Egyszabadságfokú grejesztett csillapított lengõrendszer vizsgálata

Átírás

1 Egyszabadságfokú grejesztett csillapított lengõrendszer vizsgálata Referencia egyenlet x D Α x Α x x 0 Α sin Ω t req t,t x t D Α t x t Α x t x 0 Α Sin Ω t Α x t D Α x t x t Α Sin t Ω x 0 Homogén rész megoldása x h t x t. DSolve req. Ω 0, x t, t Flatten t D Α D E Α t D Α D C E Α C D esetén Β D Α, Γ Α D ): C e Β Γ t C e Β Γ t D esetén komplex együtthatókkal, komplex alakban: e Β t C C cos Γ t i C C sin Γ t Valós megoldásokhoz C Konj C szükséges. A burkológörbe egyenlete az utóbbi esetben: C C C C e Β t C C e Β t T Π Α ; sub Α 0, D 0. ; KF C I, C I ; Plot Evaluate x h t, C C Exp D Α t. sub. KF, t, 0, T. sub

2 gerjcsill.nb Az inhomogén mozgásegyenlet partikuláris megoldása Próbafüggvény: x p t x 0 N sin Ω t φ x 0 N cos φ sin Ω t sin φ cos Ω t xp x t x 0 N cosφ Sin Ω t sinφ Cos Ω t ; xp Append xp, x t t x t. xp ; xp Append xp, x t t,t x t. xp x t N sinφ Cos t Ω cosφ Sin t Ω x 0, x t N cosφ Ω Cos t Ω sinφ Ω Sin t Ω x 0, x t N sinφ Ω Cos t Ω cosφ Ω Sin t Ω x 0 A referencia egyenlet nullára rendezett alakjába helyettesítve a baloldal: Collect Part req, Part req,. xp, Cos Ω t, Sin Ω t Sin t Ω Α x 0 cosφ N Α x 0 D N sinφ Α Ω x 0 cosφ N Ω x 0 Cos t Ω N sinφ Α x 0 cosφ D N Α Ω x 0 N sinφ Ω x 0 és ebben a sin Ω t és cos Ω t együtthatói az x 0 Α tel való leosztás és Ω ΛΑ helyettesítés után: eq Coefficient % x 0 Α, Sin Ω t. Ω Λ Α eq Coefficient %% x 0 Α, Cos Ω t. Ω Λ Α cosφ N D N sinφ Λ cosφ N Λ N sinφ cosφ D N Λ N sinφ Λ Megoldás cos φ re és sin φ re: sol Solve eq 0, eq 0, cosφ, sinφ Flatten N N Λ cosφ N N Λ 4 D N Λ N Λ4, sinφ D N Λ N N Λ 4 D N Λ N Λ 4

3 gerjcsill.nb Nagyítás, fázisszög, rezonanciagörbék A nagyítás N max x p x 0 x 0 N cos φ sin φ x 0 Nx N cosφ sinφ. sol Simplify Plot Evaluate Table Nx, D, 0., 0.9, 0., Λ, 0, 4 D Λ Λ A nagyításgörbék maximum helyei és maximum értékei, valamint az N helye: Solve Λ Nx 0, Λ Flatten Nx. % Simplify, Solve Nx, Λ Λ 0, Λ D, Λ D Solve::ifun : Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found. D D 4, Λ 0, Λ D, Λ D azaz Λ D, N D D, N Λ 0 N Λ Λ

4 4 gerjcsill.nb Nmax %. Flatten Solve Λ. %% Λ, D Simplify Λ 4 Plot Evaluate Append Table Nx, D, 0., 0.9, 0., Nmax, Λ, 0, A fázisszög A fázisszög koszinuszával és szinuszával arányos kifejezések: Nx cosφ, Nx sinφ. Append sol, N Nx Simplify Λ, D Λ azaz mivel Λ 0 miatt sin φ 0, ezért 0 φ Π. A fázisszög tehát: tan φ D Λ Λ φ ArcTan cosφ, sinφ. Append sol, N Nx Simplify; Plot Evaluate Table φ, D, 0., 0.9, 0., Λ, 0,

5 gerjcsill.nb 5 A Λ, N Λ, D, φ Λ, D } paraméteres görbesereg által alkotott felület: ParametricPlotD Λ, Nx, φ, Λ, 0,, D, 0., 0.9, ViewPoint.8,, GraphicsD Nyquist diagramok: N, φ mint polárkoordináták ParametricPlot Evaluate Table Nx Cos φ, Nx Sin φ, D,.,.9,., Λ, 0,

6 6 gerjcsill.nb A gerjesztõ erõ átviteli függvénye A reakció erõ: F r t k x t s x t m Α D x t x t Α Fr Collect m Α D x t x t. xp Expand, Cos Ω t, Sin Ω t Α Cos t Ω m N sinφ Α x 0 cosφ D m N Α Ω x 0 Sin t Ω cosφ m N Α x 0 D m N sinφ Α Ω x 0 azaz F r t c sin Ω t c cos Ω t c c sin Ω t Ψ. Igy az amplitudója: c Coefficient Fr, Sin Ω t, Coefficient Fr, Cos Ω t. sol. N Nx Simplify Frmax c c Simplify m Α Α Α Λ 4 D Λ Ω x 0 4 D Λ Λ 4, D m Α Α Λ Λ Ω x 0 4 D Λ Λ 4 m Α Α 4 D Ω x 0 4 D Λ Λ 4 A reakció erõ amplitudóját a gerjesztõ erõ F 0 m Α x 0 amplitudójához viszonyítva kapjuk az N F rezonancia görbét, mellyel F r t F 0 N F sin Ω t Ψ : Frmax Nf. Ω Λ Α Simplify m Α x 0 Plot Evaluate Table Nf, D, 0., 0.9, 0., Λ, 0, 4 D Λ 4 D Λ Λ

7 gerjcsill.nb 7 a Ψ fázisszög tangense pedig: c. Ω Λ Α Simplify c D Λ 4 D Λ azaz: tan Ψ D Λ Λ 4 D Λ Ψ ArcTan cosφ, sinφ. Append sol, N Nx Simplify; Plot Evaluate Table φ, D, 0., 0.9, 0., Λ, 0,