Kecskerágás már megint

Átírás

1 1 Kecskerágás már megint Az interneten találtuk az újabb kecskerágós feladatot 1. ábra. 1. ábra forrása: [ 1 ] A feladat ( kicsit megváltoztatva az eredeti szöveget ) Egy matematikus kecskét tart a kertjében. Vett egy l 0 hosszúságú kötelet, egyik végét hozzákötötte egy fához, a másik végét átvezette az egyenes kerítésdrót / - rúd mentén vízszintesen elcsúsztatható gyűrűn, majd hozzáerősítette a kecske nyakörvéhez, az ábra szerint. Határozzuk meg, hogy milyen görbe határolja a kecske által lelegelt területet! 1. megoldás Ehhez tekintsük a. ábrát! A kecske által kifeszített kötél egyik végét az F pontban a fához kötöttük, a másik vége pedig a keresett görbe egy P pontját adja. Ideális esetet tételezünk fel, ezért statikai tény, hogy a kötél l 1 és l hosszúságú darabjaiban ugyanakkora nagyságú húzóerő ébred: F 1 = F = F. ( 1 ) Most egy vízszintes vetületi egyensúlyi egyenlettel: F 1 cos φ 1 + F cos φ = 0 F 1 cos φ 1 = F cos φ ; ( ) majd ( 1 ) és ( ) - vel: F cos φ 1 = F cos φ cos φ 1 = cos φ φ 1 = φ = φ. ( 3 )

2 . ábra Továbbá ( 3 ) - mal is: φ 1 = 90 φ 1 = 90 φ = φ = φ. ( 4 ) A feladat feltételi egyenlete: l 1 + l = l 0 = konst. ( 5 ) A ( 3 ) ~ ( 5 ) egyenletek alapján nekifoghatunk a keresett határológörbe P pontjai megraj - zolásának 3. ábra. A P 0, P 1, P és P n pontok előállítása után arra gondolhatunk, hogy e pontok egy köríven nyugszanak. Ezért a P 0 P n szakasz felező merőlegesének és az OP 0 egyenes metszéspont - jaként megszerkesztve a C pontot és körözve a CP n sugárral azt találjuk, hogy minden pont e köríven nyugszik, azaz: a kecske egy körív határolású területet legelhet le. A kör egyenletét is felírjuk; a 3. ábra szerint a kör egy P pontjára, Pitagorász tételével: R = x P + y C + y P ; de y C = y C, ezzel: R = x P + y P y C ; azonban a rajz szerint R = l 0, így: l 0 = x P + y P y C ; rendezve: y P y C = l 0 x P ; pozitív gyökvonással: y P y C = l 0 x P ; rendezve: y P = l 0 x P + y C ; ámde a 3. ábra szerint y C = y 0, ezzel: y P = l 0 x P y 0 ; esetünkben y 0 = l 0, ezzel:

3 3 3. ábra y P = l 0 x P l 0 ; elhagyva a P indexet: y x = l 0 x l 0. ( 6 ) A ( 6 ) eredményre úgy jutottunk, hogy eközben nem minden lépésünket tekinthetjük igazoltnak. Így ezt a megoldást akár egy sikeres próbálkozásnak is mondhatjuk. Ez matematikai értelemben nem annyira kielégítő, mint szeretnénk.. megoldás Ekkor a. ábrán is bemutatott elgondolás mentén haladunk. Úgy tekintjük, mintha a gyűrűt kis lépésekben végigvinnénk a tartó egyenesén, minden

4 4 alkalommal megrajzolva az l sugarú körívet. E körívek burkoló - görbéje lesz a keresett legelési határvonal 4. ábra. 4. ábra A matematikai feladat: egy görbesereg burkolójának előállítása. Ez [ ] szerint a követ - kezőképpen történik: ~ felírjuk a görbesereg F( x, y, a ) = 0 egyenletét, ~ képezzük a F = 0 egyenletet, végül a ~ e két egyenletből álló egyenletrendszerből a - t kiküszöböljük. A görbesereg egyenlete a. ábra alapján, ( 5 ) - tel is, a P indexet elhagyva: F x, y, a = y 0 + a + x a + y l 0 = 0. ( 7 ) A parciális derivált ebből: F a = 1 a y 0 +a a + 1 x a ( 1) = 0 ; rendezve: y 0 +a x a +y x a x a +y = 0. ( 8 ) Nem nehéz észrevenni, hogy ( 8 ) átírható a. ábra szerint az alábbi alakba:

5 5 sin φ 1 = sin φ φ 1 = φ = φ. ( 4 ) Részeredményeinket összegyűjtve: y 0 + a + x a + y l 0 = 0, ( E / 1 ) a y 0 +a x a x a +y = 0. ( E / ) Először ( E / ) - ből: a y 0 + a = x a + y ; ( 9 ) x a most ( 9 ) - et ( E / 1 ) - be téve, átalakításokkal: a x a x a + y + x a + y l 0 = 0, x a + y a x a + 1 = l 0, x a + y a+x a x a + y x a x x a = l 0, x a + y = x a x l 0, = l 0, x a + y = x a l 0 x, x a 1 l 0 x y, x a = y = x y 1 l 0 x l = x y 0 l 0 x 0 x > 0; x ( 10 ) x a = ( 11 ) x y l 0 x, a = x 1 y l 0 x. ( 1 ) Most ( E / 1 ), ( 10 ) és ( 1 ) - vel: y 0 + x 1 y l 0 x + x y l 0 x + y l 0 = 0 ; ( 13 ) átalakításokkal:

6 6 x y + l 0 x y = y x + 1 = l 0 x y x +l 0 x = l 0 y l 0 x l 0 x ; ( 14 ) x 1 y l 0 x = x l 0 x y l 0 x ; ( 15 ) majd ( 13 ), ( 14 ) és ( 15 ) - tel: y 0 + x l 0 x y l 0 x + l 0 y l 0 x l 0 = 0, y 0 + x l 0 x y l 0 x + l 0 y l 0 x l 0 = 0, y 0 + x l 0 x y l 0 x y 0 + x l 0 x y l 0 x y 0 + x l 0 x y l 0 x = l 0 l 0 y l 0 x, = l 0 1 y l 0 x, = l l 0 x y 0, l 0 x y 0 + x l 0 x y l 0 x = l 0 l 0 x y l 0 x, y 0 = l 0 x l 0 x y l 0 x = l 0 x y l 0 x + y, y l 0 x y + l 0 x y 0 = 0. ( 16 ) A ( 16 ) másodfokú egyenletet a megoldó - képlettel megoldva:

7 7 y 1, = l 0 x ± 4 l 0 x 4 1 l 0 x y 0 = l 1 0 x ± l 0 x l 0 x y 0 = = l 0 x ± l 0 x l 0 +x + y 0 = l 0 x ± y 0, mert y 0 > 0 ; tehát: y 1, = l 0 x ± y 0. ( 17 ) Most döntenünk kell a ± előjelek között. Mivel: x = x max y x max = 0, ( 18 ) ezért ( 17 ) és ( 18 ) - ból: y(x) = l 0 x y 0. ( 19 ) Írhatjuk, hogy l 0 = n y 0, ( 0 ) majd felvéve, hogy n =, ( 1 ) ( 0 ) és ( 1 ) - gyel kapjuk, hogy: l 0 = y 0 ; ( ) ezután ( 19 ) és ( ) - vel: y x = l 0 x l 0 ( 6 ) adódik. A 4. ábrán az előzőtől eltérő adatokkal állítottuk elő a számszerű megoldást, közölve a lelegelt terület nagyságát is. Megjegyzések: M1. A feladat eredeti szövegében 0 m hosszú kötélről van szó. Látjuk, hogy ez önma - gában nem lényeges adat. Minthogy más adatot nem adtak meg, akár becsapós adatnak is gondolhatnánk ezt. Nekünk kell eldönteni, mihez kezdjünk vele.

8 8 M. A feladat kiírása úgy szól, hogy válasszuk ki a felsoroltak közül a helyeset. A lelegelt terület határoló görbéjére vonatkozó felsorolás: kör, parabola, ellipszis, valami - lyen más görbe, végül egy kis tréfa. M3. Az 1. megoldásnál azt írtuk, hogy ideális esetet tételezünk fel. Ez alatt azt értjük, hogy ~ a kötél könnyű, erős, nem nyúlik ( sokat ) és ( közel vízszintesen ) egyenesre feszíthető, valamint ~ a kerítésdrót / - rúd ( eléggé ) egyenes marad, továbbá ~ a gyűrű és a vezető rúd közti súrlódás elhanyagolható nagyságú. M4. A. ábrán berajzolt zöld kör csak akkor alakulna ki, ha a csúszó gyűrűt megfognánk, rögzítenénk. Ha ez nincs így amint az a feladatban természetes, akkor a kecske a ha - tárvonalnak csak egy kis darabkáját tudja lelegelni. Ha a kötél nem feszes, akkor a kecske a kerítés és a határvonal közti területen legel. M5. Ha azt akarjuk, hogy a kecske által lelegelt síkidom felső pontja F legyen akkor a 3. és 4. ábra szerint az l 0 = y 0 választással kell élnünk. Az 1. ábra esetében nem ez a helyzet. M6. A ( 19 ) és ( 0 ) képletek szerint az n paraméter bármely értelmes értékére körív adódik, vagyis a határgörbe körív. Az n paraméter ennek elhelyezkedését befolyásolja. 5. ábra

9 9 Ezt szemlélteti az 5. ábra. Az 5. ábra kör - seregének összefüggései ( 19 ) és ( 0 ) - szal: y x = n y 0 x y 0 0. ( 3 ) M7. Az 1. megoldást akár statikai ~ geometriai megoldásnak, a. megoldást pedig anali - tikus megoldásnak is nevezhetjük. M8. A ( 6 ) képlet indokolhatja, hogy az 1. ábra szerinti feladat - kiírás során miért csak a kötélhosszat adták meg; ugyanis l 0 = n y 0, ahol n - et felvehetjük, célszerűen. A ( 3 ) képlet alapján pedig úgy is gondolkodhatunk, hogy a feladat egyik alap ~ para - métere a kerítés és a fa y 0 távolsága, majd a kötél hosszát ehhez választjuk meg. M9. A 4. ábrán a félköröket csak a 0 értékekre rajzoltuk meg. M10. A ( 10 ) képletnél alkalmazott x 0, y 0 korlátozás a jobb áttekinthetőség érde - kében történt. A számítások végeztével már csak az y 0 feltétel marad meg. M11. Írásunk címe arra utal, hogy már korábban is volt kecskerágós feladatunk. Ehhez lásd egy korábbi dolgozatunkat, melynek címe: A kecske - feladathoz! M1. Amúgy meg a kecskerágó egy növény - csoport neve. Valójában kecskerágásos feladatokról beszélhetünk, de ez a szóhasználat eléggé nehézkes. Szóval bocsi botani - kusok, ha netán ilyesmik olvasásával múlatnátok időtöket! Bár ez nem zárható ki, ámde kevéssé valószínű. Persze, akár az erdészek is felháborodhatnának e csúnyaságon. Ne te - gyétek, mert kell néha egy kis (szó - )játék! Források: [ 1 ] [ ] I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula ny. mérnöktanár