Alapmőveletek koncentrált erıkkel

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Alapmőveletek koncentrált erıkkel"

Edit Nemesné
7 évvel ezelőtt
Látták:

1 Alapmőveletek koncentrált erıkkel /a. példa Az.7. ábrán feltüntetett, a,5 [m], b, [m] és c,7 [m] oldalú hasábot a bejelölt erık terhelk. A berajzolt koordnátarendszer fgyelembevételével írjuk fel komponens-alakban az erıvektorokat, az erık A, B, C, D, E támadáspontjanak helyvektorat és az E-ból B-be mutató helyvektort!.7. ábra A helyvektorok: r A a.5 [m] r B a + ck.5 +.7k [m] r C b j + ck. j +.7k [m] r D a + bj.5 +.j [m] r E a + bj + ck.5 +.j+.7k [m] r EB - bj -.j [m] Az erıvektorokat (.) képlet alapján, úgy határozzuk meg, hogy az erınagyságot megszorozzuk az rányt mutató egységvektorral. Az általános helyzető egységvektort megkapjuk, ha a hatásvonal két smert pontja között lévı helyvektort elosztjuk annak nagyságával, azaz a két pont távolságával. A valamelyk tengellyel párhuzamos rányú erı vektor a megfelelı egységvektorral (, j, k) közvetlenül felírható. Ezek alapján az alább erıvektorok írhatók fel: j j [N] x y [N] z - - [N] x -[N] y z r CD r D - r C a + bj -b j ck a ck.5.7k r CD a + c r CD a c.5.7 e3 k k.58.84k r CD a + c a + c e 3 3 (.58,84 k) k [N]

2 r D a b c e 4 j + k j +.474k r D a + b + c a + b + c a + b + c 4 4 e j k [N] r E a b e5 j j r E a + b a + b 5 5 e j [N]./b Határozzuk meg az elızı példában szereplı erık vektoröszszegét! A (.) képlet szernt : 5 ( ) + ( ) j + ( ) k x y ( ) + ( )j + ( )k j 5.5 k z./c. Határozzuk meg az elsı példában szereplı 5 és r EB vektorok skalárs szorzatát! A (.3) képlet alapján : 5 r EB 5x r EBx + 5y r EBy + 5z r EBz ( ) + ( [N]) ( -. [m]) [Nm]./d Határozzuk meg az elsı példában szereplı 4 erı támadáspontja hekyvektorának és az erı vektorának vektoráláls szorzatát! A (.4) képletnek megfelelıen: j k r D (. 8.5 ) ( ) j + (.5 ( 3.) ( 84.5).) k j. k [Nm]

3 Általános síkbel erırendszer eredıjének meghatározása. példa: Határozzuk meg az.8. ábrán látható síkbel erırendszereredıjét! Az merev testre ható erık egyenlı nagyságúak, azaz 3 4 [N] Az erıvektorokat helyezzük át a koordnátarendszer "" pontjába. A redukcó eredménye a.9. ábrán látható..8. ábra Így nyerünk egy ponton átmenı hatásvonalú l,, 3 és 4 erırendszert és M l, M 3 nyomatékokat. (Az erı -ra számított M nyomatéka és az 4 erı -ra számított nyomatéka zérus, mert hatásvonala keresztül.9. ábra megy az orgón) Keressük az ponton átmenı erık e összegét. Elıször összegezzük az x rányú erıket, ez adja az eredı x rányú összetevıjét / ex /, majd összegezzük az y rányú erıket, ez adja az eredı y rányú összetevıjét / ey /. Ezek smeretében az eredı az alábbak szernt adódk + e ex ey Példánkban: 4 M e M a 3 a 4 [ Nm] 4 ex x x 4 x 4 ey y + + y 3y [ N] [ N] Tehát az e az y rányában felfelé mutató [N] nagyságú vektor. Az M e vektor az M és M 3 összege. Az M e negatív elıjele arra utal, hogy a nyomaték forgatás értelme az óramutató járásával megegyezı értelmő. Poztvnak az óramutató járásával ellentétes forgatás értelmét tekntjük. 3

4 Tehát az M e vektor abszolút értéke 4 [Nm], forgatás értelme az óramutató járásával megegyezı. Az e és M e vektorok összegezhetık (erı és erıpár összegezése) és így nyerjük az alább.. ábra.. ábrán látható erırendszerrel egyenértékő legegyszerőbb erırendszert, vagys az e hatásvonalával párhuzamosan "a" távolsággal eltolt hatásvonalú egyetlen e erıt. Ez lesz az erırendszer EEDİJE, vagys a vele egyenértékő legegyszerőbb erırendszer. 3.példa Határozzuk meg a.. ábrán feltüntetett erırendszer eredıjét! Adatok: [N]; [N]; 3 5 [N]; 4 5 [N]. A számításhoz felhasználjuk az x, y koordnátarendszert.az erıket x és y rányú összetevıre bonjuk és a (.) képletnek megfelelıen a komponenseket összegezzük. Az eredı komponenset :.. ábra x x cos cos ,77 + 5,866 6,7 [N] y y + 3 sn 45-4 sn 3 + 5,77-5,5 3.8[N] 4

5 Az eredı nagysága: [ N] x y Az eredı az x tengellyel bezárt szöge: y 3.8 tg α.46 α 55º x Az eredı hatásvonalának távolsága az orgótól: M x k.5.587[ m] y 3 sn sn Az eredı hatásvonala az x tengelyt az orgótól x távolságban metsz: x M.5.7 [m] 3.8 y 5

6 Párhuzamos térbel erırendszer eredıje 4.példa Határozzuk meg a.. ábrán látható és a következı adatokkal megadott párhuzamos térbel erırendszer eredıjét! [N], x l 3 [cm]; y l [cm]; -5 [N]; x 5 [cm]; y 3 [cm]; 3 [N]; x 3 - [cm]; y 3 [cm]; 4 5 [N], x 4 - [cm]; y 4 - [cm]; 5-3 [N]; x 5 [cm]; y 5-5 [cm];.. ábra Az eredı erı nagysága: Σ [N] Az eredı hatásvonalának döféspontkoordnátá a (.) képletek felhasználásával: x x y y x l 3 3 [Ncm] y l [Ncm] x 5 (-5) - 5 [Ncm] y 3 (-5) - 45 [Ncm] x [Ncm] y3 3 4 [Ncm] x [Ncm] y [Ncm] x 5 5 ( -3 ) - 3 [Ncm] y (-3 ) 75 [Ncm] x x 95[ Ncm] y 3[ Ncm] [ cm] y 3[ cm] Az eredményt az.3. ábra szemléltet..3 ábra

7 Általános síkbel erırendszer egyensúlya 5. példa:.4. ábra Az ábrán látható 4 [m] hosszú vzszntes egyenes rúd. A vége helytálló csuklóhoz kapcsolódk B végéhez pedg G [N] súllyal terhelt függıleges fonál csatlakozk. A rúdon 5 [N] súlyú henger mozoghat. Kérdés, hogy a henger mlyen helyzetében /x?/ marad az AB rúd egyensúlyban? Mekkora az A csuklóban ébredı A reakcóerı nagysága? Egyensúly esetén a (.6) és (.7) képletek szernt e és M e. Az e feltétel azt jelent, hogy az AB rúdra, mnt merev testre ható erık x és y koordnáta rányú összetevı s zérusok. Így az egyensúlyt kfejezı, egymástól független skalárs STATIKAI EGYENSULYI EGYENLETEK általános síkbel erırendszer esetén az alábbak lesznek: ex Σ x ey Σ y M e Σ M Példánkra alkalmazva az egyensuly egyenleteket /az erık nyomatékát az "A" pontra írjuk fel/ + () ex x () ey y A B M l 4 5 B e MA x + B l (3) x.6[ m] A () egyenletbıl: A - B 5-3 [N] 8 5 3

8 Közös ponton átmenı síkbel erırendszer egyensulya 6. példa: Határozzuk meg az.5. ábrán látható, négy erıbıl álló, közös pontban metszıdı síkbel erırendszer eredıjé! Az erık nagyságát és rányát kjelölı szögeket az táblázatban foglaltuk össze. 5 [N] α [N] α [N] α [N] α ábra A vzsgált erırendszer eredıje a négy vektor összege lesz, amt az alább.6.ábrán.láthatóan szerkesztéssel s meghatároztunk..6 ábra 4

9 A feladatot számítással s megoldottuk. Az erıket x és y rányú összetevıkre bontjuk. x cos α 5 cos x cos α 35 cos x 3 cos α 3 6 cos x 4 cos α 4 45 cos y sn α 5 sn y sn α 35 sn y 3 sn α 3 6 sn y 4 sn α 4 45 sn A komponenseket a (.) képlet szernt összegezzük. x 4 x [ N] 4 y y x + y [ ] N 9.[ N] y 6. tg ϕ.66 ϕ x Látható a számítás eredményetıl a szerkesztés eredménye kssé eltérnek. Ez a szerkesztésbıl adódó pontatlanságok matt van. 5

10 7.példa Az.7. ábra derékszögő hasáb alakú testet mutat, amelyet térbel csuklóval és három rúddal rögzítettünk. Határozzuk meg az,, 3 aktív erık hatására ébredı reakcóerıket! Adatok: [N] ; 5 [N]; 3 3 [N]. Az.8. ábrán láthatóan megválasztottuk a derékszögő koordnátarendszert és bejelöltük a reakcóerık poztív rányát..7 ábra Elıször meghatározzuk az α szöget: 3 tg α.5 α 56 ' majd az erıvektorokat: - k - k [N] A A x + A y j + A z k; - j - 5 j [N] B B k [N]; C C cos α + C sn α k, 554 C +, 83 C k; D - D cos α j + D sn α k -, 554 D j +, 83 D k. Ezután írjuk fel az egyensúly egyenleteket: () X () Y (3) Z.8. ábra (4) M x (5) M y (6) M z () -3 + A x C () -5 + Ay.554 D 6

11 (3) - + A z + B +.83 C +.83 D (4) B - C sn α - 3 D cos α 5 - B.664 C.664 D (5) D sn α - C sn α + 3 C cos α D.664 C C D (6) C cos α + D cos α C +,9 D. Az egyenletrendszer megoldása: 7 (5)-bıl: D 4 [N] (6)-ból: C D 54-4 [N] C.664 D (4)-bıl: B [N] ()-bıl: A x C [N]; ()-bıl: A y D [N]; (3)-ból: A z B.83 C.83 D [N]; A A + B + C [N]; x y z 8.példa Az AB l hosszúságú, homogén, G súlyú rúd a függıleges falnak és a vízszntes padlónak támaszkodk. A nyugvásbel súrlódás értéke a padlón µ l, a falon µ. A tapasztalat azt mutatja, hogy ha a rudnak a padlóval bezárt α szöge egy meghatározott α o érték alá csökken, a rúd lecsúszk, nem marad egyensulyban. Határozzuk meg az egyensúly határhelyzetét jellemzı ' α o szög értékét!.9. ábra A G súlyerı hatására a rúd csak lecsúszhat, ezért az ébredı Sl és S surlódóerık ránya csak az.9 ábrán berajzolt rányú lehet. A surlódóerık nagysága, mvel az egyensúly HA- TÁHELYZET-érıl van szó: S µ l N S µ N 7

12 A STATIKAI EGYENSÚLYI EGYENLETEK: x N µ N () y N + µ N G () nyomaték "B" pontra B M l G cosα N l snα µ N l cosα (3) A (3) egyenlet rendezésével és átalaktásával, G l cos α N l sn α + µ N l cos G N tg α o + µ N (4) A ()- bıl kfejezhetjük N -et N µ N a () egyenletbe behelyettesítve és G -re rendezve kapjuk G N + µ N (5) µ A (4) (5) és N -vel egyszerősítve kapjuk + µ µ tg α µ α tg α µ µ µ Egyensúly van ha a rúd α hajlásszöge α o 8

13 Súlypont számítás 9.példa Határozzuk meg az.3. ábrán vázolt T alakú síkdom súlypontját! Az domot két téglalapra bonthatjuk, amelyeknek a területe: A l 6 mm ; A 4 8 mm. A keresett súlypont az dom szmmetratengelyén (a y tengelyen ) helyezkedk el. x s.3 ábra A számítást az x, y koordnátarendszer felhasználásával végezhetjük el y Sl mm; y S mm; y y y + y S S S S A A + A 38 példa Határozzuk meg az.3. ábrán vázolt síkdom súlypontját! A síkdom érdekessége, hogy a körön belül lévı terület nem tartozk a tartományhoz. Bontsuk fel e tartományt három részre, a teljes négyzetre (), a kör belsejére () és a háromszögre (3). A kör területét negatv elıjellel kell számítan, így kompenzáljuk a teljes négyzet fgyelembevételével keletkezı többletet. A.3. ábra negatív elıjel azt jelent, hogy ezen a területen a többvel ellentétes rányú megoszló erı hat. Ez az erı és a teljes négyzet ugyanezen poztív területrészén ható erı egyensúly erırendszert alkot. Ez megfelel a valóságnak: s kör belseje nem tartozk a tartományhoz, benne erı nem hat. A részterületek: 9

14 A 5 5 mm ; A -5 Π mm ; A 3.5 A 5 mm A vázolt koordnátarendszerben a részdomok sulypontjanak koordnátá: x Sl 75 mm; x S 6 mm; x S mm; y Sl 75 mm; y S 9 mm; 5 y S3 5 mm 3 A sulypont koordnátá: x y x x + x + x S S S S3 3 S A A + A + A 3 y y + y + y S S S S3 3 S A A + A + A 3 34[mm] 59.6[mm]

Hasonló dokumentumok

Az M A vektor tehát a három vektori szorzat előjelhelyes összege:

Az M A vektor tehát a három vektori szorzat előjelhelyes összege: 1. feladat Határozza meg a T i támadáspontú F i erőrendszer nyomatékát az A pontra. T 1 ( 3, 0, 5 ) T 1 ( 0, 4, 5 ) T 1 ( 3, 4, 2 ) F 1 = 0 i + 300 j + 0 k F 2 = 0 i 100 j 400 k F 3 = 100 i 100 j + 500