Chasles tételéről. Előkészítés

Átírás

1 1 Chasles tételéről A minap megint találtunk valami érdekeset az interneten. Az [ 1 ] tankönyvet, illetve an - nak fejezetenként felrakott egyetemi internetes változatát. Utóbbi 20. fejezetében volt az, ami megragadta figyelmünket [ 2 ]. Előkészítés Chasles kinematikai tételével a merev test kinematikájának tanulmányozásakor találkoz - hattunk. Erről ezt olvashatjuk [ 3 ] - ban: a merev test legáltalánosabb elmozdulása csavarmozgással egyenértékű ( Chasles tétele, 1830 ). Ez előtt bemutatja / igazolja, hogy a merev test bármilyen elmozdulása egy transzlációból és egy rotációból tehető össze. Csavarmozgásról akkor beszélünk, ha a transzláció ( a párhuzamos eltolás ) v sebesség - vektora és a rotáció ( forgás ) ω szösebességvektora párhuzamos vektorok 1. ábra. 1. ábra forrása: [ 4 ] Itt azt látjuk, hogy a merev test a pillanatnyi S - S csavartengely körüli csavarmozgást végez, melynek következtében egy a tengelytől r A távolságra található A pontjának sebessége így alakul: ( 1 ) ahol v S a tengellyel párhuzamos transzláció sebessége, w A pedig a tengely körül ω szög - sebességgel végzett forgás sebessége. A sebességek nagyságára írható, hogy ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )

2 2 ahol p a csavarmozgás paramétere. Ez már előző tanulmányainkból ismerős mennyiség. ( Ehhez ld. pl. A csavarvonalról és a csavarmenetről című korábbi dolgozatunkat is! ) Az 1. ábrán δ A - val jelölt szögre pedig ( 2 ) és ( 3 ) - mal is: ( 5 ) Ha a test csavarmozgást végez, akkor minden, nem a csavartengelyen fekvő pontja csavarvonalon mozog, ha csak egyetlen pillanatra is. Ez egy térbeli mozgás. Ha a test síkmozgást végez, akkor a test minden pontja egy meghatározott síkkal párhuza - mosan mozog [ 3 ]. Ez a mozgás is felbontható egy a síkban végzett transzlációra, vala - mint egy a síkra merőleges tengely körüli rotációra. Azonban még az is bizonyítható, hogy A merev test bármilyen elmozdulása a síkban egy rotációval egyenértékű, amelynek tengelye a síkra merőleges [ 3 ]. Jelen dolgozatunk valódi témája annak a tételnek az [ 1 ] és [ 2 ] szerinti bizonyítása, hogy a merev test síkbeli elmozdulása egy transzláció és egy rotáció összegeként adódik, a test bármely pontjában. A hivatkozott szakirodalom az előbb kimondott tételt is Chasles téte - lének nevezi. Ez teljesen helyénvaló, ha figyelembe vesszük, hogy a térbeli csavarmoz - gásból úgy lesz síkbeli forgás, hogy elhagyjuk a forgás síkjára merőleges transzláció - összetevőt. Mivel pedig az előbb idéztük [ 3 ] - ból, hogy a merev test bármely síkbeli elmozdulása egy rotációval egyenértékű, azaz egy síkbeli transzláció és rotáció egy másik rotációval egyenértékű, így visszafelé gondolkodva a síkbeli elmozdulás transzlációra és rotációra való felbontása is adja magát. Amitől ez számunkra mégis érdekes, az maga az igazolás módja, melyet korábban még nem láttunk máshol. Most ez következik. Kifejtés A következőkben ismertetjük az [ 1 ] és [ 2 ] - ben talált levezetést, amelyben igazolják a tételt, miszerint egy merev test bármely síkbeli elmozdulása megadható tömegközéppontja transzláció - jának és a tömégközéppontja körüli rotációjának az összegeként. Ehhez először tekintsük a 2. ábrát! Itt azt szemléltetik, hogy a merev testet két részével, az m 1 és m 2 tömegű, pontszerűnek vett összetevőjével helyettesítik. A két tömeget egy tömeg nélkülinek tekintett merev rúddal kötik össze. A felvett k. r. - ben a két tömegpont helyvektora r 1 és r 2. Az egész test cm ( center of mass ) tömegközéppontjának helyvektora R cm. Utóbbinak képlete a Mechanika tanítása szerint ld. [ 3 ]! :

3 3 2. ábra forrása: [ 2 ] ( 6 ) A két ponttömeg egymáshoz képesti helyzetét megadó vektor: ( 7 ) Ez az m 2 felől az m 1 felé mutat, a 2. ábra szerint. Most tekintsük a 3. ábrát is! 3. ábra forrása: [ 2 ] Itt azt látjuk, hogy bevezettük a rendszer cm tömegközéppontjából az alkotó tömegek tömegközéppontjába mutató r cm,1 és r cm,2 pozíció - vektorokat. A 2. és a 3. ábra szerint: ( 8 )

4 4 hasonlóan: ( 9 ) Most ( 6 ) és ( 8 ) szerint: tehát: ( 10 ) ahol bevezettük a ( 11 ) rövidítő jelölést. Teljesen hasonlóan: tehát: ( 12) A ( 10 ) és ( 12 ) képletekből kapjuk, hogy innen pedig: Ezután ( 7 ) és ( 10 ) - zel: ( 13 ) ( 14 ) ( 15 ) majd ( 7 ) és ( 12 ) - vel: ( 16 ) Differenciálással ( 15 ) és ( 16 ) - ból kapjuk, hogy ( 17 )

5 5 Összefoglaló jelöléssel, ( 8 ) és ( 9 ) alapján: ( 18 ) differenciálva: ( 19 ) Itt a cm tömegközéppont ( infinitezimális transzlációs ) elmozdulása, pedig az i - edik tömegpont ( infinitezimális rotációs ) elmozdulása a cm tömegközépponthoz képest. Az 1 és 2 tömegpontok elmozdulásai azon kényszer hatása alatt állnak, miszerint a tömegpontok egymástól mért távolsága állandó, hiszen egy merev testről, illetve annak helyettesítő részeiről van szó. E távolság ( 7 ) - tel: ( 20 ) ennek négyzete: ( 21 ) differenciálva: azaz: ( 22 ) Más alakban, ( 7 ) - tel: ( 23 ) Minthogy így ( 23 ) - nál két eset lehetséges: 1.) eset: ( 24 ) 2.) eset: ( 25 ) 1. eset: a tömegközéppont transzlációja / haladó elmozdulása Most ( 24 ) - ből, ( 19 ) és ( 26 ) - tal is: ( 26 ) Ezután ( 17 ), ( 24 ) és ( 26 ) - tel: ( 27 )

6 6 Majd megint ( 19 ) - cel és ( 27 ) - tel, valamint a tömegközéppont v cm sebességével: ( 28 ) A ( 28 ) egyenletsor azt fejezi ki, hogy az egész merev test ugyanazt az elmozdulást végzi, így a tömegközéppontja is; ez a transzláció / haladó elmozdulás esete. 2. eset: rotáció / forgás a tömegközéppont körül Most ( 23 ) és ( 25 ) - ből ( 29) Megint ( 23 ) - mal és ( 17 ) - tel: innen: ( 30 ) hasonlóan: ( 31 ) ( 30 ) és ( 31 ) szerint az összekötő rúd végein az elmozdulások merőlegesek a rúd tengelyére. A ( 30 ) és ( 31 ) összefüggést szemlélteti a 4. ábra. De még ennél többet is; ugyanis eszerint: 4. ábra forrása: [ 2 ]

7 7 ( 32 ) ( 33 ) valamint, hogy ( 34 ) Az utóbbi három egyenlettel a rúdvégi elmozdulások rotációs elmozdulások, melyek nagysága arányos az elemi szögelfordulással: ( 35 ) Most ( 17 ) és ( 32 ) - vel: ( 36 ) majd ( 17 ) és ( 33 ) - mal:. ( 37 ) Ezután ( 14 ), ( 36 ) és ( 37 ) - tel: vagyis: ( 38 ) ami egyezik a 4. ábra szemlélete alapján kapott ( 34 ) - gyel. Az ω szögsebességvektorral írható, hogy 4. ábra : ( 35 * ) ahol az elemi forgás - / elfordulás - vektor v. ö.: [ 3 ]! A 4. ábra esetében az ábra síkjára merőleges és befelé irányul, a jobbmenetű csavar - szabály szerint. Látjuk, hogy a 2. esetben az i - edik objektum = rotációs elmozdulása eltér a tömegközéppont elmozdulásától.

8 8 Összegzés ( 19 ), ( 27 ), ( 28 ), ( 35 * ) - gal, a felső indexekkel a megfelelő esetre utalva: tehát: ( 39 ) vagyis az i - edik objektum elmozdulása összetehető az egész test tömegközéppontjának ( 28 ) szerinti transzlációs, valamint a tömegközéppont körüli, ( 35 *) szerinti rotációs elmozdulásából. Ez az, amit igazolni kellett. Megjegyzések: M1. Az interneten is fellelhető források Michel Chasles más, nem mechanikai, hanem geometriai tételéről is beszélnek. Ehhez ld. pl.: [ 5 ]! M2. [ 1 ] és [ 2 ] - ben némiképp eltérő úton járnak a szerzők. M3. A szakirodalomban korábban látott idevágó bizonyítások geometriai természetűek, nem pedig analitikai jellegűek; ld. pl.: [ 3 ]! Ezért is szántuk ezt a HD - t az [ 1 ] - és [ 2 ] - beli lelemény tanulmányozásának. M4. Ebben a dolgozatban nem igazoltunk minden állítást. Némely esetben a szakiroda - lomban található bizonyításokra utaltunk, máskor pedig az általános mechanikai alap - ismeretekre támaszkodtunk. Érdekes, hogy [ 1 ] - ben a bizonyítást csak megjegyzésként csatolták, mintegy kikacsintva az Olvasóra ld. 5. ábra! 5. ábra forrása: [ 1 ]

9 9 Nem így az internetre feltett MIT ( Massachusetts Institute of Technology ) - jegyzetben, melynek a 20. fejezete [ 2 ]; itt a bizonyítást Függelékben közölték, valamivel részleteseb - ben és másként, mint [ 1 ] - ben. M5. Ami némiképpen meglepő lehet a fenti bizonyításban, az pl. az, hogy a test tömeg - középpontját, illetve az ezen áthaladó forgástengelyt kitüntették a vizsgálat során, más tengelyekhez képest. Ennek az lehet a magyarázata, hogy az eredeti merev testet bár - hogyan is osztjuk gondolatban két részre, a tömegközéppont mindig ugyanaz lesz. Ami nem lesz mindig ugyanaz, az a két rész - tömegközéppontot összekötő, a test tömeg - középpontján áthaladó rúd térbeli helyzete; ennek megfelelően a tömegközépponton az összekötő rúdra merőlegesen átmenő forgástengely helyzete is függ a test két részre osztá - sának konkrét módjától. Források: [ 1 ] Daniel Kleppner ~ Robert Kolenkow: An Introduction to Mechanics 2. kiadás, Cambridge University Press, 2014., 280 ~ 282. o. [ 2 ] [ 3 ] Budó Ágoston: Mechanika 5. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1972., 115. o, 198. o. [ 4 ] Martin Grübler: Lehrbuch der Technischen Mechanik Erster Band: Bewegungslehre Berlin, Verlag von Julius Springer, 1921., 108. o. [ 5 ] Sződliget, augusztus 5. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár