Gyakorlat 30B-14. a F L = e E + ( e)v B képlet, a gravitációs erőt a (2.1) G = m e g (2.2)

Átírás

1 2. Gyakorlat 30B-14 Az Egyenlítőnél, a földfelszín közelében a mágneses fluxussűrűség iránya északi, nagysága kb. 50µ T,az elektromos térerősség iránya lefelé mutat, nagysága; kb. 100 N/C. Számítsuk ki, hogy ebben a pontban egy 100 ev -os, kelet felé egyenes vonalban haladó elektronra mekkora gravitációs, elektromos és mágneses erők hatnak! A (-e) töltésű elektronra ható, elektromos és mágneses térből származó Lorentz erőt a F L = e E + ( e)v B képlet, a gravitációs erőt a (2.1) G = m e g (2.2) képlet adja meg. Az elektron mozgási (kinetikus) energiája E kin = 1 2 m e v 2, ahonnan v-t kifejezve és behelyettesítve az elektron sebessége: 2Ekin ev v = = 1, J/ ev = m/s (2.3) m e 9, kg Az elektronra ható egyes erők: F E = e E = 1, N felfelé mutat (2.4) F B = v B = 4, N lefele mutat (2.5) F g = 8, N lefele mutat (2.6) F g elhanyagolhatóan kicsi a többihez képest. Ennek oka az, hogy a gravitációs erő nagyon gyenge 1. (Minthogy azonban F E F B +F g az elektronra ható erők eredője nem nulla, így 1 A négy ismert természeti erő relatív nagysága: erős kölcsönhatás: 1, elektromos 1/137, gyenge: , gravitációs: ! 1

2 az elektron ellentétben a feladat megfogalmazásával a nem mozoghat egyenesvonalú pályán! 2 ) 30B-12 Egy 2keV energiájú elektron a Föld 50 µt fluxussűrűségű mágneses terében körpályán mozog. a) Számítsuk ki a pályasugarat! b) Számítsuk ki, mennyi idő alatt tesz meg az elektron egy teljes kört! c) Mutassuk meg, hogy a b) kérdésre adott válasz a részecske ciklotron-frekvenciájának megfelelő periódusidő! 2 A feladat szerint az erők eredőjének együttes hatására az elektron egyenes vonalú pályán halad, ami csak úgy lehetséges, ha ezek eredője nulla. Vegyük fel a koordináta rendszerünket úgy, hogy az x tengely kelet felé, az y észak felé, a z pedig függőlegesen felfelé mutasson! A feladat szerint v = (v, 0, 0), B = (0, B, 0) és E = (0, 0, E). Természetesen G = (0, 0, g)). Az eredő erő minden komponensének nullának kell lennie. Mivel mind E, mind v B, mind g függőleges irányúak az erőnek is csak függőleges komponense lehet: F x = F y = 0 (2.7) F z = e( E + v B) m e g = e(e v B) m e g (2.8) Tegyük fel, hogy E nagysága nem ismert. De F z = 0, ami akkor teljesül, ha E = v B + m e e g (2.9) 2Ekin E = B + m e m e e g (2.10) [ ev ] 1, 6 10 = 19 [J/ ev ] 9, [T ] + 9, kg [kg] 1, C 9, 81 m/s2 (2.11) [ = 296, 55 kg] [ m 2 ]/[ s 2 [ ] [ ] ] [V ] [ s] kg m/s + 5, V 296, 55 (2.12) [ kg] m 2 As m A második tag dimenzióját tovább alakítva látható, hogy az is rendben van: kg m/s 2 As = J/m As = V A s A s m = V m (2.13) 2

3 a) Az elektron akkor mozog körpályán, ha mozgása a B-re merőleges síkban történik és sebessége is merőleges a térre. Ekkor a Lorentz erő biztosítja számára a centripetális gyorsulást. A pályasugár ebből: mivel 1 2 m e v 2 = E kin, ahonnan 2 Ekin v = = m e F L = e v B és F L = m e v 2 e v B = m e v 2 r, tehát r (2.14) , , = 4194m/s (2.15) A pályasugár (2.14) és (2.15)-ból r = m e v e B = 9, , = 2, m (2.16) b) A kör megtételéhez szükséges idő: T = 2 r π v (= 2 π m e v e B v ) = 2 2, = s (2.17) 4194 c) Az elektron ω c ciklotron frekvenciája> ω c = eb m e ν c = ω c 2 π = e B 2 π m e (2.18) ahonnan a keringési idő valóban megegyezik a b) pontban kiszámolttal: 30B-15 T = 1 ν = 2 π m e e B = s (2.19) Egy sebességszűrőben alkalmazott elektromos és mágneses erőteret az alábbi egyenletekkel adhatjuk meg 3 : E = Eẑ, ill. B = Bŷ Ha B = 0, 015 T, számítsuk ki, mekkora E 3 A kalap (ˆ) az adott irányú egységvektort jelöli 3

4 térerősséget kell alkalmazni, hogy az x tengely pozitív irányában haladó 750eV energiájú elektron pályája egyenes maradjon! Az elektron pályája akkor egyenes, ha a rá ható eredő erő nulla. Mivel mind az elektromos, mind a mágneses Lorentz erő merőleges az elektron sebességére, mindkettő z irányú és egymással ellentétes irányúak, ezért F z = e (E v B) = 0 E = v B (2.20) Az elektron sebessége 2 Ekin v = = m e , , = m s (2.21) Vagyis 30A-16 [ m ] E = , 015 s [ ] V s = V m 2 m (2.22) Egy 12 V -os telepet mérlegre helyezünk; a telep pólusaihoz téglalap alakú dróthurkot erősítünk úgy, hogy a téglalap alsó része B = 0, 100T fluxussűrűségű mágneses téren haladjon át (2.1 ábra). A telep és a hurok együttes tömege 100 g. Mekkora legyen a huzal ellenállása, hogy a mérleg éppen zérust mutasson? Melyik a telep pozitív pólusa? 2.1. ábra. Telep a mérlegen 4

5 A huzalban folyó áramban az elektronok a telep negatív sarkától a pozitív felé mozognak v drift = áll. sebességgel. A rájuk ható Lorentz erők eredője ellensúlyozza ki a telep súlyát, ezért mutat a mérleg nullát 4. Ahhoz, hogy ez az erő felfelé mutasson a v-nek az alsó vezetőszakaszon balra kell mutatnia, ekkor ugyanis a v B lefelé, az F L = e v B pedig felfelé fog mutatni. Tehát az áramforrás bal pólusa a pozitív. Az l = 0, 2 m hosszúságú I árammal átjárt vezetőre ható erő nagysága: F L = I l B, az áramerősség I = U R, ahol U a telep kapocsfeszültsége és R a vezeték ellenállása. ahonnan m telep g = I l B = U R l B R = U m telep g l B = 12 [V ] 0, 2 m 0, 1 [T ] (2.23) 0, 1 kg 9, 81 [m/s 2 ] [ ] [ ] [ ] [ ] V m V s V s 2 V s R = 0, 245 = 0, 245 (2.24) kg m/s 2 m 2 kg m 2 Az eredmény mértékegysége valóban Ohm: 31B-16 V V s3 kg m = V 2 A A V s3 kg m 2 Ω kg m2 /s 2 s 2 kg m 2 = V A W s s2 kg m 2 = Ω J s 2 kg m 2 = A mágnesek pólusai közötti homogén mágneses erőtér a széleken inhomogén, mint ahogy azt a 2.2b ábrán vázoltuk. Az Ampere törvényt a 2.2a ábrán vázolt integrációs görbére alkalmazva mutassuk meg, hogy pólusok közötti erőtér szélén a mágneses erőtér nem ér véget hirtelen, hanem onnan kinyúlik! Az Ampere törvény szerint B zárt görbére vett integrálja egyenlő a zárt görbére fektetett tetszőleges nyílt felületen áthaladó összes árammal (azaz az áramsűrűség erre a felületre vett fluxusával, vagy felületi integráljával): B ds = I (= j da) (2.25) (g) A A = Ω 4 Feltételezzük, hogy a hurok tökéletesen merev és fel tudja emelni a telepet. 5

6 2.2. ábra. a) lehetetlen és b) valódi mágneses tér Eszerint az ábrán vázolt görbére a körintegrálnak nullát kell adnia. Viszont a körintegrál értéke az a) ábra esetében nem lesz nulla, mert a térrel párhuzamos oldalra a mágnes pólusai között egy pozítiv, a külső oldalra nulla értéket ad. A másik két szakaszra a tér merőleges az integrálási görbére, tehát ott B ds = 0. Így ellentmondásra jutottunk az Ampere törvénnyel, vagyis ilyen eset nem létezhet. Mivel az integrációs görbét tetszőlegesen felvehetjük, ezért azt kell mondani a tér kívül nem lehet nulla. A b) ábrán látható esetben a tér túlnyúlik a mágnes pólusain, ezért a körintegrál nulla lesz. Kornis 2a Határozzuk meg a mágneses indukciót egy 16 cm-es és 30 cm-es oldalhosszúságú téglalap alakú vezető keret középpontjában, ha benne 6 A-es áram folyik! Jelölések: a = c = 0, 16 m, b = d = 0, 3 m. Ha a tér csak a keret középontjában érdekel, akkor a szórt terektől eltekintve a téglalap alakú keret minden oldalát tekinthetjük egy végtelen hosszú vezető egy szakaszának. Az egyes oldalak által keltett terek a keret középpontjában az Ampere törvény alapján: I B a = B c = µ o 2 (b/2) π = µ I o π b = T (2.26) I B b = B d = µ o π a = T (2.27) Mindegyik B ugyanolyan irányú. Az eredő teret a négy oldal által keltett mágneses terek összege adja: 2 I B = B a + B b + B c + B d = µ o π b + µ 2 I o π a = T (2.28) 6

7 Kornis 2b Mekkora feszültség indukálódik a 68 A-es árammal átjárt 40 cm hosszú, 400 menetes tekercs belsejében elhelyezett 0, 6 cm 2 felületű keretben, ha a tekercs áramát kikapcsolva a mágneses tér 0,07 s alatt zérussá, válik egyenletesen? I = 68 A, l = 0, 4 m, N = 400, A = m 2 és t = 0, 07 s A tér egyenletesen változik, ezért nem kell differenciálisan kis mennyiségekkel számolnunk. Az áram által a tekercsben keltett B mágneses tér B = µ o I N l = V s 68 A 400 Am 0, 4 m = 8, T B fluxusának változási sebessége adja meg az indukált feszültséget: U i = Φ B t = B A t = 8, 545 T m 2 0, 07 s = V (2.29) Kornis 2c Állandó 400 V s mágneses indukciójú homogén mágneses térben 15 cm oldalú négyzetes m2 vezetőkeret forog 400 s 1 fordulatszámmal. A keret tengelye merőleges a térerősség vektorára és a szemközti oldalak felezőpontján megy át. Mekkora a feszültség a kivezetésben, ha a keret síkja 45 o -os szöget zár be az erővonalakkal? Az adatok: keret oldala a = 0, 15 cm, területe: A = a 2 = 0, 0225 m, B = 400 V s m 2 ν = 400 s 1, ω = 2 π ν = s 1. Az indukált feszültség: U i = dφ B dt, ahol a homogén B Φ B fluxusa a keret síkjának a B-vel bezárt szögétől függ: Φ B = B A cosω t U i = B A ω sinω t = sinω t Amikor a keret 45 o -os szöget zár be az erővonalakkal, akkor ω t = 45 o + 2 k π, ahol k = 0, 1, 2... Ekkor a feszültség = V (2.30) 7

8 Kornis 2d Egyenesvonalú hengeres, homogén, 8 mm sugarú vezetőben tengely irányú, 8 A-es áram folyik. Határozzuk meg a mágneses indukció értékét a tengelytől 6 mm és 10 mm távolságban lévő pontban! Mindkét esetben az Ampere törvényt használhatjuk. Amikor a vezető belsejében vagyunk, akkor csak azt az áramot szabad figyelembe vegyük, ami az adott távolságon belül van. Jelöljük a hengeres vezető sugarát R-rel, a tengelytől mért távolságot r-el, az áramsűrűséget j-vel! Itt j = I R 2 π. Az (2.25) Ampere törvény szerint: (g) B ds = A j da (2.31) Az r sugarú körre fektetett sík felületen áthaladó áram: I I = j r 2 π = I R 2 π r2 π = I r2 R 2 ezért B = µ I 2 r π r R µ I r 2 2 R/2 r π r < R r R r < R (2.32) A két távolságot behelyettesítve tehát µ I = r π 10 4 T r = 0, 01 m B = µ I r = R 2 π 10 4 T r = 0, 006 m Kornis 2e Négyzet alakú vezető keretben 6 A áram folyik. A vezető keret síkjában, egyik oldaltól, azzal párhuzamosan, 6,6 cm távolságban hosszú egyenes vezető helyezkedik el, melyben 8 A erősségű áram folyik. A keret oldalai 4 cm hosszúak. Mekkora erő hat a keretre az egyenes vezető részéről? 8

9 Jelölések: I k = 6 A, a = 0, 04 m, I e = 8 A, d = 0, 066 m. A keretben folyó áramok hatnak kölcsön egymással. Párhuzamos, azonos irányban folyó áramok vonzzák, ellentétes irányúak taszítják egymást, merőlegesek nem hatnak egymásra. A két árammal átjárt L hosszú vezető közötti erőhatás nagysága F = [ N A 2 ] Ik I e r L (2.33) A keret két, az egyenes vezetővel párhuzamos oldalában futó áramok ellentétes irányúak, így [ ] ( N 1 F = F közeli F távoli = I A 2 k I e d 1 ) L a + d [ ] ( ) N = [A] 8[A] A 2 0, 066 [m] 1 0, 04 [m] 0, 106 [m] = N 9