Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz

Átírás

1 Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk, a spin Oz tengely irányú spin komponensük vagy ħ vagy ħ lehet, a értéket nem veheti fel. Ezek alapján azt mondjuk, hogy a fotonoknak kétféle polarizációja lehet. A fotonok energiáját a nekik megfelelő elektromágneses sugárzás határozza meg a jól ismert: E =h képlet alapján. Vizsgáljuk a következőkben a fotongáz statisztikus tulajdonságait. Egy L oldalélű és T hőmérsékletű zárt dobozt tekintünk. Tudjuk, hogy minden T> hőmérsékletű test egy folytonos spektrumú elektromágneses sugárzást (fotonokat) bocsát ki. Ezt sugárzást hőmérsékleti sugárzásnak is nevezik. A T hőmérsékletű doboz belsejében is jelen lesz ez a sugárzás ami állandóan kibocsátodik és elnyelődik. A doboz belsejében tehát foton gáz lesz jelen, ami termikus egyensúlyban van a T hőmérsékletű tartályal. Mivel a fotonok egymással nem hatnak kölcsön és a jelenlevő fotonok száma fluktuál, a kockában levő fotongáz úgy tekinthető mint egy makrókanónikus sokaságban levő nemkölcsönható részecskékből álló bozon rendszer. A rendszer statisztikáját a levezetett Bose-Einstein eloszlás írja le: n q = e E q /kt () ahol q a lehetséges egyfoton állapotokat jelenti. A célunk itt ezen fotongáz spektrális energiasűrűségét meghatározni. Az u,t spektrális energiasűrűség megadja az egységnyi térfogatban levő azon fotonok összenergiáját, amelynek frekvenciája és d között van, ha d = : W, d,t u,t = V d (2) A fenti képletben V =L 3 a rendszer térfogata, W meg azon fotonok összenergiája, melyeknek a frekvenciája és d között van. A keresett spektrális energiasűrűség felírható mint: u,t = V N, d n d E = V f n E (3) ahol E =h egy frekvenciájú foton energiája és f megadja az egyfoton állapotok sűrűségét a frekvencia-térben: N, d f = d. (4) A (3)-as képletben n megadja egy olyan egyrészecske állapot elfoglalási számát, amelyben a foton frekvenciája. Feladatunk tehát elöször is a lehetséges egyfoton állapotok meghatározása. A lehetséges foton állapotok a tér három irányába kialakuló állóhullámoknak felelnek meg. gyanazon állapotokról van szó mint szilárd testek esetén és amelyeket a Debye fajhőelmélet keretében tekintettünk. Ha

2 k=k x x k y y k z z jelőli a foton hullámszám vektorát ( 2 c k= ), annak a feltétele, hogy a c tér mindhárom irányában állóhullámunk legyen (c az elektromágneses hullámok terjedési sebessége légüres térben): k x = L n x ; k y = L n y ; k z = L n z (5) ahol: n x, n y, n z {,, 2,...i... } tetszőleges természetes szám lehet. A foton egyrészecske állapotokat tehát az n x, n y, n z kvantumszámok jelölik. Az egyrészecske állapotok a k tér pozitív nyolcadában a már ábrázolt egyenletes kockarács tipusú pont-sűrűséggel jellemezhetők. Egyetlen állapothoz a k x,k y,k z térben / L 3 térfogat tartozik. A k térbeli állapotsűrűség: f k = N k,k dk = 4 k2 dk dk 8 / L 3 dk = k2 V (6) 2 2 Figyelembe véve a fotonok két lehetséges polarizációját: f k = k 2 V 2 (7) A fotonok energiája E=h =h c =ħ c k (8) Mivel bozonok esetén a rendszer kémiai potenciálja mindig kisebb kell legyen mint az egyrészecske állapotok energiája, a fotongáz kémiai potenciáljára = adódik. Az egyrészecske állapotok energiája ugyanis akármilyen kicsi, és a kémiai potenciál pozitív kell legyen. A kémiai potenciál és az E =h ismeretében meghatározható egy olyan egyrészecske állapot átlagos elfoglalási száma melyben a foton frekvenciája : n = e h (9) Az u,t spektrális energiasűrűség meghatározásához a (3) képletben csak az f egyfoton állapotok sűrűségére van szükség a frekvenciatérben. Akárcsak a Debye fajhőelmélet esetén az állapotsűrűség a frekvenciatérben kiszámítható a k térbeli állapotsűrűségből, felhasználva, hogy: f k dk= f d (2) Felhasználva, hogy azonnal adódik, hogy: k= 2 c dk 2 = d c (2) f = k2 V 2 2 c = 8 2 (22)

3 A (3), (9) és (22) alapján felírhatjuk tehát a keresett spektrális energiasűrűség értékét: u,t = 8 h 3 e h (23) Felhasználva a c= képletet azonnal megadható az u,t spektrális energiasűrűség a hullámhossz szerint is: u, T =u,t d 8 hc = d 5 e h c/ (24) Az u,t spektrális energiasűrűséget függvényében két különböző hőmérsékleten az. ábrán szemléltetjük.. ábra. A spektrális energiasűrűség a hullámhossz függvényében két különböző hőmérsékleten Látható, hogy letezik egy m hullamhossz (és ezáltal egy m frekvencia) amire ennek a spektrális energiasűrűségnek maximuma van. A hőmérséklet növekedésével m csökken a Wien féle eltolódási törvény értelmében: m T = Konstans (25) A Wien féle eltolodási törvény azonnal következik a du, T d m =, (27) egyenletből (Felhasználva, hogy a nem nagyon nagy hőmérsékletekre és hullámhosszakra: e h c/. Azonnal kiszámítható a teljes energiasűrűség is: V = u, T d = 8 h 3 e h d (28)

4 Az x= h változócsere alkalmazásával: V = 8 h 4 h 4 x 3 dx (29) e x A kapott határozott integrál értéke ismert: 4 /5. Flehasználva ezt az értéket: V = T 4 (3) ahol: = 8 5 k 4 az úgynevezett Stefan-féle konstans. A (3) összefüggést a Stefan törvénynek 5 h 3 szokták nevezni, és ennek értelmében a foton gáz energiasűrűsége a hőmérséklet negyedik hatványával arányosan nő. Ennek alapján a fotongáz állandó térfogaton mért mólhője: C V ~T 3 (3) Kiszámíthatjuk azonnal a fotongáz nyomását is, felhasználva a makrókanónikus sokaságban a PV kt = (32) képletet. A bozon rendszerek esetén azt kaptuk, hogy: Z = q e q (33) A fenti szorzat az összes lehetséges egyrészecske állapotokra vonatkozik. Felhasználva, hogy = : = q ln e h q (34) Az egyrészecske állapotokra való összegzés elvégezhető, úgy hogy integrálunk a fotonok összes lehetséges frekvenciáira, figyelembe véve az f állapotsűrűséget: = f ln e h d (35) Figyelembe véve az állapotsűrűség (22) kifejezését: = 8 V 2 ln e h d = 8 V I (36) Az I integrál kiszámítása parciális integrálással történik:

5 I = 3 ' ln e h d = ln e h 3 h e h d h (37) 3 e A fenti kifejezés első tagja mindkét határban nulla, és ezáltal felírható: = 8 V h 3 3 e h d (38) Figyelembe véve most az energia sűrűségre felírt (28) összefüggést, azonnal következik, hogy: = V kt V 3 = 3 kt (39) Felhasználva most a makrókanónikus sokaságban általános érvényű (32) képletet: PV kt = = 3 kt P= 3 V (4) Ennek értelmében a fotongáz nyomása egyenesen arányos a fotongáz energiasűrűségével.