Szökőkút - feladat. 1. ábra. A fotók forrása:

Átírás

1 Szökőkút - feladat Nemrégen Gyulán jártunk, ahol sok szép szökőkutat láttunk. Az egyik különösen megtetszett, ezért elhatároztam, hogy megpróbálom elemi módon leírni a ízsugarak, illete az általuk leírt ízsugár - felület alakját, működését. A szökőkút felépítése olyan, hogy egy R sugarú alapkör mentén egyenletes kiosztásban helyeztek el n darab szórófejet, melyek a ízszintes síkkal α szöget zárnak be, a kör középpontja felé fordíta. ábra.. ábra A fotók forrása: A szökőkút úgy működik, hogy minden szórófej egyező kezdősebességgel löi ki a izet, ámde ez a kezdősebesség az időben áltozik. Ennek eredményeképpen különböző alakzatokat esz fel a ízsugár - felület. Ezt a kifejezést itt abban az értelemben használom, mintha nagyon sok szórófejet helyeztek olna el az alapkör mentén, és minden ízsugár a forgástengelyig egy - egy meridiángörbe - darabját képezné a forgásfelületnek. A ízsugarak kezdősebessége áltozásának hatása a fotókon is köethető.

2 . ábra Először a. ábra szerinti kis kezdősebességgel lő ki a íz, majd felnöekszik a 3. ábra szerinti értékre, ezután pedig fokozatosan eléri a 4. ábra szerinti legnagyobb értéket, létrehoza a fényképek szerinti alakzatokat. A középső szökőkút - résszel itt nem foglalkozunk. A feladatunkat úgy oldjuk meg, hogy először összefoglaljuk a ferde hajítás alapösszefüggéseit, majd ezekkel leírjuk a ízsugár - felület alakját, stb., matematikailag. A ferde hajítás alapösszefüggései ( a légellenállás elhanyagolásáal ) [ ] Ehhez tekintsük az 5. ábrát is!

3 3 z x tg x x ; 0 cos 0 g 3. ábra l sin ; ( ) g 0 h sin. g A ízsugár - felület matematikai leírása ( ) ( 3 ) Ehhez tekintsük a 6. ábrát is! A jobb oldali parabola z ( x ) egyenletét az ( ) egyenletből nyerjük a z z, x R x transzformációal. ( 4 ) A 6. ábrán ügyeltünk az egyes tartományok megjelenített hosszára is.

4 4 4. ábra A 6. ábra készítését még az alábbiak is megelőzték: ~ képeztük ( 3 ) és ( ) hányadosát, amiből h tg 4 ; ( 5 ) l ~ ( ) és ( 5 ) - tel, alamint az ismert trigonometriai azonossággal: h g h zx 4 x 6 x. l l 0 A 6. ábrához a h, R 0 m, 0 m / s, g 0 m / s 0 l adatokat ettük fel. A ( 6 ) egyenleten kíül még más egyenlet - alakok is szóba jöhetnek. ( 6 )

5 5 z ( m ) 5 4 Hajítási parabola 3 l / g 0 h α x ( m ) f(x)=x-0.*x^ Pontsor r(t)=0.75 f(x)=.5 Pontsor Pontsor 3 Pontsor 4 5. ábra ( ) - ből: gl 0 ; sin majd ( ) és ( 7 ) - tel: g sin zx tgx x tg x x gl cos lcos sin sin cos x x x tgx x tgx tg ltg, lcos l l l tehát x x zx l tg. l l ( 7 ) ( 8 )

6 6 0 z ( m ) A forgásfelület meridiángörbéje: egy parabola és egy egyenes szakasz Z z x ( m ) R R f(x)=*x-0.5*x^ f(x)=*(0-x)-0.5*(0-x)^ Pontsor Pontsor Pontsor 3 f(x)=0 f(x)=0 6. ábra Majd ( 5 ) és ( 8 ) - cal: x x zx 4h. l l Vagy ( 8 ) - ból: x zx tg x. l A ( 0 ) képletet átírhatjuk az alábbi alakba: x zx, t tg x. lt ( 9 ) ( 0 ) ( ) Ez lehet az időben áltozó méretű ízsugarak egyenlete.

7 7 A ízsugár - alakok főbb esetei az alábbiak. a.) 0 l R; b.) l R; c.) R l R; d.) l R. 4 z ( m ) Vízsugár - alakok az a.), b.), c.), d.) esetben 0 8 f(x)=*x*(-x/5) f(x)=*(0-x)*(-(0-x)/5) Pontsor f(x)=*x*(-x/0) f(x)=*(0-x)*(-(0-x)/0) f(x)=*x*(-x/5) f(x)=*(0-x)*(-(0-x)/5) f(x)=*x*(-x/0) f(x)=*(0-x)*(-(0-x)/0) 6 4 x ( m ) ábra A 7. ábráról már látható a ízsugár - felületek meridiángörbéinek az alakulása. A megfelelő forgásfelületek egyenletének felírásához tekintsük a 8. ábrát! Itt az elölnézeti képen feltüntettük a forgásfelületnek az Y = 0 síkkal aló metszetét is. A forgásfelület paraméteres egyenletrendszerét úgy írjuk fel, hogy felírjuk egy tetszőleges P pontjának ( X P, Y P, Z P ) koordinátáit. Itt áttérünk egy újabb derékszögű koordináta - rendszerre, melynek kezdőpontja az alapkör O k középpontja, Z tengelye a forgásfelület forgástengelye.

8 8 8. ábra XP rp cos P, YP rp sin P, ZP z P. ( ) A 8. ábra szerint is: r R x, r 0; ( 3 ) P P P majd ( ) - gyel is: x l P zp tg xp. Most ( ), ( 3 ), ( 4 ) - gyel: ( 4 )

9 9 XP R xp cos P, YP R xp sin P, x P ZP tg xp. l Majd ( 5 ) és ( 5 ) - tel, a P indexeket elhagya: Xx, R xcos, Yx, R xsin, h x Zx, 4 x. l l ( 5 ) ( 6 ) A ( 6 ) képletek szerint a forgásfelület leírására az x és a φ áltozókat használjuk. Ez egy lehetséges felírási mód. Az x és a φ áltozók értelmezési tartománya: 0 x l; ( 7 ). Ez a felírási mód rendben an az a.) és a b.) esetekben, amikor is fennáll, hogy l R. ( 8 ) Azonban a c.) és a d.) esetekben, amikor is R l R, ( 9 ) a szemlélet alapján is könnyen beláthatóan már az alábbiak érényesek: X x, R x cos, Yx, R xsin, h x Zx, 4 x ; l l 0 x R; ( 0 ) Most írjuk fel a forgásfelület Z = Z ( X, Y ) alakú egyenletét is, az érdekesség kedéért!

10 0 ( 6 ), ill. ( 0 ) első két egyenletéből és a 8. ábra szerint is : r X Y R x, ( ) innen: x R X Y ; ( ) Most ( 6 ), ill. ( 0 ) harmadik egyenletéel és ( ) - el: h R X Y ZX, Y 4 R X Y. l l ( 3 ) Látjuk, hogy az alkalmazás során a ( 6 ), ill. a ( 0 ) képletek jönnek inkább számításba. Most határozzuk meg a ízsugár kilöési sebességének nagyságát az a.), b.), c.), d.) esetekre! Ezt a ( 7 ) képlet alapján égezzük el. a.) eset: 0 l(a) R; 0(a) gr 0 sin R 0 0 0(a) ; l sin ; g sin ( 4 ) g b.) eset: l(b) R; 0 (b) g R sin R 0 0(b) ; l sin ; g sin g c.) eset: R l(c) R; 0(c) gr gr R sin R 0 0(c) ; l sin ; g sin sin g d.) eset: l(d) R; 0(d) g R sin R 0 0(d). l sin ; g sin g ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) A 7. ábra adataial is:

11 h l Most ( 5 ) - ből: h arctg 4 arctg 6, 43 ; l ezzel sin sin 6, 43 0,8 ; R 0 m,, g 9,8 m / s. majd ( 5 ) és ( 7 ) - ből: m 9,8 0 m gr s m gr m, ; 5,7 ; sin 0,8 s sin s ezekkel az adatokkal és eredményekkel a négy esetre: m m 0 0(a), ; s s m 0(b), ; s m m, 0(c) 5, 7 ; s s m 0(d) 5,7. s Most nézzük meg az i - edik ízsugár egyenleteit! ( ) - ből: X r cos, i i i i Y r sin, Z z. i ( 8 ) Majd ( 3 ) - ból: r R x, r 0. ( 9 ) Ezután ( 4 ) - ből: x z tgx. l ( 30 ) Toábbá ( 8 ), ( 9 ), ( 30 ) - cal:

12 Xi x, i R xcos i, Yi x, ir xsin i, h x Zi x, i 4 x. l l ( 3 ) Ezekben a képletekben: 360 i i, n i,,...,n. ( 3 ) A korábbiakhoz hasonlóan itt is: 0 x l, ha l R ; 0 x R, ha R l R. ( 33 ) Az egyes ízsugarak előlnézeti képének ábrázolása P ( X i, Z i ) parabola - pontonként célszerűen úgy történhet, hogy esszük ( 3 ) első és harmadik egyenletét, ügyele ( 3 ) és ( 33 ) - ra is. Itt sem célszerű r - et kiküszöbölni az egyenletekből. Az egyes ízsugarak felülnézeti képének ábrázolása P ( X i, Y i ) egyenes - pontonként célszerűen úgy történhet, hogy esszük ( 3 ) első és második egyenletét, ügyele ( 3 ) és ( 33 ) - ra is. Itt sem célszerű r - et kiküszöbölni az egyenletekből. Ezeket azért említettük meg, mert hátha alaki számítógépesíteni szeretné az ábrázolást. A 9. ábrán egy ízsugár elölnézeti képét ábrázoltuk a Graph program segítségéel, paraméteres függénymegadási móddal. A parabola paraméteres egyenleteit az ábrán feltüntettük. A 0. ábrán ugyanannak a ízsugárnak a felülnézeti képét ábrázoltuk. A. ábrán a 8. ábra esetében látható ízsugár - sor elölnézetét / metszetét ábrázoltuk. A. ábrán a 8. ábra esetében látható ízsugár - sor felülnézetének felét ábrázoltuk. Megjegyezzük, hogy a ízsugarak kezdősebessége annak időbeli áltozása során akár zérus nagyságú is lehet. A fentiekben ezt mint triiális esetet nem hangsúlyoztuk.

13 3 7 Z ( m ) 6 A φ = 30 - hoz tartozó ízsugár elölnézeti képe Adatok: R = 0 m; tgα = ; l = 8 m. 5 x(t)=(0-t)*cos(30), y(t)=*t*(-t/8) 4 3 X ( m ) ábra A ízsugár - sor által szolgáltatott látány fő jellegzetessége az időbeli áltozás, melyre ( ) és ( ) - gyel: x zx, t tgx. 0 t ( 34 ) sin g ( 34 ) - ből kiolasható, hogy az egész produkció lelke: a 0 ( t ) függény. Időbeli lefutásának meghatározása a látányterezés egyik fő feladata lehet.

14 4 6 Y ( m ) A φ = 30 - hoz tartozó ízsugár felülnézeti képe Adatok: R = 0 m; tgα = ; l = 8 m x(t)=(0-t)*cos(30), y(t)=(0-t)*sin(30) X ( m ) ábra

15 5 Vízsugár - sor elölnézete / metszete 8 Z ( m ) 6 4 X ( m ) x(t)=(0-t)*cos(30), y(t)=*t*(-t/8) x(t)=(0-t)*cos(60), y(t)=*t*(-t/8) x(t)=(0-t)*cos(90), y(t)=*t*(-t/8) x(t)=(0-t)*cos(0), y(t)=*t*(-t/8) x(t)=(0-t)*cos(50), y(t)=*t*(-t/8) x(t)=(0-t)*cos(80), y(t)=*t*(-t/8) x(t)=(0-t)*cos(360), y(t)=*t*(-t/8) Pontsor. ábra

16 6 Y ( m ) Vízsugár - sor felülnézete X ( m ) x(t)=(0-t)*cos(30), y(t)=(0-t)*sin(30) x(t)=(0-t)*cos(60), y(t)=(0-t)*sin(60) - x(t)=(0-t)*cos(90), y(t)=(0-t)*sin(90) x(t)=(0-t)*cos(0), y(t)=(0-t)*sin(0) x(t)=(0-t)*cos(50), y(t)=(0-t)*sin(50) -4 x(t)=(0-t)*cos(80), y(t)=(0-t)*sin(80) x(t)=(0-t)*cos(360), y(t)=(0-t)*sin(360) r(t)= r(t)=0-6 r(t)=6 Ezzel feladatunkat megoldottuk.. ábra Irodalom: [ ] Szerk.: M. Csizmadia Béla ~ Nándori Ernő: Mechanika mérnököknek Mozgástan Nemzeti Tankönykiadó, Budapest, 997. Sződliget, 00. július 8. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár