1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!

Átírás

1 . Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x = d) f(x) = x+, x = e) f(x) = x x+, x = f) x x + sin(x ), x =.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját egy általános pontban! a) x b) x c) x n d) x e) sin(x) f) e x Segítség:. Bizonyítás nélkül használhatjuk az alábbi két összefüggést: sin(x) lim x x = lim x e x x.. Feladat A deriválási szabályok segtségével határozzuk meg a következő függvények deriváltját! a) e x+ b) sin(x + x + ) =

2 c) (x + ) + x d) cos( x + 5) e) ln(x + ) f) tg(x) g) x x h) (x + ) sin(5x+).. Feladat Határozzuk meg a következő Taylor polinomokat! a) f(x) = sin(x) x = T (x) =? b) f(x) = ln( + x) x = T (x) =? c) f(x) = tg(x) x = π T (x) =? d) f(x) = +x x = T (x) =?.5. Feladat Az inverz függvény deriválási szabályai alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltjait! a) f(x) = arcsin(x) b) f(x) = ln(x) c) f(x) = tg(x) d) f(x) = arch(x).6. Feladat Adott két rögzített, egymástól l távolságra kévő Q > töltés. A töltések között szabadon mozoghat egy m tömegű, q > töltésű test. a) Hol van a test egyensúlyban? b) Stabil-e az egyensúl? c) Kis kitérés esetén milyen körfrekvenciával rezeg a kis test az egyensúlyi helyzete körül?.7. Feladat Függőleges kémcsőben egy x magas levegőoszlopot l magasságú higyanyoszloppal zárunk el. A külső nyomás és a súrlódás az edény falával elhanyagolhatóan kicsi, a higany sűrűsége, ρ Hg ismert. a) Hogyan változik a higanydugóra ható erő, ha azt egyensúlyi helyzetéből kitérítjük? b) Milyen körfrekvenciával végz kis rezgéseket a csepp az egyensúlyi helye körül, ha kitérítjük? A feladatot oldjuk meg izotermikus és adiabatikus közelítéssel is!

3 .. Megoldások. Megoldás a) b) c) 9 d) 8 e) 9 f). Megoldás a) b) x c) nx n d) x e) cos(x) f) e x. Megoldás a) e x+ b) cos(x + x + )(x + ) c) x + x + x + +x 6x d) sin( x + 5) x x +5 e) x x + f) cos (x) g) x x (ln x + ) h) (x + ) ( ) sin(5x+) 5 cos(5x + ) ln(x + ) + sin(5x + ) x x +

4 . Megoldás a) T (x) = x x b) T (x) = x x + x c) T (x) = + ( x π ) + ( x π d) T (x) = x + x 5x Megoldás a) x ) b) x c) cos (x) d) x.6 Megoldás a) A két töltés közt félúton, l távolságra mindkettőtől. b) Stabil, mert bármelyik töltésthez is van közelebb, az eredő erő az egyensúlyi hely irányába mutat. VAGY F e <, bárhol is legyen a kis test a két Q töltés között. c) ω = kqq ml.7 Megoldás Izoterm: a) F (x) = ρ HgglAx x mg b) Az egynsúlyi pont körüli Taylor sorfejtés után F (x) ρ HgglA x (x x ). Innen ω = g x Adiabatikus: a) F (x) = ρ HgglAx γ x γ mg b) Az egynsúlyi pont körüli Taylor sorfejtés után F (x) γρ HgglA x (x x ). Innen ω = γg x

5 . Egyváltozós függgvények integrálása.. Feladatok.. Feladat Adjuk meg a következő határozatlan integrálok eredményét! a) sin(x + )dx b) (x + ) dx c) x + dx d) x x + dx e) xe x dx f) tg(x)dx.. Feladat Számoljuk ki a következő integrálokat! a) π/ sin (x) cos (x)dx b) sin (x) cos (x)dx Segítség:. Ha a sin n (x) cos m (x) alakban az egyik kiető páratlan, akkor sin (x)+cos (x) = felhasználásával a páratlan kitevőt alakítsuk -é. Ha n és m is páros, térjünk át kétszeres szögekre, ha kell többször is... Feladat Parciális integrálással számoljuk ki az alábbi integrálokat! a) π/ x cos(x)dx b) ln(x)dx c) sin(x)e x dx d) arctg(x)dx.. Feladat Végezzük el a következő racionális törtek integrálását! a) x +x dx x b) x+ x 5x+6 dx.5. Feladat Végezzük el a következő integrálokat a kijelölt helyettesítéssel! a) / x dx, x = sin(t) 5

6 b) dx e x +e x, t = e x c) sin(x) cos(x) dx, t = tg(x/).6. Feladat Határozzuk meg a tömegközéppont helyét megadó s távolság értékét a következő testek esetén! a) Homogén drótból készült R sugarú félkör b) Homogén R sugarú körlap.. Megoldások. Megoldás a) cos(x+) + C b) (x+) + C 8 c) 6 arctg( x) + C d) ln(x + ) + C e) ex + C f) ln(cos(x)) + C. Megoldás a) 5 b) 6 ( ) x sin(x) sin (x) + C. Megoldás a) π + b) x ln(x) x + C c) 9 ex ( sin(x) 9 cos(x) ) + C d) arctg() π ln(5/). Megoldás 6

7 a) x + 5x + 5 ln(x ) + C b) 8 ln(x ) + ln(x ) + C.5 Megoldás a) π + 8 b) arctg(e x ) + C c) ln(tg(x)) + C.6 Megoldás a) s = π R b) s = π R. A sík és tér vektorai.. Feladatok.. Feladat Tekintsük a következő vektorokat: a =, b = a), c = ab =?, a b =?, (a, b, c) b) Határozzuk meg az a, b, c vektorok A, B, C reciprok vektorait! c) Fejtsük ki az r vektort az (a, b, c), illetve (A, B, C) bázisában! r =.. Feladat Skaláris szorzás segítségével bizonyítsuk be a koszinusz tételt! 7

8 .. Feladat Igazoljuk, hogy a vektoriális szorzatokra teljesül az u.n. Jacobi-azonosság: a (b c) + b (c a) + c (a b) =, illetve az ezzel ekvivalens, Leibniz szabályra emlékeztető a (b c) = (a b) c) + b (a c) összefüggés... Feladat Vizsgáljuk meg az S sík és az e, f, g egyenesek kölcsönös helyzetét (metsző, párhuzamos, stb.) a közös pont kiszámítása nélkül! S : x + y + z = e : x = y = z f : x = t y = + t z = t g : 5x + = 5y + 5 = z +.5. Feladat Adott két egyenes, e és f: e : x + = y + = z, f : x = t y = + t z = t a) Vizsgáljuk meg a két egyenes kölcsönös helyzetét! b) Számítsuk ki a két egyenes által bezárt szöget! c) Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely az e egyenesen áthalad és párhuzamos f-fel!.6. Feladat Igazoljuk, hogy: (a b)(c d) = (a c)(b d) (b c)(a d)..7. Feladat Adott a, b paraméterek mellett oldjuk meg az egyenletet r-re! r = a (r + b) Segítség:. keressük r-et a, b és a b lineáris kombinációjaként!.8. Feladat Keressük meg azt az r vektort, amely teljesíti az alábbi feltételt és diszkutáljuk a megoldást: a r = b 8

9 .. Megoldások. Megoldás a) ab = a b = b) A = B = c) (a, b, c) bázis: r = 7 (a, b, c) = C = (A, B, C) bázis: r =. Megoldás Legyen c = b a, ekkor c c-t kifejtve aazonnal adódik.. Megoldás A definíciókból, kihasználva az ε ijk ε klm = δ il δ jm δ im δ jl azonosságot, adódik.. Megoldás Legyen a sík normálvektora n, az egyenesek irányvektora rendre e, f, g. Mivel ne, e metszi S-t. nf =, de f tetszőleges pontja nem teljesíti S egyenletét, f párhuzamos S-sel. Hasonlóan ng =, és g tetszőleges pontja teljesíti S egyenletét, így g benne van S-ben..5 Megoldás a) A két egyenes nem párhuzamos, és nincs közös pontjuk, tehát kitérőek. b) 65.9 c) x y =.6 Megoldás A definíciókból, kihasználva az ε ijk ε klm = δ il δ jm δ im δ jl azonosságot, adódik..7 Megoldás Legyen r = αa + βb + γa b, ekkor α = ab +a, β = a +a, γ = +a..8 Megoldás Megoldás csak akkor létezik, ha a b, ekkor r = a b a. 9