A fák növekedésének egy modelljéről

Átírás

1 1 A fák növekedésének egy modelljéről Az interneten nézelődve találtunk rá az [ 1 ] munkára, ahol a fák növekedésének azt a modelljét ismertették, melyet először [ 2 ] - ben írtak le. Úgy tűnik, ez az os meg - jelenésű, I. E. Poletajev - nek tulajdonított munka egy erősen mozgósító írás volt, mert utána sok hasonló tárgyú, fejlesztett típusú dolgozat követte ezt. Olyannyira, hogy [ 1 ] - en kívül más matematikai tárgyú tan - és szakkönyvekbe is bekerült az eredeti növekedési modell, vagy annak csak kissé módosított változata. Ilyen pl. a [ 3 ] munka is, amit jelen dolgozat közvetlen forrásának tekinthetünk. A feladat és megoldása az alábbi. Feladat A fa a szabad energiáját fotoszintézis révén nyeri. Ezt felhasználja ~ saját fotoszintetizáló munkájához, ~ szövetei felépítéséhez, ~ a talajból történő tápanyagfelvételhez. A növekedési időszak ( tenyészeti időszak ) nagy részében a növény egységnyi felületére jutó fénymennyiség ( közel ) állandó, és a tápanyagok felvétele is korlátlan tartalékokból történik. Adjuk meg bármely fajú fa növekedésének törvényszerűségét, figyelembe véve, hogy a kifejlett növény a növekedése során megtartja testének arányait! Megoldás Legyen x( t ) egy olyan függvény, amely leírja / megadja a fa lineáris / vonalas méreteit egy t időpontban; ezt a függvényt használjuk a fa magasságának, korona - méreteinek és térfogatának meghatározásához. Felállítjuk az energia - egyensúly feltételét. Az E ϕ szabad energia a fotoszintézis révén jön létre a zöld növényi részekben, és ennek nagysága arányos a korona felületével, azaz: ( 1 ) ahol k 1 egy arányossági tényező, amely függ a levélzet alakjától, méreteitől, valamint a fotoszintézis intenzitásától. A fotoszintézisből származó E ϕ energia teljesen felhasználódik a következő folyamatok - ban. 1. A saját fotoszintetizáló folyamatok, melyek energia - igényét az alábbi formulával számítjuk: ( 2 )

2 2 2. Tápanyag - szállítás a növény minden részéhez, melynek energia - igénye arányos a növény térfogatával és a magasságával, minthogy a tápanyagok felfelé való mozgatása a súlyerővel kapcsolatos. Ilymódon: ( 3 ) 3. A növény gyarapodása, tömegének növekedése arányos az tömeg változásának sebességével: ( 4 ) ( 5 ) ahol γ a növény átlagos sűrűsége. Most az energia megmaradása miatt: Majd ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ), ( 5 ) és ( 6 ) - tal: ( 6 ) ( 7 ) végigosztva a tényezővel és rendezve: ( 8 ) bevezetve az ( 9 ) új állandókat, ( 8 ) és ( 9 ) - cel kapjuk a fa növekedésének differenciálegyenletét: ( 10 ) Minthogy a fa növekedik, ezért fennáll, hogy ( 11 )

3 3 A ( 10 ) differenciálegyenlet szétválasztható változójú: integrálva: vagy integráltáblázattal is [ 4 ] : vagy: ( 12 ) most figyelembe véve, hogy így ( 12 ) és ( 13 ) - mal: ( 13 ) ( 14 ) majd ( 12 ) és ( 14 ) szerint: innen: ( 15 ) átrendezve: ( 16 ) ezután ( 15 ) és ( 16 ) - tal: ( 17 ) Ezzel előttünk áll a modell szerinti növekedési törvény. Minthogy az a és b állandók minden fafajra ismertnek vehetők, így a ( 17 ) képlettel kiszámítható az adott fajú fa növekedése az idő - növekmény függvényében. Vizsgáljuk meg a ( 10 ) törvényszerűséget! Az idő szerint differenciálva: ( 18 ) mivel így ( 18 ) szerint azaz a függvény görbéje ellaposodó.

4 4 Átírva ( 17 ) - et: ( 19 ) Erről könnyen leolvasható, hogy ( 20 ) Eszerint a ( 17 ), illetve a ( 19 ) függvények grafikonja az alábbi 1. ábra: 1. ábra forrása: [ 3 ] Látjuk, hogy a görbe tangens hiperbolikusz - lefutású a t 0 t < intervallumon. Az x = a / b határhelyzet megfelel a zérus növekedési sebességnek, így ekkor az összes fotoszintézisből nyert energia a növény életműködéseinek a fenntartására fordítódik. Az adott feladat megoldása teljesen kielégítően magyarázza a növekedés megállásának okait a különböző fafajoknál, egy meghatározott magassági -, korona -, illetve térfogat - méret elérésekor. Számpélda [ 3 ] Ismert, hogy a vizsgált fafajnál ~ az átlagos legnagyobb magasság 12 m, valamint ~ 20 év növekedés után átlagos magassága a 10 m - t éri el. Ekkor a / b = 12 ( m ), mint a növekedés határértéke; az ab szorzat értékét pedig a ( 19 ) egyenletből nyerjük: azaz: ezzel: innen:

5 5 ( p ) ahol: ~ t 0 : a fa ültetésének éve, ~ t: a folyó év. A ( p ) függvény grafikonját a 2. ábra szemlélteti. 2. ábra Megjegyzések: M1. Az [ 1 ] munka 1. kiadását magyarra is lefordították, de ebben az itteni feladat még nem szerepel. M2. Az eredeti [ 2 ] munkában egy pontonként kiszámított / megrajzolt grafikont is közölnek, tölgyfára 3. ábra.

6 6 3. ábra forrása: [ 2 ] Itt a 2 helyett a - val, b 2 helyett b - vel jelölték a differenciálegyenlet állandóit, innen is az alaki különbség. Úgy tűnik, meglepően jó az egyezés a számított és a mért adatok / értékek között, egy eléggé széles idő - intervallumon. M3. Hogy ( 17 ) egy tangens hiperbolikusz függvény, az így látható be [ 4 ] : Eszerint ( 17 ) más alakban:. ( 21 ) M4. Fentiek szerint megállapíthatjuk a feladat differenciálegyenletében szereplő állandók dimenzióját: innen: hasonlóan: Ezekkel ( 10 ) szerint:

7 7 azaz: ahogyan lennie is kell. M5. Az itt kifejtett modellt meghaladó modellek alkalmazói közül megemlítjük az [ 5 ] munkát. Megtekintve megállapítható, hogy jelentős nehézségek adódnak a bonyolultabb modellek alkalmazásakor, melyek leküzdéséhez számítógépes / numerikus vizsgálatok szükségesek. Ez még inkább növeli az egyszerű, de a korlátaival együtt is hasznos modell értékét, amely mintegy kiindulási alapul szolgál a bonyolultabbak számára. M6. Teljesen valószínűtlen, hogy magyar nyelven ne legyenek hasonló elméleti és kísér - leti vizsgálatok, eredmények. Hogy ilyenekről nem tudunk, az csak szakmai tájékozatlan - ságunkat bizonyíthatja. Reméljük, e hiányosságot hamarosan felszámolhatjuk. Irodalom: [ 1 ] o. [ 2 ] &eid=Po_0001_0105 [ 3 ] o. [ 4 ] I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, [ 5 ] Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár