2. Rugalmas állandók mérése

Átírás

1 2. Rugalmas állandók mérése Klasszikus fizika laboratórium Mérési jegyzőkönyv Mérést végezte: Vitkóczi Fanni Jegyzőkönyv leadásának időpontja:

2 I. A mérés célja: Két anyag Young-modulusának meghatározása a testek lehajlásának mérésével, valamint torziómoduluszés tehetetlenségi nyomaték mérése torziós inga segítségével. II. A mérés elméleti hátterének áttekintése: A két végén feltámasztott és középen terhelt rúd az ábrán látható módon deformálódik: Jól látható, hogy az alsó rész rétegei meghosszabbodnak, a felsők rövidülnek, mivel felül nyomó-, alul pedig húzó feszültségek lépnek fel. A két jól elkülöníthető rész közötti változatlan hosszúságú részt neutrális rétegnek nevezzük. Ezen rétegnek a vízszinteshez képest történő középső (legnagyobb) lehajlását az l 3 (EI ) F (1) s= 1 48 összefüggés írja le, amelyben s jelöli a lehajlás mértékét, l a feltámasztási pontok távolságát, F azt az erő, amely elődiézi a lehajlást, E a minta Young-modulusza, I pedig a minta keresztmetszetének másodrendű nyomatéka. Ha a koordináta rendszer x-y síkjának a vízszintes neutrális síkot választjuk, az x - tengely a rúd hosszának irányába mutat, a z -tengely pedig felfelé, akkor a másodrendű nyomaték az alábbi képlet alapján számolható: I = f z 2 df. (2) R sugarú kör keresztmetszetű rúd esetén I o = π 4 R4, (3) a alapú, b magasságú téglalap keresztmetszet esetén I = ab3 12. (4) A mérést a 2. ábrán látható, kétkarú emelőt tartalmazó eszköz segítségével végeztem. A rendelkezésre álló súlyok és az erőkar segítségével számos terhelés megvalósítható, a feltámasztás változtatásával pedig az l értéke módosítható egészen 40 cm-ig.

3 A rúd közepének lehajlása az eszközön található, 0,01 mm léptékű mérőóra segítségével mérhető. Ügyelni kell azonban arra, hogy a terhelés változtatásakor a rúd ne mozduljon el és a terhelés valóban középen legyen. Vékony huzal torziómoduluszát a huzalból készült torziós inga segítségével határoztam meg. A G torziós modulusz és az inga T lengéideje között az alábbi kapcsolat áll fenn: G=K Θ T 2. (5) Az összefüggésben szereplő Θ a lengő rendszer tehetetlenségi nyomatéka és K a torziós szálra jellemző állandó: K =8π l, (6) r 4 ahol r a szál sugara, l pedig a hossza. Ily módon Θ ismeretében a T lengésidő mérésével a G érték már meghatározható lenne. A tehetetlenségi nyomaték azonban általában nem ismert, ezért úgy végezzük a mérést, hogy a torziós inga tehetetlenségi nyomatékát ismert mértékben változtatjuk, így lehetségessé válik a torziómodulusz meghatározása. Az üres ingára a középponthoz képest szimmetrikusan két m 1 és m 2 tömegű, súlypontjukra nézve Θ 1 és Θ 2 tehetetlenségi nyomatékú tárcsát helyeztem. Törekedni kell arra, hogy a két tömeg és tehetetlenségi nyomaték minél inkább azonos legyen. Ha a tárcsák távolsága a forgástengelytől a, a rendszer eredő tehetetlenségi nyomatéka: Θ=Θ ü +Θ s1 +Θ s2 +(m 1 +m 2 )a 2. (7) A képletben szereplő Θ ü az üres inga tehetetlenségi nyomatéka, az (m 1 +m 2 )a 2 tag pedig a Steiner - tétellel magyarázható. Így az (5) kifejezést felhasználva az alábbi összefüggéshez jutunk: T 2 = K G (Θ +Θ +Θ )+K (m 1+m 2 ) ü si s2 a 2. (8) G Tehát, ha a mért T lengésidők négyzetét az a 2 értékek függvényében ábrázoljuk, egy egyenest kapunk, amely m meredekségéből a G torziómodulusz kiszámítható: amelyből m= K G (m 1+m 2 ), (9) G=K (m 1+m 2 ) m. (10) A lengésidőt egy fényérzékelőből álló egység detektálja, az időmérés egy elektronikus számlálóval történik, a műszerrel 10 vagy 50 lengés ideje mérhető. A mérés során a 10 lengés idejébőll származtatott periódusidőt használtam. Ha az inga az egyensúlyi helyen takarja el a fényérzékelő fényforrását, tehát ekkor kezdjük meg a mérést, a csillapítás miatt bekövetkezhető, az amplitúdócsökkenésből származó hiba csökkenthető, így a beállításkor erre ügyelnünk kell. Az inga keretén a tárcsák állása 1 cm-es osztással változtatható ±0,05 mm pontosságal. III.

4 IV. Mért adatok és kiértékelésük: 1) A Young-modulus meghatározása: A méréseket az A1 és S1 jelzésű mintákkal végeztem. A1 A1 A minták geometriai adatai: a (*10-3 m) 8,15 8,13 8,06 8,05 8,03 8,08 b (*10-3 m) 11,98 11,97 11,99 12,03 12,02 12,0 S1 d (*10-3 m) 9,90 9,94 9,99 9,91 9,97 9,94 A mért adatok átlagértékét a táblázat utolsó oszlopában tüntettem fel. A henger alakú minta esetén a sugár a szükséges adat: r = d/2 = 4,97 *10-3 m. Az (1) összefüggés ellenőrzésére kétféle mérést végeztem. a) Először állandó l hosszúság mellett feljegyeztem az s lehajlásokat különböző F terhelések esetén: l = 40 ± 0,25 cm mindhárom esetben. A1 (i. eset) A1 (ii. eset) S1 F (N) s (0,01 mm) F (N) s (0,01 mm) F (N) s (0,01 mm) 5 57, ,5 82 7,5 66,5 7, , ,5 12,5 101,5 12,5 85,5 12,5 59, , , A mért értékpárokat ábrázoltam, a várakozásnak megfelelően mindhárom esetben egyenest kaptam. Az egyenes meredekségéből a másodrendű nyomaték ismeretében a Young-modulusz meghatározható: s= 1 l 3 48 (EI ) F m= 1 l 3 E= 1 l 3 48 (EI ) 48 (mi ) A1 (i.) A1 (ii.) S1 Egyenes meredeksége: m 3,7486*10-5 1,6728*10-5 3,5638*10-5 A meredekség hibája: Δm ± 6,3*10-8 ± 5,8*10-8 ± 2,0*10-8

5 m 1 = 3,7486*10-5 ± 6,3*10-8 m 2 = 1,6728*10-5 ± 5,8*10-8 m 3 = 3,5638 *10-5 ± 2,0*10-8

6 A Young-modulusz hibája a hibaszámítás szabályai alapján: Δ E=3 (Δ l ) (Δ m) + l m +(Δ I ) I Az alábbi táblázat tartalmazza a Young-modulusz értékét és hibáját, valamint a számításhoz szükséges másodrendű nyomaték értékét és hibáját egyaránt: A1 (i.) A1 (ii.) S1 Másodrendű nyomaték: I 5,275*10-10 m 4 1,1635*10-9 m 4 4,792*10-10 m 4 Másodrendű nyomaték hibája: ΔI 1,5*10-11 m 4 1,9*10-11 m 4 1,5*10-11 m 4 Young-modulusz: E 6,743 *10 10 N/m 2 6,851 * N/m 2 7,8 * N/m 2 Young-modulusz hibája: ΔE ± 0,33 *10 10 N/m 2 ± 0,26 * N/m 2 ± 0,43 *10 10 N/m 2 b) Ezt követően állandó 1000 g-os majd 3000 g-os terhelés mellett megmértem a lehajlásokat különböző l éktávolságok mellett az S1 minta esetén. A mért értékek az alábbi táblázatban találhatók: l (cm) s 0 (*0,01 mm) 92, s t (*0,01 mm) s = s t -s 0 (*0,01 mm) 70, Az s= 1 l 3 48 (EI ) F=m l3 m= 1 F alapján a Young-modulus meghatározható. 48 (EI ) Ha az s lehajlást az l 3 függvényében ábrázoljuk, megkapjuk a szükséges egyenes merdekségét. Az egyenest a Gnuplot program segítségével illesztettem, a merededség: m = 0,01116 ± 0, Lehajlás s (*10-5 m) m = 0,01116 ± 0,00035 l 3 (*10-3 m 3 )

7 A mérési eredmények alapján a minta Young-modulusa: E= 1 F N 48 (mi ) =7, m 2. A Young-modulus hibája, ha az erő becsült relatív hibája ± 1%-nak tekinthető: Δ E=[ (Δ F ) m) +(Δ F m +(Δ I ) ] E=0, N I m 2. Az S1 mita Young-modulusa a második módszer alapján: E = (7,79 ± 0,566 )*10 10 N/m 2. c) Az 1/a) mérést a téglalap keresztmetszetű mintán mindkét élell párhuzamos terhelés mellett elvégeztem, a mérési eredmények és a Young-modulus számítása az a) részben megtalálható. m 1 A két merdekség arányára az alábbi mennyiséget kaptam: = (3, ) m 2 (1, ) =2,24. Ha tekintjük az I 2 I 1 = (1, ) (5, ) jegyig azonos, így azt mondhatjuk, hogy a feltételezett mérési hibából származik. =2,20 arányt, a két mennyiség a második tizedes m 1 m 2 = I 2 I 1 teljesül, a kis eltérés a 2) Torziómodulusz mérése, és az inga tehetetlenségi nyomatékának meghatározása: A torziós ingában található vékony szál geometriai adatait csavarmikrométer, valamint miliméter beosztású mérőszalag segítségével mértem, a csvarmikrométer hibája ± 0,005 mm, a hosszmérés hibája ± 0,05 cm. A mért adatok átlagát a táblázat utolsó oszlopában tüntettem fel: d (mm) 0,71 0,70 0,72 0,70 0,71 0,72 0,71 l (cm) 59,1 A súlyok geometriai adatait tolómérő és csavarmikrométer segítségével állapítottam meg, a tömeget analítikai mérleg segítségével mértem. A tolómérő hibája ± 0,025 mm, a tömegmérés estén a hiba ±0,0001 g. A méréshez az 5. és 8. sorszámú súlyokat használtam. A táblázat utolsó oszlopában az egyes mennyiségek átlaga szerepel d ±0,025 (mm) 45,1 45,0 45,05 45,0 45,04 h ± 0,005 (mm) 13,78 13,74 13,75 13,74 13,75 m 1 (g) 194,6370 d ±0,025 (mm) 45,1 45,0 45,1 45,0 45,05 h ± 0,005 (mm) 13,86 13,90 13,86 13,9 13,88 m 2 (g) 196,2680 Az alábbi táblázat az óvatosan kitérített inga lengésidejét, és a hozzájuk tartozó súlyok pozícióját tartalmazza. A súlyok az ingán található kereten szimmetrikusan helyezkedtek el, a táblázatban található a érték a súlyok rögzítési pontjának (jó közelítéssel a középpontok) távolságát jelzik ±0,05 mm pontossággal.

8 T 10 (s) Az időmérést minden esetben kétszer elvégeztem, a mérési eredméyekből látszik, hogy a műszer három tizedesjegy pontosággal méri a lengsidőt, a mérés sajátosságaiból adódóan azonban a mérési erdmények a második tizedesjegytől kezdve eltérnek, ezért célszerű a továbbiakban a számolást az első tizedesjegyre kerekített értékekkel végezni. 28,672 35,790 40,335 45,574 51,166 57,097 63,339 69,522 76,007 28,746 35,800 40,322 45,595 51,163 57,100 63,311 69,499 76,001 T (s) 2,87 3,58 4,03 4,56 5,12 5,71 6,33 6,94 7,60 a (cm) A T 2 értékeket az a 2 függvényében ábrázolta és a (8) összefüggésnek megfelelően egyenest kaptam. Az egyenes egyenlete: y = 4937,5 x + 8,36. A meredekség hibája: Δm = ± 11,18. A tengelymetszet: b = 8,36 ± 0,06. A G torziómodulusz meghatározásához szükséges a K állandó kiszámítása: K =8π l 1 r 4 =(9,35 0,26) 1014 m 3 G=K (m 1 +m 2 ) m = 9, (0, , ) =7, N 4937,5 m 2 A G torziómodulusz hibája az alábbi képlet alapján számítható ki: Δ G=[ (Δ K ) K +(Δ m 1+Δ m 2 ) (Δ m) (Δl ) (Δ r) + ]G=[ +4 (m 1 +m 2 ) m l r Tehát az inga torziómodulusza: G = (7,40 ± 0,02) *10 10 N/m 2. + (Δ m 1+Δ m 2 ) + (m 1 +m 2 ) (Δ m) m ]G

9 Tehetetlenségi nyomaték: Az inga tehetetlenségi nyomatékának maghatározásához szükség van a két test tehetetlenségi nyomatékára: Θ si = 1 2 m R 2 i i. Így az 5. tárcsa tehetetlenségi nyomatéka Θ s1 = 0, kg m 2, a 8. súly tehetetlenségi nyomatéka pedig Θ s2 = 0, kg m 2. Az inga tehetetlenségi nyomatéka: Θ ü =G b K Θ s1 Θ s2 =5, kg m 2. A tehetetlenségi nyomaték hibájának meghatározásához szükség van a tárcsák tehetetlenségi nyomatékának hibájára: Δ Θ si =[ (Δ m i) +2 (Δ R i) ]Θ m i R si. i ΔΘ s1 = ± 1,09 *10-7 ; ΔΘ s2 = ± 1,10 *10-7 ; Az üres inga tehetetlenségi nyomatékának hibája a fenti összefüggésben szereplő mennyiségek abszolút hibáinak összegeként adódik. Az üres inga tehetetlenségi nyomatéka Θ ü = (5,62 ± 0,46) *10-4 kg m 2. Az egyenes korrelációs együtthatójára az R = 0,9999 mennyiség adódott, ezzel igazolást nyert a Steiner-tétel.