1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás"

Flóra Dobosné
7 évvel ezelőtt
Látták:

1 1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M = a i j T 2 3 a11 a, akkor M = 12 a 13 a 21 a 22 a 23 [ ] Ha M = i + j T , akkor M = = Ha M = a i j + b i j T 2 2, akkor M = [ ] [ ] a11 + b 11 a 12 + b 12 a 21 + b 21 a 22 + b 22 Ha M = λa i j T 1 3, akkor M = [ λa 11 λa 12 λa 13 ] Összeg, λ-szoros, nullmátrix, ellentett M = a i j és N = b i j T n m mátrixok és λ T Ekkor M + N = a i j + b i j T n m az M és N összege a két mátrix megfelelő elemeit összeadjuk; λm = λa i j T n m az M mátrix λ-szorosa a mátrix minden elemét λ-val szorozzuk Két mátrixot akkor lehet összeadni, ha ugyanaz a méretük Az n m-es nullmátrix az a mátrix, melynek minden eleme a T test nulleleme Jele: 0 Egy n m-es M mátrix ellentettje az a mátrix, melynek minden eleme az M megfelelő elemének ellentettje M = a i j ellentettje M = a i j = 1M A műveleti tulajdonságok HF ellenőrizni Tetszőleges M, N, K T n m mátrixokra és λ,µ skalárokra 1 M + N + K = M + N + K az összeadás asszociatív 2 M + N = N + M az összeadás kommutatív 3 M + 0 = 0 + M = M 0 a nullmátrix 4 M + M = M + M = 0 M az M ellentettje 5 λ + µm = λm + µm 6 λm + N = λm + λn

2 7 λµm = λµm 8 1 M = M ahol 1 a T test egységeleme 9 0 M = λ 0 = 0, és ha λm = 0, akkor λ = 0 vagy M = 0 2 Mátrixok szorzása Sor és oszlop szorzata Ismétlés [ 2 2-esre ] [ ] a c x ax + cy = b d][ y bx + dy [ ] [ a c a c ] [ aa b d b d = + cb ac + cd ] ba + db bc + dd b 1 Legyen [ ] a 1 a 2 a m b 2 = a 1b 1 + a 2 b a m b m b m Minden elemet a neki megfelelővel szorzunk, majd összeadjuk 2 2-es: az első mátrix sorait szoroztuk a második oszlopaival! A szorzás definíciója A szorzatmátrix i-edik sorának j-edik eleme az első mátrix i-edik sorának és a második mátrix j-edik oszlopának szorzata Ez akkor értelmes, ha az első mátrixnak ugyanannyi oszlopa van, ahány sora a másodiknak [ ][ ] [ ] a11 a 12 b11 b 12 a11 b = 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 a 22 b 21 b 22 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22 Állítás HF Ha M = a i j T n m és N = b i j T m k, akkor az M N T n k mátrix i-edik sorának j-edik eleme a i1 b 1 j + a i2 b 2 j + + a im b mj = m a il b lj l=1 2

3 Negatív tulajdonságok Az n n-es mátrixok között a szorzás n 2 esetén nem kommutatív és nem nullosztómentes Bizonyítás [ ] [ n = ] 2-re[ ] =, ami nem ugyanaz, mint [ ] [ ] [ ] =, tehát nem kommutatív [ ] [ ] [ ] =, azaz nem nullosztómentes Általában a leképezések kompozíciója sem kommutatív Példa HF: két tengelyes tükrözés ha a tengelyek szöge pl 60 Asszociativitás A mátrixok szorzása asszociatív Azaz M NK = MN K, feltéve, hogy az összes szükséges szorzást el lehet végezni Azaz ha M T n m, N T m k, K T k l Ronda számolás helyett elegánsan következik abból, hogy Állítás A függvények kompozíciója asszociatív Bizonyítás Két függvény akkor egyenlő, ha minden helyen megegyeznek f g h x = f g hx = f g hx, f g h x = f g hx = f g hx Az egységmátrix Az n n-es E n egységmátrix az a mátrix, ahol az i-edik sor j-edik eleme 1 ha i = j, és 0 ha i j Azaz a főátlóban végig 1 van, másutt csupa 0 Példa a b c a b c x y z = x y z u v w u v w HF ellenőrizni Ha M T n n, akkor E n M = M E n = M 3

4 A szorzás szabályai Az n n-es mátrixok egységelemes gyűrűt alkotnak, azaz ha M, N, K T n n tetszőleges mátrixok és λ,µ T, akkor 1 M + N + K = M + N + K az összeadás asszociatív 2 M + N = N + M az összeadás kommutatív 3 M + 0 = 0 + M = M 0 a nullmátrix 4 M + M = M + M = 0 M az M ellentettje 5 A szorzás asszociatív 6 Igaz mindkét oldali disztributivitás 7 Az egységmátrix kétoldali egységelem Továbbá λm N = λmn = MλN is teljesül Bizonyítás: a következő félévben, lineáris transzformációkkal 3 Mátrix inverze Szorzat rangja Szorzatmátrix rangja legfeljebb akkora, mint bármelyik tényező rangja: rm N rm és rm N rn Bizonyítás: a következő félévben, lineáris leképezésekkel Ha az M és N mátrixok M N szorzata az E n egységmátrix, akkor M balinverze N-nek, N pedig jobbinverze M-nek Következmény Ha M N = E n, akkor M és N rangja legalább n Speciálisan M-nek n sora és legalább n oszlopa, N-nek pedig n oszlopa és legalább n sora van Az inverz definíciója Házi feladat Ha egy mátrixnak van bal- és jobbinverze is, akkor négyzetes Ha M, N T n n, akkor M és N egymás inverzei, ha M N = N M = E n az n n-es egységmátrix Jele: N = M 1 4

5 1 Az M T n n akkor és csak akkor invertálható, ha rangja n 2 Ha M, N T n n és M N = E n, akkor N M = E n Ezért a négyzetes mátrixok között a balinverz és ugyanúgy jobbinverz egyben kétoldali inverz is Bizonyítás: Később, determinánsok felhasználásával Az inverz kiszámítása Gauss-eliminációval Tegyük föl, hogy M T n n Legyen K = [M, E n ] T n 2n azaz írjuk M jobb oldalára az egységmátrixot Végezzük el a Gauss-eliminációt a K mátrixra úgy, hogy vezéregyest kizárólag a bal oldalon az első n oszlopban választhatunk Ha keletkezik tilos sor melynek az első fele végig nulla, akkor M nem invertálható Ellenkező esetben sorcserékkel K bal feléből az egységmátrix lesz Ekkor K jobb felén M 1 keletkezik [M, E n ] [E n, M 1 ] Bizonyítás: nincs Példa: a gyakorlaton Lineáris egyenletrendszer mátrixos alakja a 11 x 1 + a 12 x a 1m x m = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2m x m = b 2 a n1 x 1 + a n2 x a nm x m = b n a 11 a 12 a 1m x 1 b 1 M = a 21 a 22 a 2m, x = x 2 és b = b 2 a n1 a n2 a nm x m b n Az M a fenti lineáris egyenletrendszer mátrixa Az M x = b az egyenletrendszer mátrixos alakja az eredeti egyenleteknek egy képletben való, tömör felírása Ha M négyzetes és invertálható, akkor a megoldás x = M 1 b 5

6 Mátrix transzponáltja Egy mátrix főátlója a bal felső sarokból 45 alatt induló egyenesen lévő elemekből áll Ezek azok, amelyeknek a sor- és oszlopindexe megegyezik Egy mátrix transzponáltja a főátlójára vett tükörképe Azaz ha M = a i j T n m, akkor M T = a ji T m n A két indexet megcseréljük; az i-edik sorból i-edik oszlop lesz Példák [ ] T [ ] [ ] T a a11 a 12 a11 a = 21 a11 a 12 a 11 a = a a 21 a 22 a 12 a 22 a 21 a 22 a 12 a a 13 a 23 A főátlót zöld szín jelöli Sorvektor transzponáltja oszlopvektor és viszont 6

Hasonló dokumentumok

1. Geometria a komplex számsíkon

1. Geometria a komplex számsíkon A háromszög-egyenlőtlenség A háromszög-egyenlőtlenség (K1.4.3) Minden z,w C-re z +w z + w. Egyenlőség pontosan akkor áll, ha z és w párhuzamosak, és egyenlő állásúak, azaz