2. REZGÉSEK Harmonikus rezgések: 2.2. Csillapított rezgések

Átírás

1 . REZGÉSEK.1. Harmonikus rezgések: Harmonikus erő: F = D x D m ẍ= D x (ezt a mechanikai rendszert lineáris harmonikus oszcillátornak nevezik) (Oszcillátor körfrekvenciája) ẍ x= Másodrendű konstansegyütthatós homogén lineáris közönséges differenciálegyenlet. Az általános megoldás: x=a cos t. Az a és konstansokat a kezdeti feltételek határozzák meg: t=: x= x ; ẋ=v Módszer az általános megoldás keresésére: keressük a megoldást x=e t alakban! { x=e t ẋ= e e t = 1 =i =, ẍ= = i e e i t ;e i t (független, alap-megoldások) x=c 1 e i t c e i t tetszőleges komplex együtthatók. x legyen valós! c * 1 =c, ahol c 1 és c Írjuk fel c 1 -et c 1 = a ei alakban. x= a ei t e i t =a cos t Emlékeztető: e i =cos i sin e i =cos i sin e i e i = cos cos= ei e i e i e i = sin sin = ei e i i A lineáris harmonikus oszcillátor energiája állandó, a fázisportrét az energia nívógörbéi rajzolják ki: E= 1 m ẋ 1 m x = 1 m a A fázisgörbék ellipszisek: x a ẋ a =1 Ez a lineáris harmonikus oszcillátor fázisportréja. Egy fázisgörbe (ellipszis) által határolt terület az energiával E= 1 D a arányos: a b= a = E m.. Csillapított rezgések 1

2 D x ẋ D ; (Stokes-i súrlódás (nincs négyzetes tag)) súrlódási erő m ẍ= D x ẋ ẍ= m D x ẋ ẍ ẋ m x= D m ; m A megoldás megkeresésének módszere: keressük a megoldást { x=e t t} ẋ= e Karakterisztikus egyenlet: e t = ẍ= e 1, = ± 4 = ±. 1. eset (valódi csillapított rezgések): : x=a e t cos t, ahol a és a kezdőfeltételek által meghatározott konstansok. a súrlódás elhangolja a frekvenciát. e 1 t t i t =e e t t i t x=c =e 1 e 1 t c e t ez valós, ha c * 1 =c. Legyen c 1 a ei x= a e t i t i a e t i t i = a e t e i t e i t =a e t cos t. eset (túlcsillapított (súrlódásos) rezgés): 1, = ± x=a 1 e 1 t a e t az általános megoldás. 3. eset (aperiodikus határeset): = Ha a karakterisztikus egyenlet gyökei egybeesnek: 1 = = e t, t e t x=a 1 a t e t Próbáljuk felvázolni a fázisgörbéket! Minden esetben az origóban fog végződni a mozgás.

3 .3. Kényszerrezgések D x ẋ F cos t, ahol a gerjesztési frekvencia és a (szinuszos) gerjesztő erő amplitúdója. D m x m ẋ F m f cos t F ẍ ẋ x= f cos t inhomogén differenciálegyenlet. A homogén egyenlet általános megoldása: x h =a e t cos t. Az inhomogén egyenlet általános megoldása egyenlő a homogén differenciálegyenlet általános megoldásának és az inhomogén differenciálegyenlet egy tetszőleges (partikuláris) megoldásának összegével: x h x p. Az inhomogén egyenlet partikuláris megoldásának előállítása a komplexesítés módszerével: ẍ ẋ x= f cos t ÿ ẏ y= f sin t z ż z= f e i t / i xi y=z ẋi ẏ=ż ẍi ÿ= z Keressük a megoldást z=b e i t alakban! z=b e i t ż=i B e i t z=i B e i t = B e i t z=b e i t = B e i e i t 1 B= B e i argb, B = B B * B * a komplex konjugált [ i ] B e i t = f e i t f B= i = f i 1 b= B = B B * = f tg = I z R z, tg =, =arctg, z= B ei t Egy partikuláris megoldás tehát: x=r z=b cos t A kényszerrezgés általános megoldása: x=a e t cos tb cos t Az általános megoldás mutatja a tranziens jelenségek létét, és hogy beáll egy állandósult rezgésre, amely késik a gerjesztéstől. Az állandósult rezgés frekvenciája megegyezik a gerjesztés frekvenciájával, amplitúdója b és fáziskésése függ a sajátfrekvencián kívül a gerjesztés frekvenciájától és a súrlódástól is: 3

4 f b= ; =arctg ; (ún. rezonanciagörbék) r = ún. rezonancia frekvencia esetén az amplitúdó maximális. A rezonanciagörbék tanulmányozását segítik a és a honlapok. A súrlódás nélküli rezonancia (ún. rezonancia katasztrófa) esetét külön kell tárgyalni. Ekkor ẍ x= f cos t és =. Egy partikuláris megoldás: x= f t sin t (Az amplitúdó lineárisan nő, katasztrófa.) 4

5 .4. Matematikai inga Egy l hosszúságú merev rúdon m tömegű tömegpont homogén nehézségi erőtér hatása alatt függőleges síkban vízszintes tengely körül forog. : a rúd függőlegessel bezárt szöge s=l ; ṡ=l ; s=l m s= m g sin Mozgásegyenlet: = g l sin kis kitérésekre = g l = sin Kis kitérésre: =, lengésidő: T = = l g Általános esetben: az energiamegmaradás tételét használjuk h=l l cos=l 1 cos v=l E= 1 m v m g h= 1 m l m g l 1 cos 1. Lengések: EE = m g l szélső helyzet ( = : fordulópont, maximális kitérés): E=m g l 1 cos 1 m l =m g l [1 cos 1 cos ] =4 g l [ sin sin sin ] sin sin =± sin szétválasztható változójú differenciálegyenlet d ' sin ' sin =± dt ' = t t elsőfajú elliptikus integrál: táblázatból Lengésidő: d sin sin = T 4 5

6 T 4 helyettesítés = k cosd 1 k sin k 1 sin = d 1 k sin Helyettesítés: sin k k sin =sin = = = sin=1 = k cosd =cos d d = k cosd 1 sin = k cos d 1 k sin Elsőfajú teljes elliptikus integrál: def. K z= d 1 z sin T =T K sin =T 1 a komplex számsíkon van definiálva Fejtsük sorba: 1 z sin 1 =1sin z Binomiális tétel: 1x = i = i xi sin4 3 z4 8 Tagonként integráljuk K z-t: sin n d = n! n 1 n 3 1 n=1,, K z= d 1 z sin = z z z=sin 3 1 3! 6

7 Táblázat: , 3 1 6, ,39 1, Forgások: EE 3. Szeparátrix: (határvonal, amely elválasztja a lengéseket a forgásoktól) E=E A matematikai inga fázisportréja: 1. Kis lengések: E= 1 m l m g l [ ] 1 1 1= E m l E m g l egy ellipszis egyenlete A szeparátrix egyenlete: E=E = m g l= 1 m l m g l 1 cos = 1 m l m g l [ 1cos ] =4 1cos cos =± cos Mozgás a szeparátrixon: = cos d dt = cos d cos x=tg t 1 t = dt= t t 1 7

8 x =tg x =tg x x dx 1x = t =ln x 1x x 1 x =ln 4 4 t = T ln A labilis egyensúlyi helyzet eléréséhez a szeparátrixon végtelen hosszú idő szükséges. 8

9 .5. Csatolt rezgések (1) mozgásegyenlete: m ẍ 1 = D x 1 k x 1 x () mozgásegyenlete: m ẍ = D x k x 1 x hatás-ellenhatás D m = ; k m = ẍ 1 = D m x 1 k m x 1 x ẍ = D m x k m x 1 x Keressük a megoldást... alakban, és helyettesítsük be a mozgásegyenletekbe: x 1 =u 1 cos t ẋ 1 = u 1 sin t ẍ 1 = u 1 cos t x =u cos t ẋ = u sin t ẍ = u cos t u 1 = u 1 u 1 u u = u u 1 u Homogén lineáris egyenletrendszer nemtriviális megoldását keressük: u 1 u = u 1 u = Akkor és csak akkor van nemtriviális megoldás, ha a determináns eltűnik: = = =± 1, = 1 = = A csatolás felhasítja a degenerációt (elfajulást) 1 = = 9

10 Degeneráció: két azonos frekvenciájú rezgés egybeesnek a frekvenciák (1) 1 = u 1 u = u 1 u = u 1 =u A A tömegek azonos amplitúdóval, azonos fázisban rezegnek. () = u 1 u = u 1 = u B A tömegek azonos amplitúdóval, de ellentétes fázisban rezegnek. Általános megoldás: x 1 = A cos t 1 B cos t x = A cos t 1 B cos t Két ún. normálrezgés van, amelyeket a kezdőfeltételek alkalmas megválasztásával állíthatunk elő: a) t=: x 1 = x =a ; ẋ 1 = ẋ = x 1 =a cos t x =a cos t b) t= : x 1 =a ; x = a ; ẋ 1 = ẋ = x 1 =a cos t x = a cos t 1

11 .6. Feladatok.6.1. Határozzuk meg az m tömegű k rugóállandójú lineáris oszcillátor mozgását, ha t=-nál a kitérés x= és a sebesség ẋ= és az oszcillátorra ható gerjesztő erő a) F t=f =állandó b) F t=a t c) F t=f e t d) F t=f cos t.6.. Határozzuk meg az a) U x=v cos x F x b) U x=v x sin x potenciáltérben mozgó tömegpont kis rezgéseit harmonikus közelítésben!.6.3. Két azonos magasságban levő pontot függőleges síkú drótpályával kötünk össze, melyen egy gyöngy súrlódás nélkül mozoghat. A két pont távolsága méter. Mennyi idő alatt csúszik át a gyöngy az egyik pontból a másikba, ha a drótpálya alakja a) félkör b) ciklois? Útmutató: írjuk fel az energiatételt!.6.4. Az O 1 és O centrumok a közöttük lévő m tömegű anyagi pontot a távolsággal arányos erővel vonzzák. Az arányossági tényező D. Határozzuk meg az O 1 O irányú egyenes vonalú rezgések rezgésidejét! 11