Rönk mozgatása rámpán kötelekkel

Átírás

1 Rönk mozgatása rámpán kötelekkel Az interneten találtuk az alábbi feladatot. ábra..3. Тяжелое бревно втягивают вверх по наклонной плоскости с помощью двух параллельных канатов, закрепленных, как указано на рис. 07. Масса бревна М = 400 кг, высота наклонной плоскости h =,0 м, длина l =,0 м. Определите, какую силу нужно приложить к каждому из канатов, чтобы втянуть бревно..3. F = Mgh/4=0,49 кн. A feladat. ábra forrása: [ ] Súlyos rönköt húzunk felfelé egy ferde síkon, két kötéllel, szimmetrikusan. A kötelek alsó vége rögzített, körülfogják a rönköt, felső végük a ferde síkkal párhuzamosan mozog a rájuk ható F ~ F húzóerők hatására. Határozzuk meg a húzóerők F nagyságát! A megoldás Először nem az., hanem a. ábra szerinti feladattal foglalkozunk.. ábra forrása: [ ]

2 A módosított feladat szövege [ ] szerint az alábbi. P súlyú, α hajlású lejtőre helyezett, homogén körhengert kötél vesz körül. A kötél A és B vége a kezdő időpontban helytállóan rögzített, az AC és BC kötélágak lejtőirányúak. Ezután a B pontot szabaddá tesszük, és a BD kötélágat lejtőirányú Q erővel felfelé húzzuk. Határozzuk meg a henger súlypontjának gyorsulását, valamint a két kötélágban ébredő kötélerőket! A megoldáshoz tekintsük a 3. ábrát! 3. ábra A mozgásegyenletek: m a = Q + A P sin α ; ( ) β = Q A r. ( ) A tiszta ( csúszásmentes ) gördülés feltételéből: δs C = v dt r ω dt = 0 v = r ω a = r β β = a r. ( 3 ) Most ( ) és ( ) rendezésével: Q + A = P sin α + m a ; ( 4 ) Q A = r β ; ( 5 ) majd ( 3 ) és ( 5 ) - tel: Q A = r a. ( 6 ) Összegyűjtve ( 4 ) és ( 6 ) - ot:

3 3 Q + A = P sin α + m a ; ( E ) Q A = a. ( E ) r ( E ) egyenleteit összeadva: Q = P sin α + a m + r ; ( 7 ) rendezve: a = Q P sin α m + r. ( 8 ) Most ( E ) egyenleteit egymásból kivonva: A = P sin α + a m r ; ( 9 ) majd ( 8 ) és ( 9 ) - cel: A = P sin α + Q P sin α m r A = P sin α m r A = P sin α m r m r = + + m r A = P Θ sin α + m r m + r m r + m r + m r S m r + m + r + Q m r ; m + r + Q = m r + Q m r ; + m r m r + m r m r + m r ; ezzel is: ; egyszerűsítve: ; átalíkításokkal: A = P sin α m r + m r + Q m r + m r. ( 0 ) Homogén körhengerre [ 3 ] : = m r. ( ) Most ( 8 ) és ( ) - gyel: a = Q P sin α m + m = Q P sin α 3 m = Q P sin α 3 P g = Q P sin α 3 P g, tehát:

4 4 a = Q P sin α 3 P g. ( ) Majd ( 0 ) és ( ) - gyel: A = P sin α + + Q = P sin α Q 3 = 3 P sin α + Q, tehát: A = P sin α + Q. ( 3 ) 3 A ( ) és ( 3 ) egyenletek adják meg a választ: a körhenger / rönk súlypontja gyor - sulásának skalárja ( ) szerinti, a BD kötélágban a húzóerő nagysága Q, az AC kötél - ágban pedig ( 3 ) szerinti. Speciális eset: a = 0 ; ( * ) ekkor ( ) és ( * ) - gal: Q P sin α = 0 Q = P sin α ; ( 4 ) majd ( 3 ) és ( 4 ) - gyel: A = P sin α + 3 Q = P sin α + P sin α = 3 P sin α = P sin α, 3 3 tehát: A = P sin α. ( 5 ) Végül ( 4 ) és ( 5 ) szerint: A = Q = P sin α. ( 6 ) Most visszatérünk az. ábra feladatához; az ottani jelölésekkel is, ( 6 ) - tal: A = Q = F = P sin α F = 4 P sin α = 4 P h l = 4 M g h l, tehát: F = M g h 4 l. ( 7 ) Számszerűen, az. ábra adataival: F = M g h 4 l = 400 kg 9,8 m s m 4 m = 490,5 N 0,49 kn, tehát:

5 5 F 0,49 kn, ( 8 ) egyezésben az. ábrán megadott eredménnyel. Megjegyzések: M. A ( ) és ( 3 ) eredmények megegyeznek a [ ] - ben levezetés nélkül közölt eredményekkel. M. Úgy láttuk jónak, hogy előbb az általánosabb eset ( ) és ( 3 ) eredményeit állítjuk elő, majd ezekből speciális esetként nyerjük ( 7 ) - et. Ha nem ezt tettük volna, akkor felvetődhet a kérdés, hogy a henger esetleg csúszik. Találtunk ugyanis olyan feladatokat [ 4 ], ahol a lejtőn való felgurításról, illetve felvontatásról beszélnek. Mindkét esetben egyéb gondok állhatnak elő, például a csúszó, illetve a gördülő súrlódással kapcsolatban. M3. A ( 3 ) képletek szerint: ha a henger tömegközéppontjának gyorsulása zérus, akkor szöggyorsulása is zérus; ebből következik, hogy szögsebessége nemzérus állandó. A hen - ger tehát gördül, nem csúszik. Ugyanis ha gördülésmentesen csúszna, akkor meg kellene adni a csúszó súrlódási tényezőt is, amit nem tettek a feladat(ok) készítői. Ahhoz hogy a henger gördüljön, kell neki adni egy kezdeti nyomaték - lökést, hogy forogni kezdjen, majd állandó fordulatszámmal gördüljön. Az állandósult v 0 sebesség és ω 0 szögsebesség számítása az alábbi lehet. ( ) - vel is: m a = m Q P sin α 3 m = m dv dt dv dt = Q P sin α 3 m, tehát: dv = Q P sin α. ( 9 ) dt 3 m Integrálva ( 9 ) - et t = 0 - tól t = - ig: dv dt = Q P sin α dt ; 0 dt 0 3 m v 0 0 = Q(t) P sin α dt ; ( 0 ) 3 m 0 felvéve, hogy Q t = P sin α + Q 0 P sin α t, 0 t, ( )

6 6 kapjuk, hogy Q t = P sin α + Q 0 P sin α majd ( 0 ) és ( ) - vel: v 0 = 3 m 0 = Q 0 P sin α 3 m Q 0 P sin α t dt = Q 0 P sin α 3 P t, 0 t ; ( ) = Q 0 P sin α 3 m 0 t dt = Q 0 P sin α 3 m g = g Q 0 sin α, tehát: 3 P t = 0 v 0 = g 3 Q 0 P sin α, ω 0 = v 0 r. ( 3 ) Az indítási folyamatot a 4. ábra szerint képzeljük el. M4. Az interneten találtuk az 5. ábrát. 4. ábra 5. ábra forrása: [ 5 ] Úgy tűnik, itt elfelejtették mindkét kötélágat számításba venni. Ez egy tipikus hiba.

7 7 M5. A ( 8 ), ( 0 ) képleteket azért írtuk fel általánosabb alakban, hogy más gördülő test - alak esetében is használhatók legyenek. Bár ekkor már nem biztos, hogy lehet rönkről beszélni. Ha mégis, akkor a számítás bonyolódhat az ittenihez képest. M6. Az a > 0 általánosabb esetben Q > P sin α. A vontatási folyamatot tehát egyértelműen a Q vonóerő Q nagysága szabályozza. Ekkor ( ) szerint Q > A. Ez azt is jelenti, hogy a rönköt / hengert körülfogó kötél íve mentén is változik a kötélerő. Ha a = 0, akkor ( 6 ) szerint A = Q = P sin α. Ekkor a kötélerő nagysága a kötél minden pontjában ugyanaz a Q* érték. Q értékét a csörlő, illetve annak kezelője szabá - lyozhatja, ha tudja. M7. Egy számpéldában alkalmazzuk fentieket. Határozzuk meg Q 0, ω 0 értékét az alábbi esetre! Adatok: v 0 = 0, m / s ; sinα = / ; g = 0 m / s ; = 0, s ; r = / 8 m. ( A ) A ( 3 ) képlet átrendezésével, ( A ) - val is: Q 0 P = 3 v 0 g + sin α = 3 0, m s 0 m + s 0, s = 0,4, innen: Q 0 = 0, 4 P. ( a ) Majd: ω 0 = v 0 = 0, r ω 0 = 0,8 rad s m s 8 m = 0,8 s, tehát:. ( b ) Források: [ ] Sz. I. Kasina ~ Ju. I. Szjezonov: Szbornyik zadacs po fizike Izd. 4., Vüszsaja skola, Moszkva, 00. [ ] N. N. Buhgoljc ~ I. M. Voronkov ~ A. P. Minakov: Elméleti mechanikai példatár Kinematika és dinamika Tankönyvkiadó, Budapest, 95.

8 8 [ 3 ] Szalay Béla: Fizika 4. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 970. [ 4 ] Gáspár Kasza Jenő: Építőipari számítások Táncsics Könyvkiadó, Budapest, 967. [ 5 ] Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula ny. mérnöktanár