Hajder Levente 2017/2018. II. félév

Átírás

1 Hajder Levente Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév

2 Tartalom 1 2 3

3 Geometriai modellezés feladata A világunkat modellezni kell a térben. Valamilyen koordinátarendszer szükséges Mozgó (dinamikus) tárgyak esetén a térbeli mozgást le kell írni. Mozognak Pörögnek-forognak Kicsinyednek-nagyobbodnak Vetítés feladata A háromdimenziós világot levetíteni a kétdimenziósképsíkra. Kameraszerű képet adni.

4 Tartalom 1 2 3

5 Descartes, 1637.: Értekezés a módszerről (Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences) Legtöbbször ezzel találkozunk, ez a legegyszerűbb és legelterjettebb megadási mód A dimenziónak megfelelő számú koordinátával írjuk le a pontokat

6 Az euklidészi sík minden véges pontjához egyértelműen hozzárendel egy rendezett, valós (x, y) számpárt, ahol az x az abszcissza és y az ordináta Ehhez válasszunk két, egymásra merőleges, irányított egyenest, az OX (x) és OY (y) koordinátatengelyeket, amelyek egymást az O pontban, az origóban metszik. Ekkor a P pont x és y koordinátái a P pont OX és OY irányított egyenesektől vett előjeles távolsága Három dimenzióban hasonló: 3 koordináta, 3 egymásra merőleges koordináta tengely

7 Geometriai értelmezés Szemléletesebben: A P(a,b,c) az a pont, amit az origóból az x tengely mentén a egységet lépve, majd az y tengely mentén b egységet lépve, végül a z tengely mentén c egységet lépve kapunk

8 Geometriai értelmezés Vagyis a fenti értelmezés szerint, felhasználva az egységnyi hosszú, koordinátatengelyek irányába mutató i, j, k bázisvektorokat, az [a, b, c] T koordináták a következő pontot azonosítják: P = O + ai + bj + ck 1 0 = O + a 0 + b 1 + c

9 Sodrásirány - jobbsodrású rendszer

10 Sodrásirány - balsodrású rendszer

11 Tartalom 1 2 3

12 Síkbeli polákoordináta-rendszer Egy O kezdőpontból (referenciapontból) induló félegyenes (polártengely) határozza meg. Egy P pont helyét két adat azonosítja: (r, φ) r 0: a P pont O-tól vett távolsága φ [0, 2π): az O-n és P-n átmenő egyenes polártengellyel bezárt szöge r = 0 esetén a feĺırás nem egyértelmű

13 Konverziók Polár Descartes: Descartes polár: r = x 2 + y 2 φ = x = r cos φ, y = r sin φ arctan y x, x > 0 y 0 arctan y x + 2π, x > 0 y < 0 arctan y x + π, x < 0 π 2, x = 0 y > 0 3π 2, x = 0 y < 0???, x = 0 y = 0 arctan() nem egyértelmű (π periodikus) ezért programozásban az φ = atan2 (y, x) függvényt használjuk

14 Gömbi koordináták

15 Gömbi koordináták Térbeli polár-koordináták; egy alapsík (és annak PKR-e) illetve egy arra merőleges Z tengely Egy térbeli P pontot három adat reprezentál: (r, φ, θ) r, φ: a P pont alapsíkra vett vetületének polárkoordinátái θ [0, π]: az O és P-t összekötő egyenes Z tengellyel bezárt szöge

16 Konverziók A síkban látott esethez hasonló feltételek mellett: Gömbi Descartes: x = r cos φ sin θ, y = r sin φ sin θ, z = r cos θ Descartes gömbi: r = x 2 + y 2 + z 2 φ = atan2(y, x) θ = arccos z r, r 0 Az x=y=z=0 eset itt is többértelmű!

17 Tartalom 1 2 3

18 August Ferdinand Möbius [1827] Motiváció: sokszor egy konkrét, véges része érdekes csak számunkra a térnek. Ennek a Descartes-félénél egy kiegyensúlyozottabb reprezentációját keressük. A baricentrikus koordináták nem függnek egy pont önkényes origónak választásától

19 Tömegközéppont Mechanikai analógia: pontrendszer tömegközéppontja Legyen n + 1 pontunk és helyezzünk minden P i pontba m i R súlyt. Ekkor a tömegközéppont: M = 1 n i=0 m i n m i P i i=0

20 Ha E n -ben az A 0,..., A n pontok kifeszítik a teret (nem egy n 1 dimenziós altérbe esnek), akkor a tér bármely X pontjához találhatóak λ 0,..., λ n valós számok úgy, hogy X = n λ i A i, i=0 ahol a λ i baricentrikus koordinátákra teljesül, hogy n λ i = 1. i=0

21 Megjegyzés Ha i-re λ i 0, akkor konvex kombinációról beszélünk és a pontok konvex burkába esnek a kombináció eredményei. Az affin transzformációk nem változtatják meg a baricentrikus koordinátákat Homogén jellegű koordináták: egy h 0 számmal megszorozva a koordinátákat ugyanazt a pontot kapjuk.

22 Tartalom 1 2 3

23 Homogén koordináták Az euklideszi tér minden pontjához hozzárendelünk egy számnégyest, homogén koordinátákat: P hom = [x, y, z, w] T Átváltás P real = [x, y, z ] Descartes-i és P hom = [x, y, z, w] T homogén koordinátákkal megadott pontok között: Odafelé: x = x/w, y = y/w, és z = z/w Visszafelé: x = hx, y = hy, z = hz, és w = h, ahol h R A megfeleltetés többértelmű, hiszen h értéke tetszőleges lehet (zérust kivéve): egy valós koordinátához végtelen sok homogén koordinátás alak tartozik.

24 Lineáris transzformációk 4 4-es mátrixszal leírhatóak A transzformációkat P = [x, y, z, 1] alakú pontokon végezzük P = TP alakban kapjuk az eredményt Transformációk típusai: Egybevágósági transzformációk (T elt ) (T forg ) (T tukor ) Hasonlósági transzformációk (T s) Egyéb transzformációk (T ny ) A transzformációk egymás után elvégezhetőek, ebben az esetben (jobbról balra haladva) szorzatot kell feĺırni. Például: T = T forg1 T s T forg2 T elt1 T ny T s2

25 Tartalom 1 2 3

26 d = [d x, d y, d z ] vektorral való eltolást valósít meg d x Alakja T elt = d y d z Az eredmény vektor P = T elt P hossza megegyezik az eredeti P vektor hosszával T elt egybevágósági transzformáció

27 Tartalom 1 2 3

28 X, Y, Z tengely körüli elforgatás szögét jelöljük rendre α-val, β-val és γ-val. A forgatási mátrixok alakjai: T α = T β = cos(α) sin(α) 0 0 sin(α) cos(α) cos(β) 0 sin(β) sin(β) 0 cos(β) , és

29 Továbbá: T γ = cos(γ) sin(γ) 0 0 sin(γ) cos(γ) A teljes 3D-s forgatás a három forgatás szorzataként adható meg: T forg = T α T β T γ Az eredmény vektor P = T forg P hossza megegyezik az eredeti P vektor hosszával T forg egybevágósági transzformáció

30 Tartalom 1 2 3

31 d = [d x, d y, d z ] vektorral való eltolást valósít meg Alakja (tükrözés az X tengelyre) T tukor = Az eredmény vektor P = T tukor P hossza megegyezik az eredeti P vektor hosszával, ezért T tukor egybevágósági transzformáció A tükrözés a többi tengely esetében is lehetséges, de az X tengelyre tükrözéssel + forgatással tetszőleges forgatás + tükrözés helyettesíthető.

32 Tartalom 1 2 3

33 A skálázás a P vektor hosszát nyújtja meg s-szeresére s Alakja T s = 0 s s A transzformáció a méretet megváltoztatja, de a szögeket nem hasonlósági transzformáció

34 Koordinátánkánt lehet saját skálát is alkalmazni: s x T s = 0 s y s z A hasonlósági tulajdonságot ezzel elveszítjük

35 Tartalom 1 2 3

36 A nyírás a tárgy szögeit is megváltoztatja 1 a b 0 Alakja T ny = 0 1 c