2. Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata jegyzőkönyv. Zsigmond Anna Fizika Bsc II. Mérés dátuma: Leadás dátuma:

Átírás

1 2. Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata jegyzőkönyv Zsigmond Anna Fizika Bsc II. Mérés dátuma: Leadás dátuma:

2 1. Mérések ismertetése Az 1. ábrán látható összeállításban vizsgáljuk a minták gerjesztett rezgéseit. A detektort a minta rögzített végétől 1-2 cm-re helyezzük, és ekkor a rajta mérhető feszültség az amplitúdóval arányos. A különböző frekvenciájú gerjesztésnél a legnagyobb amplitúdót akkor kapjuk válasznak, ha a minta sajátfrekvenciájával gerjesztjük. Ezeket a frekvenciákat keressük minden esetben. 1. ábra. A mérési összeállítás Az első részben a megvastagított végű mintának keressük meg a sajátfrekvenciáit a gerjesztő frekvencia változtatásával. Ezután az alapharmonikus frekvencia kis környezetében mérjük ki a rezonanciagörbét úgy, hogy a frekvencia kis lépésekben való változtatásával mérjük a detektoron a feszültséget. Az ábrázolt adatokra elméleti görbét illeszthetünk. A rezonanciagörbe alapján kiszámolhatjuk a csillapítás nagyságát. A különböző sajátfrekvenciákból kiszámolható a minta x irányú Young-modulusa. Végül adott hossz mellett megtaláljuk az első sajátmódushoz tartozó csomópont helyét a gerjesztő elektromágnes mozgatásával úgy, hogy keressük azt a helyzetet, ahol az amplitúdó nullához közelít. A második részben a megvastagított vég nélküli mintának rezgő hosszának változtatásával mérjük az adott hosszokhoz tartozó alapharmonikusokat. Ábrázoljuk a rezonanciafrekvenciákat a hossz reciprokának négyzete függvényében, és ha ez egyenes bebizonyítottuk, hogy 1/l 2 -es a függés. Ennek az egyenesnek a meredekségéből kiszámítható a minta Young-modulusa. 2. A B jelű minta sajátfrekvenciái A gerjesztő frekvenciának lassú növelésével keressük a rezonanciamaximumokat. A gerjesztés módjából adódóan minden sajátfrekvenciát két gerjesztő frekvenciánál mérhetjük. Majd az 1 táblázatban ellenőrizzük a következő kifejezést: ν 0i ν 00 = ( k i k 0 ) 2 Kiszámoltuk, hogy a mért és az előző kifejezésből számolt értékek mennyivel térnek el egymástól. A maximumok helyét, a számolt és a mért értékeket, 1

3 illetve ezek eltérését az 1. táblázatban rögzítettük. ν 0i [Hz] i ν 0i ν 00 mért ( ki k 0 ) 2 számolt eltérés % % % 1. táblázat. A minta sajátfrekvenciái Az alapharmonikusnak megfelelő frekvencia (253.39Hz) környékén megmértük a rezonanciagörbét. A különböző kis lépésekben változtatott frekvenciákhoz tartozó amplitúdókat a 2. táblázatban gyűjtöttük össze. Ezután pedig ábrázoltuk a voltmérőn leolvasott feszültséget a frekvencia függvényében (2. ábra). A mért adatpontokra ráillesztettük az elméleti görbét, amit a folytonos vonal jelöl. ν[hz] A[mV ] ν[hz] A[mV ] ν[hz] A[mV ] táblázat. A rezonanciagörbe mért értékei A rezonanciagörbe félértékszélessége ( ν) annak a két frekvenciának különbsége, ahol az amplítúdó a maximum 2-ed része. A rezonanciagörbe félértékszélessége a 2. ábráról leolvasható: ν = (0.97 ± 0.05)Hz Ebből kiszámítható a κ csillapítási tényező a következő módon: κ = π ν = (3.05 ± 0.16)Hz A minta Young-modulusának kiszámításához szükségünk van a minta geometriai adataira: a szélességre, b vastagságra illetve az l hosszra, és ezek hibájára, 2

4 Amplitúdó (mv) Frekvencia (Hz) 2. ábra. Az alapharmonikus rezonanciagörbéje amit az átlagtól való legnagyobb eltérés ad: a = (15.05 ± 0.01) 10 3 m b = (2.01 ± 0.04) 10 3 m l = (80.1 ± 0.05) 10 3 m A következő képlet alapján számolható a minta Young-modulusa, ahol E a minta x irányú Young-modulusa, I a minta másodrendű felületi nyomatéka, q = ab a keresztmetszet felülete és ρ a minta sűrűsége, amit 2700 kg m -nek vesszünk. 3 ν i0 = k2 i 1 EI 2π l 2 ρq A másodrendű felületi nyomaték téglalap keresztemtszetű minta esetén: I = 1 12 ab3 = (10.2 ± 0.6) m 4 A Young-modulus az alapharmonikus frekvenciájából, és az ehhez tartozó k 0 konstansból: 4π 2 E 0 = ν 00 k0 4 l 4 ρq I = ν 4π 2 00 k0 4 l 412ρ b 2 Ennek a relatív hibáját a következő módon határozhatjuk meg: E = ν + 4 l + 2 b E 0 ν 00 l b 3

5 Behelyettesítések után a B jelű minta Young-modulusa hibával együtt: E = (6.8 ± 0.3) N m 2 Ez az érték körülbelül megfelel az alumínium Young-modulusának irodalmi értékének, ami 70 GPa, tehát a mérésünk jól visszaadta az irodalmi értéket. Végül megvizsgáljuk az első sajátfrekvenciánál a csomópont helyzetetét úgy, hogy a gerjesztő mágnes helyzetét változtatjuk, miközben a gerjesztő frekvenciát az első sajátfrekvenciára álltíjuk be, ami Hz. A csomópontban a rezgés nem gerjeszthető, tehát azt a helyzetet keressük, ahol az amplitúdó nulla. A 3. ábra alapján a csomópont helyzete a rezgő rúd hosszának szerese kell, hogy legyen. Ez a számolt érték: x = m. A mágnes mozgatásával a mért 3. ábra. A rezgési módusok érték: x = 0.06 m, ami 3%-os eltérést jelent a számolttól, tehát a mérésünk helyesnek tekinthető. 3. Az alapharmonikus függése a rezgő hossztól A 16-os számú megvastagított vég nélküli minta méretei és hibájuk, ha hibának az átlagtól való legnagyobb eltérést tekintjük: a = (15.07 ± 0.01) 10 3 m b = (3.021 ± 0.009) 10 3 m Ezekből a hosszadatokból a minta másodrendű felületi nyomatéka: I = 1 12 ab3 = (34.62 ± 0.33) m 4 Megmértük a különböző hosszokhoz tartozó alapharmonikus frekvenciákat. A frekvenciákat 1/l 2 függvényében ábrázoljuk, hogy egyenest kapjunk. Az mért 4

6 pontokra egyenest illeszthetünk. Jól látható a 4. ábrán, hogy nem tökéletes az illeszkedés, de ha az utolsó pontot, vagyis a legkisebb hosszhoz tartozó frekvenciát kihagyjuk az illesztésből, akkor az illesztés sokkal pontosabbá válik. Ez látható az 5. ábrán. Ennek oka az, hogy kis hosszúságú minta esetén megváltoznak a körülmények, és nehezebb megrezgetni a mintát Frekvencia(Hz) Hossz reciprokának négyzete ( 1 m ) 2 4. ábra. Az alapharmonikus függése a rezgő hossztól Frekvencia(Hz) Hossz reciprokának négyzete ( 1 m ) 2 5. ábra. Az alapharmonikus függése a rezgő hossztól A következőkben kiszámítjuk a minta Young-modulusát. Az előbbiek miatt a második esetnél illesztett egyenes meredekségével számolunk, mert az pontosabb: m = (2.29 ± 0.01)Hz m 2 5

7 ν = 1 k0 2 EI l 2 2π ρq E = 4π2 k 4 0 ρq I m2 Így a megmért Young-modulus hibája, ha a sűrűség hibáját nem tekintjük, az alábbiak szerint számolható: E E = 2 m m + 2 b b Behelyettesítés után a 16-os számú minta Young-modulusa hibával együtt: E = (5.945 ± 0.087) N m 2 6