Az elméleti mechanika alapjai

Átírás

1 Az elméleti mechanika alapjai Tömegpont, a továbbiakban részecske. A jelenségeket a háromdimenziós térben és időben játszódnak le: r helyzetvektor v dr dt ṙ, a dr dt r a részecske sebessége illetve gyorsulása. A tér homogén (3 szimmetria) és izotróp (3 szimmetria): vonatkoztatási rendszert kell választanunk, a lehető legegyszerűbbet. Mindig lehet, olyan vonatkoztatási rendszert találni, amelyben a tér homogén és izotrop, az idő pedig homogén. Az ilyen rendszert tehetetlenségi vonatkoztatási rendszernek nevezzük. Ha ebben a szabad test valamely időpontban nyugalomban van, akkor korlátlan ideig nyugalomban is marad. Az idő homogén és reverzibilis (1 szimmetria) A tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerek egyenértéküek (relativitás elve) (3 szimmetria)

2 Egy rendszer mozgásegyenletét a minimális hatás elve határozza meg Minden rendszert egy adott L(t, q 1,..., q n, q 1,..., q n) (1) Lagrange-függvény jellemez, q i a rendszer általánosított koordinátái. t = t 1 és t = t időpillanatban a q (1) illetve q (). S[q] = t hatásintegrál minimális értéket vesz fel. Euler-Lagrange egyenletekkel. t 1 L(t, q, q)dt () d dt L q i = L qi, i = 1,,..., n (3)

3 Az egydimenziós mozgás Egy szabadság fok = egydimenziós mozgás. általános Lagrange függvény. Példa: L = a(q) q U(q) L = mẋ U(x), egyenesvonalú mozgás; x - Descartes koordináta L = mr θ U(θ), θ központi szög köríven történő mozgás;

4 Nem szükséges a mozgásegyenletet megoldani: mẋ + U(x) = E = állandó dx m dt = [E U(x)] = t = m dx E U(x) + C. A két tetszőleges állandó: E-teljes energia és C integrációs állandó. T > 0 E > U(x) a mozgás a térnek csak abban a tartományában mehet végbe ahol U(x) < E.

5 A(x 1), B(x ) és C(x 3) pontokban E = U(x i ), (i = 1,, 3) megállási pontok. két pont határol periodikusan ismétlődő mozgás T a rezgés periódusa. T = t x1 x : T (E) = x (E) dx m x 1 (E) E U(x) U(x) szélsőértékpontja egyensúlyi állapot. minimum pont = stabil egyensúly maximum pont = instabil egyensúly

6 A mechanika megmaradási törvényei q i mennyiségek változnak időben. φ k (q 1,..., q n, q i,..., q n) = állandó, k = 1,..., n 1 mozgásállandóknak (csak a kezdeti feltételektől függnek). n szabadsági fokok száma. Nem mindegyik játszik egyformán fontos szerepet. Additív megmaradó mennyiségek Noether tétele értelmében minden folytonos szimmetriának megfelel egy megmaradó mennyiség.

7 Energia megmaradás Az idő homogenitásának következménye. Ha L(t, q 1,..., q n, q 1,..., q n) (4) típusú alapfüggvény nem függ expliciten az időtől akkor mennyiség állandó. E = n i=1 q i L q i L

8 Az impulzus megmaradása Zárt rendszer mechanikai tulajdonságai nem változnak meg, ha a rendszert mint egységes egészet önmagával tárhuzamosan tetszőleges módon eltoljuk. r a r a + ɛ végtelen párhuzamos kis eltolás A Lagrange-függvény, legyen invariáns ezzel az eltolással szemben. δl = a L r a δr a = ɛ a L r a, ɛ a rendszer impulzusa a δl = 0, a d L = d L = 0 dt v a dt v a a P = a P = a L r a = 0 (5) L v a = állandó m av a.

9 P = a m av a. additív. független attól, hogy elhanyagolható-e a részecskék közötti kölcsönhatás, vagy sem. Csak külső tér hiányában igaz a megmaradási tétel. Az impulzus egy-egy komponense azonban külön megmaradó mennyiség lehet külső tér jelenlétében is, ha a potenciális energia nem függ valamelyik Descartes-koordinátától. Példa: a z tengely irányába mutató homogén térben az impulzus x és y irányú komponensei mozgásállandók. Az impulzusmegmaradás fizikai jelentése zárt rendszerben a L r a = a U r a = a F a = 0. a F a

10 Két tömegpont esetén: F 1 + F = 0 hatás-ellenhatás (akció-reakció) törvénye. Ha L = L(t, q, q) p i = L q i q i általános koordináták q i általános sebességek p i általános impulzusok F i = L q i általános erők Általános esetben ṗ i = F i. p i m q i A p i mennyiségek a q i általános sebességek homogén lineáris függvényei,

11 A tömegközéppont K vonatkoztatási rendszer V sebességgel mozog a K vonatkoztatási rendszerhez képest v a = v a + V P = a m av a = a m av a + V a m a P = P + V a m a. (6) K vonatkoztatási rendszer, amelyben a teljes impulzus nulla V = P = a a mava ma a ma (7) nyugalomban van az adott vonatkoztatási rendszerben V a mechanikai rendszer egységes egészként, nem nulla impulzussal történő mozgásának sebessége.

12 p a = mv a, P = MV M = a ma a tömeg additív.

13 az V = P = a a mava ma R = a mara a ma a ma (8) teljes időderiváltja az egységes egésznek tekintett rendszer sebessége az R helyzetvektor mozgásának sebességével egyezik meg. R a rendszer tömegközéppontja. zárt rendszer tömegközéppontja egyenes vonalú egyenletes mozgást végez. impulzusmegmaradás tehetetlenség törvényének általánosítása több tömegpont esetére Zárt rendszer esetén általában a tömegközéppont nyugalmi vonatkoztatási rendszerét használjuk.

14 Ha V = 0 E = E b belső energia E = MV + E b. (9) Bizonyítás: K és K vonatkoztatási rendszerek E illetve E energiák: E = 1 m av a + U = 1 m a(v a + V a) + U = (10) a = MV + V a a m av a + a m av a + U, (11) E = E + V P + MV. energia transzformációja. Ha K rendszerben a tömegközéppont nyugalomban van P = 0, E = E b,

15 Impulzusnyomaték megmaradása A tér izotróp zárt rendszer mechanikai tulajdonságai nem változnak meg, ha az anyagi rendszert mint egységes egészet tetszőleges módon elforgatjuk a térben δϕ végtelen kis elforgatás vektora abszolút értéke egyenlő az elforgatás δϕ szögével iránya megegyezik a forgatás tengelyével (jobb csavar)

16 δr = r sin θδϕ δr r, δϕ δr = δϕ r Minden vektor azonos módon transzformálódik, a sebesség is: δv = δϕ v. (1)

17 δl = a ( L δr a + L ) δv a = 0 r a v a a L v a = p a L r a = ṗ a [ṗ a (δϕ r a) + p a (δϕ v a)] = 0 δϕ tetszőleges δϕ a (r a p a + v a p a ) = δϕ d r a p dt a = 0. d r a p dt a = 0, a a J = a r a p a = állandó a rendszer impulzusnyomatéka additív. független attól, hogy elhanyagolható-e a részecskék közötti kölcsönhatás, vagy sem.

18 - Koordináta-rendszertől való függés Az impulzusnyomaték függ a koordináta-rendszer kezdőpontjának megválasztásától. Ha r a = r a + a J = a r a p a = a r a p a + a a p a, J = J + a P. ha az anyagi rendszer mint egységes egész nyugalomban van (P = 0) akkor az impulzusmomentum nem függ a koordináta-rendszer kezdőpontjának a megválasztásától

19 -Inercia-rendszertől való függés K és K inerciarendszerek, V relatív sebesség, a koordináta-rendszerek kezdőpontjai az adott időpillanatban egybeesnek. v a = v a + V összefüggés áll fenn. J = a m ar a v a = a m ar a v a + a m ar a V. J = J + MR V. (13) J = J + R P. (14) mechanikai rendszer impulzusnyomatéka = a rendszer saját impulzusnyomatéka abban a vonatkoztatási rendszerben, amelyben nyugalomban van + rendszernek mint egésznek a mozgásából adódó impulzusnyomaték. Külső tér esetén nem marad meg az impulzusnyomaték mindhárom komponense. Ha a tér egy adott tengelyre forgásszimmetrikus a rendszer tulajdonságai nem változnak meg e tengely körül való elforgatásakor az impulzusnyomatéknak erre a tengelyre való vetülete megmarad.

20 Példák: centrális erőtér: az impulzusnyomatéknak a centrumon átmenő tetszőleges tengelyre vonatkozó vetülete megmarad. (csak a centrumra érvényes) z tengely irányába mutató homogén erőtér: megmarad a J z komponens tetszőleges pontra vonatkoztatva. J z = a L ϕ a, (15) r, ϕ, z hengerkoordinátákban (x a = r a cos ϕ a, y a = r a sin ϕ a): J z = a m a(x aẏ a y aẋ a) = a m ar a ϕ a. (16) L = 1 m a(ṙa + ra ϕ a + ża ) U, a Zárt rendszernek hét additív állandója van: energia, impulzus, impulzusnyomaték

21 Egydimenziós szabad rezgések Kis rezgések a rendszer stabil egyensúlyi állapota, q 0, közelében du dq (q0) = 0 U(q) U(q 0) + U (q 0) (q q 0) ahol U (q 0) k > 0. U(q 0)-t vehetjük nullának, x q q 0 U(x) = k x. a(q) a(q 0) m L = mẋ kx Az Euler-Lagrange egyenletből mẍ + kx = 0, vagy ẍ + ω x = 0, ω = k m a rezgés körfrekvenciája

22 Lineáris differenciálegyenlet, cos ωt és sin ωt két lineárisan független megoldás x(t) = c 1 cos ωt + c sin ωt = a cos(ωt + α) általános megoldás a = c 1 + c a rezgés amplitudója, tan α = c c 1, α a fázis kezdeti értéke T = π ω = π m k. Az egységnyi időre eső rezgések száma a rezgés ν = 1 = ω a rezgés T π frekvenciája. A frekvencia nem függ a mozgás kezdeti feltételeitől harmónikus oszcillátor. Csak kis rezgések esetén. Magasabb közeĺıtésben nem érvényes. E = mẋ + kx = m (ẋ + ω x ) = 1 mω a. Alternatív, könnyebben kezelhető, feĺırás: x = R[Ae iωt ], A = ae iα C, komplex amplitudó

23 Kényszerrezgések Változó külső tér hatása alatt álló oszcillátor. külső erő. F (t) = x U k(x, t) U k (x, t) = F (t)x L = mẋ kx + xf (t) mẍ + kx = F (t) ẍ + ω x = 1 m F (t) állandó együtthatós inhomogén lineáris differenciálegyenlet. Általános megoldás x(t) = x 0(t) + x 1(t), ahol x 0(t) a homogén egyenlet általános megoldása, x 1(t) pedig az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása. Legyen F (t) = f cos(ωt + β), Ω ω x 1 = b cos(ωt + β) egy partikuláris megoldás. b = f m(ω Ω )

24 f x(t) = a cos(ωt + α) + cos(ωt + β) m(ω Ω ) a és α állandókat a kezdeti feltételek határozzák meg. Ha ω = Ω (rezonancia) x(t) = a cos(ωt + α) + f t sin(ωt + β) mω Amplitudó lineárisan nő az idővel (egészen addig, amíg a rezgés kicsi, s így az elmélet érvényes). Ha Ω = ω + ε, ε ω (rezonancia közelében) x(t) = Ae iωt + Be i(ω+ε)t = (A + Be iε )e iωt. Változó amplitudójú kis rezgés, melynek amplitudója: C = A + Be iωt = a + b + ab cos(εt + β α) a b C a + b ε körfrekvenciával periódikusan rezeg a határok között. Ezt a jelenséget lebegésnek nevezzük.

25 Tetszőleges F (t) gerjesztő erő esetén a mozgásegyenlet átírásával Legyen ξ ẋ + iωx ahol ξ 0 = ξ(t = 0). d dt (ẋ + iωx) iω(ẋ + iωx) = 1 m F (t) dξ dt iωξ = 1 m F (t) ξ(t) = e iωt ( t 0 1 m F (t)e iωt dt + ξ 0 )

26 A rendszernek átadott E = m (ẋ + ω X ) = m ξ energia a hatásnak teljes ideje alatt ( -től + ig) : E = 1 m + F (t)e iωt dt Ha a külső erő annak periódusához képest csak rövid ideig hat ωt << 1, akkor : E = 1 ( + F (t)dt). m rövid ideig ható erő Fdt impulzus közöl a rendszerrel.

27 Csillapított rezgések Közegben való mozgás mozgást lassító közegellenállás a mozgási energia hővé alakul, disszipálódik. f s = αẋ ; α > 0 általános súrlódási erő. Newton egyenlet. L = mẍ = kx αẋ [ m ẋ k ] x e α m. ω 0 = k m ; δ = α m A mozgásegyenlet ẍ + δẋ + ω 0x = 0 állandó eggyütthatóju másodrendű lineáris differenciálegyenlet.

28 Megoldását x = e rt formában keressük. r + δr + ω 0 = 0 karakterisztikus egyenlet : x(t) = c 1e r 1t + c e r t, r 1, = δ ± δ ω 0. Ha δ < ω 0 r C x(t) = ae δt cos(ωt + ϕ), ω = ω 0 δ, a, ϕ R. Csillapított rezgés. δ csillapítási tényező. Ha δ ω 0, egy periódus alatt kis mértékben változik a rezgés amplitudója, ezért átlagolhatunk egy periódusra: Ē = E 0e δt

29 Ha δ > ω 0 r R : x(t) = c 1e (δ δ ω 0 )t + c e (δ+ δ ω 0 )t x monoton és aszimptotikusan csökken nulla (egyensúlyi helyzet) felé aperiodikus csillapodás. Ha δ = ω 0 r 1 = r = δ x(t) = (c 1 + c t)e deltat az apriódikus csillapodás határesete ; szintén nincs rezgés jellege.