Rezgőmozgások. Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz szeptember 29.
|
|
- Rezső Balázs
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Rezgőmozgások Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz szeptember 29.
2 , Egyirányú 2 / 66
3 Rezgőmozgásnak nevezünk egy mozgást, ha van a térnek egy olyan pontja, amihez a mozgást végző test többször (esetleg végtelen sokszor) visszatér. ( inga, bonyolult rezgés), Egyirányú 3 / 66
4 Rezgőmozgásnak nevezünk egy mozgást, ha van a térnek egy olyan pontja, amihez a mozgást végző test többször (esetleg végtelen sokszor) visszatér. ( inga, bonyolult rezgés) Először a pontszerű testek egyenes menti rezgését tárgyaljuk. Ekkor a mozgás egy x(t) függvénnyel jellemezhető., Egyirányú 3 / 66
5 , Rezgőmozgásnak nevezünk egy mozgást, ha van a térnek egy olyan pontja, amihez a mozgást végző test többször (esetleg végtelen sokszor) visszatér. ( inga, bonyolult rezgés) Először a pontszerű testek egyenes menti rezgését tárgyaljuk. Ekkor a mozgás egy x(t) függvénnyel jellemezhető. Ha van olyan x 0, melyre x(t) = x 0 -nak sok megoldása van t-re, akkor ról beszélhetünk. Egyirányú 3 / 66
6 , Egyirányú Rezgőmozgásnak nevezünk egy mozgást, ha van a térnek egy olyan pontja, amihez a mozgást végző test többször (esetleg végtelen sokszor) visszatér. ( inga, bonyolult rezgés) Először a pontszerű testek egyenes menti rezgését tárgyaljuk. Ekkor a mozgás egy x(t) függvénnyel jellemezhető. Ha van olyan x 0, melyre x(t) = x 0 -nak sok megoldása van t-re, akkor ról beszélhetünk. Ha x(t) periodikus, akkor periodikus ról beszélünk. (Vigyázat! Nem minden periodikus.) 3 / 66
7 szemléltetés: stabil egyensúly szemléltetés: instabil egyensúly összefoglalás, Egyirányú 4 / 66
8 szemléltetés: stabil egyensúly szemléltetés: instabil egyensúly összefoglalás Rezgések kialakulásának leggyakoribb módja a következő: Létezik egy olyan pont, ahol a test egyensúlyban van., Egyirányú 5 / 66
9 szemléltetés: stabil egyensúly szemléltetés: instabil egyensúly összefoglalás Rezgések kialakulásának leggyakoribb módja a következő: Létezik egy olyan pont, ahol a test egyensúlyban van. Ha innét kissé kitérítjük a testet, és ekkor az egyensúlyi hely felé ható erő ébred, akkor a test visszatér az egyensúlyi pontba, és szinte mindig túl is lendül rajta., Egyirányú 5 / 66
10 szemléltetés: stabil egyensúly szemléltetés: instabil egyensúly összefoglalás Rezgések kialakulásának leggyakoribb módja a következő: Létezik egy olyan pont, ahol a test egyensúlyban van. Ha innét kissé kitérítjük a testet, és ekkor az egyensúlyi hely felé ható erő ébred, akkor a test visszatér az egyensúlyi pontba, és szinte mindig túl is lendül rajta. A másik oldalon ugyanez ismétlődik, a testre ugyancsak az egyensúlyi pont felé ható erő kezd hatni, visszatér oda,... így előáll egy rezgés., Egyirányú 5 / 66
11 szemléltetés: stabil egyensúly szemléltetés: instabil egyensúly összefoglalás, Egyirányú Rezgések kialakulásának leggyakoribb módja a következő: Létezik egy olyan pont, ahol a test egyensúlyban van. Ha innét kissé kitérítjük a testet, és ekkor az egyensúlyi hely felé ható erő ébred, akkor a test visszatér az egyensúlyi pontba, és szinte mindig túl is lendül rajta. A másik oldalon ugyanez ismétlődik, a testre ugyancsak az egyensúlyi pont felé ható erő kezd hatni, visszatér oda,... így előáll egy rezgés. Matematikailag: Egyensúlyi pont: F(x 0 ) = 0 Visszatérítés jobbról: F(x) < 0, ha x > x 0 és x x 0 < δ Visszatérítés balról: F(x) > 0, ha x < x 0 és x 0 x < δ 5 / 66
12 szemléltetés: stabil egyensúly szemléltetés: stabil egyensúly szemléltetés: instabil egyensúly összefoglalás, Egyirányú Egyensúlyi helyzet rezgéssel: F(x) egyensúly x 0 visszatérítõ erõ x 6 / 66
13 szemléltetés: instabil egyensúly szemléltetés: stabil egyensúly szemléltetés: instabil egyensúly összefoglalás, Egyirányú Egyensúlyi helyzet rezgés nélkül: F(x) eltérítõ erõ x egyensúly x 7 / 66
14 összefoglalás szemléltetés: stabil egyensúly szemléltetés: instabil egyensúly összefoglalás Tanulság: Ha egy egyensúlyi helyzet körül F(x) monoton fogyó, akkor ott stabil egyensúly van, azaz kialakul rezgés, különben nem., Egyirányú 8 / 66
15 összefoglalás szemléltetés: stabil egyensúly szemléltetés: instabil egyensúly összefoglalás Tanulság: Ha egy egyensúlyi helyzet körül F(x) monoton fogyó, akkor ott stabil egyensúly van, azaz kialakul rezgés, különben nem. Egyszerű példák stabil és instabil egyensúlyi helyzetre: labda dombon és gödörben. instabil egyensúly, Egyirányú stabil egyensúly 8 / 66
16 alapegyenlet az alapegyenlet megoldása összefoglalás energiaviszonyok, Egyirányú 9 / 66
17 alapegyenlet alapegyenlet az alapegyenlet megoldása összefoglalás energiaviszonyok Amennyiben az egyensúlyi helyzet közelében az erőfüggvény lineáris, harmonikus alakul ki., Egyirányú 10 / 66
18 alapegyenlet alapegyenlet az alapegyenlet megoldása összefoglalás energiaviszonyok Amennyiben az egyensúlyi helyzet közelében az erőfüggvény lineáris, harmonikus alakul ki. Tegyük az origót az egyensúlyi helyzetbe. Ekkor az erőfüggvény: F(x) = D x ahol D szokásos neve: direkciós állandó vagy rugóállandó., Egyirányú 10 / 66
19 alapegyenlet alapegyenlet az alapegyenlet megoldása összefoglalás energiaviszonyok Amennyiben az egyensúlyi helyzet közelében az erőfüggvény lineáris, harmonikus alakul ki. Tegyük az origót az egyensúlyi helyzetbe. Ekkor az erőfüggvény: F(x) = D x ahol D szokásos neve: direkciós állandó vagy rugóállandó. Ilyen erő hat pl. egy rugalmasan rögzített testre., Egyirányú 10 / 66
20 alapegyenlet alapegyenlet az alapegyenlet megoldása összefoglalás energiaviszonyok, Egyirányú Amennyiben az egyensúlyi helyzet közelében az erőfüggvény lineáris, harmonikus alakul ki. Tegyük az origót az egyensúlyi helyzetbe. Ekkor az erőfüggvény: F(x) = D x ahol D szokásos neve: direkciós állandó vagy rugóállandó. Ilyen erő hat pl. egy rugalmasan rögzített testre. A mozgás egyenlete: Beírva a gyorsulás jelentését: F = Dx = ma a = D m x d 2 x dt 2 = x = D m x 10 / 66
21 az alapegyenlet megoldása alapegyenlet az alapegyenlet megoldása összefoglalás energiaviszonyok Ez ez olyan egyenlet, melyben csak az x(t) függvény az ismeretlen. Bár pillanatnyilag nem tudjuk megoldani, mert az ismeretlen deriváltja is szerepel, azért ki tudjuk találni a megoldást. (Később matematikából szerepelni fog a precíz megoldás is.), Egyirányú 11 / 66
22 az alapegyenlet megoldása alapegyenlet az alapegyenlet megoldása összefoglalás energiaviszonyok Ez ez olyan egyenlet, melyben csak az x(t) függvény az ismeretlen. Bár pillanatnyilag nem tudjuk megoldani, mert az ismeretlen deriváltja is szerepel, azért ki tudjuk találni a megoldást. (Később matematikából szerepelni fog a precíz megoldás is.) x(t) tehát olyan függvény, melynek második deriváltja önmagának negatív konstans szorosa. Ilyenek pl. a sin és cos függvények. ((sinx) = (cos x) = sin x)., Egyirányú 11 / 66
23 az alapegyenlet megoldása alapegyenlet az alapegyenlet megoldása összefoglalás energiaviszonyok, Ez ez olyan egyenlet, melyben csak az x(t) függvény az ismeretlen. Bár pillanatnyilag nem tudjuk megoldani, mert az ismeretlen deriváltja is szerepel, azért ki tudjuk találni a megoldást. (Később matematikából szerepelni fog a precíz megoldás is.) x(t) tehát olyan függvény, melynek második deriváltja önmagának negatív konstans szorosa. Ilyenek pl. a sin és cos függvények. ((sinx) = (cos x) = sin x). Keressük a megoldást ilyen alakban: x(t) = Asin(B t + C) ahol A, B és C egyelőre ismeretlen jelentésű állandók. Egyirányú 11 / 66
24 ... alapegyenlet az alapegyenlet megoldása összefoglalás energiaviszonyok, Egyirányú A sebesség és a gyorsulás: v(t) = x (t) = Acos(B t + C) B, a(t) = x (t) = v (t) = Asin(B t + C) B 2. Kihasználva a(t) = D/m x-et: Asin(B t + C)B 2 = D Asin(B t + C) m Ez csak akkor állhat fenn, ha B 2 = D/m. (A és C tetszőleges.) Elnevezések: B=ω = D/m: körfrekvencia. T = 2π/ω: periódusidő. f = 1/T = ω/(2π): frekvencia. A: amplitúdó. C=ϕ 0 : kezdőfázis. 12 / 66
25 összefoglalás x(t) = Asin(ωt + ϕ 0 ) v(t) = Aω cos(ωt + ϕ 0 ) alapegyenlet az alapegyenlet megoldása a(t) = Aω 2 sin(ωt + ϕ 0 ) összefoglalás energiaviszonyok ω = D m, T = 2π m ω = 2π D f = 1 T, Egyirányú 13 / 66
26 összefoglalás alapegyenlet az alapegyenlet megoldása összefoglalás energiaviszonyok, Egyirányú ω = D m, x(t) = Asin(ωt + ϕ 0 ) v(t) = Aω cos(ωt + ϕ 0 ) a(t) = Aω 2 sin(ωt + ϕ 0 ) T = 2π m ω = 2π D f = 1 T Ez a mozgás a középiskolából ismert harmonikus. (Érdekesség: a körfrekvencia nem függ az amplitúdótól, de a tömeg növekedésével csökken.) 13 / 66
27 energiaviszonyok alapegyenlet az alapegyenlet megoldása összefoglalás energiaviszonyok közben a sebesség és a rugó megnyúlása folytonosan változik., Egyirányú 14 / 66
28 energiaviszonyok alapegyenlet az alapegyenlet megoldása összefoglalás energiaviszonyok közben a sebesség és a rugó megnyúlása folytonosan változik. Ezért változik a mozgási és a helyzeti energia is., Egyirányú 14 / 66
29 energiaviszonyok alapegyenlet az alapegyenlet megoldása összefoglalás energiaviszonyok közben a sebesség és a rugó megnyúlása folytonosan változik. Ezért változik a mozgási és a helyzeti energia is. Mozgási energia: E m (t) = 1 2 mv2 = 1 2 m(aω)2 cos 2 (ωt + ϕ 0 ), Egyirányú 14 / 66
30 energiaviszonyok alapegyenlet az alapegyenlet megoldása összefoglalás energiaviszonyok, közben a sebesség és a rugó megnyúlása folytonosan változik. Ezért változik a mozgási és a helyzeti energia is. Mozgási energia: E m (t) = 1 2 mv2 = 1 2 m(aω)2 cos 2 (ωt + ϕ 0 ) Helyzeti (potenciális) energia: V (t) = 1 2 Dx2 = 1 2 DA2 sin 2 (ωt + ϕ 0 ) Egyirányú 14 / 66
31 energiaviszonyok alapegyenlet az alapegyenlet megoldása összefoglalás energiaviszonyok, Egyirányú közben a sebesség és a rugó megnyúlása folytonosan változik. Ezért változik a mozgási és a helyzeti energia is. Mozgási energia: E m (t) = 1 2 mv2 = 1 2 m(aω)2 cos 2 (ωt + ϕ 0 ) Helyzeti (potenciális) energia: V (t) = 1 2 Dx2 = 1 2 DA2 sin 2 (ωt + ϕ 0 ) Kihasználva, hogy ω 2 = D/m, D helyére mω 2 írható: V (t) = 1 2 mω2 A 2 sin 2 (ωt + ϕ 0 ) 14 / 66
32 ... Az összes energia tehát: E = E m + V = 1 ( ) 2 m(ωa)2 sin 2 (ωt + ϕ 0 ) + cos 2 (ωt + ϕ 0 ) = 15 / 66
33 ... Az összes energia tehát: E = E m + V = 1 ( ) 2 m(ωa)2 sin 2 (ωt + ϕ 0 ) + cos 2 (ωt + ϕ 0 ) = = 1 2 m(ωa)2 = áll. 15 / 66
34 ... Az összes energia tehát: E = E m + V = 1 ( ) 2 m(ωa)2 sin 2 (ωt + ϕ 0 ) + cos 2 (ωt + ϕ 0 ) = = 1 2 m(ωa)2 = áll. Amint az várható volt, a harmonikus rezgés összenergiája nem változik. 15 / 66
35 ... Az összes energia tehát: E = E m + V = 1 ( ) 2 m(ωa)2 sin 2 (ωt + ϕ 0 ) + cos 2 (ωt + ϕ 0 ) = = 1 2 m(ωa)2 = áll. Amint az várható volt, a harmonikus rezgés összenergiája nem változik. Az energia a potenciális és a mozgási energia közt vándorol periodikusan: 15 / 66
36 ... Az összes energia tehát: E = E m + V = 1 ( ) 2 m(ωa)2 sin 2 (ωt + ϕ 0 ) + cos 2 (ωt + ϕ 0 ) = = 1 2 m(ωa)2 = áll. Amint az várható volt, a harmonikus rezgés összenergiája nem változik. Az energia a potenciális és a mozgási energia közt vándorol periodikusan: maximális kitéréskor E m = 0, V = E 15 / 66
37 ... Az összes energia tehát: E = E m + V = 1 ( ) 2 m(ωa)2 sin 2 (ωt + ϕ 0 ) + cos 2 (ωt + ϕ 0 ) = = 1 2 m(ωa)2 = áll. Amint az várható volt, a harmonikus rezgés összenergiája nem változik. Az energia a potenciális és a mozgási energia közt vándorol periodikusan: maximális kitéréskor E m = 0, V = E az egyensúlyi helyzeten áthaladva V = 0, E m = E 15 / 66
38 Egy példa alapegyenlet az alapegyenlet megoldása összefoglalás energiaviszonyok Példa: Egy rugón lógó testet rezgésbe hozunk. Azt tapasztaljuk, hogy 10 s alatt 23 rezgést végzett. Mekkora a rezgés periódusideje és körfrekvenciája? Mekkora a rugóállandó, ha a test tömege 0,25 kg?, Egyirányú 16 / 66
39 Egy példa alapegyenlet az alapegyenlet megoldása összefoglalás energiaviszonyok, Egyirányú Példa: Egy rugón lógó testet rezgésbe hozunk. Azt tapasztaljuk, hogy 10 s alatt 23 rezgést végzett. Mekkora a rezgés periódusideje és körfrekvenciája? Mekkora a rugóállandó, ha a test tömege 0,25 kg? Megoldás: A körfrekvencia: 10 s alatt 23 rezgés: T = 10 s 23 = 0,435 s. ω = 2π T = 14,45 1 s. A kérdezett rugóállandó is meghatározható: T = 2π m D D = 4π2 m T 2 = 52,2 N m. 16 / 66
40 Még egy példa alapegyenlet az alapegyenlet megoldása összefoglalás energiaviszonyok Példa: Egy 300 N/m-es rugóállandójú rugón levő, 0,2 kg tömegű testet 5 m/s-os kezdősebességgel meglökünk. Milyen lesz a kialakuló rezgés amplitúdója?, Egyirányú 17 / 66
41 Még egy példa alapegyenlet az alapegyenlet megoldása összefoglalás energiaviszonyok, Egyirányú Példa: Egy 300 N/m-es rugóállandójú rugón levő, 0,2 kg tömegű testet 5 m/s-os kezdősebességgel meglökünk. Milyen lesz a kialakuló rezgés amplitúdója? Megoldás: A v 0 = 5 m/s-os sebesség a test maximális sebessége, azaz Aω = v 0 m/s. ω egyszerűen meghatározható: ω = D/m, így azt állíthatjuk, hogy ahonnét a keresett amplitúdó: v 0 = A D m, A = v 0 m D = 0,129 m. Tehát a test 12,9 cm-es amplitúdójú et fog végezni. 17 / 66
42 kis amplitúdójú egy példa egy másik példa, Egyirányú 18 / 66
43 kis amplitúdójú Mi a helyzet, ha a testre ható erő nem lineáris? Általános esetben bonyolult megadni a rezgés paramétereit. kis amplitúdójú egy példa egy másik példa, Egyirányú 19 / 66
44 kis amplitúdójú kis amplitúdójú egy példa egy másik példa Mi a helyzet, ha a testre ható erő nem lineáris? Általános esetben bonyolult megadni a rezgés paramétereit. Egyensúlyi helyzet körüli kis esetén közel harmonikus rezgést fogunk kapni, hisz sima F(x) esetén kis szakaszon F(x) grafikonja jól közelíthető érintőjével., F(x) érintõ Egyirányú egyensúly x 0 x x 0 19 / 66
45 ... Ezért x 0 körül közel lineáris erőtörvény érvényesül. kis amplitúdójú egy példa egy másik példa, Egyirányú 20 / 66
46 ... kis amplitúdójú egy példa egy másik példa Ezért x 0 körül közel lineáris erőtörvény érvényesül. Mivel az érintő meredeksége F (x), ezért a kis úgy történnek, mintha D = F (x) rugóállandójú rugón lenne a test., Egyirányú 20 / 66
47 ... kis amplitúdójú egy példa egy másik példa, Ezért x 0 körül közel lineáris erőtörvény érvényesül. Mivel az érintő meredeksége F (x), ezért a kis úgy történnek, mintha D = F (x) rugóállandójú rugón lenne a test. Tehát egyensúlyi helyzet körüli kis amplitúdójú frekvenciája: ω = F (x) m = 1 m df dx Egyirányú 20 / 66
48 ... kis amplitúdójú egy példa egy másik példa, Egyirányú Ezért x 0 körül közel lineáris erőtörvény érvényesül. Mivel az érintő meredeksége F (x), ezért a kis úgy történnek, mintha D = F (x) rugóállandójú rugón lenne a test. Tehát egyensúlyi helyzet körüli kis amplitúdójú frekvenciája: ω = F (x) m = 1 m Nem tévedés! Stabil egyensúly esetén F(x) monoton fogy x 0 körül, így itt F(x 0 ) < 0, ezért ω képletében a gyökjel alatt pozitív szám áll. df dx 20 / 66
49 egy példa kis amplitúdójú egy példa egy másik példa Egy egyenes mentén mozgó testre ható erő SI-egységekben az alábbi alakú: F(x) = 5 x 9 Hol van a test egyensúlyban? Kialakulhat-e rezgés az egyensúly körül? Mennyi a kis periódusideje, ha a test tömege 2 kg?, Egyirányú 21 / 66
50 egy példa kis amplitúdójú egy példa egy másik példa Egy egyenes mentén mozgó testre ható erő SI-egységekben az alábbi alakú: F(x) = 5 x 9 Hol van a test egyensúlyban? Kialakulhat-e rezgés az egyensúly körül? Mennyi a kis periódusideje, ha a test tömege 2 kg? Megoldás: Az egyensúly feltétele: F(x 0 ) = 0,, Egyirányú 21 / 66
51 egy példa kis amplitúdójú egy példa egy másik példa, Egy egyenes mentén mozgó testre ható erő SI-egységekben az alábbi alakú: F(x) = 5 x 9 Hol van a test egyensúlyban? Kialakulhat-e rezgés az egyensúly körül? Mennyi a kis periódusideje, ha a test tömege 2 kg? Megoldás: Az egyensúly feltétele: F(x 0 ) = 0, azaz most 5/x 0 9 = 0. Ez egyszerűen megoldható: Egyirányú 21 / 66
52 egy példa kis amplitúdójú egy példa egy másik példa, Egyirányú Egy egyenes mentén mozgó testre ható erő SI-egységekben az alábbi alakú: F(x) = 5 x 9 Hol van a test egyensúlyban? Kialakulhat-e rezgés az egyensúly körül? Mennyi a kis periódusideje, ha a test tömege 2 kg? Megoldás: Az egyensúly feltétele: F(x 0 ) = 0, azaz most 5/x 0 9 = 0. Ez egyszerűen megoldható: x 0 = 5 9 (Most csak egy megoldásunk van.) 21 / 66
53 egy példa kis amplitúdójú egy példa egy másik példa, Egyirányú Egy egyenes mentén mozgó testre ható erő SI-egységekben az alábbi alakú: F(x) = 5 x 9 Hol van a test egyensúlyban? Kialakulhat-e rezgés az egyensúly körül? Mennyi a kis periódusideje, ha a test tömege 2 kg? Megoldás: Az egyensúly feltétele: F(x 0 ) = 0, azaz most 5/x 0 9 = 0. Ez egyszerűen megoldható: x 0 = 5 9 (Most csak egy megoldásunk van.) Stabil-e ez az egyensúlyi helyzet? 21 / 66
54 egy példa kis amplitúdójú egy példa egy másik példa, Egyirányú Egy egyenes mentén mozgó testre ható erő SI-egységekben az alábbi alakú: Hol van a test egyensúlyban? F(x) = 5 x 9 Kialakulhat-e rezgés az egyensúly körül? Mennyi a kis periódusideje, ha a test tömege 2 kg? Megoldás: Az egyensúly feltétele: F(x 0 ) = 0, azaz most 5/x 0 9 = 0. Ez egyszerűen megoldható: x 0 = 5 9 (Most csak egy megoldásunk van.) Stabil-e ez az egyensúlyi helyzet? Azaz monoton fogyó-e F(x) x 0 egy kis környezetén? 21 / 66
55 ... Azt, hogy monoton fogyó-e a függvény, legegyszerűbb az alapján eldönteni, negatív-e a deriváltja. kis amplitúdójú egy példa egy másik példa, Egyirányú 22 / 66
56 ... kis amplitúdójú Azt, hogy monoton fogyó-e a függvény, legegyszerűbb az alapján eldönteni, negatív-e a deriváltja. Számoljuk ki a deriváltat tehát: F (x) = ( 5 x 9 ) = 5 x 2 egy példa egy másik példa, Egyirányú 22 / 66
57 ... kis amplitúdójú egy példa egy másik példa, Azt, hogy monoton fogyó-e a függvény, legegyszerűbb az alapján eldönteni, negatív-e a deriváltja. Számoljuk ki a deriváltat tehát: az egyensúlyi pontban: F (x) = ( 5 x 9 ) = 5 x 2 F (x 0 ) = 5 (5/9) 2 = 81 5 = 16,2 Egyirányú 22 / 66
58 ... kis amplitúdójú egy példa egy másik példa, Egyirányú Azt, hogy monoton fogyó-e a függvény, legegyszerűbb az alapján eldönteni, negatív-e a deriváltja. Számoljuk ki a deriváltat tehát: az egyensúlyi pontban: F (x) = ( 5 x 9 ) = 5 x 2 F (x 0 ) = 5 (5/9) 2 = 81 5 = 16,2 Ez valóban negatív, tehát kialakulhat rezgés. A frekvencia: ω = F (x 0 ) m = 16,2 2 2,85 1 s 22 / 66
59 ... kis amplitúdójú egy példa egy másik példa, Egyirányú Azt, hogy monoton fogyó-e a függvény, legegyszerűbb az alapján eldönteni, negatív-e a deriváltja. Számoljuk ki a deriváltat tehát: az egyensúlyi pontban: F (x) = ( 5 x 9 ) = 5 x 2 F (x 0 ) = 5 (5/9) 2 = 81 5 = 16,2 Ez valóban negatív, tehát kialakulhat rezgés. A frekvencia: ω = F (x 0 ) m = 16,2 2 2,85 1 s A periódusidő: T = (2π)/ω = 2,21 s 22 / 66
60 ... kis amplitúdójú egy példa egy másik példa, Egyirányú Egy kicsit segíthet, ha felrajzoljuk F(x) grafikonját: /x Látszik, hogy egy egyensúlyi helyzet van, mely stabil. 23 / 66
61 egy másik példa kis amplitúdójú egy példa egy másik példa Egy egyenes mentén mozgó testre ható erő SI-egységekben az alábbi alakú: F(x) = 10x 3 + x 2 0,2x Hol lehet a test egyensúlyban? Hol alakulhat ki rezgés? Mennyi a kis periódusideje, ha a test tömege 7 kg?, Egyirányú 24 / 66
62 egy másik példa kis amplitúdójú egy példa egy másik példa, Egy egyenes mentén mozgó testre ható erő SI-egységekben az alábbi alakú: F(x) = 10x 3 + x 2 0,2x Hol lehet a test egyensúlyban? Hol alakulhat ki rezgés? Mennyi a kis periódusideje, ha a test tömege 7 kg? Megoldás: Egyensúlyi helyzet feltétele: F(x) = 10x 3 + x 2 0,2x = 0 Egyirányú 24 / 66
63 egy másik példa kis amplitúdójú egy példa egy másik példa, Egyirányú Egy egyenes mentén mozgó testre ható erő SI-egységekben az alábbi alakú: F(x) = 10x 3 + x 2 0,2x Hol lehet a test egyensúlyban? Hol alakulhat ki rezgés? Mennyi a kis periódusideje, ha a test tömege 7 kg? Megoldás: Egyensúlyi helyzet feltétele: F(x) = 10x 3 + x 2 0,2x = 0 Nyilvánvaló megoldás az x 1 = 0. Az ezen kívüli megoldásokat keresve eloszthatjuk az egyenletet x-szel: 10x 2 + x 0,2 = 0 24 / 66
64 ... Ennek gyökei: (másodfokú egyenlet megoldásával) x 2 = 0,1 x 3 = 0,2 kis amplitúdójú egy példa egy másik példa, Egyirányú 25 / 66
65 ... kis amplitúdójú Ennek gyökei: (másodfokú egyenlet megoldásával) x 2 = 0,1 x 3 = 0,2 Három egyensúlyi helyzetünk van tehát. egy példa egy másik példa, Egyirányú 25 / 66
66 ... kis amplitúdójú egy példa egy másik példa Ennek gyökei: (másodfokú egyenlet megoldásával) x 2 = 0,1 x 3 = 0,2 Három egyensúlyi helyzetünk van tehát. A stabilitást F (x) előjeléből állapíthatjuk meg: F (x) = 30x 2 + 2x 0,2, Egyirányú 25 / 66
67 ... kis amplitúdójú egy példa egy másik példa, Egyirányú Ennek gyökei: (másodfokú egyenlet megoldásával) x 2 = 0,1 x 3 = 0,2 Három egyensúlyi helyzetünk van tehát. A stabilitást F (x) előjeléből állapíthatjuk meg: F (x) = 30x 2 + 2x 0,2 F (x 1 ) = 0,2 F (x 2 ) = 0,3 F (x 3 ) = 0,6 Ezek közül csak az első negatív, tehát csak x 1 = 0 körül alakul ki rezgés. 25 / 66
68 ... kis amplitúdójú egy példa egy másik példa, Egyirányú Ennek gyökei: (másodfokú egyenlet megoldásával) x 2 = 0,1 x 3 = 0,2 Három egyensúlyi helyzetünk van tehát. A stabilitást F (x) előjeléből állapíthatjuk meg: F (x) = 30x 2 + 2x 0,2 F (x 1 ) = 0,2 F (x 2 ) = 0,3 F (x 3 ) = 0,6 Ezek közül csak az első negatív, tehát csak x 1 = 0 körül alakul ki rezgés. ω = F (x 1 ) m 0,169 1 s T = 2π/ω = 37,2 s 25 / 66
69 ... kis amplitúdójú rezgés x + x 0.2 x egy példa egy másik példa 0, Egyirányú nincs rezgés / 66
70 a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa, Egyirányú 27 / 66
71 a csillapodás oka A közegellenállást, súrlódást és egyéb fékező hatásokat eddig elhanyagoltuk, pedig fontosak: ha egy testet rezgésbe hozok, de magára hagyok, az egyre kisebb amplitúdóval fog rezegni. ( ritka közegben, sűrű közegben) a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa, Egyirányú 28 / 66
72 a csillapodás oka a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa, Egyirányú A közegellenállást, súrlódást és egyéb fékező hatásokat eddig elhanyagoltuk, pedig fontosak: ha egy testet rezgésbe hozok, de magára hagyok, az egyre kisebb amplitúdóval fog rezegni. ( ritka közegben, sűrű közegben) Vegyük figyelembe a közeg hatását: F rugó + F közeg = m a Itt F rugó = Dx, a közeg hatását pedig írjuk fel a következő alakban: F közeg = C v Tehát sebességgel arányos fékezőerőt tételezünk fel. Ez pl. kis sebességű mozgásnál jó közelítéssel igaz a közegellenállásra. 28 / 66
73 a csillapított alapegyenlete Az előzőeket folytatva: D x C v = m a a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa, Egyirányú Átrendezve: a = D m x C m v 29 / 66
74 a csillapított alapegyenlete a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa Az előzőeket folytatva: Átrendezve: D x C v = m a a = D m x C m v D/m-ben felismerhetjük a csillapítatlan rezgés körfrekvenciájának négyzetét, azaz D/m = ω 2 0., Egyirányú 29 / 66
75 a csillapított alapegyenlete a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa, Az előzőeket folytatva: Átrendezve: D x C v = m a a = D m x C m v D/m-ben felismerhetjük a csillapítatlan rezgés körfrekvenciájának négyzetét, azaz D/m = ω 2 0. C/m valamiképp a fékezés hatékonyságát méri. Jelöljük ezt 2β-val. β szokásos neve: csillapítási tényező. Egyirányú 29 / 66
76 a csillapított alapegyenlete a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa, Egyirányú Az előzőeket folytatva: Átrendezve: D x C v = m a a = D m x C m v D/m-ben felismerhetjük a csillapítatlan rezgés körfrekvenciájának négyzetét, azaz D/m = ω 2 0. C/m valamiképp a fékezés hatékonyságát méri. Jelöljük ezt 2β-val. β szokásos neve: csillapítási tényező. Így a csillapított alapegyenlete: a = ω 2 0 x 2β v 29 / 66
77 a csillapított alapegyenlete a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa, Az előzőeket folytatva: Átrendezve: D x C v = m a a = D m x C m v D/m-ben felismerhetjük a csillapítatlan rezgés körfrekvenciájának négyzetét, azaz D/m = ω 2 0. C/m valamiképp a fékezés hatékonyságát méri. Jelöljük ezt 2β-val. β szokásos neve: csillapítási tényező. Így a csillapított alapegyenlete: Egyirányú Másképp: a = ω 2 0 x 2β v x = ω 2 0x 2βx 29 / 66
78 ... Ennek megoldására jelenleg nincsenek meg a matematikai eszközeink. Ezért a megoldást bizonyítás nélkül közlöm: a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa, Egyirányú 30 / 66
79 ... a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa Ennek megoldására jelenleg nincsenek meg a matematikai eszközeink. Ezért a megoldást bizonyítás nélkül közlöm: A megoldás jellege alapvetően különbözik ha ω 0 > β (kis csillapítás) illetve ha ω 0 β (nagy csillapítás)., Egyirányú 30 / 66
80 ... a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa Ennek megoldására jelenleg nincsenek meg a matematikai eszközeink. Ezért a megoldást bizonyítás nélkül közlöm: A megoldás jellege alapvetően különbözik ha ω 0 > β (kis csillapítás) illetve ha ω 0 β (nagy csillapítás). Ezek közül a kis csillapítás fordul elő gyakrabban, így ezt tárgyaljuk részletesen., Egyirányú 30 / 66
81 kis csillapítások esete Amennyiben ω 0 > β, a csillapított az alábbiak szerint zajlik: x(t) = A 0 e βt sin(ω cs t + ϕ 0 ) a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete ahol ω cs = ω 2 0 β2 kis csillapítások esete egy példa még egy példa, Egyirányú 31 / 66
82 kis csillapítások esete a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa, Amennyiben ω 0 > β, a csillapított az alábbiak szerint zajlik: ahol x(t) = A 0 e βt sin(ω cs t + ϕ 0 ) ω cs = ω 2 0 β2 Tehát a csillapított rezgés frekvenciája kisebb, mint a csillapítatlan (ω cs < ω 0 ), amplitúdója pedig A 0 -ról exponenciális függvény szerint csökken. Egyirányú 31 / 66
83 kis csillapítások esete a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa, Egyirányú Amennyiben ω 0 > β, a csillapított az alábbiak szerint zajlik: ahol x(t) = A 0 e βt sin(ω cs t + ϕ 0 ) ω cs = ω 2 0 β2 Tehát a csillapított rezgés frekvenciája kisebb, mint a csillapítatlan (ω cs < ω 0 ), amplitúdója pedig A 0 -ról exponenciális függvény szerint csökken. Maga az amplitúdó időbeli változása: A(t) = A 0 e βt 31 / 66
84 ... x A 0 x(t) a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa, Egyirányú A 0 t 32 / 66
85 nagy csillapítások esete a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa Amennyiben ω 0 β, nem is alakul ki, hanem az x(t) függvény monoton csökkenően 0-hoz tart. x erõs csill. nagyon erõs csill., Egyirányú t 33 / 66
86 egy példa Egy csillapodó amplitúdója 12 s-onként feleződik meg. Mekkora a csillapítási tényező értéke? a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa, Egyirányú 34 / 66
87 egy példa Egy csillapodó amplitúdója 12 s-onként feleződik meg. Mekkora a csillapítási tényező értéke? Megoldás: A szöveg szerint: a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa, Egyirányú ahol t = 12 s. A 0 2 = A(t) = A 0e βt 34 / 66
88 egy példa Egy csillapodó amplitúdója 12 s-onként feleződik meg. Mekkora a csillapítási tényező értéke? Megoldás: A szöveg szerint: a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa, Egyirányú ahol t = 12 s. Innen egyszerű átrendezéssel: A 0 2 = A(t) = A 0e βt β = ln2 t = 0, s 34 / 66
89 még egy példa Egy csillapodó körfrekvenciája 1,3 Hz, amplitúdója kezdetben 15 cm, 10 s múlva már csak 3 cm. Mikor lesz amplitúdója kisebb, mint 1 mm? Mennyi lenne a rezgés frekvenciája, ha nem lennének csillapítóerők? a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa, Egyirányú 35 / 66
90 még egy példa a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa Egy csillapodó körfrekvenciája 1,3 Hz, amplitúdója kezdetben 15 cm, 10 s múlva már csak 3 cm. Mikor lesz amplitúdója kisebb, mint 1 mm? Mennyi lenne a rezgés frekvenciája, ha nem lennének csillapítóerők? Megoldás: A feladat szerint: A 0 = 0,15 m A 1 = 0,03 m t 1 = 10 s ω cs = 1,3 Hz, Egyirányú 35 / 66
91 még egy példa a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa, Egy csillapodó körfrekvenciája 1,3 Hz, amplitúdója kezdetben 15 cm, 10 s múlva már csak 3 cm. Mikor lesz amplitúdója kisebb, mint 1 mm? Mennyi lenne a rezgés frekvenciája, ha nem lennének csillapítóerők? Megoldás: A feladat szerint: A 0 = 0,15 m A 1 = 0,03 m t 1 = 10 s ω cs = 1,3 Hz Tudjuk, hogy A 1 = A 0 e βt 1 Egyirányú 35 / 66
92 még egy példa a csillapodás oka a csillapított alapegyenlete kis csillapítások esete egy példa még egy példa, Egyirányú Egy csillapodó körfrekvenciája 1,3 Hz, amplitúdója kezdetben 15 cm, 10 s múlva már csak 3 cm. Mikor lesz amplitúdója kisebb, mint 1 mm? Mennyi lenne a rezgés frekvenciája, ha nem lennének csillapítóerők? Megoldás: A feladat szerint: A 0 = 0,15 m A 1 = 0,03 m t 1 = 10 s ω cs = 1,3 Hz Tudjuk, hogy innét egyszerű átrendezéssel: A 1 = A 0 e βt 1 β = 1 t 1 ln A 1 A 0 = 0,16 1 s 35 / 66
93 ... Keressük azt a t 2 időpontot, melyre A(t 2 ) = A 2 = 0,001 m: 36 / 66
94 ... Keressük azt a t 2 időpontot, melyre A(t 2 ) = A 2 = 0,001 m: A 2 = A 0 e βt 2 t 2 = 1 β ln A 2 A 0 = 31,1s (Figyelem! Az amplitúdó nem lineárisan csökkent!) 36 / 66
95 ... Keressük azt a t 2 időpontot, melyre A(t 2 ) = A 2 = 0,001 m: A 2 = A 0 e βt 2 t 2 = 1 β ln A 2 A 0 = 31,1s (Figyelem! Az amplitúdó nem lineárisan csökkent!) A csillapítatlan ω 0 frekvencia a fenti ω cs = ω 2 0 β2 összefüggésből kapható meg: ω 0 = ω 2 cs + β 2 = 1,31 Hz 36 / 66
96 , gerjesztett alapegyenlete a gerjesztett rezgés időbeli lefutása a rezonancia egy példa, Egyirányú 37 / 66
97 gerjesztett alapegyenlete Mi történik akkor, ha a kezdeti rezgésbe hozáson kívül a testet egy külső erő állandóan rezgeti, azaz gerjeszti a rezgést. (Pl. hinta külső állandó löködéssel.), gerjesztett alapegyenlete a gerjesztett rezgés időbeli lefutása a rezonancia egy példa Egyirányú 38 / 66
98 gerjesztett alapegyenlete Mi történik akkor, ha a kezdeti rezgésbe hozáson kívül a testet egy külső erő állandóan rezgeti, azaz gerjeszti a rezgést. (Pl. hinta külső állandó löködéssel.) Legegyszerűbb eset: amikor a gerjesztő erő szinuszosan változik:, gerjesztett alapegyenlete a gerjesztett rezgés időbeli lefutása a rezonancia egy példa Egyirányú ahol ma = F rugó + F közeg + F g F g = F 0 sin(ω g t) 38 / 66
99 gerjesztett alapegyenlete Mi történik akkor, ha a kezdeti rezgésbe hozáson kívül a testet egy külső erő állandóan rezgeti, azaz gerjeszti a rezgést. (Pl. hinta külső állandó löködéssel.) Legegyszerűbb eset: amikor a gerjesztő erő szinuszosan változik:, gerjesztett alapegyenlete a gerjesztett rezgés időbeli lefutása ahol ma = F rugó + F közeg + F g F g = F 0 sin(ω g t) a rezonancia egy példa Egyirányú A fentiekhez hasonlóan: ahol a 0 = F 0 /m. a = ω 2 0x 2βv + a 0 sin(ω g t) 38 / 66
100 a gerjesztett rezgés időbeli lefutása Kis csillapítások esetén a megoldás: x(t) = A g sin(ω g t + δ) + A e βt sin(ω cs t + ϕ 0 ) (A bizonyítást mellőzzük, a megoldás helyességét deriválással ellenőrizhető.), gerjesztett alapegyenlete a gerjesztett rezgés időbeli lefutása a rezonancia egy példa Egyirányú 39 / 66
101 a gerjesztett rezgés időbeli lefutása, gerjesztett alapegyenlete a gerjesztett rezgés időbeli lefutása a rezonancia egy példa Egyirányú Kis csillapítások esetén a megoldás: x(t) = A g sin(ω g t + δ) + A e βt sin(ω cs t + ϕ 0 ) (A bizonyítást mellőzzük, a megoldás helyességét deriválással ellenőrizhető.) x A g t 39 / 66
102 a rezonancia Hosszú távon tehát A g számít. Ennek kifejezése: A g = a 0 (ω 2 0 ω2 g) 2 + 4β 2 ω 2 g, gerjesztett alapegyenlete a gerjesztett rezgés időbeli lefutása a rezonancia egy példa Egyirányú A g nincs csill. gyenge csill. erõs csill. ω 0 ω g 40 / 66
103 ... A sajátfrekvencia környékén tehát a gerjesztett rezgés amplitúdója igen megnőhet, ha a csillapítás kicsi. Ez a rezonancia jelensége., gerjesztett alapegyenlete a gerjesztett rezgés időbeli lefutása a rezonancia egy példa Egyirányú 41 / 66
104 ... A sajátfrekvencia környékén tehát a gerjesztett rezgés amplitúdója igen megnőhet, ha a csillapítás kicsi. Ez a rezonancia jelensége. Egyszerű példa: rezgetett végű rugón lógó test. Ez sokszor fellép a gyakorlatban, néha káros, néha hasznos., gerjesztett alapegyenlete a gerjesztett rezgés időbeli lefutása a rezonancia egy példa Egyirányú 41 / 66
105 egy példa Egy rezgés sajátfrekvenciája ω 0 = 12,4 1/s. A rezgés amplitúdója 3,2 s alatt feleződik meg. Hányszor nagyobb amplitúdójú gerjesztett jönnek létre a sajátfrekvencián, mint igen kis frekvenciákon?, gerjesztett alapegyenlete a gerjesztett rezgés időbeli lefutása a rezonancia egy példa Egyirányú 42 / 66
106 egy példa, gerjesztett alapegyenlete a gerjesztett rezgés időbeli lefutása a rezonancia egy példa Egy rezgés sajátfrekvenciája ω 0 = 12,4 1/s. A rezgés amplitúdója 3,2 s alatt feleződik meg. Hányszor nagyobb amplitúdójú gerjesztett jönnek létre a sajátfrekvencián, mint igen kis frekvenciákon? Megoldás: amplitúdója: A g (ω g ) = a 0 (ω 2 0 ω2 g) 2 + 4β 2 ω 2 g Egyirányú 42 / 66
107 egy példa, gerjesztett alapegyenlete a gerjesztett rezgés időbeli lefutása a rezonancia egy példa Egyirányú Egy rezgés sajátfrekvenciája ω 0 = 12,4 1/s. A rezgés amplitúdója 3,2 s alatt feleződik meg. Hányszor nagyobb amplitúdójú gerjesztett jönnek létre a sajátfrekvencián, mint igen kis frekvenciákon? Megoldás: amplitúdója: A g (ω g ) = a 0 (ω 2 0 ω2 g) 2 + 4β 2 ω 2 g A sajátfrekvencián kialakuló esetében ez: A g (ω 0 ) = a 0 (ω 2 0 ω2 0 )2 + 4β 2 ω 2 0 = a 0 2βω 0 42 / 66
108 ..., gerjesztett alapegyenlete a gerjesztett rezgés időbeli lefutása a rezonancia egy példa Egyirányú Igen kis frekvencián: A g (0) = a 0 = a 0 (ω ) 2 + 4β ω / 66
109 ... Igen kis frekvencián: A g (0) = a 0 = a 0 (ω ) 2 + 4β ω0 2, gerjesztett alapegyenlete a gerjesztett rezgés időbeli lefutása Ezek arányát kérdezi a feladat: A g (ω 0 ) A g (0) = ω 0 2β a rezonancia egy példa Egyirányú 43 / 66
110 ... Mennyi lesz β?, gerjesztett alapegyenlete a gerjesztett rezgés időbeli lefutása a rezonancia egy példa Egyirányú 44 / 66
111 ... Mennyi lesz β? Mivel a rezgés amplitúdója t = 3,2 s alatt feleződik meg: A 0 2 = A 0 e βt β = ln2 t = 0,217 1 s, gerjesztett alapegyenlete a gerjesztett rezgés időbeli lefutása a rezonancia egy példa Egyirányú 44 / 66
112 ..., gerjesztett alapegyenlete a gerjesztett rezgés időbeli lefutása a rezonancia egy példa Egyirányú Mennyi lesz β? Mivel a rezgés amplitúdója t = 3,2 s alatt feleződik meg: A 0 2 = A 0 e βt β = ln2 t A kérdezett arány tehát: A g (ω 0 ) A g (0) = ω 0 2β = 28,6 = 0,217 1 s Tehát a rezonanciafrekvencián kialakuló amplitúdója 28,6-szor nagyobb a kis frekvenciák mellett kialakuló amplitúdónál. (Ez valóban jelentős különbség: a frekvenciától függően tehát kb. 30-szoros eltérés lehet a gerjesztett rendszer amplitúdójában.) 44 / 66
113 , Egyirányú Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés 45 / 66
114 A gyakorlatban sokszor találkozunk olyan esettel, amikor több rezgés együttes hatása jelentkezik egy adott pontban. Itt csak 2 rezgés eredőjének vizsgálatát végezzük el, melyek külön-külön egyenes menti., Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés 46 / 66
115 , A gyakorlatban sokszor találkozunk olyan esettel, amikor több rezgés együttes hatása jelentkezik egy adott pontban. Itt csak 2 rezgés eredőjének vizsgálatát végezzük el, melyek külön-külön egyenes menti. Nyilván egész más lesz az eredmény, ha a két rezgés egyirányú, vagy ha merőleges egymásra: Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés 46 / 66
116 , A gyakorlatban sokszor találkozunk olyan esettel, amikor több rezgés együttes hatása jelentkezik egy adott pontban. Itt csak 2 rezgés eredőjének vizsgálatát végezzük el, melyek külön-külön egyenes menti. Nyilván egész más lesz az eredmény, ha a két rezgés egyirányú, vagy ha merőleges egymásra: Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés Egyirányú : Merőleges : eredőjük egyenes menti rezgés. eredőjük síkmozgás. 46 / 66
117 , Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés A gyakorlatban sokszor találkozunk olyan esettel, amikor több rezgés együttes hatása jelentkezik egy adott pontban. Itt csak 2 rezgés eredőjének vizsgálatát végezzük el, melyek külön-külön egyenes menti. Nyilván egész más lesz az eredmény, ha a két rezgés egyirányú, vagy ha merőleges egymásra: Egyirányú : eredőjük egyenes menti rezgés. Merőleges : eredőjük síkmozgás. Sőt! Tovább korlátozzuk a vizsgálatokat harmonikus re. 46 / 66
118 Alapvető meggondolások Két harmonikus rezgés összege: x(t) = A 1 sin(ω 1 t + ϕ 1 ) + A 2 sin(ω 2 t + ϕ 2 ), Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés 47 / 66
119 Alapvető meggondolások, Két harmonikus rezgés összege: x(t) = A 1 sin(ω 1 t + ϕ 1 ) + A 2 sin(ω 2 t + ϕ 2 ) Ha semmit nem tudunk az együtthatókról, semmi különös nem állítható a két rezgés összegéről. Például ha ω 1 /ω 2 nem racionális, az eredő nem is lesz periodikus. Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés 47 / 66
120 Alapvető meggondolások, Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés Két harmonikus rezgés összege: x(t) = A 1 sin(ω 1 t + ϕ 1 ) + A 2 sin(ω 2 t + ϕ 2 ) Ha semmit nem tudunk az együtthatókról, semmi különös nem állítható a két rezgés összegéről. Például ha ω 1 /ω 2 nem racionális, az eredő nem is lesz periodikus. Gyakorlat szempontjából fontos eset: ω 1 = ω 2 = ω 47 / 66
121 szemléltetés: azonos frekvenciák Nézzük meg először bizonyítás nélkül a legjellemzőbb eseteket! 48 / 66
122 szemléltetés: azonos frekvenciák Nézzük meg először bizonyítás nélkül a legjellemzőbb eseteket! A 1 = A 2 = 1, ω 1 = ω 2 = 1, ϕ 1 = 0, ϕ 2 = (kék, zöld: eredeti, piros: eredő) 48 / 66
123 szemléltetés: racionális frekvenciaarány A 1 = A 2 = 1, ω 1 = 1, ω 2 = 2, ϕ 1 = ϕ 2 = (kék, zöld: eredeti, piros: eredő) 49 / 66
124 szemléltetés: közel irracionális frekvenciaarány Természetesen nem tudunk egzaktul irracionális frekvenciaarányt bemutatni, csak olyat, mely esetén a frekvenciaarány viszonylag nagy számlálójú és nevezőjű törtként áll elő. A 1 = A 2 = 1, ω 1 = 1, ω 2 = 5, ϕ 1 = ϕ 2 = (kék, zöld: eredeti, piros: eredő) 50 / 66
125 megoldási módszer Probléma: milyen mozgást takar a következő egyenlet: x(t) = A 1 sin(ωt + ϕ 1 ) + A 2 sin(ωt + ϕ 2 ), Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés 51 / 66
126 megoldási módszer, Probléma: milyen mozgást takar a következő egyenlet: x(t) = A 1 sin(ωt + ϕ 1 ) + A 2 sin(ωt + ϕ 2 ) Kétféle módszer lehetséges: matematikai azonosságokkal (addíciós tételek) grafikus szemléltetéssel Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés 51 / 66
127 megoldási módszer, Egyirányú Probléma: milyen mozgást takar a következő egyenlet: x(t) = A 1 sin(ωt + ϕ 1 ) + A 2 sin(ωt + ϕ 2 ) Kétféle módszer lehetséges: matematikai azonosságokkal (addíciós tételek) grafikus szemléltetéssel Mi az utóbbit választjuk. Módszer neve: forgóvektoros ábrázolás. Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés 51 / 66
128 megoldási módszer, Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés Probléma: milyen mozgást takar a következő egyenlet: x(t) = A 1 sin(ωt + ϕ 1 ) + A 2 sin(ωt + ϕ 2 ) Kétféle módszer lehetséges: matematikai azonosságokkal (addíciós tételek) grafikus szemléltetéssel Mi az utóbbit választjuk. Módszer neve: forgóvektoros ábrázolás. Alapötlet: forogjon egy A hosszúságú vektor úgy, hogy irányszöge ωt + ϕ szerint változzon. Ekkor 2. koordinátája épp egy harmonikus rezgést ír le: A sin(ωt + ϕ) Szinuszos helyett egyenletes körmozgást vizsgálunk. 51 / 66
129 a forgóvektoros ábrázolás Szemléltessük az előzőket:, Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés Asin(ωt + ϕ) A ωt + ϕ 52 / 66
130 két rezgés Forgóvektoros ábrázolással két rezgés is kiszámolható. Ötlet: a vektorok komponensenként is összeadhatók,, Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés 53 / 66
131 két rezgés, Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés Forgóvektoros ábrázolással két rezgés is kiszámolható. Ötlet: a vektorok komponensenként is összeadhatók, A forgóvektorokat adjuk össze, és az összeg 2. koordinátáját figyeljük. t = 0 A α A A 2 A 2 A 1 A 1 Könnyű belátni, hogy α = π ϕ 2 + ϕ 1 ϕ 1 ϕ 2 53 / 66
132 ... A cosinus-tételből: A 2 = A A 2 2 2A 1 A 2 cos α 54 / 66
133 ... A cosinus-tételből: A 2 = A A 2 2 2A 1 A 2 cos α A 2 = A A 2 2 2A 1 A 2 cos(π ϕ 2 + ϕ 1 ) = Innen az eredő amplitúdó: = A A A 1 A 2 cos(ϕ 2 ϕ 1 ) A = A A A 1A 2 cos(ϕ 2 ϕ 1 ) 54 / 66
134 ... A cosinus-tételből: A 2 = A A 2 2 2A 1 A 2 cos α A 2 = A A 2 2 2A 1 A 2 cos(π ϕ 2 + ϕ 1 ) = = A A A 1 A 2 cos(ϕ 2 ϕ 1 ) Innen az eredő amplitúdó: A = A A A 1A 2 cos(ϕ 2 ϕ 1 ) Ha a frekvenciája egyenlő, a vektorok ugyanolyan ütemben fordulnak körbe, így az előző ábra vektorait csak elforgatni kell. Ekkor az eredő tiszta szinuszos rezgés lesz a fenti A amplitúdóval. 54 / 66
135 azonos frekvenciájú Az előzőek alapján tehát az azonos frekvenciájú tiszta szinuszos rezgés, melynek amplitúdója: A = A A A 1A 2 cos ϕ, Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés 55 / 66
136 azonos frekvenciájú Az előzőek alapján tehát az azonos frekvenciájú tiszta szinuszos rezgés, melynek amplitúdója: A = A A A 1A 2 cos ϕ, Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés Adott A 1 és A 2 esetén ez csak a ϕ = ϕ 2 ϕ 1 fáziskülönbségtől függ. 55 / 66
137 azonos frekvenciájú Az előzőek alapján tehát az azonos frekvenciájú tiszta szinuszos rezgés, melynek amplitúdója: A = A A A 1A 2 cos ϕ, Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés Adott A 1 és A 2 esetén ez csak a ϕ = ϕ 2 ϕ 1 fáziskülönbségtől függ. Ez a függés monoton: A akkor a legnagyobb, ha ϕ a legnagyobb és viszont. 55 / 66
138 ..., Ez alapján a lehető legnagyobb eredő amplitúdó esetén ϕ = 0+k 2π, ahol k tetszőleges egész, hisz ekkor cos ϕ = 1. A legnagyobb eredő amplitúdó tehát: A = A A A 1A 2 1 = A max = A 1 + A 2 (A 1 + A 2 ) 2 ) Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés 56 / 66
139 ..., Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés Ez alapján a lehető legnagyobb eredő amplitúdó esetén ϕ = 0+k 2π, ahol k tetszőleges egész, hisz ekkor cos ϕ = 1. A legnagyobb eredő amplitúdó tehát: A = A A A 1A 2 1 = A max = A 1 + A 2 (A 1 + A 2 ) 2 ) Hasonlóan: legkisebb eredő amplitúdó akkor lesz, ha ϕ = π + k 2π, ekkor cos ϕ = 1. A legkisebb eredő amplitúdó tehát: A = A A A 1A 2 ( 1) = A min = A 1 A 2 (A 1 A 2 ) 2 ) 56 / 66
140 ..., Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés Ez alapján a lehető legnagyobb eredő amplitúdó esetén ϕ = 0+k 2π, ahol k tetszőleges egész, hisz ekkor cos ϕ = 1. A legnagyobb eredő amplitúdó tehát: A = A A A 1A 2 1 = A max = A 1 + A 2 (A 1 + A 2 ) 2 ) Hasonlóan: legkisebb eredő amplitúdó akkor lesz, ha ϕ = π + k 2π, ekkor cos ϕ = 1. A legkisebb eredő amplitúdó tehát: A = A A A 1A 2 ( 1) = A min = A 1 A 2 (A 1 A 2 ) 2 ) Az eredő amplitúdó tehát A 1 + A 2 és A 1 A 2 közt bármilyen érték lehet. 56 / 66
141 Egy példa Példa: Egy áramköri elemre két forrásból is érkezhetnek (azonos frekvenciájú) szinuszos jelek. Ha csak az egyik jelforrás működik, 15 V- os, ha csak a másik, akkor 12 V-os, ha mindegyik egyszerre, akkor 5 V-os amplitúdójú jeleket kapunk. Feltéve, hogy a jelek összeadódnak, határozza meg a két forrás fáziseltérését!, Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés 57 / 66
142 Egy példa, Egyirányú Alapvető meggondolások megoldási módszer két rezgés azonos frekvenciájú A lebegés Példa: Egy áramköri elemre két forrásból is érkezhetnek (azonos frekvenciájú) szinuszos jelek. Ha csak az egyik jelforrás működik, 15 V- os, ha csak a másik, akkor 12 V-os, ha mindegyik egyszerre, akkor 5 V-os amplitúdójú jeleket kapunk. Feltéve, hogy a jelek összeadódnak, határozza meg a két forrás fáziseltérését! Megoldás: Párhuzamos eredőjéről van szó: A 1 = 15 V és A 2 = 12 V, az eredő pedig A = 5 V. A = A A A 1A 2 cos ϕ átrendezésével a fáziseltérés koszinusza: cos ϕ = A2 A 2 1 A2 2 2A 1 A 2 = 0,9556. Innen: ϕ = ±2,842 + k 2π = ±162,9 + k 360, ahol k tetszőleges egész. 57 / 66
143 A lebegés Mi történik, ha a két összeadott rezgés frekvenciája csak közelítőleg egyenlő? 58 / 66
144 A lebegés Mi történik, ha a két összeadott rezgés frekvenciája csak közelítőleg egyenlő? Úgy képzelhetjük, hogy a két forgóvektor majdnem együtt forog, 58 / 66
145 A lebegés Mi történik, ha a két összeadott rezgés frekvenciája csak közelítőleg egyenlő? Úgy képzelhetjük, hogy a két forgóvektor majdnem együtt forog, azaz ϕ lassan változik, 58 / 66
146 A lebegés Mi történik, ha a két összeadott rezgés frekvenciája csak közelítőleg egyenlő? Úgy képzelhetjük, hogy a két forgóvektor majdnem együtt forog, azaz ϕ lassan változik, azaz az eredő amplitúdó lassan, periodikusan csökken-növekszik A jelenség neve: lebegés. 58 / 66
147 , Egyirányú Merőleges azonos frekvenciák esete 1:2 frekvenciaarány 1:3 frekvenciaarány 2:3 frekvenciaarány 1:1, frekvenciaarány 59 / 66
148 Merőleges, Egyirányú x(t) = A 1 sin(ω 1 t + ϕ 1 ) y(t) = A 2 sin(ω 2 t + ϕ 2 ) A mozgás minden esetben belül marad egy olyan téglalapon, amelynek x tengellyel párhuzamos oldala 2A 1, y tengellyel párhuzamos oldala pedig 2A 2 hosszúságú. Merőleges azonos frekvenciák esete 1:2 frekvenciaarány 1:3 frekvenciaarány 2:3 frekvenciaarány 1:1, frekvenciaarány 60 / 66
149 Merőleges, Egyirányú Merőleges azonos frekvenciák esete 1:2 frekvenciaarány 1:3 frekvenciaarány 2:3 frekvenciaarány 1:1, frekvenciaarány x(t) = A 1 sin(ω 1 t + ϕ 1 ) y(t) = A 2 sin(ω 2 t + ϕ 2 ) A mozgás minden esetben belül marad egy olyan téglalapon, amelynek x tengellyel párhuzamos oldala 2A 1, y tengellyel párhuzamos oldala pedig 2A 2 hosszúságú. Az amplitúdók megváltoztatása a mozgás képét csak megnyújtja illetve zsugorítja. Ezért elegendő A 1 = A 2 = 1 m esetet tárgyalni. 60 / 66
150 Merőleges, Egyirányú Merőleges azonos frekvenciák esete 1:2 frekvenciaarány 1:3 frekvenciaarány 2:3 frekvenciaarány 1:1, frekvenciaarány x(t) = A 1 sin(ω 1 t + ϕ 1 ) y(t) = A 2 sin(ω 2 t + ϕ 2 ) A mozgás minden esetben belül marad egy olyan téglalapon, amelynek x tengellyel párhuzamos oldala 2A 1, y tengellyel párhuzamos oldala pedig 2A 2 hosszúságú. Az amplitúdók megváltoztatása a mozgás képét csak megnyújtja illetve zsugorítja. Ezért elegendő A 1 = A 2 = 1 m esetet tárgyalni. Ha a frekvenciák aránya racionális, akkor a mozgás pályája egy idő után önmagába tér vissza: Lissajous-görbék. 60 / 66
151 Merőleges, Egyirányú Merőleges azonos frekvenciák esete 1:2 frekvenciaarány 1:3 frekvenciaarány 2:3 frekvenciaarány 1:1, frekvenciaarány x(t) = A 1 sin(ω 1 t + ϕ 1 ) y(t) = A 2 sin(ω 2 t + ϕ 2 ) A mozgás minden esetben belül marad egy olyan téglalapon, amelynek x tengellyel párhuzamos oldala 2A 1, y tengellyel párhuzamos oldala pedig 2A 2 hosszúságú. Az amplitúdók megváltoztatása a mozgás képét csak megnyújtja illetve zsugorítja. Ezért elegendő A 1 = A 2 = 1 m esetet tárgyalni. Ha a frekvenciák aránya racionális, akkor a mozgás pályája egy idő után önmagába tér vissza: Lissajous-görbék. Ha a frekvenciák aránya irracionális, akkor a pálya sosem záródik. 60 / 66
152 azonos frekvenciák esete Első tárgyalt eset: ω 1 = ω 2 = ω., Egyirányú Merőleges azonos frekvenciák esete 1:2 frekvenciaarány 1:3 frekvenciaarány 2:3 frekvenciaarány 1:1, frekvenciaarány 61 / 66
153 azonos frekvenciák esete Első tárgyalt eset: ω 1 = ω 2 = ω. x(t) = sin(ωt + ϕ 1 ) y(t) = sin(ωt + ϕ 2 ) Ha ϕ 1 = ϕ 2, akkor x(t) = y(t), azaz a mozgás az x = y egyenletű egyenes mentén fog történni., Egyirányú Merőleges azonos frekvenciák esete 1:2 frekvenciaarány 1:3 frekvenciaarány 2:3 frekvenciaarány 1:1, frekvenciaarány 61 / 66
154 azonos frekvenciák esete, Egyirányú Merőleges azonos frekvenciák esete 1:2 frekvenciaarány 1:3 frekvenciaarány 2:3 frekvenciaarány 1:1, frekvenciaarány Első tárgyalt eset: ω 1 = ω 2 = ω. x(t) = sin(ωt + ϕ 1 ) y(t) = sin(ωt + ϕ 2 ) Ha ϕ 1 = ϕ 2, akkor x(t) = y(t), azaz a mozgás az x = y egyenletű egyenes mentén fog történni. Ha ϕ 1 = ϕ 2 + π/2, akkor: Ez egy körmozgás! x(t) = cos(ωt + ϕ 2 ) y(t) = sin(ωt + ϕ 2 ) 61 / 66
155 azonos frekvenciák esete, Egyirányú Merőleges azonos frekvenciák esete 1:2 frekvenciaarány 1:3 frekvenciaarány 2:3 frekvenciaarány 1:1, frekvenciaarány Első tárgyalt eset: ω 1 = ω 2 = ω. x(t) = sin(ωt + ϕ 1 ) y(t) = sin(ωt + ϕ 2 ) Ha ϕ 1 = ϕ 2, akkor x(t) = y(t), azaz a mozgás az x = y egyenletű egyenes mentén fog történni. Ha ϕ 1 = ϕ 2 + π/2, akkor: Ez egy körmozgás! x(t) = cos(ωt + ϕ 2 ) y(t) = sin(ωt + ϕ 2 ) Az előző két eset közti átmenetben a kör és az egyenes átmenetét kapjuk. Bebizonyítható, hogy pontosan ellipszis lesz az alak. 61 / 66
156 ...szemléltetés ϕ = 0 ϕ = (1/4)π ϕ = (1/2)π ϕ = (3/4)π 62 / 66
157 1:2 frekvenciaarány Bizonyítás nélkül, csak szemléltetjük az ω 2 = 2ω 1 esetet. ϕ = 0 ϕ = (1/4)π ϕ = (1/2)π ϕ = (3/4)π 63 / 66
Rezgőmozgás. A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele
Rezgőmozgás A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele A rezgés fogalma Minden olyan változás, amely az időben valamilyen ismétlődést mutat rezgésnek nevezünk. A rezgések fajtái:
RészletesebbenTudnivalók. Dr. Horváth András. 0.1-es változat. Kedves Hallgató!
Kérdések és feladatok rezgőmozgásokból Dr. Horváth András 0.1-es változat Tudnivalók Kedves Hallgató! Az alábbiakban egy válogatást közlünk az elmúlt évek vizsga- és ZH-feladataiból. Időnk és energiánk
RészletesebbenMechanika I-II. Példatár
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Műszaki Mechanika Tanszék Mechanika I-II. Példatár 2012. május 24. Előszó A példatár célja, hogy támogassa a mechanika I. és mechanika II. tárgy oktatását
RészletesebbenRezgés tesztek. 8. Egy rugó által létrehozott harmonikus rezgés esetén melyik állítás nem igaz?
Rezgés tesztek 1. Egy rezgés kitérés-idő függvénye a következő: y = 0,42m. sin(15,7/s. t + 4,71) Mekkora a rezgés frekvenciája? a) 2,5 Hz b) 5 Hz c) 1,5 Hz d) 15,7 Hz 2. Egy rezgés sebesség-idő függvénye
RészletesebbenMechanikai rezgések Ismétlő kérdések és feladatok Kérdések
Mechanikai rezgések Ismétlő kérdések és feladatok Kérdések 1. Melyek a rezgőmozgást jellemző fizikai mennyiségek?. Egy rezgés során mely helyzetekben maximális a sebesség, és mikor a gyorsulás? 3. Milyen
RészletesebbenRezgőmozgás, lengőmozgás
Rezgőmozgás, lengőmozgás A rezgőmozgás időben ismétlődő, periodikus mozgás. A rezgő test áthalad azon a helyen, ahol egyensúlyban volt a kitérítés előtt, és két szélső helyzet között periodikus mozgást
RészletesebbenCsillapított rezgés. a fékező erő miatt a mozgás energiája (mechanikai energia) disszipálódik. kváziperiódikus mozgás
Csillapított rezgés Csillapított rezgés: A valóságban a rezgések lassan vagy gyorsan, de csillapodnak. A rugalmas erőn kívül, még egy sebességgel arányos fékező erőt figyelembe véve: a fékező erő miatt
RészletesebbenKÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS
KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS 1 EGYENLETES KÖRMOZGÁS Pálya kör Út ív Definíció: Test körpályán azonos irányban haladva azonos időközönként egyenlő íveket tesz meg. Periodikus mozgás 2 PERIODICITÁS
RészletesebbenRezgés, Hullámok. Rezgés, oszcilláció. Harmonikus rezgő mozgás jellemzői
Rezgés, oszcilláció Rezgés, Hullámok Fogorvos képzés 2016/17 Szatmári Dávid (david.szatmari@aok.pte.hu) 2016.09.26. Bármilyen azonos időközönként ismétlődő mozgást, periodikus mozgásnak nevezünk. A rezgési
RészletesebbenPÉLDÁK ERŐTÖRVÉNYEKRE
PÉLÁ ERŐTÖRVÉNYERE Szabad erők: erőtörvénnyel megadhatók, általában nem függenek a test mozgásállapotától (sebességtől, gyorsulástól) Példák: nehézségi erő, súrlódási erők, rugalmas erők, felhajtóerők,
Részletesebben2. REZGÉSEK Harmonikus rezgések: 2.2. Csillapított rezgések
. REZGÉSEK.1. Harmonikus rezgések: Harmonikus erő: F = D x D m ẍ= D x (ezt a mechanikai rendszert lineáris harmonikus oszcillátornak nevezik) (Oszcillátor körfrekvenciája) ẍ x= Másodrendű konstansegyütthatós
RészletesebbenRezgések és hullámok
Rezgések és hullámok A rezgőmozgás és jellemzői Tapasztalatok: Felfüggesztett rugóra nehezéket akasztunk és kitérítjük egyensúlyi helyzetéből. Satuba fogott vaslemezt megpendítjük. Ingaóra ingáján lévő
RészletesebbenDiagnosztika Rezgéstani alapok. A szinusz függvény. 3π 2
Rezgéstani alapok Diagnosztika 03 --- 1 A szinusz függvény π 3,14 3π 4,71 π 1,57 π 6,8 periódus : π 6,8 A szinusz függvény periódusának változása Diagnosztika 03 --- π sin t sin t π π sin 3t sin t π 3
RészletesebbenMéréstechnika. Rezgésmérés. Készítette: Ángyán Béla. Iszak Gábor. Seidl Áron. Veszprém. [Ide írhatja a szöveget] oldal 1
Méréstechnika Rezgésmérés Készítette: Ángyán Béla Iszak Gábor Seidl Áron Veszprém 2014 [Ide írhatja a szöveget] oldal 1 A rezgésekkel kapcsolatos alapfogalmak A rezgés a Magyar Értelmező Szótár megfogalmazása
RészletesebbenHangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata
Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata (Mérési jegyzőkönyv) Hagymási Imre 2007. május 7. (hétfő délelőtti csoport) 1. Bevezetés Ebben a mérésben a szilárdtestek rugalmas tulajdonságait vizsgáljuk
RészletesebbenA mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája
A mechanika alapjai A pontszerű testek dinamikája Horváth András SZE, Fizika Tsz. v 0.6 1 / 26 alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. alapi 2 / 26 Bevezetés alapi Bevezetés Newton
Részletesebben11.3. Az Achilles- ín egy olyan rugónak tekinthető, amelynek rugóállandója 3 10 5 N/m. Mekkora erő szükséges az ín 2 mm- rel történő megnyújtásához?
Fényemisszió 2.45. Az elektromágneses spektrum látható tartománya a 400 és 800 nm- es hullámhosszak között található. Mely energiatartomány (ev- ban) felel meg ennek a hullámhossztartománynak? 2.56. A
RészletesebbenMechanikai rezgések = 1 (1)
1. Jellemző fizikai mennyiségek Mechanikai rezgések Mivel a harmonikus rezgőmozgást végző test leírható egy egyenletes körmozgást végző test vetületével, a rezgőmozgást jellemző mennyiségek megegyeznek
RészletesebbenFizika alapok vegyészeknek Mechanika II.: periodikus mozgások november 10.
Fizika alapok vegyészeknek Mechanika II.: periodikus mozgások Surján Péter 2018. november 10. 2 Tartalomjegyzék 1. Körmozgás 5 1.1. Az egyenletes körmozgás leírása.................. 5 1.2. A centripetális
RészletesebbenGépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika ZH, október 10.. CHFMAX. Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont)
1. 2. 3. Mondat E1 E2 Gépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika ZH, 2017. október 10.. CHFMAX NÉV: Neptun kód: Aláírás: g=10 m/s 2 Előadó: Márkus / Varga Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont) 1) Az l hosszúságú
Részletesebben1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
RészletesebbenSzent István Egyetem Fizika és folyamatirányítási Tanszék FIZIKA. rezgések egydimenziós hullám hangok fizikája. Dr. Seres István
Szent István Egyetem Fizika és folyamatirányítási Tanszék rezgések egydimenziós hullám hangok fizikája Dr. Seres István Harmonikus rezgőmozgás ( sin(ct) ) ( c cos(ct) ) c sin(ct) ( cos(ct) ) ( c sin(ct)
RészletesebbenHarmonikus rezgések összetevése és felbontása
TÓTH.: Rezgések/3 (kibővített óravázlat Harmonikus rezgések összetevése és felbontása Gyakran előfordul hogy egy rezgésre képes rendszerben több közelítőleg harmonikus rezgés egyszerre jelenik meg és meg
RészletesebbenAz elméleti mechanika alapjai
Az elméleti mechanika alapjai Tömegpont, a továbbiakban részecske. A jelenségeket a háromdimenziós térben és időben játszódnak le: r helyzetvektor v dr dt ṙ, a dr dt r a részecske sebessége illetve gyorsulása.
RészletesebbenQ 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)
. Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol
Részletesebbena) Valódi tekercs b) Kondenzátor c) Ohmos ellenállás d) RLC vegyes kapcsolása
Bolyai Farkas Országos Fizika Tantárgyverseny 2016 Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely XI. Osztály 1. Adott egy alap áramköri elemen a feszültség u=220sin(314t-30 0 )V és az áramerősség i=2sin(314t-30
Részletesebben1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből
1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből Forgatónyomaték, impulzusmomentum, impulzusmomentum tétel 1.1. Feladat: (HN 13B-7) Homogén tömör henger csúszás nélkül gördül le az α szög alatt hajló
RészletesebbenA 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló FIZIKA II. KATEGÓRIA MEGOLDÁSI ÚTMUTATÓ
Oktatási Hivatal A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló FIZIKA II. KATEGÓRIA MEGOLDÁSI ÚTMUTATÓ 1./ Bevezetés Ha egy rezgésre képes rugalmas testet például ütéssel rezgésbe
RészletesebbenHarmonikus rezgések összetevése és felbontása
TÓTH.: Rezgésösszetevés (kibővített óravázlat) 30 005.06.09. Harmonikus rezgések összetevése és felbontása Gyakran előfordul hogy egy rezgésre képes rendszerben több közelítőleg harmonikus rezgés egyszerre
Részletesebbenrnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Klasszikus mechanika
Fizika mérnm rnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Mechanika. előadás Dr. Geretovszky Zsolt 1. szeptember 15. Klasszikus mechanika A fizika azon ága, melynek feladata az anyagi testek mozgására vonatkozó
RészletesebbenA +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld ábra ábra
. Gyakorlat 4B-9 A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld. 4-6 ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal irányában lévő, annak.. ábra. 4-6 ábra végpontjától
Részletesebben1. ábra. 24B-19 feladat
. gyakorlat.. Feladat: (HN 4B-9) A +Q töltés egy hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld.. ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal. ábra. 4B-9 feladat irányában lévő,
RészletesebbenFigyelem! Csak belső és saját használatra! Terjesztése és másolása TILOS!
Figyelem! Csak belső és saját használatra! Terjesztése és másolása TILOS! 1. példa Vasúti kocsinak a 6. ábrán látható ütközőjébe épített tekercsrugóban 44,5 kn előfeszítő erő ébred. A rugó állandója 0,18
RészletesebbenA mechanika alapjai. A pontszerű testek kinematikája. Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz szeptember 29.
A mechanika alapjai A pontszerű testek kinematikája Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz. 2006. szeptember 29. 2 / 35 Több alapfogalom ismerős lehet a középiskolából. Miért tanulunk erről mégis? 3 /
Részletesebben1. Milyen módszerrel ábrázolhatók a váltakozó mennyiségek, és melyiknek mi az előnye?
.. Ellenőrző kérdések megoldásai Elméleti kérdések. Milyen módszerrel ábrázolhatók a váltakozó mennyiségek, és melyiknek mi az előnye? Az ábrázolás történhet vonaldiagramban. Előnye, hogy szemléletes.
RészletesebbenTömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások
2. gyakorlat 1. Feladatok a kinematika tárgyköréből Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 1.1. Feladat: Mekkora az átlagsebessége annak pontnak, amely mozgásának első szakaszában v 1 sebességgel
RészletesebbenLendület. Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya.
Lendület Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya. Lendülettétel: Az lendület erő hatására változik meg. Az eredő erő határozza meg
Részletesebben1. MECHANIKA Periodikus mozgások: körmozgás, rezgések, lengések
K1A labor 1. MECHANIKA Periodikus mozgások: körmozgás, rezgések, lengések A mérés célja A címben szereplő mozgásokat mindennapi tapasztalatainkból jól ismerjük, és korábbi tanulmányainkban is foglakoztunk
Részletesebbenλx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények
RészletesebbenHangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata
KLASSZIKUS FIZIKA LABORATÓRIUM 3. MÉRÉS Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata Mérést végezte: Enyingi Vera Atala ENVSAAT.ELTE Mérés időpontja: 2011. november 23. Szerda délelőtti csoport 1. A
RészletesebbenFourier transzformáció
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Fourier transzformáció Fourier transzformáció, heurisztika Tekintsük egy 2L szerint periodikus függvény Fourier sorát: f (x) = a 0 2 + ( ( nπ ) ( nπ )) a n cos
Részletesebben1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel
1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel Munkavégzés, teljesítmény 1.1. Feladat: (HN 6B-8) Egy rúgót nyugalmi állapotból 4 J munka árán 10 cm-rel nyújthatunk meg. Mekkora
Részletesebben3. Fékezett ingamozgás
3. Fékezett ingamozgás A valóságban mindig jelen van valamilyen csillapítás. A gázban vagy folyadékban való mozgásnál, kis sebesség esetén a csillapítás arányos a sebességgel. Ha az vagy az ''+k sin =0,
RészletesebbenA brachistochron probléma megoldása
A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenMit nevezünk nehézségi erőnek?
Mit nevezünk nehézségi erőnek? Azt az erőt, amelynek hatására a szabadon eső testek g (gravitációs) gyorsulással esnek a vonzó test centruma felé, nevezzük nehézségi erőnek. F neh = m g Mi a súly? Azt
RészletesebbenRezgőmozgás, lengőmozgás, hullámmozgás
Rezgőmozgás, lengőmozgás, hullámmozgás A rezgőmozgás időben ismétlődő, periodikus mozgás. A rezgő test áthalad azon a helyen, ahol egyensúlyban volt a kitérítés előtt, és két szélső helyzet között periodikus
Részletesebben2.1. Másodrendű homogén lineáris differenciálegyenletek. A megfelelő másodrendű homogén lineáris differenciálegyenlet általános alakja
2. Másodrendű skaláris differenciálegyenletek 19 2. Másodrendű skaláris differenciálegyenletek Legyen I R egy nyílt intervallum, p, q, f : I R. Az explicit másodrendű inhomogén lineáris skaláris differenciálegyenlet
RészletesebbenMechanika. Kinematika
Mechanika Kinematika Alapfogalmak Anyagi pont Vonatkoztatási és koordináta rendszer Pálya, út, elmozdulás, Vektormennyiségek: elmozdulásvektor Helyvektor fogalma Sebesség Mozgások csoportosítása A mozgásokat
RészletesebbenGyakorló feladatok Feladatok, merev test dinamikája
Gyakorló feladatok Feladatok, merev test dinamikája 4.5.1. Feladat Határozza meg egy súlytalannak tekinthető súlypontját. 2 m hosszú rúd két végén lévő 2 kg és 3 kg tömegek Feltéve, hogy a súlypont a 2
RészletesebbenInga. Szőke Kálmán Benjamin SZKRADT.ELTE május 18. A jegyzőkönyv célja a matematikai és fizikai inga szimulációja volt.
Inga Szőke Kálmán Benjamin SZKRADT.ELTE 2012. május 18. 1. Bevezetés A jegyzőkönyv célja a matematikai és fizikai inga szimulációja volt. A program forráskódját a labor honlapjáról lehetett elérni, és
RészletesebbenLássuk be, hogy nem lehet a három pontot úgy elhelyezni, hogy egy inerciarendszerben
Feladat: A háromtest probléma speciális megoldásai Arra vagyunk kiváncsiak, hogy a bolygó mozgásnak milyen egyszerű egyensúlyi megoldásai vannak három bolygó esetén. Az így felmerülő három-test probléma
RészletesebbenIrányításelmélet és technika I.
Irányításelmélet és technika I. Mechanikai rendszerek dinamikus leírása Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék amagyar@almos.vein.hu 2010
Részletesebben2. Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata jegyzőkönyv. Zsigmond Anna Fizika Bsc II. Mérés dátuma: Leadás dátuma:
2. Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata jegyzőkönyv Zsigmond Anna Fizika Bsc II. Mérés dátuma: 2008. 09. 24. Leadás dátuma: 2008. 10. 01. 1 1. Mérések ismertetése Az 1. ábrán látható összeállításban
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)
Részletesebben2. MECHANIKA 2. MECHANIKA / 1. ω +x
2. MECHANIKA A mérés célja Periodikus mozgásokkal a mindennapi életben gyakran találkozunk, és korábbi tanulmányainkban is foglalkoztunk velük. Ennek a gyakorlatnak célja egyrészt az, hogy ezeket a mozgásokat
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?
6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.
Részletesebben1. feladat. 2. feladat
1. feladat Jelölje θ az inga kitérési szögét az ábrán látható módon! Abban a pillanatban amikor az inga éppen hozzáér a kondenzátor lemezéhez teljesül az l sin θ = d/2 összefüggés. Ezen felül, mivel a
RészletesebbenFelvételi, 2017 július -Alapképzés, fizika vizsga-
Sapientia Erdélyi Magyar Tudományegyetem Marosvásárhelyi Kar Felvételi, 2017 július -Alapképzés, fizika vizsga- Minden tétel kötelező. Hivatalból 10 pont jár. Munkaidő 3 óra. I. Az alábbi kérdésekre adott
RészletesebbenHa vasalják a szinusz-görbét
A dolgozat szerzőjének neve: Szabó Szilárd, Lorenzovici Zsombor Intézmény megnevezése: Bolyai Farkas Elméleti Líceum Témavezető tanár neve: Szász Ágota Beosztása: Fizika Ha vasalják a szinusz-görbét Tartalomjegyzék
Részletesebben1. Feladatok a dinamika tárgyköréből
1. Feladatok a dinamika tárgyköréből Newton három törvénye 1.1. Feladat: Három azonos m tömegű gyöngyszemet fonálra fűzünk, egymástól kis távolságokban a fonálhoz rögzítünk, és az elhanyagolható tömegű
RészletesebbenFizika. Fizika. Nyitray Gergely (PhD) PTE PMMIK február 13.
Fizika Nyitray Gergely (PhD) PTE PMMIK 017. február 13. A lejtő mint kényszer A lejtő egy ún. egyszerű gép. A következő problémában először a lejtőt rögzítjük, és egy m tömegű test súrlódás nélkül lecsúszik
RészletesebbenGépészmérnöki alapszak Mérnöki fizika ZH NÉV: október 18. Neptun kód:...
1. 2. 3. Mondat E1 E2 Össz Gépészmérnöki alapszak Mérnöki fizika ZH NÉV:.. 2018. október 18. Neptun kód:... g=10 m/s 2 Előadó: Márkus/Varga Az eredményeket a bekeretezett részbe be kell írni! 1. Egy m=3
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenWerner Miklós Antal május Harmonikusan rezgő tömegpont. 2. Anharmonikus rezgések harmonikus közelítése Elmélet...
Rezgések, kiegészítés Werner Miklós Antal 014. május 8. Tartalomjegyzék 1. Harmonikusan rezgő tömegpont 1. Anharmonikus rezgések harmonikus közelítése 3.1. Elmélet..............................................
RészletesebbenA rezgések dinamikai vizsgálata, a rezgések kialakulásának feltételei
A rezgések dinaikai vizsgálata a rezgések kialakulásának feltételei F e F Rezgés kialakulásához szükséges: Mozgásegyenlet: & F( & t kezdeti feltételek: ( v t & v( t & ( t Ha F F( akkor az erőtér konzervatív.
Részletesebben2014/2015. tavaszi félév
Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés
RészletesebbenAz inga mozgásának matematikai modellezése
Az inga mozgásának matematikai modellezése Csizmadia László Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem Természet és Matematika Szeged, SZTE L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08.
RészletesebbenHullámtan. A hullám fogalma. A hullámok osztályozása.
Hullátan A hullá fogala. A hulláok osztályozása. Kísérletek Kis súlyokkal összekötött ingasor elején keltett rezgés átterjed a többi ingára is [0:6] Kifeszített guikötélen keltett zavar végig fut a kötélen
RészletesebbenBevezetés a modern fizika fejezeteibe. 1. (b) Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 1. (b) Rugalmas hullámok Utolsó módosítás: 2012. szeptember 28. 1 Síkhullámok végtelen kiterjedésű, szilárd izotróp közegekben (1) longitudinális hullám transzverzális
RészletesebbenDifferenciálegyenletek december 13.
Differenciálegyenletek 2018. december 13. Elsőrendű DE Definíció. Az elsőrendű differenciálegyenlet általános alakja y = f (x, y), ahol f (x, y) adott kétváltozós függvény. Minden y = y(x) függvény, amire
RészletesebbenA 2017/2018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló FIZIKA II. KATEGÓRIA JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ. Pohár rezonanciája
Oktatási Hivatal A 017/018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló FIZIKA II. KATEGÓRIA JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Pohár rezonanciája A mérőberendezés leírása: A mérőberendezés egy változtatható
RészletesebbenA mérés célkitűzései: A matematikai inga lengésidejének kísérleti vizsgálata, a nehézségi gyorsulás meghatározása.
A mérés célkitűzései: A matematikai inga lengésidejének kísérleti vizsgálata, a nehézségi gyorsulás meghatározása. Eszközszükséglet: Bunsen állvány lombik fogóval 50 g-os vasból készült súlyok fonál mérőszalag,
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenAz éjszakai rovarok repüléséről
Erről ezt olvashatjuk [ ] - ben: Az éjszakai rovarok repüléséről Az a kijelentés, miszerint a repülés pályája logaritmikus spirális, a következőképpen igazolható [ 2 ].. ábra Az állandó v nagyságú sebességgel
RészletesebbenFüggvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
RészletesebbenMechanika, dinamika. p = m = F t vagy. m t
Mechanika, dinamika Mozgás, alakváltozás és ennek háttere Newton: a mozgás természetes állapot. A témakör egyik kulcsfontosságú fizikai mennyisége az impulzus (p), vagy lendület, vagy mozgásmennyiség.
RészletesebbenMérnöki alapok 10. előadás
Mérnöki alapok 10. előadás Készítette: dr. Váradi Sándor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334.
RészletesebbenHatványsorok, Fourier sorok
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés
Részletesebben1. Monotonitas, konvexitas
1. Monotonitas, konvexitas 1 Adjuk meg az alabbi fuggvenyek monotonitasi intervallumait! a) f (x) = x 2 (x 3) B I b) f (x) = x x 5 I c) f (x) = (x 2) p x I d) f (x) = e 6x 3 3x 2 I 2 A monotonitas vizsgalat
RészletesebbenFIZIKA II. Dr. Rácz Ervin. egyetemi docens
FIZIKA II. Dr. Rácz Ervin egyetemi docens Fontos tudnivalók e-mail: racz.ervin@kvk.uni-obuda.hu web: http://uni-obuda.hu/users/racz.ervin/index.htm Iroda: Bécsi út, C. épület, 124. szoba Fizika II. - ismertetés
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
RészletesebbenElektromágnesség 1.versenyfeladatsor Varga Bonbien, VABPACT.ELTE
. Feladat: Elektromágnesség.versenyfeladatsor Varga Bonbien, VABPACT.ELTE Akkor alakulhat ki egyenletes körmozgás, hogyha egy állandó nagyságú erő hat a q töltésre, és ez az erő biztosítja a körmozgáshoz
Részletesebben6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
RészletesebbenOsztályozó, javító vizsga 9. évfolyam gimnázium. Írásbeli vizsgarész ELSŐ RÉSZ
Írásbeli vizsgarész ELSŐ RÉSZ 1. Egy téglalap alakú háztömb egyik sarkából elindulva 80 m, 150 m, 80 m utat tettünk meg az egyes házoldalak mentén, míg a szomszédos sarokig értünk. Mekkora az elmozdulásunk?
RészletesebbenMérést végezte: Varga Bonbien. Állvány melyen plexi lapok vannak rögzítve. digitális Stopper
Mérést végezte: Varga Bonbien Mérőtárs neve: Megyeri Balázs Mérés időpontja: 2008.04.22 Jegyzőkönyv Leadásának időpontja: 2008.04.29 A Mérés célja: Hooke Törvény Vizsgálata Hooke törvényének igazolása,
RészletesebbenMunka, energia Munkatétel, a mechanikai energia megmaradása
Munka, energia Munkatétel, a mechanikai energia megmaradása Munkavégzés történik ha: felemelek egy könyvet kihúzom az expandert A munka Fizikai értelemben munkavégzésről akkor beszélünk, ha egy test erő
RészletesebbenEgy mozgástani feladat
1 Egy mozgástani feladat Előző dolgozatunk melynek jele és címe: ED ~ Ismét az ellipszis egyenleteiről folytatásának tekinthető ez az írás. Leválasztottuk róla, mert bár szorosan kapcsolódnak, más a céljuk.
RészletesebbenNULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI
A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával
RészletesebbenElektronika Oszcillátorok
8. Az oszcillátorok periodikus jelet előállító jelforrások, generátorok. Olyan áramkörök, amelyeknek csak kimenete van, bemenete nincs. Leggyakoribb jelalakok: - négyszög - szinusz A jelgenerálás alapja
RészletesebbenKinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek
Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből
RészletesebbenHarmonikus rezgőmozgás
Haronikus rezgőozgás (Vázat). A rezgőozgás fogaa. Rezgőozgás eírását segítő ennyiségek 3. Kapcsoat az egyenetes körozgás és a haronikus rezgőozgás között 4. A haronikus rezgőozgás kineatikai egyenetei
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 08. szeptember. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén egy
Részletesebbenazonos sikban fekszik. A vezetőhurok ellenállása 2 Ω. Számítsuk ki a hurok teljes 4.1. ábra ábra
4. Gyakorlat 31B-9 A 31-15 ábrán látható, téglalap alakú vezetőhurok és a hosszúságú, egyenes vezető azonos sikban fekszik. A vezetőhurok ellenállása 2 Ω. Számítsuk ki a hurok teljes 4.1. ábra. 31-15 ábra
RészletesebbenFeladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását!
Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! (a) (b) 2. Tekintsük az differenciálegyenletet. y y = e x.
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenGyakorlat 30B-14. a F L = e E + ( e)v B képlet, a gravitációs erőt a (2.1) G = m e g (2.2)
2. Gyakorlat 30B-14 Az Egyenlítőnél, a földfelszín közelében a mágneses fluxussűrűség iránya északi, nagysága kb. 50µ T,az elektromos térerősség iránya lefelé mutat, nagysága; kb. 100 N/C. Számítsuk ki,
Részletesebben1. Egyensúlyi pont, stabilitás
lméleti fizia. elméleti összefoglaló. gyensúlyi pont, stabilitás gyensúlyi pontna az olyan pontoat nevezzü, ahol a tömegpont gyorsulása 0. Ha a tömegpont egy ilyen pontban tartózodi, és nincs sebessége,
Részletesebben