel. Így, R 2 vektorteret alkot. Legyenek (x, y) egy P pont koordinátái i, j-re nézve. Ekkor x neve: P abszcisszája, y neve: P ordinátája. Az O(0, 0) pont: a koordináta-rendszer origója. Általánosabban: minden n 1 esetén R n vektorteret alkot. Legyen P 1 (x 1, y 1 ), P 2 (x 2, y 2 ) két pont. Ekkor P 1 és P 2 egymástól mért távolsága (Pithagorasz): d(p 1, P 2 ) = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2. Így i = 1 = j. Megjegyzés A távolság-fogalom nem része a vektortér definíciójának.

12 Skalár-szorzat vektortéren Legyen V egy vektortér. Definíció Egy skalár-szorzat V -n egy olyan.,. : V V R függvény, amelyre minden α, β R és a, b, c V esetén a, b = b, a α a, β b = αβ a, b a + b, c = a, c + b, c a, a > 0 ha a 0. Példa A szokványos skalár-szorzat V = R n -en: (v 1,..., v n ), (w 1,..., w n ) = v 1 w v n w n.

13 Euklideszi vektortér, hossz, hajlásszög Definíció Egy.,. skalár-szorzattal ellátott V vektorteret euklideszi térnek hívunk. Ha V,.,. euklideszi tér akkor egy v V hossza: Cauchy-egyenlőtlenség: v = v, v. v, w v w. Két v, w V vektor által közbezárt szög az (előjel és 2π egy egész számú többszöröse erejéig) egyetlen olyan ϕ R, amelyre cos(ϕ) = v, w v w. Többek között, v, w merőlegesek egymásra (jelölés: v w), ha ϕ = ± π 2, azaz v, w = 0.

14 Vektor párhuzamos és merőleges komponense másik egy vektorra nézve Legyen V,.,. euklideszi tér és v 0, w V. Álĺıtás Létezik pontosan egy olyan ( w 0, w 1 ) V 2 vektorpáros, amelyre w = w 0 + w 1, és w 0 párhuzamos v-vel, w 1 pedig merőleges v-re. Bizonyítás Legyen w 0 = v, w v, v v, ekkor nyilván w 0 párhuzamos v-vel. Legyen w 1 = w w 0, akkor v, w 1 = v, w v, w 0 = v, w v, w v, v = 0. v, v

15 Síkbeli polár-koordináták Egy P(x, y) O pont esetén legyen r = x 2 + y 2 > 0, ϕ R pedig egy olyan szög, amelyre cos(ϕ) = x r, sin(ϕ) = y r. Ekkor ϕ jól meghatározott 2π egy egész számú többszöröse erejéig. (V.ö. a z = x + yi komplex szám trigonometriai alakjával.)