10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak
|
|
- Áron Fülöp
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 10. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, oldal.
2 Gondolkodnivalók Mátrix inverze 1. Gondolkodnivaló Igazoljuk, hogy invertálható trianguláris mátrixok inverze is trianguláris. Bizonyítás: Vegyük észre, hogy egy invertálható felső trianguláris mátrix főátlójában csupa 0-tól különböző elem van, különben a determinánsa 0 lenne. Ha az inverzét elemi bázistranszformációval számítjuk, akkor először kiválasztva a főátló első, majd második, stb. elemét, a főátló alatt minden elem 0 marad (ld.: a példát). Ugyanakkor ha elemi bázistranszformációk során minden generáló elemet a főátlóból választunk ki, akkor az indexek nem fognak összekeveredni, így nincs szükség sor- és oszlopcserékre. Tehát az inverz a táblázatban szereplő felső trianguláris mátrix lesz.
3 Gondolkodnivalók Mátrix inverze Például: v 1 v v 3 e e e e 1 v v 3 v e e tehát e 1 e x 3 v v e = e 1 e e 3 v v v ,
4 Az előző előadáson csak az AX = B alakú mátrixegyenletekről volt szó, CSAK azokra működik az az elemi bázistranszformációs megoldás. A transzponálás segítségével visszavezethető egy XA = B típusú mátrixegyenlet egy AX = B típusúra: (XA) T = B T A T X T = B T. Azonban fontos megjegyezni, hogy ekkor az elemi bázitranszformációval kapott mátrixot transzponlálni kell, ahhoz hogy megkapjuk X -et. Gondolkodnivalók Mátrix inverze. Gondolkodnivaló Hogyan oldanánk meg XA = B típusú mátrixegyenleteket? Oldjuk meg a következőt: ( ) X =
5 Gondolkodnivalók Mátrix inverze A feladatban szereplő példa: ( 0 X 1 3 ) 3 = Transzponáljuk: ( ) ( X T = ). x 1 x b 1 b b 3 e e x 1 b 1 b b 3 x e b 1 b b 3 x x 1 1 7
6 Gondolkodnivalók Mátrix inverze b 1 b b 3 x x Nem kaptunk ellentmondást, és nem maradt szabad ismeretlen, így pontosan egy megoldás van. Mivel x 1 és x fordított sorrendben szerepel a táblázatban, úgy kapjuk meg X T -at, ha megcseréljük a táblázat sorait: ( X T 1 7 = ). Az X T mátrixot transzponálva megkapjuk X -et: 1 X = A megoldásunk helyességét célszerű ellenőrizni.
7 Sajátérték, sajátvektor Definíció Az A n n-es mátrixnak sajátértéke a λ valós szám, ha van olyan v R n nem-zérusvektor, melyre A v T = λv T. Definíció Az A n n-es mátrixnak sajátvektora a v R n nem-zérusvektor, ha van olyan λ R valós szám, melyre A v T = λv T. Megjegyzés A definíciókban azért szerepel v T, mert R n elemeit sorvektorokként írjuk, de itt jobbról szorzunk a vektorral egy mátrixot, amit csak akkor tudunk elvégezni, ha oszlopvektorként szerepel.
8 Mátrix sajátértéke, sajátvektora Példa ( ) 1 Az A = mátrixnak sajátértéke a 3, és sajátvektora az (1, ), mert ( ) ( ) ( ) ( ) = = ( 3). 6
9 Sajátértékek meghatározása Az Ax T = λx T feltétel valójában egy homogén lineáris egyenletrendszerre vezet, ugyanis Ax T = λx T (A λe)x T = 0. Azt kell vizsgálni, hogy ennek a homogén lineáris egyenletrendszernek milyen feltételek mellett van nemtriviális megoldása (ugyanis definíció szerint x nem-zérusvektor). Ha A n n-es mátrix, akkor a fenti egyenletrendszer megoldásakor n r db szabad változó marad (ahol r az A λe mátrix rangja). Mivel homogén lineáris egyenletrendszernek pontosan akkor van nemtriviális megoldása, ha van szabad változója, így ez akkor teljesül, ha A λe rangja kisebb, mint n, vagyis ha az A λe mátrix determinánsa 0. Tétel Az A mátrixnak λ pontosan akkor sajátértéke, ha az A λe mátrix determinánsa 0.
10 Definíció Az A xe polinomot az A mátrix karakterisztikus polinomjának nevezzük. Tétel A λ valós szám pontosan akkor sajátértéke az A mátrixnak, ha λ gyöke A karakterisztikus polinomjának. Példa Határozzuk meg a ( ) mátrix sajátértékeit. A mátrix karakterisztikus polinomja: 3 x 1 x = x 3x +. Az x 3x + = 0 egyenlet megoldásai: 1,. Tehát a mátrix sajátértékei: 1,.
11 Példa Határozzuk meg a ( ) mátrix sajátértékeit. Karakterisztikus polinom: 3 x 1 4 x = x 3x + 4. Az x 3x + 4 = 0 egyenlet megoldásánál a diszkrimináns negatív (D = ( 3) = 5), így az x 3x + 4 polinomnak nincs valós gyöke, azaz a mátrixnak nincs valós sajátértéke.
12 Sajátaltér meghatározása Tétel Mátrix adott sajátértékhez tartozó sajátvektorai alteret alkotnak. Ezen altér neve: az adott sajátértékhez tartozó sajátaltér. Tétel Az A mátrix λ sajátértékéhez tartozó sajátalterének egy bázisa éppen az (A λe)x T = 0 homogén lineáris egyenletrendszer egy fundamentális rendszere. Példa Adjuk meg az A = mátrix sajátértékéhez tartozó sajátalterét.
13 Az (A E)x T = 0 homogén lineáris egyenletrendszer: x 1 x x 3 = 5x + 5x 3 x + x 3 x x 3 = Azaz 5x + 5x 3 = 0 x + x 3 = 0 x x 3 = 0. Ennek az egyenletrendszernek egy megoldása: x 1, x 3 szabad változó, és x = x 3. Így a sajátaltér egy bázisa: (1, 0, 0), (0, 1, 1).
14 Ellenőrzés: = = = = 1 0 0,
15 Definíció Kvadratikus alakok Kvadratikus alaknak hívjuk a homogén másodfokú többhatározatlanú polinomokat. Példa A következő polinomok: x 1, x 1 x 1 x + x, x 1 + x 3 x 1 x 3 kvadratikus alakok, hiszen bennük minden tag pontosan másodfokú, de az x 1 x, x 1 x x 3 nem kvadratikus alakok.
16 Kvadratikus alak mátrixa Bármely kvadratikus alak a következőképpen írható: xax T = n n a ij x i x j, i=1 j=1 azonban ha i j, akkor a fenti felírásban a ij x i x j és a ji x j x i is szerepel. Természetes feltenni, hogy a ij = a ji, vagyis a ij és a ji éppen az x i x j szorzat együtthatójának a fele. Ha ezt a feltevést tesszük, akkor a kvadratikus alak mátrixa: a 11 a 1... a 1n a 1 a... a n A = a 1n a n... a nn szimmetrikus mátrix.
17 Példa Az 5x1 3x 1x + 4x 1 x 3 x + 3x x 3 4x3 kvadratikus alak mátrixa: , 3 4 vagyis a mátrix főátlójába kerülnek a négyzetes tagok együtthatói, a többi elem pedig a megfelelelő vegyes tag együtthatójának a fele lesz: például az 1. sor 3. eleme éppen az x 1 x 3 együtthatójának, a 4-nek a fele, de ugyanúgy kerül az 1. oszlop 3. elemébe is. Az xax T a kvadratikus alakot adja vissza: 5 3 x 1 (x 1 x x 3 ) 3 3 x = 3 4 x 3 = 5x1 3x 1x + 4x 1 x 3 x + 3x x 3 4x3.
18 Kanonikus alakra hozás Definíció Az olyan kvadratikus alakokat, melyekben nincs vegyes tag, kanonikus alakú kvadratikus alakoknak nevezzük. Példa Kanonikus alak: x 1 + x x 3 vagy x 1. Egy kvadratikus alak kanonikus alakra hozható a mátrixának felhasználásával is, ha kinullázzuk a kvadratikus alak mátrixának sorait és oszlopait is. Eltérés a Gauss-eliminációhoz képest, hogy itt az oszlopokat és a SOROKAT IS ki kell nullázni, és mindenképpen a mátrix főátlójába eső elemmel.
19 Megengedett lépés A kvadratikus alak mátrixán a következő átalakítás végezhető: a mátrix i. sorának c-szeresét hozzáadjuk a mátrix j. sorához, majd ezután a mátrix i. oszlopának c-szeresét hozzáadjuk a mátrix j. oszlopához. Példa Hozzuk kanonikus alakra az kvadratikus alakot. x 1 x 1 x + 4x 1 x 3 + x x x 3 + x 3 A kvadratikus alak mátrixa:
20 Először a főátló első elemével nullázzuk ki az oszlopát, majd a sorát A következő lépésben a főátló második eleme segítségével nullázzuk ki az oszlopát és a sorát: Tehát a kvadratikus alak (egyik) kanonikus alakja y 1 + y 4y 3. Megjegyzés A kanonikus alakra hozás során a változók száma csökkenhet. Például az x1 + x 1x + x kvadratikus alak (egyik) kanonikus alakja y1.
21 Egy trükk Mi van akkor, ha egy kvadratikus alak mátrixának a főátlójában nincs alkalmas nem-0 elem, amivel ki lehetne nullázni az oszlopát / sorát? Ekkor végre kell hajtani egy speciális átalakítást a mátrixon: keresni kell egy olyan sort, melyben a főátlóban lévő elem 0, viszont van 0-tól különböző elem a sorban, majd ezt a nem-0 elemet be kell vinni a főátlóba a következő példában leírt módon. Példa Határozzuk meg a x 1 + x x 3 kvadratikus alak kanonikus alakját. A mátrixa: Látható, hogy nincs alkalmas "nullázó elem" a főátló. helyén.
22 A következőképpen állíthatunk elő "nullázó elemet": adjuk hozzá a 3. sor felét a. sorhoz, és a 3. oszlop felét is a. oszlophoz: Most már van megfelelő "nullázó elem": Így az (egyik) kanonikus alak: y 1 + y y
23 Tehetetlenségi tétel FONTOS: a kanonikus alak nem egyértelműen meghatározott, valójában a változók "összekeveredhetnek", illetve az együtthatóik is megváltozhatnak (kivéve az előjelüket). Tehetetlenségi tétel Kvadratikus alak kanonikus alakjában a pozitív, illetve negatív együtthatójú négyzetes tagok száma meghatározott. Megjegyzés Ha egy kvadratikus alak (egyik) kanonikus alakja például x 1 + x, akkor nem lehet egy másik kanonikus alakja y 1 y + y 3. Vagyis a kvadratikus alak kanonikus alakjaiban szereplő pozitív, illetve negatív indexek száma a kvadratikus alak egy jellemzője.
24 Kvadratikus alakok osztályozása (értékkészletük szerint) Definíció Egy n változós q kvadratikus alakot pozitív definitnek nevezünk, ha bármely x 1,..., x n esetén q(x 1,..., x n ) 0, és q(x 1,..., x n ) = 0 csak akkor, ha x 1 =... = x n = 0, pozitív szemidefinitnek nevezünk, ha bármely x 1,..., x n esetén q(x 1,..., x n ) 0, és van olyan (x 1,..., x n ) 0, melyre q(x 1,..., x n ) = 0, negatív definitnek nevezünk, ha bármely x 1,..., x n esetén q(x 1,..., x n ) 0, és q(x 1,..., x n ) = 0 csak akkor, ha x 1 =... = x n = 0, negatív szemidefinitnek nevezünk, ha bármely x 1,..., x n esetén q(x 1,..., x n ) 0, és van olyan (x 1,..., x n ) 0, melyre q(x 1,..., x n ) = 0, indefinitnek nevezünk, ha felvesz pozitív és negatív értékeket is.
25 Példa A q = x1 + x kétváltozós kvadratikus alak pozitív definit, hiszen x1 + x 0, és x 1 + x = 0 x 1 = x = 0. Az q = x1 + x 1x + x kétváltozós kvadratikus alak pozitív szemidefinit, hiszen x1 + x 1x + x = (x 1 + x ) 0, ugyanakkor (x 1 + x ) = 0 teljesül, ha x 1 = x pl: q( 1, 1) = 0. A q = x1 3x 1x + x kétváltozós kvadratikus alak indefinit, hiszen q(1, 0) = 1 > 0 és q(1, 1) = 1 < 0.
26 Kvadratikus alakok osztályozása (kanonikus alakjuk szerint) Egy n változós kvadratikus alak pontosan akkor pozitív definit, ha kanonikus alakjában n db pozitív együtthatójú változó van, pozitív szemidefinit, ha kanonikus alakjában csak pozitív együtthatójú változó van, de n-nél kevesebb, negatív definit, ha kanonikus alakjában n db negatív együtthatójú változó van, negatív szemidefinit, ha kanonikus alakjában csak negatív együtthatójú változó van, de n-nél kevesebb, indefinit, ha kanonikus alakjában van pozitív és negatív együtthatójú változó is.
27 Példa Határozzuk meg az x1 + x 1x 3 + x + x x 3 + x3 osztályát. kvadratikus alak A kvadratikus alak mátrixát diagonális alakra hozzuk: Így a kanonikus alak: y1 + y. A kanonikus alakban csak pozitív együtthatók vannak, azonban a változószáma csökkent (3-ról -re), ezért pozitív szemidefinit a kvadratikus alak. Ellenőrzésképpen: ha x 1 = 1, x = 1, x 3 = 1, akkor a kvadratikus alak értéke tényleg 0.
28 Pozitív definit kvadratikus alakok A pozitív definit kvadratikus alakok máshogy is jellemezhetők. Először szükség van a főminor fogalmára: Definíció: Négyzetes mátrix k. főminorán az első k sor, illetve első k oszlop kiválasztásával adódó aldeterminánsát értjük. Példa mátrix főminorai: 1, =, és a teljes determináns, aminek értéke 4 (vegyük észre, hogy n n-es mátrix esetén az 1. főminor mindig a mátrix bal felső eleme, az n. főminor mindig éppen a mátrix determinánsa).
29 Pozitív definit kvadratikus alakok Tétel Egy kvadratikus alak pontosan akkor pozitív definit, ha minden főminora pozitív (azaz nem lehet 0 sem). Példa x 1 3 x 1x + 4x 1 x 3 + 3x + x x x 3 kvadratikus alak pozitív definit, hiszen mátrixa: , 40 melynek főminorai pozitívak:, 3 1 9,
30 Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez tartozó sajátaltér egy bázisát. A = α 5 6 α.
31 Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak. Gondolkodnivaló Vegyük észre, hogy egy q kvadratikus alak pontosan akkor negatív definit, ha q pozitív definit. Ezt felhasználva adjuk meg a negatív definit kvadratikus alakok jellemzését a mátrixuk főminorai segítségével.
11. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 11. előadás Kvadratikus alakok, Stratégiai viselkedés
11. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 98. 108. oldal. Gondolkodnivalók Leontyev-modell, Sajátérték 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg, hogy az x valós paraméter mely értékeire lesz az alábbi A mátrix
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
Részletesebben9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35
9. Előadás (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték 2019. április 24. 1 / 35 Portfólió-analízis Tegyük fel, hogy egy bank 4 különböző eszközbe fektet be (réz, búza, arany és kakaó). Az ügyfeleinek ezen
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek
Részletesebben11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba
11. Előadás Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
Részletesebbenkarakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja
Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus
RészletesebbenLineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 0. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 202. április 23. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Tartalom Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 2 Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok)
Részletesebben5. Előadás. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március 6. 1 / 39
5. Előadás (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze 2019. március 6. 1 / 39 AX = B (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze 2019. március 6. 2 / 39 AX = B Probléma. Legyen A (m n)-es és B (m l)-es
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
Részletesebben3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek
3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
RészletesebbenLineáris algebra Gyakorló feladatok
Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések
RészletesebbenBázistranszformáció és alkalmazásai 2.
Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
RészletesebbenLineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )
Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
Részletesebben1. Bázistranszformáció
1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n
RészletesebbenLineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és
Részletesebben8. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, , oldal. 8. előadás Mátrix rangja, Homogén lineáris egyenletrendszer
8. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 51. 56., 70. 74. oldal. Gondolkodnivalók Elemi bázistranszformáció 1. Gondolkodnivaló Most ne vegyük figyelembe, hogy az elemi bázistranszformáció során ez
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenDeterminánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.
Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
RészletesebbenA KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek
10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix
RészletesebbenXI A MÁTRIX INVERZE 1 Az inverzmátrix definíciója Determinánsok szorzástétele Az egységmátrix definíciója: 1 0 0 0 0 1 0 0 E n = 0 0 1 0 0 0 0 1 n-edrenű (azaz n n típusú) mátrix E n -nel bármely mátrixot
Részletesebbeny + a y + b y = r(x),
Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan
RészletesebbenMatematika elméleti összefoglaló
1 Matematika elméleti összefoglaló 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 1. Sorozatok jellemzése, határértéke... 3 2. Függvények határértéke és folytonossága... 5 3. Deriválás... 6 4. Függvényvizsgálat...
Részletesebben1. feladatsor Komplex számok
. feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4
Részletesebben7. gyakorlat megoldásai
7. gyakorlat megoldásai Komple számok, sajátértékek, sajátvektorok F1. Legyen z 1 = + i és z = 1 i. Számoljuk ki az alábbiakat: z 1 z 1 + z, z 1 z, z 1 z,, z 1, z 1. z M1. A szorzásnál használjuk, hogy
RészletesebbenGauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 4. gyakorlat Mátrix invertálás Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei
RészletesebbenLineáris algebra. =0 iє{1,,n}
Matek A2 (Lineáris algebra) Felhasználtam a Szilágyi Brigittás órai jegyzeteket, néhol a Thomas féle Kalkulus III könyvet. A hibákért felelosséget nem vállalok. Hiányosságok vannak(1. órai lin algebrai
RészletesebbenGazdasági matematika II.
Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem Debrecen, 2007/8 tanév, II. félév Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2007/8 tanév, II. félév 1 / 186 Félévközi
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Kf87 2017-11-21
Részletesebben1. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere
X HOMOGÉN LINEÁRIS EGYENLET- RENDSZEREK 1 Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere Homogén lineáris egyenletrendszer definíciója már szerepelt Olyan lineáris egyenletrendszert nevezünk homogénnek,
RészletesebbenGazdasági matematika II.
Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar 2014. február 16. Losonczi László, Pap Gyula (DE, KTK) Gazdasági matematika II. 2014. február
Részletesebben1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér?
Az informatikus lineáris algebra dolgozat B részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok a definíciók és állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat B részében kérdezhetünk. A válaszoknál
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Kf81 2018-11-20
Részletesebbeni=1 λ iv i = 0 előállítása, melynél valamelyik λ i
Az informatikus lineáris algebra dolgozat C részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok az állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat C részében kérdezhetünk. Azok érnek 6 pontot,
RészletesebbenGauss elimináció, LU felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 3. gyakorlat Gauss elimináció, LU felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 EGYENLETRENDSZEREK 1. Egyenletrendszerek
Részletesebben7. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 7. előadás Elemi bázistranszformáció
7. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 57. 61. oldal. Gondolkodnivalók Bázis, dimenzió 1. Gondolkodnivaló Legyenek a v vektor koordinátái a v 1,..., v n bázisban: (1, α 2,..., α n ). Igazoljuk, hogy
RészletesebbenGazdasági matematika II.
Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem Debrecen, 2009/10 tanév, II. félév Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/10 tanév, II. félév 1 / 187 Félévközi
Részletesebben1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás
1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M
RészletesebbenElső zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió
Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő
RészletesebbenRang, sajátérték. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach/ február 15
Diszkrét matematika II, 2 el adás Rang, sajátérték Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takachinfnymehu http://infnymehu/ takach/ 25 február 5 Gyakorlati célok Ezen el adáson, és a hozzá kapcsolódó
RészletesebbenTestek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2.
Vektorok. Melyek egyenlőek az alábbi vektorok közül? (a) (, 2, 0), (b) az (, 0, ) pontból a (2, 2, ) pontba mutató vektor, (c) ( 2,, ) ( 2,, 2), (d) [ 2 0 ], (e) 2. 0 2. Írjuk fel az x + y + 2z = 0 és
Részletesebben11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal
11 DETERMINÁNSOK 111 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Bevezetés A közgazdaságtanban gyakoriak az olyan rendszerek melyek jellemzéséhez több adat szükséges Például egy k vállalatból álló csoport minden
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I. éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak évi tanév I. félév
LINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak 2010-2011 évi tanév I félév Vektoriális szorzat és tulajdonságai bizonyítás nélkül: Vegyes szorzat és tulajdonságai
RészletesebbenMátrixok, mátrixműveletek
Mátrixok, mátrixműveletek 1 előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Mátrixok, mátrixműveletek p 1/1 Mátrixok definíciója Definíció Helyezzünk el n m elemet egy olyan téglalap
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenLineáris algebra. (közgazdászoknak)
Lineáris algebra (közgazdászoknak) 10A103 FELADATOK A GYAKORLATRA (3.) 2018/2019. tavaszi félév Lineáris egyenletrendszerek 3.1. Feladat. Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszereket Gauss-eliminációval
Részletesebben1. A kétszer kettes determináns
1. A kétszer kettes determináns 2 2-es mátrix inverze Tétel [ ] [ ] a c 1 d c Ha ad bc 0, akkor M= inverze. b d ad bc b a Ha ad bc = 0, akkor M-nek nincs inverze. A főátló két elemét megcseréljük, a mellékátló
Részletesebben6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján
Közelítő és szimbolikus számítások 6. gyakorlat Sajátérték, Gersgorin körök Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján . Mátrixok sajátértékei
Részletesebben12. előadás. Egyenletrendszerek, mátrixok. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor
12. előadás Egyenletrendszerek, mátrixok Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2015 2016 1 Tartalom Matematikai alapok Vektorok és mátrixok megadása Tömbkonstansok Lineáris műveletek Mátrixok szorzása
RészletesebbenSaj at ert ek-probl em ak febru ar 26.
Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre
RészletesebbenLineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest
Részletesebben1. Determinánsok. Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert:
1 Determinánsok 1 Bevezet definíció Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert: a 11 x 1 +a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2 Szorozzuk meg az első egyenletet
Részletesebbenés n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij..
Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév III MÁTRIXOK SAJÁTÉRTÉK-FELADAT III Mátrixok Definíció Számok téglalap alakú táblázatban való elrendezését mátrix nak nevezzük Ha a táblázat m sorból és n
Részletesebben1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
Részletesebben(1) Vektorok koordinátavektora. 1/3. R A {b 1,b 2,b 3 } vektorhalmaz bázis a V R n altérben.
Az informatikus lineáris algebra dolgozat A részének főbb témái, pár mintafeladata Az alábbiakban tájékoztató jelleggel fölsoroljuk a vizsgadolgozat A részében szereplő főbb témaköröket néhány mintafeladattal,
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
Részletesebben1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis.
1 Diagonalizálás Diagonalizálható mátrixok Ismétlés Legyen M,N T n n Az M és N hasonló, ha van olyan A lineáris transzformáció, hogy M is és N is az A mátrixa egy-egy alkalmas bázisban Az M és N pontosan
Részletesebben9. gyakorlat Lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei folyt. Néhány kiegészítés a Gauss- és a Gauss Jordan-eliminációhoz
9. gyakorlat Lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei folyt. Néhány kiegészítés a Gauss- és a Gauss Jordan-eliminációhoz. Mindkét eliminációs módszer műveletigénye sokkal kisebb, mint a Cramer-szabályé:
RészletesebbenGazdasági matematika II.
Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem Debrecen, 2009/2010 tanév, II. félév Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 1 / 180 Félévközi
RészletesebbenTotális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János
Totális Unimodularitás és LP dualitás Tapolcai János tapolcai@tmit.bme.hu 1 Optimalizálási feladat kezelése NP-nehéz Hatékony megoldás vélhetően nem létezik Jó esetben hatékony algoritmussal közelíteni
Részletesebben3. előadás Stabilitás
Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása
Részletesebben9. AZ R k VEKTORTÉR. 9.1 Az R k vektortér fogalma
9 AZ R k VEKTORTÉR 91 Az R k vektortér fogalma Definíció A k-dimenziós vektortér nek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x 2,, x k ) sorozatok halmazát, azaz 1 R k
RészletesebbenSajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István
Sajátértékek és sajátvektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris transzformáció Vektorok lineáris transzformációja: általános esetben az x vektor iránya és nagysága
RészletesebbenLineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció. Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság
1. Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
Részletesebben1. Az euklideszi terek geometriája
1. Az euklideszi terek geometriája Bázishoz tartozó skaláris szorzat Emékeztető Az R n vektortérbeli v = λ 2... és w = λ 1 λ n µ 1 µ 2... µ n λ 1 µ 1 +λ 2 µ 2 +...+λ n µ n. Jele v,w. v,w = v T u, azaz
Részletesebbenalakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha ,, és. ( : mantissza, : mantissza hossza, : karakterisztika) Jelölés: Gépi számhalmaz:
1. A lebegőpontos számábrázolás egy modellje. A normalizált lebegőpontos szám fogalma, a legnagyobb, legkisebb pozitív szám, a relatív pontosság az M(t,-k,+k) gépi számhalmazban. Az input függvény (fl)
RészletesebbenLineáris algebra numerikus módszerei
Bevezetés Szükségünk van a komplex elemű mátrixok és vektorok bevezetésére. A komplex elemű n-dimenziós oszlopvektorok halmazát C n -el jelöljük. Hasonlóképpen az m n méretű komplex elemű mátrixok halmazát
RészletesebbenLineáris algebra. Wettl Ferenc, BME , 0.2 változat. Tartalomjegyzék. Geometriai szemléltetés. (tömör bevezetés) Az egyenletek szemléltetése
Lineáris algebra (tömör bevezetés) Wettl Ferenc, BME 2007-03-24, 02 változat Tartalomjegyzék Geometriai szemléltetés 1 Az egyenletek szemléltetése 1 Az egyenletrendszer vektoregyenlet alakja 2 Egyenletrendszerek
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
RészletesebbenLineáris Algebra. Tartalomjegyzék. Pejó Balázs. 1. Peano-axiomák
Lineáris Algebra Pejó Balázs Tartalomjegyzék 1. Peano-axiomák 2 1.1. 1.................................................... 2 1.2. 2.................................................... 2 1.3. 3....................................................
Részletesebben1. Geometria a komplex számsíkon
1. Geometria a komplex számsíkon A háromszög-egyenlőtlenség A háromszög-egyenlőtlenség (K1.4.3) Minden z,w C-re z +w z + w. Egyenlőség pontosan akkor áll, ha z és w párhuzamosak, és egyenlő állásúak, azaz
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
Részletesebben3. el adás: Determinánsok
3. el adás: Determinánsok Wettl Ferenc 2015. február 27. Wettl Ferenc 3. el adás: Determinánsok 2015. február 27. 1 / 19 Tartalom 1 Motiváció 2 A determináns mint sorvektorainak függvénye 3 A determináns
RészletesebbenLineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 7. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 2012. március 26. Ismétlés Tartalom 1 Ismétlés 2 Koordinátasor 3 Bázistranszformáció és alkalmazásai Vektorrendszer rangja Mátrix
RészletesebbenI. VEKTOROK, MÁTRIXOK
217/18 1 félév I VEKTOROK, MÁTRIXOK I1 I2 Vektorok 1 A síkon derékszögű koordinátarendszerben minden v vektornak van vízszintes és van függőleges koordinátája, ezeket sorrendben v 1 és v 2 jelöli A v síkbeli
RészletesebbenSzinguláris érték felbontás Singular Value Decomposition
Szinguláris érték felbontás Singular Value Decomposition Borbély Gábor 7. április... Tétel (teljes SVD. Legyen A C m n mátrix (valósra is jó, ekkor léteznek U C m m és V C n n unitér mátrixok (valósban
Részletesebbenλx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények
RészletesebbenMA1143v A. csoport Név: december 4. Gyak.vez:. Gyak. kódja: Neptun kód:.
MAv A. csoport Név:... Tekintsük az alábbi mátriot! A 7 a Invertálható-e az A mátri? Ha igen akkor bázistranszformációval határozza meg az inverzét! Ellenőrizze számításait! b Milyen egyéb mátritulajdonságokra
RészletesebbenMatematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
RészletesebbenDiszkrét Matematika II.
Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika II. példatár mobidiák könyvtár Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika II. példatár mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Orosz Ágota Kaiser
RészletesebbenA gyakorlati jegy
. Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
Részletesebben6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió
6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V
RészletesebbenDiszkrét Matematika II.
Bácsó Sándor Diszkrét Matematika II. mobidiák könyvtár Bácsó Sándor Diszkrét Matematika II. mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Bácsó Sándor Diszkrét Matematika II. egyetemi jegyzet mobidiák
RészletesebbenMűveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz
2018/2019 ősz Elérhetőségek Előadó: (safaro@math.bme.hu) Fogadóóra: hétfő 9-10 (H épület 3. emelet 310-es ajtó) A pontos tárgykövetelmények a www.math.bme.hu/~safaro/kalkulus oldalon találhatóak. A mátrix
RészletesebbenLineáris algebra (10A103)
Lineáris algebra (10A103 Kátai-Urbán Kamilla Tudnivalók Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~katai Jegyzet: Megyesi László: Lineáris algebra. Vizsga: írásbeli (beugróval, feltétele a Lineáris algebra gyakorlat
RészletesebbenAlkalmazott algebra - SVD
Alkalmazott algebra - SVD Ivanyos Gábor 20 sz Poz. szemidenit mátrixok spektrálfelbontásának általánosítása nem feltétlenül négyzetes mátrixokra LSI - mögöttes szemantikájú indexelés "Közelít " webkeresés
Részletesebbendifferenciálegyenletek
Állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenletek L[y] = y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = 0 a i R (1) a valós, állandó együtthatójú lineáris homogén n-ed rendű differenciálegyenlet Megoldását y
RészletesebbenMatematika MSc Építőmérnököknek. Szerző: Simon Károly
Matematika MSc Építőmérnököknek Szerző: Simon Károly Matematika MSc Építőmérnököknek A jegyzet nagyobb részét Dr. Simon Bakos Erzsébet gépelte Latex szövegszerkesztőben. Tartalomjegyzék 1. Az A-ben tanult
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenGazdasági matematika 2 előadás
Gazdasági matematika 2 előadás Aradi Bernadett 2017/18 tavasz A kurzushoz tartozó oktatási anyagok: https://arato.inf.unideb.hu/aradi.bernadett Aradi Bernadett Gazdasági matematika 2 2017/18 tavasz 1 /
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenDiszkrét matematika I. gyakorlat
Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség
RészletesebbenLineáris algebra. négyzetes mátrix: n x n-es mátrix oszlop mátrix, oszlop vektor: egyetlen oszlopból áll
Lineáris algebra Def: Def: Mátrix: egy téglalap alakú számtáblázat, minden helyén valós, vagy komplex szám áll A = [a i j n x m n: A sorainak száma, m: A oszlopainak száma négyzetes mátrix: n x n-es mátrix
Részletesebben