Forogj! Az [ 1 ] munkában találtunk egy feladatot, ami beindította a HD - készítési folyamatokat. Eredményei alább olvashatók. 1.

Átírás

1 1 Forogj! Az [ 1 ] munkában találtunk egy feladatot, ami beindította a HD - készítési folyamatokat. Eredményei alább olvashatók. 1. Feladat Egy G gépkocsi állandó v 0 nagyságú sebességgel egyenes úton Észak - Dél irányban halad. Egy M megfigyelő az úttól d állandó távolságra áll és a kocsit figyeli. Határozzuk meg a megfigyelő feje / szeme forgásának ω szögsebességét! 1. megoldás Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! Ez egy felülnézeti kép, a mozgástani helyzet vázolásához. 1. ábra Itt azt láthatjuk, hogy a t = 0 időpontban a gépkocsi ( valamely megfigyelt G pontja ) az út P 0 pontjában, majd egy másik t > 0 időpontban a P pontban található. Eközben megtett ( 1 ) utat, az M megfigyelő függőleges megfigyelési síkja pedig elfordult φ szöggel. Egy igen kicsiny dt - vel későbbi időpontban a megfigyelt G pont P - ben van, miközben a megfi - gyelési sík továbbfordult dφ - vel. A differenciális elmozdulások rendre:

2 2 ~ az út mentén: ( 2 ) ~ az r sugárral párhuzamosan: ( 3 ) ~ az r sugárra merőlegesen: ( 4 ) Minthogy így ( 2 ), ( 3 ), ( 4 ) és ( 5 ) - tel: ( 5 ) ( 6 ) Ámde ( 7 ) így ( 6 ) és ( 7 ) - tel: ( 8 ) majd Pitagorász tételével: ( 9 ) ezután ( 8 ) és ( 9 ) - cel: ( 10 ) most ( 1 ) és ( 10 ) - zel: ( 11 ) bevezetjük az ( 12 ) jelölést, így ( 11 ) és ( 12 ) szerint: ( 13 ) Most már ( 12 ) és ( 13 ) a feladat megoldását adja. Figyeljük meg, hogy a megoldás alapvető feltételi egyenlete ( 6 ) szerint, itt v = v 0 - val:

3 3 ( 6* ) 2. megoldás Az 1. ábráról leolvashatóan, ( 1 ) és ( 12 ) - vel is: ( 14 ) ámde ( 15 ) majd ( 14 ) idő szerinti differenciálásával [ 2 ] : ( 16 ) így ( 15 ) és ( 16 ) szerint: ( 17 ) adódik, ami egyezik ( 13 ) - mal. 2. ábra

4 4 A 2. ábrán ábrázoltuk a ( 17 ) függvényt, ω 0 = 1 ( 1 / s ) paraméterrel. Látjuk, hogy a t idő növekedésével a szögsebesség ω ( előjeles ) nagysága zérushoz tart. 2. Feladat Egy jármű egy O középpontú, r sugarú körpályán köröz, v nagyságú sebességgel, illetve az ehhez tartozó ω szögsebességgel. Ezt az M megfigyelő a kör középpontjától állandó d távolságra lévő helyről figyeli, a jármű egy kiválasztott pontjára nézve, álló helyzetben. Határozzuk meg a megfigyelő feje / szeme forgásának Ω szögsebességét! Ehhez tekintsük a 3. ábrát is! 1. megoldás 3. ábra Az ábráról leolvashatóan: ( 1 ) Mivel ( 2 )

5 5 így ( 1 ) és ( 2 ) szerint: ( 3 ) A ρ sugárra Pitragorász tételével: ezt kifejtve: majd a 3. ábráról leolvassuk, hogy így ( 5 ) és ( 6 ) szerint: Majd a 3. ábra alapján: Ezután ( 7 ) és ( 8 ) szerint: innen pozitív gyökvonással: Most a P pont y P - koordinátájára: ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) ( 9 / 1 ) ( 9 ) ( 10 ) Majd ( 9 ) és ( 10 ) - zel: ( 11 ) innen pedig: ( 12 ) Most visszatérünk a ( 3 ) képlethez, elvégezzük a cos - függvény kifejtését a

6 6 ( 13 ) ismert azonosság szerint, majd felhasználjuk ( 9 ) és ( 11 ) - et is: tehát: ( 14 ) A ( 14 ) képlet adja feladatunknak az általános esetre vonatkozó megoldását. Ha azt az egyszerű esetet vesszük, hogy ( 15 ) akkor ( 14 ) és ( 15 ) szerint a fejforgatás szögsebességének időfüggvénye: ( 16 ) A ( 16 ) képletet kipróbáljuk a t = 0 speciális esetre:

7 7 átrendezve: ( 17 ) a szemlélettel egyezően. Most ábrázoljuk a ( 16 ) időfüggvényt a 3. ábra szerinti d / r = 21 / 8 és az ω = 1 ( rad / s ) adatokkal ld. 4. ábra! ( Figyelem: 1 / s 1 rad / s! ) 4. ábra A Graph szoftver szerint a megrajzolt periodikus függvénygörbéről leolvasott periódusidő: T = s. Ez helyes, mert ez megegyezik az r sugár teljes körül - fordulási idejével, hiszen Most tekintsük az 5. ábrát is! Ez úgy készült, hogy együtt rajzoltuk meg a görbéket, amelyekhez különböző d / r viszonyszámok tartoznak. Látjuk, hogy amint d / r értéke tart az egyhez, úgy egyre inkább elkezd rakoncátlankodni a grafikon. A d / r = 1 értéknél a görbének szakadása van. Esetünkben a kék vonalon ami egyenes a t 0 = π időpillanat -

8 8 ban egy lyuk van. Ezt úgy képzelhetjük el, hogy előtte nagyon kicsi időszakasszal az 1 / 2 értékről a görbe lemegy a mínusz végtelenbe, majd utána egy nagyon kicsi idővel felugrik az 1 / 2 értékre. 5. ábra Javasoljuk, hogy az Olvasó egy ceruzával játssza el a d / r 1 esetet, amikor is az M 0 pont a körnek és az x tengelynek a bal oldali metszéspontja! A fejét forgató megfigyelő ekkor természetesen nem tudja rendesen követni a köröző jár - művet, csak egy kicsit később ha megvan még a feje. 2. megoldás Most ( 10 ) - ből indulunk ki nem ( 12 ) - ből, hogy csökkentsük az elkeveredés veszélyét: ( 10 ) idő szerint deriválva az egyenlet mindkét oldalát:

9 9 rendezve: ( 18 ) Ezután: ( 19 ) így ( 18 ) és ( 19 ) - cel: ( 20 ) Most ( 9 / 1 ) - gyel: majd ennek idő szerinti deriválásával: ami egyszerűsítés és ( 19 ) felhasználása után: ( 21 ) majd ( 20 ) és ( 21 ) - gyel: ( 22 ) Ezután a 3. ábra alapján, így ( 22 ) és ( 23 ) - mal: ( 23 ) ( 24 ) most ( 9 / 1 ) és ( 24 ) - gyel:

10 10 ( 25 ) Az 1. megoldás ( 14 ) és a 2. megoldás ( 25 ) képletének összevetése adja az igazolást: Most kiszámítjuk B - t: Majd kiszámítjuk J - t: Megállapíthatjuk, hogy B J, így Ω - ra kapott mindkét általános megoldásunk ugyanazt a függvényt szolgáltatja. Most számítsuk ki a φ szög szélső értékei! A 3. ábra alapján: ( 26 ) valamint ( 27 ) Az E 1 érintési ponthoz, vagyis a φ 1 szöghöz tartozó első ψ 1 szög értéke a 3. ábráról leolvashatóan: ( 28 ) Az E 2 érintési ponthoz, vagyis a ( φ 1 ) szöghöz tartozó első ψ 2 szög értéke a 3. ábráról leolvashatóan: ( 29 ) Most ábrázoljuk a φ(t) függvény görbéjét ld. 6. ábra!

11 11 6. ábra A Graph rajzoló program szolgáltatásával az E 1 pont első eléréséhez tartozó időpont: t 1 = ( s ). Ez helyes eredmény, hiszen ezt kiszámítva, ( 27 ) és ( 28 ) - cal is: egyezésben a grafikonról leolvasott értékkel. Hasonlóan, az E 2 pont első eléréséhez tartozó időpont a Graph rajzoló program szolgáltatásával: t 2 = ( s ). Ez helyes eredmény, hiszen ezt kiszámítva, ( 27 ) és ( 29 ) - cel is: egyezésben a grafikonról leolvasott értékkel. Most tekintsük a 7. ábrát! Itt a már előbb is használt d / r paraméterekkel rajzoltuk meg a φ( t ) függvényeket, miközben d / r 1. Érdekes és tanulságos grafikonok: nem sűrűn akadunk ilyenekre, látszólag egyszerű geometriai jellegű feladatok megoldása során. Ugyanis a kék grafikonban ( d / r = 1 esetében ) először t = π ( s ) - nál ugrás van, φ = π / 2 - ről φ = π / 2 - re. Ez egyezik a szemlélettel. A φ( t ) függvények jól láthatóan 2π szerint periodikus függvények.

12 12 7. ábra Javasoljuk, hogy az Olvasó az itteni d / r 1 átmenetet is játssza el, ceruzával! Meg azt is, hogy senki ne álljon a sebesen haladó gépjármű útjába, amikor is d / r = 1. Ezzel feladatunkat megoldottuk. Irodalom: [ 1 ] Hans G. Steger ~ Johann Sieghart ~ Erhard Glauninger: Műszaki mechanika 2. B+V Lap - és Könyvkiadó Kft., Műszaki Könyvkiadó Kft. Budapest, [ 2 ] I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár