1. Lineáris leképezések
|
|
- Edit Pásztorné
- 9 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Lineáris leképezések A lineáris leképezés fogalma Definíció (F5 Definíció) Legenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött Az A : V W lineáris leképezés, ha összegtartó, azaz v,v 2 V esetén A(v +v 2 ) = A(v )+A(v 2 ); skalárszorostartó, azaz v V és λ T esetén A(λv) = λa(v) Az A : V W lineáris leképezések halmaza Hom(V, W) Állítás (F52 Tétel) Minden lineáris leképezés nullát nullába, ellentettet ellentettbe visz, azaz A( V ) = W és A( v) = A(v) i ötlet az első állításra A( V ) = A( V + V ) = A( V )+A( V ), adjunk hozzá A( V )-t Példák lineáris leképezésre () A sík és a tér origót fixáló egbevágósági és hasonlósági transzformációi (tükrözés, forgatás, nújtás) (2) V = T n és W = T m a T fölött, M T m n rögzített mátrix Legen A(v) = Mv (3) V = W = T[x] a T fölött, A(p) = p (a p polinom deriváltja) (4) V = R[x] az R fölött, W = R önmaga fölött A(p) = p(3) (az 3 szám behelettesítése) (5) V vektortér T fölött, W = T n a T test fölött B = (b,,b n ) rögzített bázis V -ben és A(v) = [v] B (6) V és W tetszőleges vektorterek T fölött, A(v) = W Ez a nulla leképezés, jele (7) V = W tetszőleges vektortér, A(v) = v Ez az identikus leképezés, jele I vag I V
2 Tükrözés egenesre Példa Legen R az = x egenesre való tükrözés 2 2 = x R R () = () = () R = 2 2 A tükrözés képlete Kérdés Legen R az = x egenesre való tükrözés R () Láttuk: R () x R = R ([ x = ] + [ () x =? () és R = Ezért ]) () () x = R +R, hiszen R összegtartó A skalárszoros-tartás miatt ez ( ) ( ) () () R x +R = xr +R = = x + = + = x x 2
3 Vektor képe általános transzformációnál Kérdés Legen A : T 2 T 2 lineáris transzformáció () () () a c x Ha A = és A =, akkor A =? b d A () x = A ( x + ) = A () x +A (), hiszen A összegtartó A skalárszoros-tartás miatt ez ( ) ( ) () () A x +A = xa +A = a c ax c ax+c = x + = + = b d bx d bx+d Tehát minden vektor képét ki tudjuk számolni, ha ismerjük a,b,c,d értékét Lineáris transzformáció mátrixa Láttuk Legen A : T 2 T 2 lineáris transzformáció Ha () () () a c x ax+c A = és A =, akkor A = b d bx+d Definíció A fenti A mátrixa [A] = a c (Az oszlopok b d és képei) A mátrix-vektor szorzás definíciójának indoka: a c x ax+c = (íg lehet kiszámolni eg vektor képét) b d bx+d Azaz A(v) = [A]v A forgatás mátrixa Példa cosα sinα Az origó körüli α szögű forgatás mátrixa [F]= sinα cosα A megfelelő derékszögű háromszögek lerajzolásával: HF Komplex számokkal: ez a forgatás szorzás cos α + i sin α-val x Az x+i számnak az felel meg: és i A [F] első oszlopa: (cosα+isinα) [ cosα sinα A második: i(cosα+isinα) = sinα+icosα ] sinα cosα 3
4 Mátrix bázispárban Definíció (F57 Definíció) b = (b,,b n ) bázis V -ben, d = (d,,d m ) bázis W-ben Ha A : V W lineáris leképezés, ] akkor A mátrixa a (b, d) bázispárban [A] d/b = [[A(b )] d,,[a(b n )] d T m n A mátrix j-edik oszlopába A(b j ) koordinátáit írjuk a d bázisban λ λ n Azaz [A] d/b = azt jelenti, hog λ m λ mn A(b ) = λ d ++λ m d m,, A(b n ) = λ n d ++λ mn d m Az előbbi példákban a sík szokásos bázisa szerepelt Vektor képének kiszámítása Tétel (F573 Tétel) Legen b bázis V -ben, d bázis W-ben, A Hom(V,W) és v V Ekkor [A(v)] d = [A] d/b [v] b Bázisok megjegzése: d = (d/b)b ( kiesik a b) Legen [A] d/b = ((λ ij )) és [v] b = ((µ j )) Ekkor λ λ n µ λ µ ++λ n µ n [A] d/b [v] b = = λ m λ mn µ n λ m µ ++λ mn µ n Tudjuk: A(v) = A(µ b ++µ n b n ) = µ A(b )++µ n A(b n ), és A(b j ) = λ j d ++λ mj d m Behelettesítve A(v) = (λ µ ++λ n µ n )d ++(λ m µ ++λ mn µ n )d m 4
5 2 Lineáris leképezések szorzata Példa kompozícióra Kérdés Melik transzformációt kapjuk, ha először tükrözünk az = x egenesre, majd forgatunk az origó körül 9 -kal? Ez a két transzformáció kompozíciója (egmás utánja) () x x R = x [ cos9 sin9 Mivel [F] = F ([ x ] sin9 cos9 =, ezért képe x ]) +( )x x = = = x +x Az eredmén az -tengelre való tükrözés (Házi Feladat) A kompozíció mátrixa Definíció Ha A,B : T 2 T 2 transzformációk, akkor kompozíciójuk (A B)(v) = A ( B(v) ) tetszőleges v T 2 esetén Összetett függvén: először B-t, utána A-t alkalmazzuk Tétel a c a c Ha [A] =, és [B] = b d b d, akkor aa [A B]= +cb ac +cd ba +db bc +dd Tehát [A B] = [A][B]: kompozíció mátrixa a mátrixok szorzata A mátrixok szorzását azért definiáltuk ezekkel a képletekkel, hog ez az összefüggés igaz legen A kompozíció mátrixának kiszámítása Tétel a c a c [A]=, [B]= aa b d b d = [A B]= +cb ac +cd ba +db bc +dd ( ) () a a c a aa A B = A b = b d b = +cb ba +db Ezért A B első oszlopa ténleg az, ami a tételben szerepel ( ) () c a c c ac A B = A d = b d d = +cd bc +dd Ezért A B második oszlopa is megfelelő 5
6 Példa: [F R] = [F][R] = = Kompozíció az általános esetben Definíció (F56 Definíció) Legenek U, V és W vektorterek uganazon T test fölött Az A : V W és a B : U V lineáris leképezések szorzata (kompozíciója) (AB)(u) = A ( B(u) ) minden u U-ra Tétel (F562 Tétel) Ha A és B lineáris, akkor AB is az AB skalárszoros-tartó: AB(λu) = A ( B(λu) ) = A ( λb(u) ) = λa ( B(u) ) = λab(u) A kompozíció definíciója miatt B skalárszoros-tartása miatt A skalárszoros-tartása miatt A kompozíció definíciója miatt HF: AB összegtartó Általános kompozíció mátrixa Tétel (F576 Tétel) Legen a bázis U-ban, b bázis V -ben, d bázis W-ben, A Hom(V,W) és B Hom(U,V) Ekkor [AB] d/a = [A] d/b [B] b/a : HF Bázisok megjegzése: d/a = (d/b)(b/a) ( kiesik a b) Következmén Inverz leképezés mátrixa a mátrix inverze: [A ] b/d = [A] d/b [A ] b/d [A] d/b = [A A] b/b = [I] b/b, ami az egségmátrix Hasonlóan [A] d/b [A ] b/d is az egségmátrix 6
7 3 Leképezések összege és skalárszorosa Pontonkénti műveletek Definíció (F55 és F552 Definíció) Legenek V és W vektorterek uganazon T test fölött, A,B : V W lineáris leképezések és λ T () A és B összege (A+B)(v) = A(v)+B(v) minden v V -re (2) A λ-szorosa (λa)(v) = λ ( A(v) ) minden v V -re Tétel (F53 Tétel) A + B és λa is lineáris transzformáció Mintabizonítás: λa összegtartó (λa)(u+v) = λ ( A(u+v) ) = λ ( A(u)+A(v) ) = = λ ( A(u) ) +λ ( A(v) ) = (λa)(u)+(λa)(v) A λa definíciója miatt Az A összegtartása miatt A skalárral szorzás tulajdonsága (vektortéraxióma) miatt A λa definíciója miatt (kétszer alkalmazva) A másik három állítás HF Az összeg mátrixa Tétel (F574 Tétel) Rögzített b és d bázisok esetén az A [A] d/b leképezés összegtartó Hom(V,W) és T m n között Azaz összeg mátrixa a mátrixok összege w [w] d összegtartó W és T m között Ha A,B Hom(V,W), akkor (A + B)(b i ) = A(b i ) + B(b i ) az A + B definíciója miatt Íg [(A + B)(b i )] d = [A(b i ) + B(b i )] d = [A(b i )] d + [B(b i )] d Vagis A + B mátrixának oszlopai az A, illetve a B mátrixából vett megfelelő oszlopok összegei A mátrixok összeadásának definíciója miatt tehát [A+B] d/b = [A] d/b +[B] d/b 7
8 A skalárszoros mátrixa Tétel (F574 Tétel) Rögzített b és d bázisok esetén az A [A] d/b leképezés skalárszoros-tartó Hom(V,W) és T m n között Azaz λ-szoros mátrixa a mátrix λ-szorosa w [w] d skalárszorostartó W és T m között Ha A Hom(V,W), akkor (λa)(b i ) = λa(b i ) a λa definíciója miatt Íg [(λa)(b i )] d = [λa(b i )] d = λ[a(b i )] d Vagis λa mátrixának oszlopai az A mátrixából vett megfelelő oszlopok λ-szorosai A mátrixok λ-szorosának definíciója miatt tehát [λa] d/b = λ[a] d/b A műveletek tulajdonságai Jelölés Hom(V,V) rövidítve Hom(V), elemei lineáris transzformációk Állítás (F53 és F563 Tétel) Legenek V és W vektorterek uganazon T test fölött Az összeadásra és skalárral szorzásra Hom(V,W) vektortér Nullelem: a nulla leképezés Az A ellentettje: ( A)(v) = A(v) Hom(V) egségelemes gűrű az összeadásra és a szorzásra, és λ(ab) = (λa)b = A(λB) (A,B Hom(V), λ T) Az egségelem az identikus transzformáció FONTOS házi feladat önállóan kidolgozni a bizonítást! Különösen ajánlom a két disztributív azonosság levezetését: A(B +C) = AB +AC és (B +C)A = BA+CA 4 Izomorf vektorterek Példák izomorfizmusra Definíció (F52 Definíció) Az A Hom(V, W) izomorfizmus, ha kölcsönösen egértelmű A V és W izomorf vektorterek, ha van közöttük izomorfizmus Jele: V =W Két fontos példa Ha V vektortér a T test fölött, és b bázis V -ben, akkor v [v] b izomorfizmus V és T n között Ezért minden V vektortér izomorf T dim(v) -vel Legen b bázis V -ben, d bázis W-ben Ekkor A [A] d/b izomorfizmus Hom(V,W) és T m n között Vagis Hom(V,W) =T dim(w) dim(v) A művelettartást láttuk, az egértelműséget most bebizonítjuk 8
9 Az előírhatósági tétel Tétel (F53 Tétel) Legenek V és W vektorterek a T test fölött, b,,b n bázis V -ben, és c,,c n W tetszőleges vektorok Ekkor pontosan eg olan A : V W lineáris leképezés van, melre A(b j ) = c j minden j n esetén : egértelműség Ha A megfelel a feltételeknek, akkor A(λ b ++λ n b n ) = A(λ b )++A(λ n b n ), mert A összegtartó, és ez λ A(b )++λ n A(b n ) = λ c ++λ n c n, mert A skalárszorostartó Azaz A értékét V minden elemén ki tudjuk számítani, és íg csak eg megfelelő A leképezés létezhet Az egértelműséget tehát beláttuk Az előírhatósági tétel: létezés : létezés Legen A(λ b ++λ n b n ) = λ c ++λ n c n Ez jóldefiniált, mert V minden eleme egértelműen írható fel λ b ++λ n b n alakban Az A összegtartó, mert ha v = λ b ++λ n b n és w = µ b ++µ n b n, akkor v +w = (λ +µ )b ++(λ n +µ n )b n, és íg A(v +w) = (λ +µ )c ++(λ n +µ n )c n A(v)+A(w) = (λ c ++λ n c n )+(µ c ++µ n c n ), azaz ténleg A(v +w) = A(v)+A(w) A skalárszorostartás bizonítása hasonló: HF Mivel b = b + b 2 ++ b n, ezért A(b ) = c + c 2 ++ c n = c Hasonlóan A(b j ) = c j minden j n esetén Mátrixok és leképezések: egértelműség Tétel (F574 Tétel) Rögzített b és d bázisok esetén az A [A] d/b leképezés izomorfizmus Hom(V,W) és T m n között w [w] d kölcsönösen egértelmű W és T m között, hiszen W minden eleme egértelműen írható λ d + + λ m c m alakban Ha A B Hom(V,W), akkor az előírhatósági tétel egértelműségi állítása miatt A(b ),,A(b n ) és B(b ),,B(b n ) valahol eltér Íg a koordinátavektorok is uganott eltérnek, azaz A és B mátrixa különböző Ha adott eg M T m n mátrix, akkor annak oszlopvektorai eg c,,c m vektorrendszert adnak W-ben, és az előírhatósági tételből kapott A leképezésnek M lesz a mátrixa 9
10 Az izomorfizmus jellemzése Tétel (F525 Tétel) Azonos test fölötti két, véges dimenziós vektortér akkor és csak akkor izomorf, ha a dimenziójuk megegezik Következmén: dim ( Hom(V,W) ) = dim(v)dim(w) vázlat Tegük föl, hog V és W dimenziója egenlő Legen b,,b n bázis V -ben és d,,d n bázis W-ben Az előírhatósági tétel miatt vannak olan B és C lineáris leképezések, melekre B(b j ) = d j és C(d j ) = b j minden j-re HF: ezek egmás inverzei, és íg izomorfizmusok Megfordítva: ha A : V W izomorfizmus és b,,b n bázis V -ben, akkor HF: A(b ),,A(b n ) bázis W-ben Ezért a két dimenzió megegezik 5 Összefoglaló A 3 előadáshoz tartozó vizsgaanag Fogalmak Összegtartás, skalárszoros-tartás, linearitás Lineáris leképezések mátrixa, összege, λ-szorosa, szorzata Izomorfizmus Tételek Nullvektor és ellentett képe lineáris leképezésnél Az α szögű forgatás mátrixa a sík szokásos bázisában Vektor képének kiszámítása a leképezés mátrixának segítségével Az összeg, λ-szoros, szorzat is lineáris; ezek mátrixa Hom(V, W) vektortér és izomorf T n k -val Hom(V) gűrű, és a megfeleltetés T n n -nel szorzattartó Vektortér-izomorfia jellemzése a dimenzióval Hom(V, W) dimenziója Az előírhatósági tétel
A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István
A lineáris tér Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér fogalma A fejezetben a gyakorlati alkalmazásokban használt legfontosabb fogalmakat, összefüggéseket tárgyaljuk. Adott egy L halmaz, amiben azonos
Lineáris Algebra gyakorlatok
A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk
1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3
Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény
Többváltozós függvények Riemann integrálja
Többváltozós üggvének Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Az integrál konstrukciója tetszőleges változószám esetén Deiníció: n dimenziós
Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik
Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik Ismert fogalmak Témák Vektortér Lineáris kombináció Lineáris függőség, függetlenség Generátorrendszer, bázis, dimenzió Lineáris leképezések Szabadvektorok vektortere
1. Bázistranszformáció
1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n
Lineáris algebra bevezető
Lineáris algebra bevezető 1 Egyismeretlenes egyenletek bemelegítés Az ilyen egyenletek rendezés után ax = b alakba írhatók Ha a 0, akkor a(z egyértelmű megoldás x = b/a Ha a = 0, akkor b 0 esetben nincs
5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség
5. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. Gondolkodnivalók Vektortér 1. Gondolkodnivaló Alteret alkotnak-e az R n n (valós n n-es mátrixok) vektortérben az alábbi részhalmazok? U 1 =
Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál
Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek
Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.
Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés
Lineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Lineáris Algebra GEMAN 203-B A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b
Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor
Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................
Mátrixaritmetika. Tartalom:
Mátrixaritmetika Tartalom: A vektor és mátrix fogalma Speciális mátrixok Relációk és műveletek mátrixokkal A mátrixok szorzása A diadikus szorzat. Hatványozás Gyakorlati alkalmazások Készítette: Dr. Ábrahám
Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu
Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.
4. előadás. Vektorok
4. előadás Vektorok Vektorok bevezetése Ha adottak a térben az A és a B pontok, akkor pontosan egy olyan eltolás létezik, amely A-t B- be viszi. Ha φ egy tetszőleges eltolás, akkor ez a tér minden P pontjához
Vektortér. A vektortér elemeit vektornak, a test elemeit skalárnak nevezzük. Ezért a függvény neve skalárral való szorzás (nem művelet).
Vektortér A vektortér (lineáris tér, lineáris vektortér) két, már tanult algebrai struktúrát kapcsol össze. Def.: Legyen V nemüres halmaz, amelyben egy összeadásnak nevezett művelet van definiálva, és
MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY
Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................
Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)
Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2006. február 22.) 2 3 Erdős Jenő emlékének. 4 Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 7 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása...............
1. Transzformációk mátrixa
1 Transzformáiók mátrixa Lineáris transzformáiók Definíió T test Az A : T n T n függvény lineáris transzformáió, ha tetszőleges v,w T n vektorra és λ skalárra teljesül, hogy A(v + w) A(v) + A(w) és A(λv)
Tárgyév adata 2013. december 31. Tárgyév adata 2014. december 31. A tétel megnevezése
A tétel megnevezése Tárgyév adata 2013. december 31. Tárgyév adata 2014. december 31. 1. Pénzeszközök 19 798 163 488 2. Állampapírok 411 306 73 476 a) forgatási célú 411 325 73 408 b) befektetési célú
1. Az euklideszi terek geometriája
1. Az euklideszi terek geometriája Bázishoz tartozó skaláris szorzat Emékeztető Az R n vektortérbeli v = λ 2... és w = λ 1 λ n µ 1 µ 2... µ n λ 1 µ 1 +λ 2 µ 2 +...+λ n µ n. Jele v,w. v,w = v T u, azaz
5. Végezd el a kijelölt műveleteket, és ahol lehet, vonj össze!
1 1. Rendezd a következő polinomokat a bennük lévő változó növekedő hatvánkitevői szerint! a) 2 + + 2 b) 2 + + 2 + 6 2. Melek egnemű algebrai kifejezések? a) a 2 b; 2ab; a 2 b; 2a b; 1,a 2 b b) 2 ; 2 ;
1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás
1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M
A gyakorlati jegy
. Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...
1. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:........................................... (1) (1 3) = (3 1). (hamis) () (1 ) = ( 1). (igaz). Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...........................................
Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert
Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris
BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET
BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPEST, 1997 A szerzők Lineáris Algebra, illetve Lineáris Algebra II c jegyzeteinek átdolgozott
Egy irányított szakasz egyértelműen meghatároz egy vektort.
VEKTOROK VEKTOROK FOGALMA Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon, hogy az egyik pont a kezdőpont, a másik pont a végpont, akkor irányított szakaszt kapunk. Egy irányított szakasz
Juhász Tibor. Lineáris algebra
Juhász Tibor Lineáris algebra Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Juhász Tibor Lineáris algebra Eger, 2013 Készült a TÁMOP-425B-11/1-2011-0001 támogatásával Tartalomjegyzék
Lineáris algebrai módszerek a kombinatorikában
Lineáris algebrai módszerek a kombinatorikában Nagy V. Gábor SZTE Bolyai Intézet Eötvös Loránd Kollégium, Matematika Műhely Szeged, 2013. október 25. ELK 13 A Gyárfás Lehel-sejtés 1/21 Definíció. A G 1,...,
Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és
Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások
Országos Középiskolai Tanulmáni Versen / Matematika I kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Eg papírlapra felírtuk a pozitív egész számokat n -től n -ig Azt vettük észre hog a felírt páros számok
NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó
FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart
Mátrixok. 2015. február 23. 1. Feladat: Legyen ( 3 0 1 4 1 1 ( 1 0 3 2 1 0 B = A =
Mátrixok 25. február 23.. Feladat: Legyen A ( 3 2 B ( 3 4 Határozzuk meg A + B, A B, 2A, 3B, 2A 3B,A T és (B T T mátrixokat. A deníciók alapján ( + 3 + 3 + A + B 2 + 4 + + ( 4 2 6 2 ( ( 3 3 2 4 A B 2 4
5. gyakorlat. Lineáris leképezések. Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét!
5. gyakorlat Lineáris leképezések Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét! f : IR IR, f(x) 5x Mit rendel hozzá ez a függvény két szám összegéhez? x, x IR, f(x +
Absztrakt vektorterek
Absztrkt vektorterek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 213. 1. 8. Absztrkt vektorterek /1. Absztrkt vektortér definíciój Legyen V egy hlmz, egy test (pl. vlós vgy komplex számtest), és
Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer
Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény
A kvantummechanika általános formalizmusa
A kvantummechanika általános formalizmusa October 4, 2006 Jelen fejezetünk célja bevezetni egy általános matematikai formalizmust amelynek segítségével a végtelen dimenziós vektorterek elegánsan tárgyalhatók.
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 7 VII. Gyűrűk 1. Gyűrű Definíció Egy a következő axiómákat: gyűrű alatt olyan halmazt értünk, amelyben definiálva van egy összeadás és egy szorzás, amelyek teljesítik (1) egy
10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET
.. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.
Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
F.I.1. Vektorok és vektorműveletek
FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg
Feladatok. 6. A CYK algoritmus segítségével döntsük el, hogy aabbcc eleme-e a G = {a, b, c}, {S, A, B, C}, P, S nyelvtan által generált nyelvnek!
Feladatok 1. A CYK algoritmus segítségével döntsük el, hogy cabcab eleme-e a G = {a, b, c}, {S, A, B, C, D, E}, P, S nyelvtan által generált nyelvnek! P: S AD EB SS A AB a B DD b C CB c D EC a E AD b 2.
Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció. Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság
1. Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
Bevezetés 3. Vizsga tételsor 5. 1 Komplex számok 6. 2 Lineáris algebra 10. 2.2Vektorterek 11
Bevezetés a számításelméletbe 1. A BME I. éves mérnök-informatikus hallgatói számára segédlet a 2007. őszi előadáshoz Összeállította: Fleiner Tamás Utolsó frissítés: 2010. január 13. Tartalomjegyzék Bevezetés
a védelmi feladatokban részt vevő elektronikus hírközlési szolgáltatók kijelöléséről és felkészülési feladataik meghatározásáról
1./2009. (.) MeHVM rendelet a védelmi feladatokban részt vevő elektronikus hírközlési szolgáltatók kijelöléséről és felkészülési feladataik meghatározásáról Az elektronikus hírközlésről szóló 2003. évi
1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?
1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy
Széchenyi István Egyetem, 2005
Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását
DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes
1. Algebrai alapok: DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz
Diszkrét Matematika I.
Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. egyetemi jegyzet mobidiák
Analízis I. jegyzet. László István. 2008. november 3.
Analízis I. jegzet László István 2008. november 3. Tartalomjegzék 1. Halmazok 5 1.1. Halmaz fogalma............................ 5 1.2. Halmaz megadása........................... 6 1.2.1. Eplicit megadás.......................
Lineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 9. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 202. április 6. Bogya Norbert Lineáris algebra gyakorlat (9. gyakorlat Bázistranszformáció és alkalmazásai (folytatás Tartalom Bázistranszformáció
Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
1. Lineáris transzformáció
Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció mátrixának felírása eg adott bázisban: Emlékeztető: Legen B = {u,, u n } eg tetszőleges bázisa az R n -nek, Eg tetszőleges v R n vektor egértelműen felírható
Egyetemi matematika az iskolában
Matematikatanítási és Módszertani Központ Egyetemi matematika az iskolában Hegyvári Norbert 013 Tartalomjegyzék 1. Irracionális számok; 4. További irracionális számok 7 3. Végtelen tizedestörtek 7 4. Végtelen
Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal
fejezet Mátrixok Az előző fejezetben a mátrixokat csak egyszerű jelölésnek tekintettük, mely az egyenletrendszer együtthatóinak tárolására, és az egyenletrendszer megoldása közbeni számítások egyszerüsítésére
1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis.
1 Diagonalizálás Diagonalizálható mátrixok Ismétlés Legyen M,N T n n Az M és N hasonló, ha van olyan A lineáris transzformáció, hogy M is és N is az A mátrixa egy-egy alkalmas bázisban Az M és N pontosan
Matematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola
O k t a t á s i H i v a t a l A 017/018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmáni Versen második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Adja meg
Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea
Tartalom 1 Matematikai alapismeretek Algebrai struktúrák Oszthatóság Kongruenciák Algebrai struktúrák Az S = {x, y, z,... } halmazban definiálva van egy művelet, ha az S-nek minden x, y elempárjához hozzá
86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009
86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek
Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
Differenciálegyenletek a hétköznapokban
Differenciálegyenletek a hétköznapokban BSc Szakdolgozat Írta: Gondos Réka Matematika BSc, alkalmazott matematikus szakirány Témavezető: Besenyei Ádám adjunktus Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai
Matematika szintfelmérő szeptember
Matematika szintfelmérő 015. szeptember matematika BSC MO 1. A faglaltok éjszakáján eg közvéleménkutatásban vizsgált csoport %-ának ízlett az eperfaglalt, 94%-ának pedig a citromfaglalt. A két gümölcsfaglalt
Líneáris függvények. Definíció: Az f(x) = mx + b alakú függvényeket, ahol m 0, m, b R elsfokú függvényeknek nevezzük.
Líneáris függvének Definíció: Az f() = m + b alakú függvéneket, ahol m, m, b R elsfokú függvéneknek nevezzük. Az f() = m + b képletben - a b megmutatja, hog a függvén hol metszi az tengelt, majd - az m
MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM
MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent
Kvadratikus alakok gyakorlás.
Kvadratikus alakok gakorlás Kúpszeletek: Adott eg kvadratikus alak a következő formában: ax 2 + 2bx + c 2 + k 1 x + k 2 + d = 0, a, b, c, k 1, k 2, d R (1) Ezt felírhatjuk a x T A x + K x + d = 0 alakban,
1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger
Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger. feladat Állítsunk merőlegeseket egy húrnégyszög csúcsaiból a csúcsokon át nem menő átlókra. Bizonyítsuk be, hogy a merőlegesek talppontjai
1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan
Mezei Ildikó-Ilona Analitikus mértan feladatgyűjtemény Kolozsvár 05 Tartalomjegyzék. Vektoralgebra 3.. Műveletek vektorokkal.................................. 3.. Egyenes vektoriális egyenlete..............................
Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013
UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS
Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =
2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög
Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam
Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Szerkesztette: I. N. Szergejeva 2015. február 2. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó
D G 0 ;8 ; 0 0 " & *!"!#$%&'" )! "#$%&' (! )* +,-. /0 )* **! / 0 1 ) " 8 9 : 7 ; 9 < = > A! B C D E +,-./0! 1#! 2 3!./0
D G 0"" @;8 < @;0 0"7@ & *!"!#$%&'" )! "#$%&'(! )*+,-./0)* **! / 0 1 ) 2 3 4 5 6 1 7 " 8 9 : 7 ; 9 < = > 9? @ A! B C D E +,-./0!1#! 2 3!./04456171#461,!FGHIJKLM 5 NO N"JPQRFGLSTUV@AW"9?@AW G X6YJK # #
Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged
Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást
Lineáris algebra. (közgazdászoknak) T C T = ( 1 ) ; , D T D =
Lineáris algebra (közgazdászoknak) 10A103 FELADATOK A GYAKORLATRA (1.) 2018/2019. tavaszi félév Mátrixok 1.1. Feladat. Legyen A = 1 2 1, B = 1 2 3 1 2 1 1, C = ( 1 2 0 ), D = 1 3 1 1 2 1 ( ) 10/2 0.6 1
Ismerkedés az Abel-csoportokkal
Ismerkedés az Abel-csoportokkal - Szakdolgozat - Készítette: Takács Mária (Matematika BSc, Tanári szakirány) Témavezető: Kiss Emil (Algebra és Számelmélet Tanszék, Matematikai Intézet) Eötvös Loránd Tudományegyetem
Intergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
Vektoralgebra feladatlap 2018 január 20.
1. Adott az ABCD tetraéder, határozzuk meg: a) AB + BD + DC b) AD + CB + DC c) AB + BC + DA + CD Vektoralgebra feladatlap 018 január 0.. Adott az ABCD tetraéder. Igazoljuk, hogy AD + BC = BD + AC, majd
III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK
Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar
Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről.
Kiegészítés az előadássorozathoz. Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. A valószínűségszámítás (és a matematika) bizonyos kérdéseiben fontos szerepet játszik a lineáris algebra néhány
6. modul Egyenesen előre!
MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási
LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
Lineáris Algebra. Tartalomjegyzék. Pejó Balázs. 1. Peano-axiomák
Lineáris Algebra Pejó Balázs Tartalomjegyzék 1. Peano-axiomák 2 1.1. 1.................................................... 2 1.2. 2.................................................... 2 1.3. 3....................................................
Gondolkodjunk a fizika segı tse ge vel!
SZAKDOLGOZAT Gondolkodjunk a fizika segı tse ge vel! Simon Ju lia Matematika BSc., tana ri szakira ny Te mavezeto : Besenyei A da m adjunktus Alkalmazott Analı zis e s Sza mı ta smatematikai Tansze k Eo
Méréssel kapcsolt 3. számpélda
Méréssel kapcsolt 3. számpélda Eredmények: m l m 1 m 3 m 2 l l ( 2 m1 m2 m l = 2 l2 ) l 2 m l 3 = m + m2 m1 Méréssel kapcsolt 4. számpélda Állítsuk össze az ábrán látható elrendezést. Használjuk a súlysorozat
5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?
5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,
AES kriptográfiai algoritmus
AES kriptográfiai algoritmus Smidla József Rendszer- és Számítástudományi Tanszék Pannon Egyetem 2012. 2. 28. Smidla József (RSZT) AES 2012. 2. 28. 1 / 65 Tartalom 1 Bevezetés 2 Alapműveletek Összeadás,
Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0
Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,
1. Bevezetés A félév anyaga. Lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,
SZILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egyetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat)
SILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat) Szilárdságtan Pontszám 1. A másodrendű tenzor értelmezése (2) 2. A
MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ
MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz
2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )
Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden
18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK
18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK Kertesi Gábor Világi Balázs Varian 21. fejezete átdolgozva 18.1 Bevezető A vállalati technológiák sajátosságainak vizsgálatát eg igen fontos elemzési eszköz,
8/2014. (X.10.) KLIK elnöki utasítás
8/2014. (X.10.) KLIK elnöki utasítás III. Fejezet A térítési díj és a tandíj 1. A térítési díj és a tandíj alapja 3. (1) Az intézményben a tanévre fizetendő térítési díj és a tandíj meghatározásának alapja
Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben Szakdolgozat Készítette: Borostyán Dóra Matematika BSc matematikai elemző Témavezető:
Lineáris algebra. =0 iє{1,,n}
Matek A2 (Lineáris algebra) Felhasználtam a Szilágyi Brigittás órai jegyzeteket, néhol a Thomas féle Kalkulus III könyvet. A hibákért felelosséget nem vállalok. Hiányosságok vannak(1. órai lin algebrai
Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint
TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,
1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y