KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS

Átírás

1 KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS 1

2 EGYENLETES KÖRMOZGÁS Pálya kör Út ív Definíció: Test körpályán azonos irányban haladva azonos időközönként egyenlő íveket tesz meg. Periodikus mozgás 2

3 PERIODICITÁS JELLEMZÉSE T = 1s Azon időtartam, mely alatt a test egy fordulatot megtesz Keringési idő (T), n = 1 1 s Megmutatja az 1s alatti fordulatok számát Fordulatszám (n), Kapcsolat: a keringési idő és a fordulatszám egymás reciproka: T = 1 n 3

4 KÖRMOZGÁS SEBESSÉGE IRÁNY Δt nagy v = r t Sebesség vektor iránya az elmozdulás vektor irányával egyezik meg folyamatosan változik Δt 0 Egyenletes körmozgás sebessége minden időpillanatban érintőirányú. Elnevezés: KERÜLETI SEBESSÉG (v k ) 4

5 KÖRMOZGÁS SEBESSÉGE NAGYSÁG Definíció alapján: v = s t ahol s = i v k = i t = const Ha Δt = T Δi = 2Rπ Tehát: v k = 2Rπ T = 2Rπn 5

6 SZÖGSEBESSÉG Δi mérése nehéz Új definíció: Test körpályán azonos irányban haladva azonos időközönként egyenlő középponti szöggel fordul el. i t = const φ Mivel Δi ~ Δφ t = const SZÖGSEBESSÉG ω = φ t φ = 1rad, ω = 1 1 s Ha Δt = T Δφ = 2π Tehát: ω = 2π 6 T = 2πn

7 SZÖGSEBESSÉG ÉS KERÜLETI SEBESSÉG KAPCSOLATA v k = 2Rπ T v k = Rω ω = 2π T 7

8 KÖRMOZGÁS GYORSULÁSA IRÁNY v k változik gyorsulás A gyorsulás iránya minden időpillanatban megegyezik a sebesség-változás vektor irányával. Ábra alapján: Egyenlőszárú háromszög β = Δφ (merőleges szárú szögek) Ha Δt 0 akkor Δφ = β 0 és α = 90 a = v t Gyorsulás iránya minden időpillanatban merőleges a mozgó test sebességének irányára pálya középpontja felé mutat (sugárirányú) Elnevezés: CENTRIPETÁLIS GYORSULÁS (a cp ) 8

9 KÖRMOZGÁS GYORSULÁSA NAGYSÁG a cp = v k 2 R v k = Rω a cp = Rω 2 9

10 CENTRIPETÁLIS GYORSULÁS CENTRIFUGÁBAN Centrifugákon általában a percenkénti fordulatszám (jele N vagy rpm = revolutions per minute) állítható be: a cp = Rω 2 ahol ω = 2πn a cp = R4π 2 n 2 a cp = 4π 2 N 60 2 R = 0,011N 2 R 10

11 RELATÍV GYORSULÁS (= relatív centrifugális erő, RCF = relative centrifugal force) a rel = a cp g Dimenzió nélküli szám Megadja, hogy a centrifugában fellépő gyorsulás hányszorosa a nehézségi gyorsulásnak Pl.: N = 3000, R = 10 cm 1000 g-t állít elő Ultracentrifuga 10 6 g-t állít elő 11

12 KÖRMOZGÁS DINAMIKÁJA ΣF = ma ok okozat Mivel a nagysága állandó iránya kör középpontja felé mutat ΣF nagysága állandó iránya kör középpontja felé mutat Elnevezése: ΣF = F cp centripetális erő Dinamikai feltétel: Testre ható erők eredője állandó nagyságú legyen, és iránya a kör középpontja felé mutasson F cp = ΣF = ma cp 12

13 EGYENLETESEN GYORSULÓ KÖRMOZGÁS Érintő irányban is hat erő gyorsuló körmozgás Jellemzése: Tangenciális gyorsulás: a t = v k t Szöggyorsulás: β = ω t, β = 1 1 s 2 Megmutatja a szögsebesség változási gyorsaságát 13

14 EGYENLETESEN GYORSULÓ KÖRMOZGÁS Eredő erő és eredő gyorsulás Szerkesztés: paralelogramma módszer Számítás: pitagorasz tétel 14

15 KÖRMOZGÁS ÖSSZEFOGLALÓ Periódusidő (T) T = 1 Fordulatszám (n) n Kerületi sebesség (v k ) irány: érintő nagyság: v k = 2Rπ T = 2Rπn Szögsebesség (ω) ω = 2π T = 2πn v k = Rω Centripetális gyorsulás (a cp ) Tangenciális gyorsulás (a t ) irány: sugár nagyság: a cp = v 2 k R = Rω2 irány: érintő nagyság: a t = v k t Szöggyorsulás (β) β = ω t 15

16 KÖRMOZGÁS FELADATOK 1) Egy test 12m/s állandó nagyságú sebességgel mozog. Mekkora a gyorsulása és mennyi idő alatt tesz meg 300 m-t, ha a) egyenes pályán mozog? b) 20 m sugarú körpályán mozog? 2) Egy körpályán mozgó test 2 s alatt 5 m hosszúságú félkörívet fut be állandó nagyságú sebességgel. a) Mekkora a kerületi sebessége és a szögsebessége? b) Mekkora a gyorsulása? 3) Egy centrifugában az anyagminta 3000-szer fordul körbe percenként, 15 cm sugarú körpályán. a) Mekkora a kerületi sebesség? b) Mekkora a centripetális gyorsulás? c) Mekkora a relatív gyorsulás? 16

17 HARMONIKUS REZGŐMOZGÁS A y(t) Definíció: A test egyenes mentén két szélső helyzet között periodikusan kitéréseket végez. y(t) pillanatnyi helyzetet megadó vektor, a kitérésvektor y(t) max = A (amplitúdó) 17

18 PERIODICITÁS JELLEMZŐI Rezgésidő (T), T = 1s Egy rezgés megtételéhez szükséges idő Rezgésszám frekvencia f, f Másodpercenkénti rezgések száma = 1 1 s 1Hz (hertz) Kapcsolat: a rezgésidő és a frekvencia egymás reciproka: T = 1 f 18

19 KITÉRÉS VIZSGÁLATA Kísérlet: Matematikai előállítás: körmozgás vetületeként Ábra alapján: Kitérés vektormennyiség: ahol 19

20 SEBESSÉG VIZSGÁLATA Ábra alapján: Tehát: ahol Megjegyzés: v max = Aω és v min = 0 v(t) = y (t) 20

21 GYORSULÁS VIZSGÁLATA Ábra alapján: Tehát: ahol Gyorsulás és kitérés ellentétes irányú Megjegyzés: a max = Aω 2, a min = 0 és a(t) = -ω 2 y(t) a(t) = v (t) = y (t) 21

22 REZGŐMOZGÁS DINAMIKÁJA Harmonikus erő: olyan erő, mely az általa okozott kitéréssel egyenesen arányos, de vele ellentétes irányú. F h F h y(t) = const F h y(t) Rugóerő harmonikus erő F r F r l = D F r l Dinamikai feltétel: testre ható erők eredője harmonikus legyen ΣF = ma ahol a = - ω 2 y(t) és F = Dy(t) Ezek alapján: Dy t = mω 2 y(t) 22

23 HARMONIKUS REZGÉS REZGÉSIDEJE Sejtés: T(m, D) Példa: T(m) m f = 1 2π D m 23

24 REZGŐMOZGÁS ÖSSZEFOGLALÓ Kitérés: y t = Asinωt Sebesség: v t = Aω cos ωt Gyorsulás: a t = Aω 2 sin ωt Rezgésidő: T r = 2π m D 24

25 REZGŐMOZGÁS FELADATOK 1) Rugóra függesztett testet függőlegesen 10 cm amplitúdóval hozunk rezgésbe. Mekkora a test kitérése az egyensúlyi helyzeten történő áthaladástól számított 0,1 s múlva ha T = 0,8 s? Mekkora a maximális sebesség? 2) Egy rezgő test rezgésszáma 2 1/s, amplitúdója 0,2 cm. Mekkora a kitérése és gyorsulása 0,125 s múlva? 3) Egy rugót 20 N erő 5 cm-rel nyújt meg. Erre a rugóra 4 kg tömegű testet akasztunk és rezgésbe hozzuk. Mekkora lesz a frekvencia? 25

26 MEREV TESTEK FORGÁSA Merev test Definíció: bármely két pontjának távolsága állandó Mozgástípusok Rögzített pontok száma szerint: 0 rögzített pont: forogva halad 1 rögzített pont: test pontjai a rögzített pont körüli gömbfelületen mozognak 2 rögzített pont: az általuk meghatározott tengely körüli forgás, a test pontjai körmozgást végeznek 3 rögzített pont: adott helyzet, nincs mozgás 26

27 FORGÓMOZGÁS DINAMIKAI VIZSGÁLATA Forgató hatás jellemzése: Függ: Erő (F) Erőkar (k): forgástengely és az erő hatásvonalának távolsága FORGATÓNYOMATÉK (M) M = Fk M = 1Nm ΣM β ok okozat 27

28 KAPCSOLAT A FORGATÓNYOMATÉK ÉS A SZÖGGYORSULÁS KÖZÖTT Kapcsolat: Egyenes arányosság Két mennyiség hányadosa állandó: M β = const = θ θ: tehetetlenségi nyomaték 28

29 FORGÓMOZGÁS ALAPEGYENLETE θ: tehetetlenségi nyomaték=forgási tehetetlenség θ = m i r i 2 i θ = 1kgm 2 Példák: Henger: θ = 1 2 mr2 Alapegyenlet: ΣM = θβ Gömb: θ = 2 5 mr2 next=1&list=pl9296a42aedca

30 ANALÓGIA A HALADÓ ÉS FORGÓMOZGÁS KÖZÖTT FORGÓMOZGÁS ÖSSZEFOGLALÓ Megtett út: s Sebesség: Gyorsulás: Tömeg: m Erő: F Haladó v = s t a = v t Alapegyenlet: F=ma Forgó Szögelfordulás: Szögsebesség: Szöggyorsulás: φ ω = φ t β = ω t Tehetetlenségi nyomaték: Forgatónyomaték: M Alapegyenlet: ΣM = θβ θ Lendület: I=mv Perdület: N = θω 30

31 FORGÓMOZGÁS FELADATOK 1. Mekkora fordulatszámra gyorsul fel a 0,3 kg tömegű 2 cm sugarú gömb, ha rá 5 s-ig 2 Nm forgatónyomaték hat? 2. Mekkora perdületre tesz szert az 1 kg tömegű, 6 cm sugarú henger, ha egy kerületi pontjára 5 N erő hat 2 s-ig? 31

32 KÖSZÖNÖM A FIGYELMET! 32