Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Átírás

1 Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő gráfra. ( pont) Egy gráf gyengén összefüggő ha bármely két különböző csúcsa között vezet a gráf éleiből álló út. Egy gráf erősen összefüggő ha bármely két különböző csúcsa között vezet a gráf éleiből álló éllánc. Példa: E. Adja meg két oszlopvektor skaláris szorzatának definícióját. Adjon példát olyan oszlopvektorokra melyeknek létezik és olyanokra is melyeknek nem létezik skaláris szorzata. Indoklás is szükséges! Mi az R-ben a mátriszorzás műveleti jele? ( pont) a b a b.. Legyen a és b két gyanannyi elemből álló oszlopvektor (azt is mondhatnánk.... a n b n hogy gyanannyi sorból állók). Ekkor skaláris szorzatkon az a b a b... a n b számot (skalárt) értjük. Ez megegyezik az a T b mátriszorzattal mert az -es mátriokat azonosítjk a skalárokkal. Példál az és oszlopvektorok skaláris szorzata ( ). Ha az elemek száma nem egyenlő akkor a vektorok skaláris szorzata nincs értelmezve mint pl. az és vektorok esetében. A mátriszorzás műveleti jele R ben %*%. n * Zh ponthatárok: -6 -es 6- -as es 89- -ös. A minimm elméletből is feladatokból is - pont.

2 Feladatok: F. Az és y ismeretlen mennyiségek eleget tesznek az alábbi egyenlőtlenségeknek: y y y Írja át ezt mátrialakú olyan egyenlőtlenségbe ami a tanlt módon R-ben már megoldható. Ábrázolja a feltételeknek eleget tevő pontok tartományát síkbeli koordinátarendszerben majd találja meg azt a megoldást melyre y maimális. Mi a neve annak az R-beli csomagnak (azaz library-nek) és ezen belül annak az eljárásnak amivel ilyen feladat megoldását ki lehet számoltatni? ( pont) Először is átalakítjk az egyenlőtlenségeket úgy hogy mindegyik formájú legyen és az ismeretlenek mind a bal oldalra kerüljenek a jobb oldalon csak konstansok maradjanak: y y. y Vegyük észre hogy ennek nagyon hasonlít a formája a lineáris egyenletrendszerekéhez. Ugyanúgy kell ezt is mátrialakúvá átírni:. y Felrajzoljk az egyenlőtlenségek határoló egyeneseit és pl. próbálgatással értékek behelyettesítésével eldöntjük hogy az adott egyenlőtlenség melyik félsíkra vonatkozik. Végül ezeknek a félsíkoknak a metszetei adják a lehetséges megoldások halmazát. Az ábrán ez a téglamintázatú háromszög. Ennek a határa is beletartozik i. az egyenlőtlenségekben az egyenlőségek is megengedettek. y y y y

3 Az optimális megoldás keresésekor ábrázoljk a y c egyenletű egyeneseket különböző c értékek mellett. Ha ezeket az egyeneseket felfelé mozgatjk akkor c nő ha lefelé akkor csökken (ez onnan látszik hogy c éppen az egyenes és az y tengely metszéspontjában lévő szám. Ha i. akkor yc.) Az ábra szerinti vastag fekete egyenesnek felel meg a megoldási tartományon a legnagyobb c érték itt van tehát y maimma. (Elég csak a tartomány csúcspontjain áthaladó y c egyenletű egyeneseket vizsgálni mindig ezek valamelyikében van az optimm.) Az optimális megoldás tehát y. R-ben a szükséges csomag neve linprog a függvényé pedig solvelp. F. Határozza meg az A mátri összes sajátértékét és adjon meg minden sajátértékhez egy-egy sajátvektort. Igaz-e hogy az A mátri pozitív szemidefinit? Indokolja is meg a válaszát. Mi a neve annak az R-beli függvénynek amellyel meghatározhatók egy négyzetes mátri sajátértékei és sajátvektorai? ( pont) A sajátvektorok egyenlete det( A λ I) ahol I a megfelelő rendű egységmátri. Ennek λ alapján most az egyenlet. A determinánst kifejtve a ( λ) másodfokú λ egyenletet kapjk melynek megoldásai λ és λ. Ezek lesznek a mátri keresett sajátértékei. Ha a mátri sajátértéke λ és az ehhez tartozó sajátvektor akkor fennáll az A λ mátriegyenlet. Számításokhoz jobban használható az ezzel ekvivalens ( A λ I) alak (gondolják végig az ekvivalenciát). A λ sajátértékhez ez a homogén lineáris egyenletrendszer mátriegyenletet jelenti (ezt is gondolják végig). Az ennek megfelelő. A két egyenlet gyanaz elég ezért csak az elsővel foglalkozni. Azt kapjk hogy ennek végtelen sok megoldása van az egyik példál. (Ilyenkor néhány ismeretlennek önkényesen beállítjk az értékét a többit pedig ezekből az egyenletek alapján kifejezzük.) A λ sajátértékhez tartozó egyik sajátvektor tehát az vektor.

4 (A többi ennek számszorosaként állítható elő így a vektorok szintén a λ sajátértékhez tartozó sajátvektorok.) A λ sajátértékhez tartozó sajátvektor(ok) mátriegyenlete ez a homogén lineáris egyenletrendszerré írható át. A második egyenlet gyanaz mint az első azt kapjk hogy ennek megoldása példál. A λ sajátértékhez tartozó egyik sajátvektor tehát az vektor. Egy szimmetriks mátri akkor pozitív szemidefinit ha sajátértékei nemnegatívak. Ez most teljesül tehát a mátri pozitív szemidefinit. (A sajátértékek most határozottan pozitívak ezért mondható hogy a mátri pozitív definit is. Ez a megállapítás nem mond ellent annak hogy a mátri pozitív szemidefinit.) Most is nagyon ajánlott ellenőrzést végezni ezért behelyettesítjük az eredményeket a sajátértékek-sajátvektorok kapcsolatát kifejező mátriegyenletekbe: illetve tehát az eredmények jók. Az R függvény neve eigen.

5 B verzió Elméleti kérdések: E. Mikor mondjk hogy egy halmaz végtelen? Mikor mondjk hogy megszámlálhatóan végtelen számosságú? Adjon példát megszámlálhatóan végtelen számosságú halmazra. Mit jelent az hogy a valós számok R halmaza nem megszámlálható? ( pont) Egy halmaz végtelen ha elemeinek száma végtelen. Egy másik ezzel ekvivalens definíció: egy halmaz végtelen ha ekvivalens egy valódi részhalmazával. Egy halmaz megszámlálhatóan végtelen számosságú ha valamilyen szabály szerint elemei sorozatba rendezhetők azaz ha a halmaz ekvivalens a természetes számok halmazával. Így példál maga a természetes számok halmaza megszámlálható számosságú. Az hogy a valós számok R halmaza nem megszámlálható azt jelenti hogy R nem ekvivalens a természetes számok halmazával. Másképp megfogalmazva nem létezik olyan rendezési szabály amellyel a valós számok sorozatba rendezhetők. E. Adja meg a négyzetes mátri inverzének definícióját. Adjon példát olyan négyzetes mátrira melynek létezik és olyanra is melynek nem létezik inverze. Indoklás is szükséges! Mi a neve annak az R-beli függvénynek amivel kiszámítható egy mátri inverze? ( pont) Az A négyzetes mátri inverze egy olyan B mátri melyre A B I. Egy négyzetes mátrinak pontosan akkor létezik inverze ha a determinánsa nem nlla. Így példál I -nek létezik inverze (ami maga az I ) a cspa elemből álló ún. nllmátrinak pedig nem. R-ben a ginv függvénnyel számíthatjk ki egy mátri inverzét. Feladatok: F. Írja át a egyenletrendszert mátriegyenletté majd oldja meg a Cramer-szabállyal. (Más módszert most nem fogadok el!) Mi a neve annak az R-beli függvénynek amivel egy lineáris egyenletrendszer megoldható? ( pont) A mátriegyenlet:.

6 6 Megoldás a Cramer-szabállyal:. A rendszer determinánsa. ) ( ) ( Az számlálójának determinánsa (a. sorhoz hozzáadtam a. sor kétszeresét ez a determináns értékén nem változat viszont könnyebbé teszi a. oszlop szerinti kifejtést). Az számlálójának determinánsa ( A. sorhoz hozzáadtam a. sor kétszeresét). Az számlálójának determinánsa. (Az. sorból kivontam a. sort a. sorhoz hozzáadtam a. sort.) Ez alapján A számolás (és a módszerek alkalmazása) nagyon könnyen elrontható érdemes ezért az eredményeket ellenőrizni. Helyettesítsünk vissza mondjk a mátriegyenletbe:.. Tehát az eredmények jók. Az R-beli függvény neve solve.

7 F. Egy -as szimmetriks A mátri sajátértékei - és -. Az alábbi állítások közül melyek igazak és melyek nem a mátrira? a) Pozitív definit. b) Negatív definit. c) Pozitív szemidefinit. d) Negatív szemidefinit. e) Indefinit. f) Ha a a -hoz b a --höz c a --hoz tartozó sajátvektorok akkor a b és c páronként merőlegesek egymásra. g) Létezik a -dimenziós térnek az A mátri sajátvektoraiból álló ortonormált bázisa. Legyen. Milyen előjele lehet T A -nak? Válaszai csak indoklással együtt érvényesek! Mi a neve annak az R-beli függvénynek amellyel meghatározhatók egy négyzetes mátri sajátértékei és sajátvektorai? ( pont) A sajátértékek negatívak vagy az értékük így a mátri negatív szemidefinit vagyis d igaz. Az a és b nem lehet igaz mert a sajátérték. A c nem igaz mert van a mátrinak negatív sajátértéke. Az e nem igaz mert nincs a mátrinak pozitív sajátértéke. Az f igaz mert szimmetriks mátri különböző sajátértékeihez tartozó sajátvektorai ortogonálisak. A g igaz i. szimmetriks mátrihoz mindig létezik ortonormált sajátvektorokból álló bázis. A mátri negatív szemidefinit így A előjele negatív vagy. ( akkor lehet ha a mátri -hoz tartozó egyik sajátvektora). Az R-beli függvény neve eigen. T