KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK

Átírás

1 web-lap : DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár deme.ferenc1@gmail.com STATIKA 50. KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK A TARTÓK MÉRETEZÉSE SORÁN SZÁMOS ESETBEN SZÜKSÉGÜNK VAN OLYAN ADATOKRA, AMELYEK A TARTÓ KERESZTMETSZETÉNEK, MINT SÍKIDOMNAK AZ ALAKJÁVAL FÜGGENEK ÖSSZE. EZEKET AZ ADATOKAT ÖSSZEFOGLALÓ NÉVEN KERESZTMETSZETI JELLEMZŐKNEK NEVEZZÜK. A STATIKA TANTÁRGYBAN EZEKET A JELLEMZŐKET TEKINTJÜK ÁT. AZ ITT TANULT ISMERETEK A KÖVETKEZŐ TANÉVEK SORÁN A SZILÁRDSÁGTAN TANTÁRGYBAN FOGNAK BEÉPÜLNI A TARTÓSZERKEZETEK MÉRETEZÉSI FELADATAIBA. 1. SÚLYPONT AHOGY A NÉVBŐL IS KÖVETKEZIK, A SÚLYPONT A SÚLYERŐVEL KAPCSOLATOS FOGALOM. EGYSZERŰ KÍSÉRLETTEL IGAZOLHATÓ, HOGY MINDEN TESTNEK VAN EGY OLYAN PONTJA, AMIBEN FELFÜGGESZTVE VAGY ALÁTÁMASZTVA, A TEST NYUGALOMBAN MARAD. KORÁBBAN AZ ERŐRENDSZEREK FAJTÁI KÖZÖTT TANULTUNK A TÉRBELI MEGOSZLÓ ERŐRENDSZERRŐL. ERRE NAGYON JÓ PÉLDA EGY TEST MINDEN PONTJÁRA HATÓ GRAVITÁCIÓS ERŐ. EZT AZ ERŐRENDSZERT ÚGY KÉPZELHETJÜK EL, HOGY A TEST MINDEN PONTJÁBAN EGY FÜGGŐLEGES HATÁSVONALÚ, A FÖLD FELÉ MUTATÓ NYILAT KÉPZELÜNK. EKKOR LELKI SZEMEINKKEL EGY PÁRHUZAMOS HATÁSVONALÚ, EGY IRÁNYBA MUTATÓ TÉRBELI ERŐRENDSZERT LÁTUNK. ENNEK AZ ERŐRENDSZERNEK AZ EREDŐJE ÁTMEGY A TEST SÚLYPONTJÁN. MINDEN EGYENEST, AMI ÁTMEGY A SÚLYPONTON, SÚLYVONALNAK NEVEZÜNK. A FENTI ESETBEN TEHÁT AZ EREDŐ HATÁSVONALA A FÜGGŐLEGES SÚLYVONAL. HA A TEST ANYAGI PONTJAIBAN MŰKÖDŐ GRAVITÁCIÓS ERŐKET VÍZSZINTESEN MŰKÖDTETNÉNK, A VÍZSZINTES EREDŐ NAGYSÁGA EGYEZNE A FÜGGŐLEGESÉVEL ÉS A HATÁSVONALA SZINTÉN ÁTMEGY A TEST SÚLYPONJÁN, TEHÁT EZ A VÍZSZINTES SÚLYVONAL. A FÜGGŐLEGES ÉS A VÍZSZINTES SÚLYVONAL METSZÉSPONTJA A TEST SÚLYPONTJA. A SÚLYPONT FOGALMÁNAK ÁLTALÁNOS ÉRTELMEZÉSE AZT IS JELENTI, HOGY NEM CSAK TESTEKNEK, HANEM SÍKIDOMOKNAK, PONTOKNAK, VONALAKNAK IS ÉRTELMEZHETŐ A SÚLYPONTJA. MI A JÖVŐBEN CSAK SÍKIDOMOK SÚLYPONTJÁNAK A MEGHATÁROZÁSÁVAL FOGUNK FOGLALKOZNI. EGYSZERŰ SÍKIDOMOK SÚLYPONTJA ALAPVETŐ ISMERET, HOGY A SZIMMETRIATENGELYEK MINDIG SÚLYVONALAK. HA TEHÁT EGY SÍKIDOMNAK VAN LEGALÁBB KÉT SZIMMETRIATENGELYE, AKKOR AZOK METSZÉSPONTJA KIJELÖLI A SÍKIDOM SÚLYPONTJÁT. AZ ILYEN SÍKIDOMOKAT EGYSZERŰ SÍKIDOMOKNAK NEVEZZÜK. BÁR AZ ÁLTALÁNOS ALAKÚ HÁROMSZÖGEK NEM SZIMMETRIKUSAK, DE A MATEMATIKÁBÓL TUDJUK, HOGY A SÚLYPONT A MAGASSÁGVONALAT 1/3 /3 ARÁNYBAN OSZTJA.

2 ÖSSZETETT SÍKIDOMOK SÚLYPONTJA AZ EGYSZERŰ SÍKIDOMOK SÚLYPONTJAINAK A HELYÉT ISMERVE, KI TUDJUK SZÁMÍTANI AZ ÖSSZETETT SÍKIDOMOK SÚLYPONTJÁNAK A HELYÉT IS. ELSŐ LÉPÉSBEN AZ ÖSSZETETT SÍKIDOMOT FELBONTJUK ISMERT SÚLYPONTÚ EGYSZERŰ SÍKIDOMOKRA. MÁSODIK LÉPÉSBEN A RÉSZIDOMOK SÚLYPONTJÁBAN FÜGGŐLEGESEN EGY IRÁNYBAN MŰKÖDTETJÜK A TERÜLETÜKKEL ARÁNYOS NAGYSÁGÚ ERŐKET, MELYEKNEK MEGHATÁROZZUK AZ EREDŐJÉT. Ha luk IDOM IS VAN A RÉSZIDOMOK KÖZÖTT, AKKOR AZT ELLENTÉTES NYÍLLAL MŰKÖDTETJÜK. HARMADIK LÉPÉSBEN A RÉSZIDOMOK SÚLYPONTJÁBAN VÍZSZINTESEN EGY IRÁNYBAN MŰKÖDTETJÜK A TERÜLETÜKKEL ARÁNYOS NAGYSÁGÚ ERŐKET, MELYEKNEK MEGHATÁROZZUK AZ EREDŐJÉT. Ha luk IDOM IS VAN A RÉSZIDOMOK KÖZÖTT, AKKOR AZT ELLENTÉTES NYÍLLAL MŰKÖDTETJÜK. A KÉT EREDŐ HATÁSVONALÁNAK A METSZÉSPONTJA A SÚLYPONT, MELYNEK AZ, KOORDINÁTARENDSZERBEN AZ ORIGÓTÓL MÉRT VÍZSZINTES TÁVOLSÁGA ( S ) MEGEGYEZIK A FÜGGŐLEGES EREDŐ ORIGÓTÓL MÉRT TÁVOLSÁGÁVAL, AZ ORIGÓTÓL MÉRT FÜGGŐLEGES TÁVOLSÁGA ( S ) MEGEGYEZIK A VÍZSZINTES EREDŐ ORIGÓTÓL MÉRT TÁVOLSÁGÁVAL.. STATIKAI NYOMATÉK A SÚLYPONT KOORDINÁTÁINAK A MEGHATÁROZÁSAKOR OLYAN ERŐRENDSZERREL DOLGOZTUNK, MELYNEK AZ ERŐI AZ EGYSZERŰ SÍKIDOMOK TERÜLETEI VOLTAK. AZ EREDŐ HELYÉNEK A KISZÁMÍTÁSA SORÁN A NYOMATÉKI EGYENLETEKBEN TEHÁT VALÓJÁBAN TERÜLETEKET SZOROZTUNK TÁVOLSÁGOKKAL. AZ OLYAN MENNYISÉGEKET, MELYEK TERÜLETNEK TÁVOLSÁGGAL VALÓ SZORZÁSA ÁLTAL SZÜLETNEK, STATIKAI NYOMATÉKNAK NEVEZZÜK. A STATIKAI NYOMATÉK MÉRTÉKEGYSÉGE : cm 3, m 3, mm 3 O S Mivel a szorzatban a távolság első hatvánon szerepel, elsőrendű nomatéknak is nevezzük. A STATIKAI NYOMATÉK ELŐJELES MENNYISÉG. S b A A h A = b h [cm ] S = A S [cm 3 ] S = A S [cm 3 ] A FENTIEK ALAPJÁN AZ ÖSSZETETT SÍKIDOM SÚLYPONTJÁNAK KOORDINÁTÁIT A KÖVETKEZŐ KÉPLETEK SZOLGÁLTATJÁK: S = S i / A S = S i / A ahol S i : az összes részidom előjelheles statikai nomatéka az Y tengelre, A : a síkidom teljes területe ahol S i : az összes részidom előjelheles statikai nomatéka az X tengelre, A : a síkidom teljes területe

3 NÉZZÜK, HOGY A FENTIEK HOGYAN ALAKULNAK KONKRÉT PÉLDÁKBAN SZIMMETRIKUS SÍKIDOM SÚLYPONTJA O 1 = 1 cm 8 szimmetriatengel (súlvonal) A 1 (+) = 5 cm S = 7 cm 3 = 10 cm A 6 1 A 3 4 (+) S = 6 cm 1 A felső téglalap területe: A 1 = 8 = 16 cm A középső téglalap területe: A = 4 6 = 4 cm Az alsó téglalap területe: A 3 = 1 4 = 48 cm Az egész síkidom területe: A = A 1 + A + A 3 = 88 cm Az A 1 jelű téglalap statikai nomatéka az tengelre: S 1 = A 1 1 = 16 1 = 16 cm 3 Az A jelű téglalap statikai nomatéka az tengelre: S = A = 4 5 = 10 cm 3 Az A 3 jelű téglalap statikai nomatéka az tengelre: S 3 = A 3 3 = = 480 cm 3 Az egész síkidom statikai nomatéka az tengelre: S i = S 1 + S + S 3 = 616 cm 3 Az egész síkidom súlpontjának a távolsága az tengeltől: S = S i / A = 616 / 88 = 7,0 cm

4 NEM SZIMMETRIKUS SÍKIDOM SÚLYPONTJA 3 = 4 cm 1 = 6 cm = 8 cm O (+) -A 3 mivel a kör luk idom, a területe mínusz ( -A 3 ) A 1 A S = 7,017 cm (+) = 3 cm 3 = 4 cm = 8 cm S = 4, 754 cm A háromszög súlpontja a magasságvonal alaphoz közelebbi harmadában van. A SÍKIDOM TERÜLETE: A téglalap területe: A 1 = 6 1 = 7 cm A háromszög területe: A = (6 1): = 36 cm Az luk kör területe: - A 3 = - 3,14 = - 1,56 cm Az egész síkidom területe: A = A 1 + A - A 3 = 95,44 cm A SÍKIDOM STATIKAI NYOMATÉKA AZ TENGELYRE Az A 1 jelű téglalap statikai nomatéka az tengelre: S 1 = A 1 1 = 7 6 = 43 cm 3 Az A jelű háromszög statikai nomatéka az tengelre: S = A = 36 8 = 88 cm 3 A -A 3 jelű luk kör statikai nomatéka az tengelre: -S 3 = -A 3 3 = -1,56 4 = -50,4 cm 3 Az egész síkidom statikai nomatéka az tengelre: S i = S 1 + S - S 3 = 669,76 cm 3 Az egész síkidom súlpontjának a távolsága az tengeltől: S = S i / A = 669,76 / 95,44 = 7,017 cm

5 A SÍKIDOM STATIKAI NYOMATÉKA AZ TENGELYRE Az A 1 jelű téglalap statikai nomatéka az tengelre: S 1 = A 1 1 = 7 3 = 16 cm 3 Az A jelű háromszög statikai nomatéka az tengelre: S = A = 36 8 = 88 cm 3 A -A 3 jelű luk kör statikai nomatéka az tengelre: -S 3 = -A 3 3 = -1,56 4 = -50,4 cm 3 Az egész síkidom statikai nomatéka az tengelre: S i = S 1 + S - S 3 = 453,76 cm 3 Az egész síkidom súlpontjának a távolsága az tengeltől: S = S i / A = 453,76 / 95,44 = 4,754 cm 3. INERCIANYOMATÉK Közismert az a jelenség, hog amikor eg fa anagú pallót fekvő helzetben terhelünk, sokkal jobban lehajlik, mint amikor álló helzetben terheljük uganakkora teherrel. Tehát uganaz az anag, uganaz a keresztmetszet másképpen viselkedik csupán azért, mert a helzete magváltozott. A jelenség magarázatára szolgál az inercianomaték. Uganis, a tartó keresztmetszetének, mint síkidomnak az inercianomatéka, a tartó hajlítással szembeni ellenállásának a mértékére jellemző. Tehát tömören az inercianomaték fogalma: hajlítással szembeni ellenállás. Ha a hajlítás az tengel körül történik, az inercianomaték jele: I mértékegsége: cm 4 Ha a hajlítás az tengel körül történik, az inercianomaték jele: I mértékegsége: cm 4 Egszerű síkidomok esetében az és jelű súlponti tengelekre vonatkozó inercianomatékok képleteit táblázatok tartalmazzák. A TÁBLÁZATBAN KÖZÖLT INERCIANYOMATÉKOKAT AZ INTEGRÁLSZÁMÍTÁS MÓDSZERÉVEL LEHET MEGHATÁROZNI!! ENNEK AZ ELVI LÉNYEGE, HOGY ELEMI TERÜLETEKNEK TÁVOLSÁGOK NÉGYZETEIVEL TÖRTÉNŐ SZORZATAIT ÖSSZEGZIK. EZÉRT A MÉRTÉKEGYSÉG cm 4. PÉLDÁUL TÉGLALAP, HÁROMSZÖG, KÖR ESETÉBEN A TÁBLÁZATI ADATOK: b/3 h b h h/3 b r I = bh 3 /1 I = hb 3 /1 I = bh 3 /36 I = hb 3 /36 I =I = r 4 /4

6 A BEVEZETŐBEN LEÍRT JELENSÉGET BIZONYÍTJUK AZ ALÁBBI SZÁMPÉLDÁBAN: h = 0 cm b = 5 cm I = bh 3 /1 = /1 = 3333,33 cm 4 Szembetűnő, hog az álló téglalap keresztmetszetű tartó hajlítással szembeni ellenállása 3333,33 / 08,33 = 16,00-szor nagobb, mint a fekvő -é. h = 5 cm b = 0 cm I = bh 3 /1 = /1 = 08,33 cm 4 EGY KERESZTMETSZET (SÍKIDOM) SÚLYPONTJÁN VÉGTELEN SOK EGYENES (TENGELY) MEHET KERESZTÜL. AZ EZEKRE FELÍRHATÓ INERCIANYOMATÉKOK KÖZÖTT VAN EGY LEGNAGYOBB ÉS EGY LEGKISEBB. EZEKET AZ INERCIANYOMATÉKOKAT FŐINERCIANYOMATÉKOKNAK NEVEZZÜK, A HOZZÁJUK TARTOZÓ TENGELYEKET PEDIG FŐTENGELYEKNEK. A FŐTENGELYEK EGYMÁSRA MERŐLEGES HELYZETŰEK. A SZIMMETRIATENGELYEK MINDIG FŐTENGELYEK. MIVEL AZ INERCIANYOMATÉKOT SZÁRMAZTATÓ ÖSSZEFÜGGÉSEKBEN A TERÜLETET SZORZÓ TÁVOLSÁG A NÉGYZETEN SZEREPEL, AZ INERCIANYOMATÉK MÁSODRENDŰ NYOMATÉK, AZ ELŐJELE MINDEN ESETBEN POZITÍV. STEINER-TÉTEL A TÁBLÁZATBAN TALÁLHATÓ INERCIANYOMATÉKOK CSAK NÉHÁNY EGYSZERŰ IDOM SÚLYPONTI TENGELYÉRE VAGY EGYES OLDALAIRA, MINT TENGELYRE ADNAK KÉPLETEKET. HA EZEKTŐL ELTÉRŐ TENGELYEKRE KELL FELÍRNI AZ INERCIANYOMATÉKOT, AKKOR ALKALMAZZUK A STEINER-TÉTELT, MELY A KÖVETKEZŐ: a síkidom súlpontja A W t w I w = I W + A t I w : Inercianomaték a w jelű tengelre (ez a kérdés) I W : Inercianomaték a w tengellel párhuzamos súlponti tengelre (TÁBLÁZATBAN ADOTT) A : a síkidom területe t : a w jelű tengel távolsága a síkidom súlpontjától

7 4. KERESZTMETSZETI TÉNYEZŐ AHOGY A FEJEZET BEVEZETŐJÉBEN OLVASHATÓ, A KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK MAJD A KÖVETKEZŐ TANÉVBEN, A SZILÁRDSÁGTAN TANTÁRGYBAN KERÜLNEK BELE A TARTÓK MÉRETEZÉSÉNEK A KÉPLETEIBE. A KERESZTMETSZETI TÉNYEZŐ IS A KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK EGYIK FAJTÁJA, MELYNEK LEVEZETÉSÉT MELLŐZVE KÖZÖLJÜK A VÉGEREDMÉNYT. A KERESZTMETSZETI TÉNYEZŐT ÚGY SZÁMÍTJUK KI, HOGY AZ INERCIANYOMATÉKOT ELOSZTJUK A SZÉLSŐ SZÁLNAK A SÚLYPONTTÓL MÉRT TÁVOLSÁGÁVAL. SÚLYPONT e felső W, alsó = I / e alsó W, felső = I / e felső W, bal = I / e bal W, jobb = I / e jobb e alsó W : keresztmetszeti ténező [cm 3 ] ( korábban K volt a jele ) I : inercianomaték [cm 4 ] e : szélsőszáltávolság [cm] e bal e jobb 5. INERCIASUGÁR AZ INERCIASUGÁR IS A KÉSŐBBI TANULMÁNYOK MÉRETEZÉSI FELADATAINAK A RÉSZE, EZÉRT ITT CSAK AZ EMLÍTÉS SZINTJÉN ZÁRJUK VELE A KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK SORÁT. AZ INERCIASUGÁR AZ INERCIANYOMATÉK ÉS A TERÜLET HÁNYADOSÁBÓL VONT NÉGYZETGYÖK. i = ( I / A ) 1/ i = ( I / A ) 1/ [cm] [cm]