Mérnöki alapok 2. előadás

Átírás

1 Mérnöki alapok. előadás Készítette: dr. Váradi Sándor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép Tel: Fax:

2 Kerületi sebesség, centripetális gyorsulás r sugár, ω szögsebesség: Ha ωáll., v áll. vrω iránya változik v1 ϕ t ω v rω sin ϕ v / v 1 ϕ ha ϕ < 5 fok ϕ[rad ] sin ϕ

3 v v 1 a cp ϕ ω t v rω t v r Centripetális gyorsulás Egyenletes körmozgás feltétele F m v r

4 NYOMATÉK erő * erőkar (az erő merőleges az erőkarra; vektori szorzat) A munkával szembeállítva: W skalár; M vektor Mértékegység: Nm (nem Joule!!!)

5 TEHETETLENSÉGI NYOMATÉK (Θ) Pontszerű m ; r sugáron Θ mr Mértékegység: [kgm ] Általában r i sugáron m i tömeg Θ m i r i Henger esetén Θ 1 mr

6 SZÖGGYORSULÁS Időegységre eső szögsebesség-változás ε ω t Mértékegysége: 1/s ; rad/s Egyenletesen változó szögsebesség esetén: ε ω ω1 állandó T

7 NEWTON. törvénye forgó mozgásra (nem bizonyítás; emlékeztető) F ma F mr Fr mr v m t ω t ω t M Θε ( rω) m t

8 ANALÓGIA Egyenes vonalú mozgás Forgó mozgás idő t [s] idő t [s] út, elmozdulás s [m] szögelfordulás ϕ [rad] sebesség v [m/s] szögsebesség ω [rad/s] gyorsulás a [m/s ] szöggyorsulás ε [rad/s ] erő Fma [N] nyomaték MΘε [Nm] tömeg m [kg] Tehetetlenségi Θ [kgm ] nyomaték teljesítmény PFv [W] teljesítmény PMω [W] Mozgási energia mv / [J] Mozgási energia Θω / [J]

9 GÉPEK EGYENLETES ÜZEME GÉP: anyag, információ, energia helyének és/vagy alakjának megváltoztatására szolgál Csoportosításuk nagyság működési elv: felhasználás: - kalorikus - hidraulikus - mechanikus - elektromos stb. - közlekedés - ipar - mezőgazdaság stb.

10 Energetikai szerep Erőgép Közlőmű Hajtómű Munkagép Erőgép: a gép szempontjából külső energiát átalakít, legtöbbször (forgó mozgássá) mechanikai munkává (M; ω) Pl.: motor (villamos motor, belső égésű motor), vagy turbina (gázturbina, gőzturbina) Közlőmű: mechanikai munkát továbbít, átalakít (sebességváltómű, kardánhajtás, stb.)

11 Munkagép: mechanikai munkát egy feladat elvégzésére felhasznál (esztergagép, kávédaráló, ventilátor, stb.) Megjegyzés: Ugyanaz a gép a vizsgált környezettől függően lehet erőgép, vagy munkagép is. Például a ventilátor munkagép a motor ventilátor kapcsolatban, de erőgép a ventilátor csővezeték kapcsolatban

12 EGYENLETES ÜZEM A jellemző mozgásforma (egyenes vonalú vagy körmozgás) időben állandó (stacionárius üzem) Legegyszerűbb példája: egyenletes vontatás lejtőn

13 Egyensúly (az erők eredője zérus) A mozgás irányában: F t -F s -G t 0 Merőlegesen: N+F n -G n 0 Súrlódó erő: F s µ Nµ (G n - F n ) µ (G cosα - F sinβ) ha G cosα F sinβ G t G sinα és F t F cosβ helyettesítésével a mozgás irányában az erőegyensúly: F cosβ-µ (G cosα F sinβ) G sinα0 A vonóerő szükséglet: F G sin α + µ cosα cosβ + µ sinβ

14 Adott α és µ esetén milyen irányban (β?) érdemes húzni, ahol a legkisebb a vonóerő? Adott α és µ esetén a vonóerő képlet számlálója állandó, így F min ott adódik, ahol a nevező maximális nevező(β) cosβ + µ sinβ Vizsgáljuk egyenlőre grafikusan:

15 A nevező elemeinek vizsgálata: G 1N súlyú test vontatása α30fokos emelkedőn. (µ 0.1) 1,00 0, 1 cosβ 0,18 cosβ 0,998 0,996 0,994 0,99 0,99 0,988 0,986 sinβ µsinβ 0,16 0,14 0,1 0,1 0,08 0,06 0,04 0,0 sinβ; µsin nβ 0, β [fok]

16 Számítási példa: egységnyi súlyú test α30 -os hajlásszögű emelkedőn felfelé mozgatása. Ff(α,β,µ) paramétereknek G 1N súlyú test vontatása α30fokos emelkedőn. (µ 0.1) 1,006 1,005 1,004 nevező ő 1,003 1,00 1, , β [fok]

17 Számítási példa: egységnyi súlyú test α30 -os hajlásszögű emelkedőn felfelé mozgatása. Ff(α,β,µ) paramétereknek G 1N súlyú test vontatása α 30fokos emelkedőn. (µ 0.1) 0,587 0,5865 0,586 F [N] 0,5855 0,585 0,5845 0,584 0, β [fok]

18 A számpélda adatai szerint ha α30 és µ0.1, akkor a minimum kb. β 6 -nál adódik és F min 0.995F β0 Ha már deriválni tudnának, akkor dnevező dβ sinβ µ cos β sin β + µ cosβ opt opt tgβ opt 0 β opt arctgµ arctg o

19 Nézzük meg a vízszintes síkon való mozgatást (α0) π Húzás: ha 0 β cosβ>0; sinβ>0 µ G F cosβ + µ sin Tolás: ha π cosβ<0; sinβ>0 β π Tolás esetén ugyanakkora β-hoz nagyobb F erő tartozik β Ha β < 0 (ferde rúddal tolom a testet) cosβ > 0; sinβ < 0; µsinβ < 0, tehát a nevező kisebb mint 1; azaz nehezebb tolni, mint húzni. Ennek ellenére, ha az üzembiztonság fontos: gyermekkocsit mindig tolunk, sohasem húzunk.

20 ö Munkavégzés t ( G ) t + Fs L GL α + Fs L G h + Fs L Wh Wv W F L sin + Hatásfok: η W W h ö GLsin α GLsin α + F L s < 1 Kérdés: hol maximális a hatásfok? η η (β) α, µ, G adott sin α + µ cosα F G cosβ + µ sinβ F s ( G cosα F β) µ sin

21 A szélsőértékhez tartozó megoldás levezetése η ( β ) η ( 1 ) max ha F s 0 G cosα F sinβ G tg α + µ 1 tg β 1+ µ tgβ sin α + µ cosα cosβ + µ sinβ 1+ µ tgβ tgαtgβ + µ tgβ sinβ osztunk Gcosαcosβ-val 1 tgαtgβ 1 tgβ tg α Megoldás: ha α30, akkor β60

22 Tervezzünk sífelvonót! Számítandó a vonóerő szükséglet: Adatok: m80kg µ0.05 α0 β30 sin α + µ cosα F 1 mg cosβ + µ sinβ 80kg *9.81m / s * sin 0 cos30 o o *cos0 0.05*sin30 o o 34.6N

23 Kötélerő: K 1 F 1 cosβ96.7n 300N Ha csákányos, akkor egy csákányra két ember jut, 50 csákány esetén az eredő vonóerő: K100*K 1 3*10 4 N

24 Lejtőn magára hagyott kocsi (erőegyensúly alapján) Egy lejtős földúton magára hagyott kocsi milyen esetben mozog egyenletes sebességgel lefelé? A felfújható gumitömlő és a földút közötti ellenállás-tényező értéke: µ Gt Gsin α mg sin α Fs µ Gn µ G cosα µ mg cosα o µ tgα α arctgµ arctg

25 (Az energia megmaradási törvény alapján) E h mg h mgssin α W s F s s µ mg cosαs Természetesen az eredmény azonos az előző megoldásban adódottal: µ tg α α arctg µ arctg o