Szilárd testek fajhője
|
|
- Enikő Lakatosné
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Szilárd testek fajhője A kristályos szilárd testeket sok vonatkozásukban úgy tekinthető k, mint egy háromdimenziós rács csúcspontjaiban elhelyezked ő molekulák sokasága. Az ideális gázzal ellentétben ezen atomok vagy molekulák a rácspont körül rezegnek. A szilárdtest belsőenergiájának a legszámottevő bb része az atomok rácspont körüli rezgéseinek az energiájából adódik. Kísérletileg csak makroszkopikus mennyiségeket tudunk mérni. Az egyik legfontosabb, anyagi tulajdonságot jellemz ő makrószkópikus mennyiség a fajh ő. Célunk itt egy olyan modell kidolgozása, amely a szilárdtest mikroszkopikus tulajdonságai alapján magyarázatot ad a kísérletileg mérhet ő fajhő hőmérsékletfüggésére. A továbbiakban az egyszerűség kedvéért 1 kilómolnyi anyagot fogunk tekinteni. Kísérletileg megállapították, hogy a kristályos szilárd testek fajhőjére (vagy mólhő jére, hiszen ezek csak egy konstans szorzóban különböznek) két, univerzálisan igaz törvény igaz: 1. Nagy hőmérsékletek határesetében a mólh ő közel állandó, és: C V 3 N 0 k, (1) ahol N 0 az Avogadro-szám, k pedig a Boltzmann állandó. Ezt a törvényt Dulong-Petit törvénynek nevezzük.. Alacsony hőmérsékleteken, a termodinamika III. főtétele alapján a mólh ő 0-hoz tart. A nullához való konvergálás egy hatványfüggvény szerint történik, úgy, hogy: C V T 3, () Ezt az empirikusan megállapított törvényt Debye törvény-nek nevezzük. A továbbiakban egy olyan modellt keresünk, amely a fenti két törvényt magyarázza. Két modellt fogunk tárgyalni: az Einstein-féle és a Debye-féle fajh ő modelleket és ezeknek a megoldásait tekintjük át. A második modell (Debye modell) tulajdonképpen az els ő modell továbbfejlesztése az elemek közti kölcsönhatások figyelembevételével. Az Einstein-féle fajh ő elmélet Amint azt már említettük, a szilárd test rácspontjain lév ő atomok rezegő mozgést végeznek, vagyis az atomokat elemi oszcillátoroknak tekinthetjük (1. Ábra). Einstein szerint egyetlen atomot három azonos és független egydimenziós kvantummechanikai oszcillátorral helyettesíthetünk, amelyek a tér három irányába rezegnek. Egyetlen atom szabadsági fokainak száma tehát három, és ezt úgy építjük bele a modellbe, hogy három független egydimenziós oszcillátort tekintünk. Els ő közelítésben úgy tekintjük, hogy az atomok is függetlenek egymástól, így a külonböz ő rácspontokon levő oszcillátorok nem befolyásolják egymást. Ha a rendszerben N atomunk (vagy molekulánk) van, akkor ezeket 3N darab, egymástól független és egyforma egydimenziós kvantummechanikai oszcillátorral helyettesíthetjük. Kvantummechanikában bizonyítottuk, hogy egy adott egydimenziós oszcillátor lehetséges energiái diszkrétek:
2 E=ħn 1, (3) ahol a rezgés körfrekvenciája (ez a rendszert jellemz ő állandó), természetes szám. n pedig egy tetsző leges 1. Ábra Egymással nem kölcsönható egyforma oszcillátorok. Az Einstein féle fajhőelmélet rugói Mivel a 3N oszcillátorból álló rendszerben az egyedek között nincs kölcsönhatás, az egész rendszer partíciófüggvényét (Z) könnyen megkapjuk, ha ismert egyetlen részecske partíciófüggvénye, Z 1 : Z= Z 1 3N (4) Egyetlen oszcillátor partíciófüggvénye megkapható, ha összegezzük a Boltzmann-faktort az egy oszcillátor esetén lehetséges mikroállapotokra: Z 1 = {i} exp E i (5) Egy kvantummechanikai egydimenziós oszcillátor egy mikroállapota valójában az ő t leíró hullámfüggvény. Ez minden információt hordoz, ami a részecskéről megadható. Különböző hullámfügvényekkel jellemzett állapotok különböz ő mikroállapotok lesznek. Mivel egydimenziós, kötött rendszerünk van, az energiaértékek nem elfajultak, vagyis egy energiaértéknek egyetlen hullámfüggvény (és így egyetlen mikroállapot) felel meg. A lehetséges mikróállapotokat a (3) képletben az n kvantumszám szolgáltatja. Az állapotösszeg kiszámítása egy oszcillátorra így nagyon egyszer ű: Z 1 = n=0 1 exp ħ n =exp ħ n=0 [exp ħ] n (6) Az összeg alatt egy mértani haladvány elemei jelennek meg. A mértani haladvány jólismert
3 képletét felhasználva ( -ig összegzve) azonnal adódik, hogy: exp ħ Z 1 = 1 exp ħ, (7) és ezáltal: Z=[ exp ħ 1 exp ħ]3n (8) A partíciófüggvény ismeretében a bels ő energia azonnal kiszámítható mint: U= ln Z [ =3N ħ 1 exp ħ 1 exp ħ ] (9) Egy kilomólnyi anyag rácsrezgésekből adódó belsőenergiája ( N=N 0, ahol N 0 az Avogadro féle szám) tehát: U 0 =3N 0 ħ [ 1 exp ħ 1 exp ħ ] (10) A 1 kmól anyagmennyiség bels ő energiája ismeretében könnyen kiszámítható a mólh ő: C V = U 0 T V = U 0 V T = 1 kt U 0 V (11) Elvégezve a deriválást egyszer ű számításokkal adódik, hogy: C V = 1 kt 3N 0ħ exp ħ 1 exp ħ (1) Azért, hogy a végeredményt egyszerűbb formában írjuk fel, vezessük be a E ħ k, (13) hőmérséklet jelleg ű mennyiséget, melyet Einstein-féle hőmérsékletnek nevezünk. Így a mólh ő a következőképpen írható: C V =3 N 0 k exp E T E T (14) 1 exp E T
4 Végs ő lépésként ellenő riznünk kell a modell helyességét, vagyis a modell által szolgáltatott eredményeket össze kell vetnünk a kísérleti eredményekkel. Nézzük meg előzzör is mi történik magas T E hő mérsékleteken. Ilyen feltételek mellett elvégezhet ő az alábbi közelítés: exp E T 1 E T, (15) majd ezt visszahelyettesítve a mólh ő kifejezésébe: C V 3 N 0 k 1 E T, (16) Mivel magas hőmérsékleteken a E T 0 sokkal kisebb mint 1: C V 3 N 0 k (17) ami szépen szolgáltatja a Dulong-Petit törvényt. Magas hő mérsékleteken tehát helytállt a modellünk. Nézzük most, mi történik alacsony T E hőmérsékleteken. Alacsony hő mérsékleteken a (14) nevezőjében lev ő exponenciális elhanyagolható lesz az 1 mellett. Elvégezve ezt a közelítést 0 C V 3 N 0 k E T exp E T 1 T exp c T 1, (18) T 3 alacsony hőmérsékletekre nem kapjuk vissza a Debye-törvényt. Az egyszer ű nemkölcsönható oszcillátorokat tekint ő Einstein modell nem ad tehát helyes eredményt ezen határesetben. Az Einstein-féle fajh ő elméletben úgy tekintettük, hogy az oszcillátoraink nem hatnak egymással kölcsön, és ez a megközelítés magas hő mérsékleten helyesnek bizonyult. Jogos tehát azt feltételeznünk, hogy alacsony hő mérsékleten az oszcillátorok közötti kölcsönhatás okozza a különbséget. Magas hőmérsékleten (nagy energiájú hő mozgásnál) ez a kölcsönhatás nem játszik lényeges szerepet és ezért bizonyult helyesnek a modell ezen határesetben. Azonban, ha az alacsony hő mérsékletek tartományában is le akarjuk írni a rendszert, a kölcsönhatásokat is figyelembe kell vennünk. Az Einstein-féle fajh ő elmélet ezen hibáját igyekszik kijavítani a Debye-féle fajh ő elmélet. A Debye-féle fajh ő elmélet A Debye-féle fajhőelmélet kiindulópontja ugyanaz, mint az Einstein-féle fajh ő elméleté: minden atomot 3 kvantummechanikai oszcillátorral helyettesítünk. A különbség az, hogy ezek az oszcillátorok kölcsönhatnak, vagyis nem függetlenek egymástól (. Ábra). Hogy megértsük azt, hogy milyen következményei lehetnek az oszcillátorok közti kapcsolásnak vizsgáljuk meg elöször a kapcsolt oszcillátorok mozgását. Két kölcsönható mechanikai oszcillátor dinamikája Az egyszerű ség kedvéért vizsgáljuk meg, mi történik két kölcsönható mechanikai oszcillátor esetén. Elő ször nézzük azt az esetet, amikor csak két, egydimenziós oszcillátorunk van, amelyek nem hatnak
5 kölcsön. Ekkor ezen pszcillátorok koordinátáira felírhatók az alábbi egymástól független differenciálegyenletek: d x m 1 1 dt = k 1 x 1 = m 1 1 x 1 (19) d x m dt = k x = m x,. (0) Az oszcillátorok tömegeivel való egyszerűsítés után: x 1 1 x 1 =0 (1) x x =0, () Ahonnan adódik, hogy mindkét oszcillátor egymástól függetlenül harmónikus rezgő mozgást végez, a saját körfrekvenciájával. Mindkét oszcillátor az 1 illetve sajátfrekvenciájával fog rezgéseket végezni. Ha 1 =, vagyis ha az oszcillátorok egyformák, az oszcillátorok egyforma frekvenciákkal fognak harmónikus rezgőmozgást végezni. Nézzük most, mi történik, ha a két oszcillátor kölcsönhat. Egy ideális (nem valószer ű ) kapcsolást tekintünk melynek a lényege az, hogy ez egyik oszcillátorra hat ható er ő függ a másik pozíciójától. A legegyszerübben ezt az alábbi módon írjuk fel: x 1 1 x 1 a x =0 (3) x x ax 1 =0, (4) Itt feltételeztük, hogy a két oszcillátor egyformán befolyásolja a másik mozgását. Amint a (3) és (4)- bő l adódik, kölcsönható oszcillátorok esetén egy csatolt differenciálegyenletrenszer adja meg a rendszer dinamikáját. Vezessünk be most olyan, ugynevezett normálkoordinátákat, amelyekben szétkapcsolódik a kapcsolt differenciálegyenlet rendszer. Legyen: illetve: x 1 = q 1q, (5) x = q q 1 (6) Dolgozzunk a továbbiakban egyforma oszcillátorokkal, vagyis 1 = 0 koordinátákra a következ ő egyenleteket kapjuk:. Így az új q 1 q 0 q 1 q aq q 1 =0 (7) q q 1 0 q q 1 aq q 1 =0 (8)
6 A fenti két egyenletet előbb összeadva, majd kivonva egymásból q 0 q a q =0 (9) q 1 0 q 1 a q 1 =0, (30) már egymástól független differenciálegyenleteket kapunk. Átalakítva: q 0 aq =0 (31) q 1 0 aq 1 =0, (3) az új koordinátákban két, független, harmónikus rezgő mozgást leíró egyenletet kaptunk. Ezen normálkoordinátákra kapott független rezgő mozgásoknak viszont nem azonos a körfrekvenciája. Levonhatjuk tehát azt a következtetést, hogy két azonos, csatolt oszcillátor matematikailag azonos két független, de különböz ő oszcillátorral. A következtetést általánosítani lehet - ez bizonyítható, azonban itt nem bizonyítjuk -: N darab azonos, csatolt oszcillátorból álló rendszer dinamikájuk szempontjából ekvivalens N darab független, de nem feltétlenül azonos körfrekvenciájú oszcillátorral. Azon koordinátákat amivel ez megvalósítható normálkoordinátáknak nevezzük. A normálkoordinátákban kapott egymástól független rezgéseket normál módusoknak nevezzük. A kérdés ami marad,az hogy mik ezek a normál módusoknak megfelel ő körfrekvenciák. Normál módusok. Ábra Egymással kölcsönható (kapcsolt) egyforma oszcillátorok. A Debye féle fajhőelmélet rugói. Bizonyítás nélkül kijelentjük, hogy egy kristályrácsban elhelyezked atomok kapcsolt ő rezgéseire a normál módusok a kristályrácsban kialakulható állóhullámok rezgései lesznek. Ha a kristályrácsnak csak az egyik méretét tekintjük, akkor ezen irányban kialakuló állóhullámra igaz kell legyen, hogy:
7 L=n, (33) ahol L a rács adott irányban vett hossza, az állóhullám hullámhossza ebben az irányban, n pedig egy tetszőleges természetes szám. A fenti összefüggésbő l, illetve a terjedési sebesség, hullámhossz és frekvencia közti kapcsolatból ( c= ) azonnal következik a módusok körfrekvenciái: n =n c L, (34) ahol c a hullám terjedési sebessége a kristályban. A Debye-féle fajhőelmélet Az Einstein-féle fajhő elmélet tárgyalásánál kimutattuk, hogy azonos kvantummechanikai oszcillátorokból álló rendszer bels ő energiája: U=3N ħ [ 1 exp ħ 1 exp ħ ] (35) Mivel ez 3N darab azonos és független oszcillátor átlagos energiájára vonatkozott, egyetlen oszcillátor átlagos energiája nyilvánvalóan: < E 1 >= U 3N [ =ħ 1 exp ħ 1 exp ħ ], (36) Ugyanezt kiszámíthatjuk persze egyetlen részecske partíciófüggvényéből is. A Debye-féle fajhő elmélet keretében figyelembe vesszük az oszcillátorok közötti kölcsönhatást. Amint azt említettük, 3N darab azonos, kölcsönható oszcillátorból álló rendszer ekvivalens 3N független, de különböz ő, 1,,..., 3N körfrekvenciájú oszcillátorral. Egy ilyen oszcillátor átlagos energiája a fentiek értelmében: < E i >=ħ i[ 1 exp ħ ] i 1 exp ħ. (37) i Az egész rendszer bels ő energiája ezek alapján megadható mint: 3N U=< E >= i=1 3N <E i >= i=1 ħ i[ 1 exp ħ i (38) 1 exp ħ i ] Említettük, hogy az 1,,..., 3N körfrekvenciák a normál módusok körfrekvenciái, vagyis a rácsban létrejöv ő állóhullámokhoz tartozó körfrekvenciák. Hozzátesszük, hogy ez a 3N legkisebb frekvenciaérték lesz. Mivel egy kristályrácsban nagyon sok rácspont van, a megengedett körfrekvenciák halmaza közel folytonos lesz. Így a bels ő energiát nem összeggel, hanem integrállal számítjuk ki:
8 < E >= { } f ħ [ 1 exp ħ 1 exp ħ ] d, (39) ahol az N, d f = d (40) állapotsűrűség, azon normál módusok száma, amelyek körfrekvenciája, d között van, egységnyi d intervallumban. Az integrál a 3N darab legkisebb körfrekvenciára vonatkozik. Els ő feladatunk f meghatározása. Mivel háromdimenziós rácsról van szó, célszer ű a hullámszám vektort bevezetni. Így három dimenzióban a síkhullám egyenlete: r,t =exp[i k r t], (41) ahol k a hullámszámvektor. Enek modulusza: k = c (4) Ha egy L x, L y, L z méret ű téglatest alakú kristályunk van, akkor a lehetséges állóhullámok hullámszámvektorainak komponenseire igaz kell legyen, hogy: k x =n x L x ; k y =n y L y ; k z =n z L z ;, (43) ahol n x, n y, n z tetszőleges természetes számok. Ez azt jelenti, hogy a jellemzik a lehetséges állóhullámokat (3. Ábra). k -térben diszkrét pontok 3. Ábra. A k térben a megengedett állapottérbeli pontok. Ha most az érdekelne minket, hogy egy adott k= k hullámszám érték körül egységnyi intervallumban hány állóhullám alakulhat ki akkor keressük az
9 N k, kdk f k= dk (44) állapotsűrűség függvényt. Ennek meghatározásához meg kell vizsgálnunk a k -térben az állóhullámokat jellemz ő pontok elhelyezkedését. Belátható, hogy ezek a pontok egy kockarácson helyezkednek el. Ugyanakkor, mivel a test méretei elég nagyok, úgy tekinthetjük, hogy k közel folytonosan változik. Így egy adott k és k+dk értékek között elhelyezked ő pontok a k sugarú gömbön kívűl, és a k+dk sugarú gömbön belül helyezkednek el. A két gömb közötti térrész térfogata 4k dk. Továbbá, a pontok egyenletesen, állandó sűrűséggel helyezkednek el, ez a sűrűség pedig: = dn dg = 1 = V 3, (45) L x L y L z ahol g= L x L y L z egy olyan elemi kocka térfogata amelyben egyetlen egy k állapot van ( minden,, L x L y L oldalél ű téglatestben átlagosan egy k állapot van. Így a 4k dk z térfogatban (k és k+dk hullámszám között) 4k dk pont fog elhelyezkedni, A keresett állapotsűrűség pedig: f k= N k,kdk dk = 4 k dk = 4 k V (46) dk Ez az eredmény azonban még nem telyes. Mivel állóhullámokról van szó, a k -al, és a k - al jellemzett állóhullám egy és ugyanaz, vagyis minden állóhullámot kétszer számoltunk. Ezért még - vel le kell osztani a kapott eredményt: f k= 1 N k,kdk = k V (47) dk Az eredmény azonban még így sem telyes! Egy adott k -al jellemzett állóhullám lehet longitudinális és tranzverzális, és ha tranzverzális, akkor kétféleképpen lehet polarizált. Ez azt jelenti, hogy minden k három állóhullámot is jellemez. Így felírhatjuk az f(k) végs ő és most már teljes kifejezését: f k= 3 N k,kdk = 6 k V (48) dk Az f(k) ismeretében határozzuk most meg az f állapotsűrű séget. Az állóhullám hullámszáma és körfrekvenciája között egyértelm ű összefüggés van: k= c (49)
10 Egy állóhullám tehát úgy a k-val, mint az -val jellemezhet ő. Amely hullámok körfrekvenciája, d között van, azon hullámok hullámszáma k, k dk között lesz, hiszen ugyanazokról a hullámokról van szó. Ez azt jelenti, hogy: vagy: Innen azonnal következik: N,d =N k, kdk, (50) f d=f k dk, (51) f =f k dk d =1 c f k (5) Behelyettesítve (48)-at megkapjuk a keresett állapotsűrűséget: 6V f = (53) c 3 Az f alakja tehát már ismert, az integrált azonban még nem tudjuk elvégezni, mivel még nem teljesen ismerjük a halmazt, amelyen integrálnunk kell. Említettük, hogy az integrált a 3N darab legkisebb körfrekvenciára kell elvégezni. A lehet ő legkisebb körfrekvencia 0, nyilvánvalóan ez lesz az alsó határ. A kérdés tehát most az, hogy mekkora lesz az a maximális körfrekvencia ( m ), ameddig integrálnunk kell. Tudjuk, hogy 0 és m közötti körfrekvenciával pontosan 3N darab állóhullám kell legyen. Ez azt jelenti, hogy: m f d=3n, (54) 0 ahonnan az (53) behelyetesítésével és az integrál elvégzésével azonnal következik a maximális körfrekvencia 1 m =c 3 3 v, (55) ahol v= V, az egy részecskére es átlagos térfogat. Vizsgáljuk meg egy kicsit fizikailag is az így N ő kapott eredményt. Nyilvánvalóan a maximális körfrekvenciának minimális hullámhossz felel meg, melynek értéke: min = c max = v 3 (56) Ha négyzetrácsunk van, akkor v=a 3, ahol a a rácsállandó. Így a minimális hullámhossz:
11 min.55 a, (57) vagyis a minimális hullámhossz nagyságrendje azonos a rácsállandó nagyságrendjével. Ez egy ésszerű eredmény, mivel az állóhullámokban az atomok rezegnek, tehát nem alakulhat ki kisebb hullámhossz, mint két rácsállandónyi távolság. Az f és m ismeretében most már kiszámíthatjuk a belső energia (39) integrálját: m 6V < E >= 0 c [ ħ 1 exp ħ 3 1 exp ħ ] d (58) Az integrál két összegre bontható: m 6V < E >= 3 0 c ħ 1 m 3 d 6V 3 exp ħ ħ d (59) 0 3 c 1 exp ħ Az els ő tag nem függ a hőmérséklettől, ezért a mólh ő kiszámításakor nem jatszik szerepet (nulla a hőmérséklet szerinti deriváltja). A továbbiakban ezért csak a második taggal dolgozunk.: < E ' >= 6V m c ħ 3 exp ħ exp ħ d (60) Az m (55) kifejezéséből V-t kifejezve: < E ' >= 9N m 3 ħ 3 exp ħ m 0 1 exp ħ d (61) Végezzük el az integrálban a ħ =t változócserét 3 < E ' >=3 N k T 3 m 3 ħ 3 és értelmezzük a Debye-függvényt mint: D x= 3 x x 3 0 t 3 ħ m t 3 0 exp t 1 exp t d t, (6) exp t 1 exp t d t. (63) A (6) integrál felírható a Debye-függvény segítségével mint: < E '>=3 N k T D m ħ=n k T D m ħ kt (64) Értelmezzük most a Debye-féle hőmérsékletet mint:
12 T D = m ħ k. (65) A Debye hőmérséklet és a Debye függvény segítségével a bels ő energiának a hőmérséklettől függő része: < E '>=3 N k T D T D T (66) A Debye-függvény bevezetésére azért volt szükség, mert analitikusan nem tudjuk elvégezni a (6) kifejezésben lev ő integrált. A T D Debye hőmérséklet csak az adott anyagra jellemz ő mennyiség, így megkaptuk a bels ő energia hőmérséklet-függését a Debye függvénnyel kifejezve. Nézzük meg, hogyan viselkedik a D(x) Debye-függvény, ha x 0. Az exponenciális függvényt sorbafejtjük a 0 körül: exp t=1t t... (67) Behelyettesítve ezt a Debye-függvény (63) kifejezésébe és elvégezve a számításokat azt kapjuk, hogy kis x értékekre: D x x (68) Vizsgáljuk most, hogyan viselkedik a D(x) Debye-függvény, ha x. Ekkor az integrál egy ismert határozott integrál lesz, melynek értéke adott. A lényeg azonban számunkre csak az, hogy egy véges szám. Így: D x= 3 x 3 0 t 3 exp t 1 exp t d t= 3 4 x 3 15 =4 5 1 x 3 (69) Mivel x= T D, az x 0 határeset, annak felel meg, hogy a hőmérséklet nagy ( T T D ). T Felhasználjuk most a (68) közelítést ami kis x-re érvényes. Megkapjuk a bels ő energia hőmérséklettő l függ ő részét: < E ' >=3 N k T T D T =3 N kt 9 8 N kt D (70) Innen azonnal következik a mólh ő a nagy hőmérsékletek határesetében: C V = U T V, N = N 0 = < E ' > =3 N T 0 k (71) V, N = N 0 Nyilvánvalóan visszakaptuk a Delong-Petit törvényt. Nagy x értékekre ( T T D ) (kis hőmérsékletekre) is meghatároztuk a Debye-függvényt (69). Ezt az eredményt felhasználva, a belső
13 energia hőmérséklettől függ ő része: A mólh ő értéke pedig < E ' >=3 N k 4 T 4 T D 3. (7) C V = U T V,N = N 0 = < E ' > = 1 T V, N= N 0 5 N 0 k T 3 T T 3 3, D ami tökéletesen tükrözi pedig a Debye-törvényt' Látható tehát, hogy a Debye fajhőelmélet kiküszöböli az Einstein-féle fajhő elmélet lényeges hibáját azáltal, hogy a kölcsönhatást is figyelembe veszi az oszcillátorok között. Így mind a magas, mind az alacsony hőmérsékletek határesetére is helyes eredményt szolgáltat.
Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz
Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,
RészletesebbenAzonos és egymással nem kölcsönható részecskékből álló kvantumos rendszer makrókanónikus sokaságban.
Kvantum statisztika A kvantummechanika előadások során már megtanultuk, hogy az anyagot felépítő részecskék nemklasszikus, hullámtulajdonságokkal is rendelkeznek aminek következtében viselkedésük sok szempontból
RészletesebbenA kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája
A kanonikus sokaság A mikrokanonikus sokaság esetén megtanultuk, hogy a megengedett mikroállapotok egyenértéküek, és a mikróállapotok száma minimális. A mikrókanónikus sokaság azonban nem a leghasznosabb
Részletesebbendinamikai tulajdonságai
Szilárdtest rácsok statikus és dinamikai tulajdonságai Szilárdtestek osztályozása kötéstípusok szerint Kötések eredete: elektronszerkezet k t ionok (atomtörzsek) tö Coulomb- elektronok kölcsönhatás lokalizáltak
RészletesebbenA kvantummechanika kísérleti előzményei A részecske hullám kettősségről
A kvantummechanika kísérleti előzményei A részecske hullám kettősségről Utolsó módosítás: 2016. május 4. 1 Előzmények Franck-Hertz-kísérlet (1) A Franck-Hertz-kísérlet vázlatos elrendezése: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/frhz.html
RészletesebbenA TételWiki wikiből. c n Ψ n. Ψ = n
1 / 9 A TételWiki wikiből 1 Bevezetés, ideális gázok, Fermi- és Bose-eloszlás 1.1 A Bose-Einstein-eloszlás 1.2 A Fermi-Dirac-eloszlás 1.3 Ideális gázok 1.4 A klasszikus határeset 2 Bose-Einstein kondenzáció
RészletesebbenAz egydimenziós harmonikus oszcillátor
Az egydimenziós harmonikus oszcillátor tárgyalása az általános formalizmus keretében November 7, 006 Példaképpen itt megmutatjuk, hogyan lehet a kvantumos egydimenziós harmonikus oszcillátort tárgyalni
RészletesebbenTermodinamika (Hőtan)
Termodinamika (Hőtan) Termodinamika A hőtan nagyszámú részecskéből (pl. gázmolekulából) álló makroszkópikus rendszerekkel foglalkozik. A nagy számok miatt érdemes a mólt bevezetni, ami egy Avogadro-számnyi
RészletesebbenQ 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)
. Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol
Részletesebben2. A hőátadás formái és törvényei 2. A hőátadás formái Tapasztalat: tűz, füst, meleg edény füle, napozás Hőáramlás (konvekció) olyan folyamat,
2. A hőátadás formái és törvényei 2. A hőátadás formái Tapasztalat: tűz, füst, meleg edény füle, napozás. 2.1. Hőáramlás (konvekció) olyan folyamat, amelynek során a hő a hordozóközeg áramlásával kerül
RészletesebbenTermodinamika. Belső energia
Termodinamika Belső energia Egy rendszer belső energiáját az alkotó részecskék mozgási energiájának és a részecskék közötti kölcsönhatásból származó potenciális energiák teljes összegeként határozhatjuk
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
RészletesebbenAz impulzusnyomatékok általános elmélete
Az impulzusnyomatékok általános elmélete November 27, 2006 Az elemi kvantummechanika keretében tárgyaltuk már az impulzusnyomatékot. A továbbiakban általánosítjuk az impulzusnyomaték fogalmát a kvantummechanikában
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 6. Differenciálegyenletekről röviden Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Elsőrendű differenciálegyenletek Definíciók Kezdetiérték-probléma
RészletesebbenCsillapított rezgés. a fékező erő miatt a mozgás energiája (mechanikai energia) disszipálódik. kváziperiódikus mozgás
Csillapított rezgés Csillapított rezgés: A valóságban a rezgések lassan vagy gyorsan, de csillapodnak. A rugalmas erőn kívül, még egy sebességgel arányos fékező erőt figyelembe véve: a fékező erő miatt
RészletesebbenRezgőmozgás. A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele
Rezgőmozgás A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele A rezgés fogalma Minden olyan változás, amely az időben valamilyen ismétlődést mutat rezgésnek nevezünk. A rezgések fajtái:
RészletesebbenBevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (b) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: 2013. november 9. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 4. (b) Kvantummechanika Utolsó módosítás: 2013. november 9. 1 A legkisebb hatás elve (1) A legkisebb hatás elve (Hamilton-elv): S: a hatás L: Lagrange-függvény 2 A
RészletesebbenA spin. November 28, 2006
A spin November 28, 2006 1 A spin a kvantummechanikában Az elektronnak és sok más kvantummechanikai részecskének is van egy saját impulzusnyomatéka amely független a mozgásállapottól. (Úgy is mondhatjuk,
RészletesebbenBevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (a) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: november 15. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 4. (a) Kvantummechanika Utolsó módosítás: 2015. november 15. 1 Előzmények Az atomok színképe (1) A fehér fény komponensekre bontható: http://en.wikipedia.org/wiki/spectrum
RészletesebbenSzilárd testek sugárzása
A fény keletkezése Szilárd testek sugárzása A szilárd test melegítés hatására fényt bocsát ki A sugárzás forrása a közelítőleg termikus egyensúlyban lévő kibocsátó test atomi részecskéinek véletlenszerű
RészletesebbenÉrtékelési útmutató az emelt szint írásbeli feladatsorhoz
Értékelési útmutató az emelt szint írásbeli feladatsorhoz 1. C 1 pont 2. B 1 pont 3. D 1 pont 4. B 1 pont 5. C 1 pont 6. A 1 pont 7. B 1 pont 8. D 1 pont 9. A 1 pont 10. B 1 pont 11. B 1 pont 12. B 1 pont
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
RészletesebbenHatározott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
RészletesebbenMechanika I-II. Példatár
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Műszaki Mechanika Tanszék Mechanika I-II. Példatár 2012. május 24. Előszó A példatár célja, hogy támogassa a mechanika I. és mechanika II. tárgy oktatását
RészletesebbenMolekuláris dinamika I. 10. előadás
Molekuláris dinamika I. 10. előadás Miről is szól a MD? nagy részecskeszámú rendszerek ismerjük a törvényeket mikroszkópikus szinten minden részecske mozgását szimuláljuk? Hogyan tudjuk megérteni a folyadékok,
RészletesebbenGépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika ZH, október 10.. CHFMAX. Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont)
1. 2. 3. Mondat E1 E2 Gépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika ZH, 2017. október 10.. CHFMAX NÉV: Neptun kód: Aláírás: g=10 m/s 2 Előadó: Márkus / Varga Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont) 1) Az l hosszúságú
RészletesebbenElektromágneses hullámok
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 2. (a) Elektromágneses hullámok Utolsó módosítás: 2015. október 3. 1 A Maxwell-egyenletek (1) (2) (3) (4) E: elektromos térerősség D: elektromos eltolás H: mágneses
RészletesebbenFIZIKA I. Ez egy gázos előadás lesz! (Ideális gázok hőtana) Dr. Seres István
Ez egy gázos előadás lesz! ( hőtana) Dr. Seres István Kinetikus gázelmélet gáztörvények Termodinamikai főtételek fft.szie.hu 2 Seres.Istvan@gek.szie.hu Kinetikus gázelmélet Az ideális gáz állapotjelzői:
RészletesebbenHőtan I. főtétele tesztek
Hőtan I. főtétele tesztek. álassza ki a hamis állítást! a) A termodinamika I. főtétele a belső energia változása, a hőmennyiség és a munka között állaít meg összefüggést. b) A termodinamika I. főtétele
RészletesebbenAtomok. szilárd. elsődleges kölcsönhatás. kovalens ionos fémes. gázok, folyadékok, szilárd anyagok. ionos fémek vegyületek ötvözetek
Atomok elsődleges kölcsönhatás kovalens ionos fémes véges számú atom térhálós szerkezet 3D ionos fémek vegyületek ötvözetek molekulák atomrácsos vegyületek szilárd gázok, folyadékok, szilárd anyagok Gázok
RészletesebbenTermodinamikai bevezető
Termodinamikai bevezető Alapfogalmak Termodinamikai rendszer: Az univerzumnak az a részhalmaza, amit egy termodinamikai vizsgálat során vizsgálunk. Termodinamikai környezet: Az univerzumnak a rendszeren
RészletesebbenHajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel
Hajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel Segédlet az A végeselem módszer alapjai tárgy 4. laborgyakorlatához http://www.mm.bme.hu/~kossa/vemalap4.pdf Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu)
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
RészletesebbenThomson-modell (puding-modell)
Atommodellek Thomson-modell (puding-modell) A XX. század elejére világossá vált, hogy az atomban található elektronok ugyanazok, mint a katódsugárzás részecskéi. Magyarázatra várt azonban, hogy mi tartja
RészletesebbenKémiai reakciók mechanizmusa számítógépes szimulációval
Kémiai reakciók mechanizmusa számítógépes szimulációval Stirling András stirling@chemres.hu Elméleti Kémiai Osztály Budapest Stirling A. (MTA Kémiai Kutatóközpont) Reakciómechanizmus szimulációból 2007.
RészletesebbenANALÍZIS II. Példatár
ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3
RészletesebbenHangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata
KLASSZIKUS FIZIKA LABORATÓRIUM 3. MÉRÉS Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata Mérést végezte: Enyingi Vera Atala ENVSAAT.ELTE Mérés időpontja: 2011. november 23. Szerda délelőtti csoport 1. A
Részletesebben1. Az üregsugárzás törvényei
1. Az üregsugárzás törvényei 1.1. A Wien féle eltolódási törvény és a Stefan-Boltzmann törvény Egy zárt, belül üres fémdoboz kis nyílása az úgynevezett abszolút fekete test. A nyílás elektromágneses sugárzást
RészletesebbenJanuary 16, ψ( r, t) ψ( r, t) = 1 (1) ( ψ ( r,
Közelítő módszerek January 16, 27 1 A variációs módszer A variációs módszer szintén egy analitikus közelítő módszer. Olyan esetekben alkalmazzuk mikor ismert az analitikus alak amelyben keressük a sajátfüggvényt,
RészletesebbenZárthelyi dolgozat I. /A.
Zárthelyi dolgozat I. /A. 1. Az FCC rács és reciprokrácsa (és tudjuk, hogy: V W.S. * V B.z. /() 3 = 1 / mindig!/) a 1 = ½ a (0,1,1) ; a = ½ a (1,0,1) ; a 3 = ½ a (1,1,0) b 1 = (/a) (-1,1,1); b = (/a) (1,-1,1);
RészletesebbenAz Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény
Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény Maxwell elméleti meggondolások alapján feltételezte, hogy a változó elektromos tér örvényes mágneses teret kelt (hasonlóan ahhoz ahogy a változó mágneses tér
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus integrálása április 9.
Differenciálegyenletek numerikus integrálása 2018. április 9. Differenciálegyenletek Olyan egyenletek, ahol a megoldást függvény alakjában keressük az egyenletben a függvény és deriváltjai szerepelnek
RészletesebbenA mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája
A mechanika alapjai A pontszerű testek dinamikája Horváth András SZE, Fizika Tsz. v 0.6 1 / 26 alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. alapi 2 / 26 Bevezetés alapi Bevezetés Newton
RészletesebbenHatározatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos
RészletesebbenOsztályozó vizsga anyagok. Fizika
Osztályozó vizsga anyagok Fizika 9. osztály Kinematika Mozgás és kölcsönhatás Az egyenes vonalú egyenletes mozgás leírása A sebesség fogalma, egységei A sebesség iránya Vektormennyiség fogalma Az egyenes
RészletesebbenSzilárdtestek sávelmélete. Sávelmélet a szabadelektron-modell alapján
Szilárdtestek sávelmélete Sávelmélet a szabadelektron-modell alapján A Fermi Dirac statisztika alapjai Nagy részecskeszámú rendszerek fizikai jellemzéséhez statisztikai leírást kell alkalmazni. (Pl. gázokra
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
Részletesebben(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ
RészletesebbenBevezetés a modern fizika fejezeteibe. 1. (b) Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 1. (b) Rugalmas hullámok Utolsó módosítás: 2012. szeptember 28. 1 Síkhullámok végtelen kiterjedésű, szilárd izotróp közegekben (1) longitudinális hullám transzverzális
RészletesebbenAtomfizika. A hidrogén lámpa színképei. Elektronok H atom. Fényképlemez. emisszió H 2. gáz
Atomfizika A hidrogén lámpa színképei - Elektronok H atom emisszió Fényképlemez V + H 2 gáz Az atom és kvantumfizika fejlődésének fontos szakasza volt a hidrogén lámpa színképeinek leírása, és a vonalas
RészletesebbenÖSSZEFOGLALÁS HŐTANI FOLYAMATOK
ÖSSZEFOGLALÁS HŐTANI FOLYAMATOK HŐTÁGULÁS lineáris (hosszanti) hőtágulási együttható felületi hőtágulási együttható megmutatja, hogy mennyivel változik meg a test hossza az eredeti hosszához képest, ha
Részletesebben,...,q 3N és 3N impulzuskoordinátával: p 1,
Louvlle tétele Egy tetszőleges klasszkus mechanka rendszer állapotát mnden t dőpllanatban megadja a kanónkus koordnáták összessége. Legyen a rendszerünk N anyag pontot tartalmazó. Ilyen esetben a rendszer
RészletesebbenMechanikai rezgések Ismétlő kérdések és feladatok Kérdések
Mechanikai rezgések Ismétlő kérdések és feladatok Kérdések 1. Melyek a rezgőmozgást jellemző fizikai mennyiségek?. Egy rezgés során mely helyzetekben maximális a sebesség, és mikor a gyorsulás? 3. Milyen
RészletesebbenVégeselem modellezés alapjai 1. óra
Végeselem modellezés alapjai. óra Gyenge alak, Tesztfüggvény, Lagrange-féle alakfüggvény, Stiness mátrix Kivonat Az óra célja, hogy megismertesse a végeselem módszer (FEM) alkalmazását egy egyszer probléma,
RészletesebbenBevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
RészletesebbenFizika feladatok. 1. Feladatok a termodinamika tárgyköréből november 28. Hővezetés, hőterjedés sugárzással. Ideális gázok állapotegyenlete
Fizika feladatok 2014. november 28. 1. Feladatok a termodinamika tárgyköréből Hővezetés, hőterjedés sugárzással 1.1. Feladat: (HN 19A-23) Határozzuk meg egy 20 cm hosszú, 4 cm átmérőjű hengeres vörösréz
Részletesebben2. REZGÉSEK Harmonikus rezgések: 2.2. Csillapított rezgések
. REZGÉSEK.1. Harmonikus rezgések: Harmonikus erő: F = D x D m ẍ= D x (ezt a mechanikai rendszert lineáris harmonikus oszcillátornak nevezik) (Oszcillátor körfrekvenciája) ẍ x= Másodrendű konstansegyütthatós
RészletesebbenIntegrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
RészletesebbenKinetika. Általános Kémia, kinetika Dia: 1 /53
Kinetika 15-1 A reakciók sebessége 15-2 Reakciósebesség mérése 15-3 A koncentráció hatása: a sebességtörvény 15-4 Nulladrendű reakció 15-5 Elsőrendű reakció 15-6 Másodrendű reakció 15-7 A reakció kinetika
RészletesebbenRezgőmozgás, lengőmozgás
Rezgőmozgás, lengőmozgás A rezgőmozgás időben ismétlődő, periodikus mozgás. A rezgő test áthalad azon a helyen, ahol egyensúlyban volt a kitérítés előtt, és két szélső helyzet között periodikus mozgást
RészletesebbenReakciókinetika. Általános Kémia, kinetika Dia: 1 /53
Reakciókinetika 9-1 A reakciók sebessége 9-2 A reakciósebesség mérése 9-3 A koncentráció hatása: a sebességtörvény 9-4 Nulladrendű reakció 9-5 Elsőrendű reakció 9-6 Másodrendű reakció 9-7 A reakciókinetika
RészletesebbenPélda: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása a Rayleigh Ritz-féle módszer segítségével
Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása a Rayleigh Ritz-féle módszer segítségével Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 2013. szeptember 23. Javítva: 2013.10.09.
RészletesebbenMolekuláris dinamika. 10. előadás
Molekuláris dinamika 10. előadás Mirőlis szól a MD? nagy részecskeszámú rendszerek ismerjük a törvényeket mikroszkópikus szinten? Hogyan tudjuk megérteni a folyadékok, gázok, szilárdtestek makroszkópikus
RészletesebbenA kémiai kötés eredete; viriál tétel 1
A kémiai kötés ereete; viriál tétel 1 Probléma felvetés Ha egy molekula atommagjai közötti távolság csökken, akkor a közöttük fellép elektrosztatikus taszításhoz tartozó energia n. Ugyanez igaz az elektronokra
RészletesebbenÖsszetett rezgések. II. rész. 6. ábra. 7. ábra. összefüggés alapján számítjuk (i = 1, 2). Így a testek mozgásegyenletei: l x 1 + D(x 2 x 1 ),
Összetett rezgések II. rész A cikk els részében (amely a KöMaL múlt havi számában jelent meg) konkrét példákon keresztül (az egyszer bbekt l a nehezebbek felé haladva) azt vizsgáltuk, hogyan írható le
RészletesebbenSzélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
RészletesebbenJelek és rendszerek MEMO_03. Pletl. Belépő jelek. Jelek deriváltja MEMO_03
Jelek és rendszerek MEMO_03 Belépő jelek Jelek deriváltja MEMO_03 1 Jelek és rendszerek MEMO_03 8.ábra. MEMO_03 2 Jelek és rendszerek MEMO_03 9.ábra. MEMO_03 3 Ha a jelet méréssel kapjuk, akkor a jel következő
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
RészletesebbenRezgés, Hullámok. Rezgés, oszcilláció. Harmonikus rezgő mozgás jellemzői
Rezgés, oszcilláció Rezgés, Hullámok Fogorvos képzés 2016/17 Szatmári Dávid (david.szatmari@aok.pte.hu) 2016.09.26. Bármilyen azonos időközönként ismétlődő mozgást, periodikus mozgásnak nevezünk. A rezgési
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
RészletesebbenPÉLDÁK ERŐTÖRVÉNYEKRE
PÉLÁ ERŐTÖRVÉNYERE Szabad erők: erőtörvénnyel megadhatók, általában nem függenek a test mozgásállapotától (sebességtől, gyorsulástól) Példák: nehézségi erő, súrlódási erők, rugalmas erők, felhajtóerők,
RészletesebbenM/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24
OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.
Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y
Részletesebben8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.
8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az
RészletesebbenAtomok és molekulák elektronszerkezete
Atomok és molekulák elektronszerkezete Szabad atomok és molekulák Schrödinger egyenlete Tekintsünk egy kvantummechanikai rendszert amely N n magból és N e elektronból áll. Koordinátáikat jelölje rendre
RészletesebbenDiffúzió 2003 március 28
Diffúzió 3 március 8 Diffúzió: különféle anyagi részecskék (szilárd, folyékony, gáznemű) anyagon belüli helyváltozása. Szilárd anyagban való mozgás Öndiffúzió: a rácsot felépítő saját atomok energiaszint-különbség
RészletesebbenAtomok. szilárd. elsődleges kölcsönhatás. kovalens ionos fémes. gázok, folyadékok, szilárd anyagok. ionos fémek vegyületek ötvözetek
Atomok elsődleges kölcsönhatás kovalens ionos fémes véges számú atom térhálós szerkezet 3D ionos fémek vegyületek ötvözetek molekulák atomrácsos vegyületek szilárd gázok, folyadékok, szilárd anyagok Gázok
RészletesebbenModern Fizika Labor. 2. Elemi töltés meghatározása
Modern Fizika Labor Fizika BSC A mérés dátuma: 2011.09.27. A mérés száma és címe: 2. Elemi töltés meghatározása Értékelés: A beadás dátuma: 2011.10.11. A mérést végezte: Kalas György Benjámin Németh Gergely
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
Részletesebben11. Egy Y alakú gumikötél egyik ága 20 cm, másik ága 50 cm. A két ág végeit azonos, f = 4 Hz
Hullámok tesztek 1. Melyik állítás nem igaz a mechanikai hullámok körében? a) Transzverzális hullám esetén a részecskék rezgésének iránya merőleges a hullámterjedés irányára. b) Csak a transzverzális hullám
RészletesebbenDiszkrét idej rendszerek analízise szinuszos/periodikus állandósult állapotban
Diszkrét idej rendszerek analízise szinuszos/eriodikus állandósult állaotban Dr. Horváth Péter, BME HVT 6. november 4.. feladat Adjuk meg az alábbi jelfolyamhálózattal rerezentált rendszer átviteli karakterisztikáját
Részletesebben-2σ. 1. A végtelen kiterjedésű +σ és 2σ felületi töltéssűrűségű síklapok terében az ábrának megfelelően egy dipól helyezkedik el.
1. 2. 3. Mondat E1 E2 Össz Energetikai mérnöki alapszak Mérnöki fizika 2. ZH NÉV:.. 2018. május 15. Neptun kód:... g=10 m/s 2 ; ε 0 = 8.85 10 12 F/m; μ 0 = 4π 10 7 Vs/Am; c = 3 10 8 m/s Előadó: Márkus
RészletesebbenÉrtékelési útmutató az emelt szint írásbeli feladatsorhoz I.
Értékelési útmutató az emelt szint írásbeli feladatsorhoz I. 1. C. B 3. B 4. C 5. B 6. A 7. D 8. D 9. A 10. C 11. C 1. A 13. C 14. B 15. B 16. B 17. D 18. B 19. C 0. B I. RÉSZ Összesen 0 pont 1 1. téma
RészletesebbenEgészrészes feladatok
Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenNémeth László Matematikaverseny április 16. A osztályosok feladatainak javítókulcsa
Németh László Matematikaverseny 007. április 16. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak 9. osztályosoknak 1. feladat a) Vegyük észre, hogy 7 + 5 felírható 1 + 3 + 6 + alakban, így
Részletesebben1. Feladatok a termodinamika tárgyköréből
. Feladatok a termodinamika tárgyköréből Hővezetés, hőterjedés sugárzással.. Feladat: (HN 9A-5) Egy épület téglafalának mérete: 4 m 0 m és, a fal 5 cm vastag. A hővezetési együtthatója λ = 0,8 W/m K. Mennyi
RészletesebbenFermi Dirac statisztika elemei
Fermi Dirac statisztika elemei A Fermi Dirac statisztika alapjai Nagy részecskeszámú rendszerek fizikai jellemzéséhez statisztikai leírást kell alkalmazni. (Pl. gázokra érvényes klasszikus statisztika
RészletesebbenReakciókinetika és katalízis
Reakciókinetika és katalízis k 4. előadás: 1/14 Különbségek a gázfázisú és az oldatreakciók között: 1 Reaktáns molekulák által betöltött térfogat az oldatreakciónál jóval nagyobb. Nincs akadálytalan mozgás.
RészletesebbenSzilárdtestek el e ek e tr t o r n o s n zer e k r ez e et e e t
Szilárdtestek elektronszerkezete Kvantummechanikai leírás Ismétlés: Schrödinger egyenlet, hullámfüggvény, hidrogén-atom, spin, Pauli-elv, periódusos rendszer 2 Szilárdtestek egyelektron-modellje a magok
RészletesebbenReológia Mérési technikák
Reológia Mérési technikák Reológia Testek (és folyadékok) külső erőhatásra bekövetkező deformációját, mozgását írja le. A deformációt irreverzibilisnek nevezzük, ha a az erőhatás megszűnése után a test
RészletesebbenOktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont
Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú
RészletesebbenAtommodellek de Broglie hullámhossz Davisson-Germer-kísérlet
Atommodellek de Broglie hullámhossz Davisson-Germer-kísérlet Utolsó módosítás: 2016. május 4. 1 Előzmények Az atomok színképe (1) A fehér fény komponensekre bontható: http://en.wikipedia.org/wiki/spectrum
RészletesebbenMonte Carlo módszerek a statisztikus fizikában. Az Ising modell. 8. előadás
Monte Carlo módszerek a statisztikus fizikában. Az Ising modell. 8. előadás Démon algoritmus az ideális gázra időátlag fizikai mennyiségek átlagértéke sokaságátlag E, V, N pl. molekuláris dinamika Monte
RészletesebbenAz elméleti mechanika alapjai
Az elméleti mechanika alapjai Tömegpont, a továbbiakban részecske. A jelenségeket a háromdimenziós térben és időben játszódnak le: r helyzetvektor v dr dt ṙ, a dr dt r a részecske sebessége illetve gyorsulása.
RészletesebbenFIZIKA I. Ez egy gázos előadás lesz! (Ideális gázok hőtana) Dr. Seres István
Ez egy gázos előadás lesz! ( hőtana) Dr. Seres István Kinetikus gázelmélet gáztörvények Termodinamikai főtételek fft.szie.hu 2 Seres.Istvan@gek.szie.hu Kinetikus gázelmélet Az ideális gáz állapotjelzői:
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenL'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.
L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.
RészletesebbenFüggvények határértéke, folytonossága
Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el
Részletesebben