Egy geometriai szélsőérték - feladat

Átírás

1 1 Egy geometriai szélsőérték - feladat A feladat: Szerkesztendő egy olyan legnagyobb területű háromszög, melynek egyik csúcsa az a és b féltengelyeivel adott ellipszis tetszőlegesen felvett pontja. Keresendő a háromszög másik két csúcsa, melyek szintén a görbén vannak. A megoldás: Ezt a feladatot számítással és szerkesztéssel is megoldjuk. Mivel a szerkesztéshez kiindu - lásként kell egy tételt ismerni, ezért először ezt a tételt ( is ) igazoljuk a számítással. 1. megoldás: számítással Kiindulunk abból a tényből, hogy egy P 1 ( x 1, y 1 ), P 2 ( x 2, y 2 ), P 3 ( x 3, y 3 ) csúcspontokkal bíró háromszög területét megadó képlet az alábbi [ 1 ] : ( 1 ) Ez a képlet akkor ad a területre pozitív értéket, ha a csúcsok körüljárási iránya az óramu - tató járásával ellenkező. Most az ellipszis paraméteres egyenletrendszerével a csúcspontok koordinátái: ( 2 / 1 ) ( 2 / 2 ) ( 2 / 3 ) Majd a ( 2 ) kifejezéseket ( 1 ) - be helyettesítve: ( 3 ) átalakításokkal:

2 2 egy ismert trigonometriai azonosságot alkalmazva: ( 4 ) A háromszög területének ott van szélsőértéke, ahol f - nek, így a szélsőérték szükséges feltételei, minthogy a P 1 pont koordinátái rögzített állandók: ( 5 ) Most ( 4 ) és ( 5 / 1 ) - gyel: Majd ( 4 ) és ( 5 / 2 ) - vel: azaz: azaz: ( 6 / 1) ( 6 / 2 ) Ezután a ( 6 ) egyenletekből: ( 7 ) Tekintettel a cos - függvény azon tulajdonságára, miszerint így ( 7 ) és ( 8 ) - cal azt kapjuk, hogy tekintettel arra a tényre, hogy háromszögről van szó: Most ( 9 ) és ( 10 ) - zel a megoldás: ( 8 ) ( 9 ) ( 10 ) ( 11 / 1 ) ( 11 / 2 ) Az a = 6 cm, b = 4 cm, t 1 = 45 adatokkal készült az 1. ábra. Az, hogy a szélsőérték maximum, a szemlélet alapján közvetlenül belátható; ugyanis a minimális terület éppen zérus nagyságú, ami akkor állhat elő, ha a háromszög két vagy három csúcsa egybeesik, vagyis a háromszög elfajuló. Ezzel tovább nem kell foglalkoznunk.

3 3 1. ábra Az 1. ábrán feltüntettük a kiindulási szabályos ( zöld ) háromszöget, melynek affin képe a keresett ( piros ) háromszög. Az ellipszisbe írható maximális területű háromszög T* terü - lete ( 3 ) szerint: ( 12 ) Majd ( 4 ) és ( 11 ) - gyel: tehát: ( 13 ) Most ( 12 ) és ( 13 ) - mal: ( 14 ) Az 1. ábra piros háromszögének területe ezzel: ( a )

4 4 2. megoldás: szerkesztéssel Valójában már ezt is elvégeztük az 1. ábrán, hiszen a P 0,2 P 2 és a P 0,3 P 3 szerkesz - tések ugyanúgy történnek, mint a bemutatott P 0,1 P 1, azaz a kétkörös ellipszis ~ szer - kesztési előírás szerint, amit pedig a ( 2 ) egyenletek formuláznak meg. Megjegyzések: M1. A ( 14 ) eredmény még így is belátható: ~ az a sugarú körbe írható szabályos háromszög területe egyszerű számítás után : ( b ) ~ az ellipszis a kör képe egy olyan síkon, amely a kör síkjával ( c ) szöget zár be; ~ így azon tétel szerint, hogy egy T területű síkidom merőleges vetületének a területe: ld. pl. [ 2 ]!, az ellipszisbe írt háromszög területe és a körbe írt háromszög területe között fennáll, hogy: ( d ) így ( b ), ( c ) és ( d ) - vel: ( e ) ( 14 ) - gyel egyezően. M2. ( 3 ) és ( 4 ) - gyel az ellipszisbe írható háromszög terület - függvénye: ( 15 ) Ez éppen zérus, ha Ekkor a háromszög három csúcsa egybeesik, a három - szög elfajult. De a terület akkor is zérus, ha csak két csúcs esik egybe, pl.: ekkor ( 15 ) - tel: ( f )

5 5 Ezek a speciális esetek benne vannak a ( 6 / 1) ( 6 / 2 ) szélsőérték - feltételi egyenletekben is; hiszen ( 6 ) - tal: teljesül, ha ; ( A ) teljesül, ha ( B ) Az A és B speciális eseteket a 2. ábra szemlélteti. A eset B eset 2. ábra M3. A geometriából ismerős lehet a ( b ) eredmény. [ 3 ] - ban ez olvasható: egy adott körbe írt háromszögek közül a szabályos háromszög területe a legnagyobb. Ott ezt a tételt és a ( b ) képlet megfelelőjét az ittenitől eltérő úton igazolták. Ez az a tétel, amiről a bevezetőben szó volt, mint a szerkesztéses megoldás előfeltétele. Ezt itt a ( 11 ) képletek írják le. M4. Az 1. ábra tanulmányozása egyéb szerkesztési megoldásra is rávezetheti a figyelmes Olvasót. M5. Az eddigiek alapján belátható, hogy végtelen sok, maximális ( egyenlő területű ), de nem egybevágó háromszög írható az ellipszisbe.

6 6 Ehhez gondoljuk csak meg, hogy egy pl. az 1. ábrán megrajzolt legnagyobb területű ellipszis egy tetszőlegesen elhelyezett tehát tetszőleges t 1 paraméterű szabályos há - romszög merőleges vetületeként állt elő. M6. E sorok olvastán azt gondolhatja valaki, hogy De hiszen ez nyilvánvaló!. Ez esetben javasolható, hogy oldja meg egyedül, elsőre, tévesztés nélkül. Lehet, hogy át fogja értékelni addigi véleményét. Tévedni emberi dolog M7. Ezen írás létrejöttét olyan valaki ( NETUDDKI ) mozdította elő, aki kerüli a nyilvá - nosságot. Köszönöm Neki e feladatot amivel e sorok írója még sosem találkozott, valamint a javító és segítő észrevételeket. Források: [ 1 ] I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, [ 2 ] Hajós György: Bevezetés a geometriába 6. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, [ 3 ] Reiman István: A geometria és határterületei Gondolat, Budapest, Sződliget, augusztus 10. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár