Fénypont a falon Feladat

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Fénypont a falon Feladat"

Fruzsina Nemesné
6 évvel ezelőtt
Látták:

1 Fénypont a falon 3. Dolgozat - sorozatunk. és. részében két speiális eset vizsgálatát részleteztük. Itt az általánosabb síkbeli esettel foglalkozunk, főbb vonalaiban. Ehhez tekintsük az. ábrát is! 3. Feladat. ábra Ezen azt látjuk, hogy az O pont körül r sugarú körpályán konst. szögsebességgel keringő F fényforrást a lézereruzát az OF karhoz szög alatt rögzítettük, mely - nek fénysugara az képsíkot a falat a pontban döfi. eressük a fénypont helyzetét és sebességét leíró függvényeket. Először felírjuk a pont helyzetét leíró helykoordináta kifejezését, a φ szög - koordinátával. z. ábra szerint: r os + ( ) tg 90 ( + ), ( ) vagy

2 r os + tg + ( ) ( ) φ szög - koordinátára kirótt feltétel:. ( 3 ) φ és φ határszögek meghatározásához úgy készülünk fel, hogy felírjuk a φ( ) kifejezést. Ismét az. ábra szerint írható, hogy: λ + µ +, ( 4 ) innen: λ + µ. ( 5 ) Megint az. ábráról leolvassuk, hogy tg λ λ artg, λ artg 90 artg, tg ( 90 λ ) 90 λ artg λ artg 90 artg. ( 6 ) Továbbá: sin µ µ arsin, + + µ arsin. + ( 7 ) Most ( 5 ), ( 6 ) és ( 7 ) - tel: π artg + arsin, +

3 3 vagy π ( ) arsin artg +. + ( 8 ) Mivel ( a), ( b), így ( 8 ) és ( 9 ) - el: a π arsin artg +, a + b π arsin + artg +. b + ( 9 ) ( 0 ) szögkoordináta kifejezése a t idővel, a szögsebesség állandósága miatt: ( t) t + ( ) a teljes mozgás időtartama T, ezalatt megteszi az távolságot, azaz: + T T, tehát a fénypont falon való mozgásának időtartama: T. ( ) Most ( 0 ) és ( ) - vel: T b π a π arsin + artg + arsin artg + b + a + b a π π arsin arsin + artg artg + + b + a + b a arsin arsin + artg + artg, b + a +

4 4 b a T arsin arsin + artg + artg. b + a + ( 3 ) Majd a fénypont sebességének átlagos nagysága: v átlag a + b, ( 4 ) T így ( 3 ) és ( 4 ) szerint: ( a + b) vátlag b a arsin arsin + artg + artg b + a +. ( 5 ) Speiális esetek: S.: 0 ( 6 ) most ( 3 ) és ( 6 ) - tal: b a T artg + artg ( 7 ) most felhasználva, hogy ( 6 ) - hoz hasonlóan: a π artg artg, ( 8 ) a ( 7 ) és ( 8 ) - al kapjuk, hogy: b π π b T artg + artg + artg artg, a a ( 9 ) megegyezésben az. rész ( 3 ) képletével. S.: π / ( 0 ) most ( 3 ) és ( 0 ) - szal:

5 5 r r b a T arsin arsin + artg + artg, b + a + ( ) megegyezésben a. rész ( 0 ) képletének kissé átalakított eredményével ui.: r b r a arsin + artg arsin artg π b + a T + r r b a arsin arsin + artg + artg T. b + a + Megjegyzések: M. Általában írhatjuk, hogy. r > ( ) M. további speializáiókat, a pillanatnyi sebesség képleteinek felírását, valamint az összehasonlító számpélda kidolgozását is az érdeklődő Olvasóra bízzuk. Ez a munka az eddigiek alapján különösebb nehézség nélkül elvégezhető. M3. Látjuk, hogy a feladat megoldásának a kulsa: az. ábra. Itt adja magát a kérdés: hogyan találhatjuk ki, hogy szögek mely kombináiója vezet majd eredményre? z első válasz: az intuíió működésével. Ez némi tehetséget és sok gyakorlást kíván. második válasz: egy trigonometriai egyenlet megoldásával, majd annak visszafej - tésével. Most ezt vesszük át. közvetlen feladat: a ( ) kifejezés invertálása, vagyis a ( 8 ) összefüggés előállítása. iindulunk ( ) - ből: r os + ( a ) tg + ( ) rendezve ezt az egyenletet: r os tg + tovább alakítva: ( ) ( ) ( ) r os tg + majd ezt kifejtve: tg + tg ( r os ) tg tg átrendezve:

6 ( r ) ( + ) ( r ) ( ) os tg tg sin tg tg a zárójeleket felbontva és rendezve: r os tg + r os tg tg tg, ( ) ( ) ( ) 6 tg r os tg + tg r os tg tg tg + tg tg, tg + tg r os tg tg tg + tg tg, tg + tg r os tg tg tg + tg tg, sin sin sin r r + tg os tg tg + tg, os os os sin + tg os r os tg os sin tg + tg soportosítva a tagokat: ( ) ( ) r ( ) sin + tg + os tg tg os + sin ( ) ( ) + tg sin + tg os r tg végigosztva a jobb oldallal: + tg tg sin + os r tg r tg egyszerűsítve: + sin + os r tg r r r tg új jelöléseket bevezetve: +, r tg r, r r tg majd ( b ) és ( ) - vel: sin + os ( d ) ezt a trigonometriai egyenletet is a segédszöges módszerrel oldjuk meg ld.:[ ]! ( d ) - ből kiemeléssel: + sin os osztással: sin os ( e ) a segédszög bevezetésével: ( b ) ( )

7 7 os ϑ, sin ϑ, ( f ) + + majd ( f ) - ből: sin ϑ tg ϑ ( g ) osϑ most ( e ) és ( f ) - fel: osϑ sin + sin ϑ os ( h ) + felhasználva, hogy osϑ sin + sin ϑ os sin + ϑ, ( i ) a ( h ) és ( i ) egyenletekkel: sin ( + ϑ ) + áttérve az inverz kapsolatra: + ϑ arsin + innen: arsin ϑ + most ( g ) - ből: ( ) ( j ) ( k ) ( l ) ϑ artg, ( m ) így ( l ) és ( m ) - mel: arsin artg + most ( ) - ből: r tg r r r tg r tg r tg r r + r r r tg r tg r tg r r r tg r ( n ) tg r tg + tg + + +, + tg r r tg r sin r

8 8 + +, sin r innen: + + majd ezzel: + + ezután ( ) - ből: tg r r tg tg tg tg tg r tg r tg, ( o ) tg tgλ + tg tgλ tg ( λ ), tg ( ), λ ( p ) ahol bevezettük a tgλ ( q ) új jelölést most az ( n ) - ben szereplő második tag: artg artg tg ( λ ) λ ( r ) ámde ( q ) - ból: λ artg, ( s ) így az ( n ), ( o ) és ( r ) képletekből: arsin artg + arsin + artg, +

9 9 ( ) arsin + artg + felhasználva még, hogy ( 6 ) szerint π artg artg, ( u ) a ( t ) és ( u ) képletekkel kapjuk, hogy π ( ) arsin + artg + π arsin artg +, + π ( ) arsin artg +. + ( t ) ( v ) Látjuk, hogy ~ ( v ) megegyezik ( 8 ) - al ~ 0 esetén a ( v ) képlet első, Visszatérve az előzőekhez: ha bevezetjük a µ arsin + jelölést is, akkor az ( s ), ( t ) és ( w ) képletek alapján: π esetén pedig a harmadik tagja teljesen eltűnik. ( w ) µ + λ, ( ) vagy ebből λ + µ +, ( y ) megegyezésben a ( 4 ) képlettel. Látjuk, hogy a számítás valóban segíthet a geometriai alaphelyzet tisztázásában is. Irodalom: [ ] Obádovis J. Gyula: Matematika 5. kiadás, Solar iadó, udapest, 998., 430. o. Sződliget, 03. deember 7. Összeállította: Galgózi Gyula mérnöktanár

Hasonló dokumentumok

w u R. x 2 x w w u 2 u y y l ; x d y r ; x 2 x d d y r ; l 2 r 2 2 x w 2 x d w 2 u 2 d 2 2 u y ; x w u y l ; l r 2 x w 2 x d R d 2 u y ;

w u R. x 2 x w w u 2 u y y l ; x d y r ; x 2 x d d y r ; l 2 r 2 2 x w 2 x d w 2 u 2 d 2 2 u y ; x w u y l ; l r 2 x w 2 x d R d 2 u y ; A négysuklós mehanizmus alapfeladata másképpen Előző dolgozatunkban melynek íme: A négysuklós mehanizmus alapfeladatáról egy általunk legegyszerűbbnek gondolt megoldási módot ismertettünk. Ott megemlítet