1. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: ; B = 8 7 2, 5 1. Számítsuk ki az A + B, A B, 3A, B mátrixokat!

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "1. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: ; B = 8 7 2, 5 1. Számítsuk ki az A + B, A B, 3A, B mátrixokat!"

Fanni Faragó
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 . Mátrixok. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: [ ] [ ] π a A = ; B = 8 7, 5 x. 7, 5 ln y. Legyen 4 A = 4 ; B = 5 5 Számítsuk ki az A + B, A B, A, B mátrixokat!. Oldjuk meg az A + X = B egyenletet, ha A = ; B = Szorozzuk össze az A = és a B = [ ] 5 mátrixokat! 5. Szorozzuk meg az A mátrixot a D mátrixszal mindkét oldalról! A = 4 D = c 6. Tekintsük az A = 4 5, B = és C = 4 4 mátrixokat és bizonyítsuk be, hogy AB = AC. 7. Határozzuk meg a következő kifejezéseknek megfelelő vektorokat: A x, ha A = 4 és x = 4 a T B, ha a = és B =

2 (c) A x, ha A = a x a a a 4 a a a a 4 és x = x x a a a a 4 x 4 (d) a T B, ha a T = [ 4 ] és B T = b b... b k (e) y T B, ha y T = [ ] b b... b k y y... y n és B =. b n b n... b nk 8. Számítsuk ki az mátrix négyzetét és köbét! A = 9. Mivel egyenlő. Az x T A y, ha A = ; x = ; y = x T A y, ha a a a x T = [ ] x x x x 4, A = a a a a a a ; yt = [ ] y y y a 4 a 4 a 4 (c) a b T, ha A = a = ; b = 4 [ ] és B = mátrixok segítségével mutassuk meg, hogy (A + B) A + AB + B ; [ ] 4

3 A B (A + B)(A B).. Mutassuk meg az előző feladatban szereplő A és B mátrixra, hogy (A + B)(A B) = A + BA AB B ; (A B)(A + B) = A BA + AB B ; [ ] 5 (c) (A + B)(A B) = Egy üzem három erőforrás segítségével négyféle terméket készít, melyek technológiai mátrixa 4 M =. Határozzuk meg a termelés anyagköltségét és fajlagos anyagköltségét, ha az üzemnek az egyes termékekből rendre 4, 5, 6, 5 darabot kell e- lőállítania, az egyes erőforrások kapacitása 45, 4, egység és az erőforrások egységára,, 8 egység.. Determinánsok. Számítsuk ki a következő determinánsok értékét! (c) cos x sin x sin x cos x. Számítsuk ki a következő determináns értékét! Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a Cramer-szabállyal! x 5y = 5x 7y = Számítsuk ki az alábbi determináns értékét! 4 5 az első sor szerinti kifejtéssel;

4 a második oszlop szerinti kifejtéssel; (c) a Sarrus-szabállyal! 5. Számítsuk ki a következő determinánsok értékét! Oldjuk meg a következő egyenletet! x 4 9 x = 7. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a Cramer-szabállyal! x x + x = x + 8x 6x = 5 6x + x + x = 4 8. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a Cramer-szabállyal! x x + x = x + x x = 8x + x + 5x = 9. A Sarrus-szabály alkalmazásával igazoljuk, hogy x y x + y y x + y x x + y x y = (x + y ).. Fejtsük ki a következő determinánsokat! a + x a a a a + x a a a a a a b b c c. Számítsuk ki a következő determináns értékét! D =

5 . Mutassuk meg, hogy + a D = a + b = a b. b. Kiszámítandó a következő determináns értéke! 4 9 D = Bizonyítsuk be a sorok (vagy az oszlopok) megfelelő összegzésével, hogy B =, ha 4 4 B = Mutassuk meg sor-, illetve oszlopekvivalens átalakításokkal, hogy 4 5 = 8.. Vektorterek. Döntsük el, hogy az x = [,,, ] T, x = [, 4, 4, ] T és x = [,,, ] T vektorok lineárisan függetlenek-e!. Állapítsuk meg, hogy lineárisan független-e a következő három vektor! x = [,, ] T ; x = [, 4, ]T ; x = [,, ]T. Legyen a és b az R n (n ) tér két lineárisan független vektora. Határozzuk meg α és β értékét, ha a + 5b = αa + (β + )b (α β )a = (α + β + )b 4. Igazoljuk, hogy ha a, b és c az R n (n ) vektortér három lineárisan független vektora, akkor 5

6 a b, b c és c a vektorok lineárisan összefüggnek; αa βb, γb αc, βc γa vektorok lineárisan összefüggnek. 5. Legyenek a, b és c az R n (n ) vektortér lineárisan független vektorai. Hogyan kell λ-t megválasztani, hogy az x = λa + b + c, y = a + λb + cés z = a + b + λc vektorok lineárisan függetlenek, illetve hogyan, hogy lineárisan összefüggők legyenek? 6. Legyen az e, e, e bázisban egy háromszög csúcsaiba mutató három helyvektor u = [,, ] T, v = [,, ] T, w = [,, ] T. Mik a három vektor koordinátái a z = [,, ] T, z = [,, ] T, z = [,, ] T bázisra vonatkoztatva? 7. Keressük meg a háromdimenziós e, e, e bázisban adott u = [,, ] T, v = [,, 5] T, w = [,, ] T vektorok koordinátáit a z = [,, ] T, z = [,, ] T és z = [,, ] T bázisra vonatkoztatva! 4. Mátrixok rangja elemi bázistranszformációval. Határozzuk meg az 7 6 a = ; a = 9 ; a = ; a 4 4 = 5 7 vektorokból álló vektorrendszer rangját! Adjunk meg egy olyan vektort, amely biztosan nincs benne az általuk meghatározott altérben!. Határozzuk meg a vektorrendszer rangjának vizsgálatával, hogy a következő vektorrendszerek közül melyek lineárisan függetlenek! a = ; a = ; a = ; a 4 = b = ; b = ; b = ; b 4 = 6

7 (c) c = ; c = ; c = 4 ; c 4 = 4. Határozzuk meg a következő mátrixok rangját! A = ; B = ; C = a b ; D = a c ; b c E = Számítsuk ki az mátrix rangját! A = Határozzuk meg, hogy a c vektor benne fekszik-e az A mátrix oszlopvektorterében, ha A = 4 4 ; c = 4 4 A = ; c = 5 5 (c) A = ; c =

8 5. Lineáris egyenletrendszerek. Határozzuk meg azokat az x és y skalárokat, amelyek mellett teljesülnek a következő egyenlőségek: [ ] [ ] [ ] x + y = [ ] [ ] [ ] 5 x + y = 7 [ ] [ ] [ ] (c) x + y 4 = [ [ ] [ (d) x + y = ], 5 ] 6 (e) x + y 4 = 6 8 [ ] [ ] [ ] (f) x + y = 4 5. Határozzuk meg, hogy az x vektort az a, b, c, d vektorok milyen lineáris kombinációja állítja elő, ha x = 4 a = 4 b = c = d = 9 7 x = a = b = c = d = 4 4 (c) x = a = b = c = d = a (d) x = b a = b = c = d = c. Oldjuk meg elemi bázistranszformáció segítségével a következő egyenletrendszereket! x y + z = x + y z = 9 x + y + z = 8

9 x + x + x + x 4 = x x x 4 = x + x + x 4 = x + x x 4 = 5 4. Tekintsük a következő egyenletrendszert! x x + x x 4 + x 5 = x x + 5x x 4 x 5 = 6 x + x + x x 4 x 5 = 8 Oldjuk meg az egyenletrendszert elemi bázistranszformáció segítségével. Vizsgáljuk a megoldások létezését, ill. számát! 5. Határozzuk meg a következő inhomogén egyenletrendszerek általános megoldását! x y + z u = x y z + u = x + y + z u = x + x x + x 4 = 8 x x + x x 4 = x x + x x 4 = 8 x x + x = (c) x + x x + x 4 x 5 = x x + x + x 4 x 5 = x + x 5x x 4 + x 5 = 4x + x 4x + 4x 4 4x 5 = 8 x + 6x 9x + x 4 x 5 = 9 6. Keressük meg az x + x + 6x = x + 7x + x = x 5x x = x + x + 5x = 5x + 8x + x = egyenletrendszer megoldását! 7. Határozzuk meg a következő egyenletrendszer megoldását! 4x + x x + x 4 x 5 = x x + x + x 4 + x 5 = x x + x x 4 x 5 = 9

10 x y + z u + v = 8 y + u v = x + z + v = 6 x y z u + v = (c) x + x + x 4 + x 5 = a x + x + x 4 + x 5 = b x x x x 4 = x x x x 4 = a b 8. Határozzuk meg a következő homogén egyenletrendszerek összes megoldását! x y + z + u = x y z + u = x + y + z u = x + y z u = x + x x + x 4 = x + x + x x 4 = x x + 5x + 4x 4 = x + x + x + 9x 4 = x + 5x + 5x 4 = Oldjuk meg az adott egyenletrend- 9. Van-e az x + y + z = x z = 4x + y + z = x + 4y + 6z = egyenletű síkoknak közös pontjuk? szert!. Határozzuk meg az x + y + z = 8x y + z = 5x y + 7z = egyenletű síkok közös metszéspontját!

Hasonló dokumentumok

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,